การเพิ่มปริมาตรเป็นสองเท่าของลูกบาศก์หรือที่รู้จักกันในชื่อปัญหาเดเลียนเป็น ปัญหา ทางเรขาคณิต โบราณ ^{[ a ] [ 1 ] : 9} เมื่อกำหนดขอบของลูกบาศก์แล้ว ปัญหานี้ต้องการการสร้างขอบของลูกบาศก์ที่สองซึ่ง มี ปริมาตรเป็นสองเท่าของลูกบาศก์แรก เช่นเดียวกับปัญหาที่เกี่ยวข้องอย่างการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากวงกลมและการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน ปัจจุบันเป็นที่ทราบกันดีว่าการสร้างลูกบาศก์ที่มีปริมาตรเป็นสองเท่าโดยใช้เพียงวงเวียนและไม้บรรทัด นั้นเป็นไปไม่ได้ แต่แม้ในสมัยโบราณก็ทราบวิธีแก้ปัญหาที่ใช้วิธีการอื่นๆ

ตามที่ยูโทเซียสกล่าว อาร์คีทัสเป็นคนแรกที่แก้ปัญหาการเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่าด้วยการสร้างทางเรขาคณิตที่ชาญฉลาด^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} ในที่สุด ปิแอร์ วอนเซลก็พิสูจน์ได้ว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดในปี พ.ศ. 2380

ในทางพีชคณิต การเพิ่มขนาดของ^{ลูกบาศก์}หน่วย เป็นสองเท่า จำเป็นต้องสร้างส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวxโดยที่x³ = 2หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือx =${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ราก ที่สามของสองเนื่องจากลูกบาศก์ที่มีด้านยาว 1 จะมีปริมาตรเท่ากับ1/3 = 1 ^และลูกบาศก์ที่มีปริมาตรเป็นสองเท่าของลูกบาศก์แรก (ปริมาตรเท่ากับ 2) จะมีด้านยาวเท่ากับรากที่สามของ 2 ดังนั้น ความเป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้ลูกบาศก์มีปริมาตรเป็นสองเท่า จึงเทียบเท่ากับข้อความที่ว่า${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ไม่ใช่จำนวนที่สร้างได้นี่เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าพิกัดของจุดใหม่ที่สร้างขึ้นโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดนั้นเป็นรากของพหุนามเหนือฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดยพิกัดของจุดก่อนหน้า ซึ่งมีดีกรี ไม่ เกินกำลังสองนี่หมายความว่าดีกรีของการขยายฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดยจุดที่สร้างได้จะต้องเป็นกำลังของ 2 การขยายฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดย${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$อย่างไรก็ตาม เป็นระดับที่ 3

เราเริ่มต้นด้วยส่วนของเส้นตรงหน่วยที่กำหนดโดยจุด (0,0) และ (1,0) ในระนาบเราต้องสร้างส่วนของเส้นตรงที่กำหนดโดยจุดสองจุดที่อยู่ห่างกันเป็นระยะทาง${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าการสร้างโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดจะช่วยให้ส่วนของเส้นตรงดังกล่าวสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระเพื่อสัมผัสกับจุดกำเนิดขนานกับส่วนของเส้นตรงหน่วย - ดังนั้นเราอาจพิจารณางานสร้างส่วนของเส้นตรงจาก (0,0) ไปยัง (${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$, 0) ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสร้างจุด (${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$0)

เครื่องมืออย่างวงเวียนและไม้บรรทัดช่วยให้เราสร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้จุดหนึ่งและผ่านอีกจุดหนึ่ง และสร้างเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้สองจุด จุดที่กำหนดขึ้นใหม่ใดๆ จะเกิดขึ้นจากการตัดกันของวงกลมสองวง การตัดกันของวงกลมและเส้นตรง หรือการตัดกันของเส้นตรงสองเส้น แบบฝึกหัดเรขาคณิตวิเคราะห์ เบื้องต้น แสดงให้เห็นว่าในทั้งสามกรณี พิกัด xและyของจุดที่กำหนดขึ้นใหม่จะสอดคล้องกับพหุนามที่มีดีกรีไม่เกินกำลังสอง โดยมีสัมประสิทธิ์เป็นการบวก ลบ คูณ และหารที่เกี่ยวข้องกับพิกัดของจุดที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ (และจำนวนตรรกยะ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัด xและy ใหม่ จะมีพหุนามขั้นต่ำที่มีดีกรีไม่เกิน 2 บนฟิลด์ย่อยของ${\displaystyle \mathbb {R} }$สร้างขึ้นจากพิกัดก่อนหน้า ดังนั้นระดับการขยายสนามที่สอดคล้องกับพิกัดใหม่แต่ละอันจึงเป็น 2 หรือ 1

