ในทางคณิตศาสตร์การเชื่อมโยงเทนเซอร์-โฮม (tensor-hom adjunction)คือข้อความที่ระบุว่าผลคูณเทนเซอร์ และฟังก์ชันโฮม (hom-functor)เป็นคู่เชื่อมโยงกัน (adjoint pair ) ${\displaystyle -\otimes X}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (Y\otimes X,Z)\cong \operatorname {Hom} (Y,\operatorname {Hom} (X,Z))}$

ต่อไปนี้จะอธิบายให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ลำดับของคำในวลี "การเชื่อมโยงเทนเซอร์-โฮม" สะท้อนถึงความสัมพันธ์ของพวกมัน: เทนเซอร์เป็นตัวผกผันทางซ้าย ในขณะที่โฮมเป็นตัวผกผันทางขวา

สมมติว่าRและS เป็น ริง (อาจจะไม่สลับที่กันได้) และพิจารณา หมวดหมู่ โมดูล ด้านขวา (ข้อความที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับโมดูลด้านซ้าย):

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mod} _{S}\quad {\text{และ}}\quad {\mathcal {D}}=\mathrm {Mod} _{R}.}$

แก้ไข-bimodule และกำหนดฟังก์ชันดังต่อไปนี้: ${\displaystyle (R,S)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$${\displaystyle G\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle F(Y)=Y\otimes _{R}X\quad {\text{สำหรับ }}Y\in {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle G(Z)=\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{สำหรับ }}Z\in {\mathcal {C}}}$

ดังนั้น จึง เป็น ตัวผกผันซ้ายของซึ่งหมายความว่ามีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(Y\otimes _{R}X,Z)\cong \operatorname {Hom} _{R}(Y,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)).}$

อันที่จริง แล้วนี่คือไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาเบเลียนกล่าวคือ ถ้าเป็น-bimodule และเป็น-bimodule แล้วนี่คือไอโซมอร์ฟิซึมของ-bimodule นี่เป็นหนึ่งในตัวอย่างที่กระตุ้นให้เกิดโครงสร้างใน ไบแค ตตากอรี ปิด ^{[ 1 ]}${\displaystyle Y}$${\displaystyle (A,R)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle (B,S)}$${\displaystyle (B,A)}$

เช่นเดียวกับการเชื่อมโยงอื่นๆ การเชื่อมโยงเทนเซอร์-โฮมสามารถอธิบายได้ด้วยการแปลงโคยูนิตและการแปลงธรรมชาติ ของยูนิต โดยใช้สัญลักษณ์จากส่วนก่อนหน้า โคยูนิต

${\displaystyle \varepsilon :FG\to 1_{\mathcal {C}}}$

มีส่วนประกอบ

${\displaystyle \varepsilon _{Z}:\ชื่อผู้ดำเนินการ {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X\to Z}$

กำหนดโดยการประเมิน: สำหรับ

${\displaystyle \phi \in \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{และ}}\quad x\in X,}$

${\displaystyle \varepsilon (\phi \otimes x)=\phi (x)}$

ส่วนประกอบของ หน่วย

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\ถึง GF}$

${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}$

มีการกำหนดดังต่อไปนี้: สำหรับใน, ${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \eta _{Y}(y)\in \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}$

เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลขวาที่กำหนดโดย ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \eta _{Y}(y)(t)=y\otimes t\quad {\text{สำหรับ }}t\in X.}$

ขณะนี้สามารถตรวจสอบสมการหน่วยร่วมและหน่วยได้อย่างชัดเจนแล้วสำหรับใน, ${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}):Y\otimes _{R}X\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)\otimes _{R}X\to Y\otimes _{R}X}$

กำหนดบนเทนเซอร์แบบง่ายของโดย ${\displaystyle Y\otimes X}$

${\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})(y\otimes x)=\eta _{Y}(y)(x)=y\otimes x.}$

เช่นเดียวกัน,

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Z).}$

เพราะใน,${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \ตัวดำเนินการ {Hom} _{S}(X,Z)}$

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )}$

เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลขวาที่กำหนดโดย ${\displaystyle S}$

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )(x)=\varepsilon _{Z}(\phi \otimes x)=\phi (x)}$

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )=\phi .}$

ฟังก์ชันHom สลับที่ได้กับลิมิต ใดๆ ในขณะที่ฟังก์ชันผลคูณเทนเซอร์สลับที่ได้กับโคลิมิตใดๆ ที่มีอยู่ในหมวดหมู่โดเมนของมัน อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชัน Hom จะไม่สามารถสลับที่ได้กับโคลิมิต และ ฟังก์ชัน Tor จะไม่สามารถสลับที่ได้กับลิมิต ความล้มเหลวนี้เกิดขึ้นแม้กระทั่งกับลิมิตหรือโคลิมิตแบบจำกัด ความล้มเหลวในการรักษาลำดับที่แน่นอน สั้นๆ นี้ เป็นแรงบันดาลใจให้เกิดนิยามของฟังก์ชัน Extและฟังก์ชัน Tor${\displaystyle \hom(X,-)}$${\displaystyle -\otimes X}$${\displaystyle \hom(X,-)}$${\displaystyle -\otimes X}$

เราสามารถอธิบายการเชื่อมโยงเทนเซอร์-โฮมในหมวดหมู่ของฟังก์ชัน ของ เซตจำกัดได้ เมื่อกำหนดเซต ฟังก์ชัน โฮม ของเซต นั้นจะแปลงเซตใดๆ ไปเป็นเซตของฟังก์ชันจากไปยัง ชั้น ไอโซมอร์ฟิซึมของเซตฟังก์ชันนี้คือจำนวนธรรมชาติในทำนองเดียวกัน ผลคูณเทนเซอร์จะแปลงเซตไปเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนกับชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของมันจึงเป็นจำนวนธรรมชาติ ${\displaystyle N}$${\displaystyle A}$${\displaystyle N}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{N}}$${\displaystyle -\otimes N}$${\displaystyle A}$${\displaystyle N}$${\displaystyle AN}$

สิ่งนี้ทำให้เราสามารถตีความไอโซมอร์ฟิซึมของเซตโฮม ได้

${\displaystyle \operatorname {Hom} (Y\otimes X,Z)\cong \operatorname {Hom} (Y,\operatorname {Hom} (X,Z)).}$

ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะสากลของการเชื่อมโยงเทนเซอร์-โฮม ในฐานะการจัดหมวดหมู่ของกฎพื้นฐานที่โดดเด่นของเลขยกกำลัง

${\displaystyle Z^{YX}=(Z^{X})^{Y}.}$

• หมวดหมู่โมโนอิดัลแบบปิด
• ความเป็นคู่ของเอ็กมันน์-ฮิลตัน
• การเปลี่ยนแหวน