ดังนั้น เมื่อกำหนดพิกัดของจุดที่สร้างขึ้นใดๆ เราสามารถดำเนินการ ย้อนกลับ แบบอุปนัยผ่าน พิกัด xและyของจุดต่างๆ ตามลำดับที่กำหนดไว้ จนกระทั่งเราไปถึงคู่จุดเดิม (0,0) และ (1,0) เนื่องจากการขยายฟิลด์ทุกฟิลด์มีดีกรี 2 หรือ 1 และเนื่องจากการขยายฟิลด์เหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$เนื่องจากพิกัดของจุดคู่เดิมมีดีกรี 1 อย่างชัดเจน จึงเป็นไปตามกฎหอคอยว่าดีกรีของการขยายสนามเหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ค่าพิกัดใดๆ ของจุดที่สร้างขึ้นจะเป็นกำลังของ 2

ตอนนี้p ( x ) = x³ − 2 = 0 ^จะเห็นได้ง่ายว่าเป็น ตัว แยกย่อยไม่ได้เหนือ${\displaystyle \mathbb {Z} }$– การแยกตัวประกอบ ใดๆ จะเกี่ยวข้องกับตัวประกอบเชิงเส้น( x − k )สำหรับบางค่า${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ดังนั้นkต้องเป็นรากของp ( x )แต่k ก็ ต้องหาร 2 ลงตัวด้วย (ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ ) นั่นคือk = 1, 2, -1หรือ-2ซึ่งไม่มีค่าใดเป็นรากของp ( x )เลย ตามทฤษฎีบทของเกาส์ p ( x )ก็ไม่สามารถลดทอนได้เหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$และด้วยเหตุนี้จึงเป็นพหุนามขั้นต่ำเหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$สำหรับ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$การขยายขอบเขต${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} }$ดังนั้นจึงมีดีกรี 3 แต่เนื่องจากนี่ไม่ใช่กำลังของ 2 ดังนั้นจากข้างต้น:

• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ไม่ใช่พิกัดของจุดที่สร้างได้ ดังนั้น
• ส่วนของเส้นตรง${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ไม่สามารถสร้างได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน และ
• ไม่สามารถเพิ่มขนาดของลูกบาศก์เป็นสองเท่าได้โดยใช้เพียงไม้บรรทัดและวงเวียน

ปัญหาดังกล่าวมีชื่อมาจากเรื่องราวเกี่ยวกับพลเมืองของเดลอสซึ่งไปปรึกษาเทพพยากรณ์ที่เดลฟีเพื่อเรียนรู้วิธีเอาชนะโรคระบาดที่อพอลโล ส่ง มา^{[ 5 ] [ 1 ] : 9} อย่างไรก็ตาม ตามที่พลูตาร์ค กล่าวไว้ ^{[ 6 ]}พลเมืองของเดลอสได้ไปปรึกษาเทพพยากรณ์ที่เดลฟีเพื่อหาทางออกสำหรับปัญหาทางการเมืองภายในประเทศในขณะนั้น ซึ่งทำให้ความสัมพันธ์ระหว่างพลเมืองตึงเครียดมากขึ้น เทพพยากรณ์ตอบว่าพวกเขาต้องเพิ่มขนาดแท่นบูชาของอพอลโลเป็นสองเท่า ซึ่งเดิมเป็นลูกบาศก์ปกติ คำตอบนี้ดูแปลกสำหรับชาวเดลอส และพวกเขาจึงไปปรึกษาเพลโตซึ่งสามารถตีความคำพยากรณ์ได้ว่าเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ของการเพิ่มปริมาตรของลูกบาศก์ที่กำหนดเป็นสองเท่า จึงอธิบายคำพยากรณ์ว่าเป็นคำแนะนำของอพอลโลสำหรับพลเมืองของเดลอสให้ศึกษาเรขาคณิตและคณิตศาสตร์เพื่อระงับอารมณ์ของพวกเขา^{[ 7 ]}

ตามที่พลูตาร์ค กล่าวไว้ เพลโตได้มอบปัญหาให้กับยูโดซัส อาร์คีทัสและเมนาเอคมัสซึ่งพวกเขาแก้ปัญหาโดยใช้วิธีเชิงกล ทำให้เพลโตตำหนิพวกเขาที่ไม่แก้ปัญหาโดยใช้เรขาคณิตบริสุทธิ์^{[ 8 ]}นี่อาจเป็นเหตุผลที่ผู้เขียนหนังสือซิซิ ฟัส (388e) ซึ่งเป็นหนังสือที่อ้างว่าเป็นของเพลโต กล่าวถึงปัญหานี้ว่ายังไม่ได้รับ การแก้ไขในช่วง 350 ปีก่อนคริสตกาล ^{[ 9 ]}อย่างไรก็ตาม เรื่องราวอีกเวอร์ชันหนึ่ง (ที่ยูโทเซียสแห่งอัสคาลอนกล่าวว่าเป็นของเอราโตสเธเนส ) ระบุว่าทั้งสามคนพบวิธีแก้ปัญหา แต่เป็นวิธีที่นามธรรมเกินไปที่จะมีประโยชน์ในทางปฏิบัติ^{[ 10 ]}

การพัฒนาที่สำคัญในการหาทางแก้ไขปัญหาคือการค้นพบของฮิปโปเครติสแห่งคิออสว่าเทียบเท่ากับการหา ค่า เฉลี่ยเรขาคณิต สอง ค่าระหว่างส่วนของเส้นตรงหนึ่งกับอีกส่วนหนึ่งที่มีความยาวเป็นสองเท่า^{[ 11 ]}ในสัญลักษณ์สมัยใหม่ หมายความว่าเมื่อกำหนดส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวaและ2aการทำซ้ำลูกบาศก์จะเทียบเท่ากับการหาส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวr และ s เพื่อให้

${\displaystyle {\frac {a}{r}}={\frac {r}{s}}={\frac {s}{2a}}.}$

ซึ่งหมายความว่า

${\displaystyle r=a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}.}$

แต่Pierre Wantzelพิสูจน์ในปี พ.ศ. 2380 ว่ารากที่สามของ 2 ไม่สามารถสร้างได้นั่นคือ ไม่สามารถสร้างได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน^{[ 12 ]}

วิธีแก้ปัญหาดั้งเดิมของเมนาเอคมัสเกี่ยวข้องกับการตัดกันของ เส้นโค้ง รูปกรวย สอง เส้น วิธีการที่ซับซ้อนกว่าในการเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่า ได้แก่เนอุซิสซิสซอยด์ของไดโอ เคลส คอนคอยด์ของนิโคมีเดสหรือเส้นฟิโลแพนโดรเซียนนักคณิตศาสตร์หญิงชาวกรีกโบราณ พบวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณที่แม่นยำทางตัวเลขโดยใช้ระนาบในสามมิติ แต่ถูกวิพากษ์วิจารณ์อย่างหนักโดยปัปปัสแห่งอเล็กซานเดรียที่ไม่ให้การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ เหมาะสม ^{[ 13 ]}อาร์คีทัสแก้ปัญหาในศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราชโดยใช้การสร้างทางเรขาคณิตในสามมิติ โดยกำหนดจุดหนึ่งเป็นจุดตัดของพื้นผิวการหมุนสามพื้นผิว

ทฤษฎีการแก้สมการเชิงเรขาคณิตของเดส์การ์ตใช้พาราโบลาเพื่อแนะนำสมการกำลังสาม ด้วยวิธีนี้จึงสามารถตั้งสมการที่มีคำตอบเป็นรากที่สามของสองได้ โปรดทราบว่าพาราโบลาเองนั้นไม่สามารถสร้างขึ้นได้เว้นแต่โดยวิธีการสามมิติ

มีการกล่าวอ้างเท็จมากมายในเอกสาร ทาง คณิตศาสตร์ที่ผิดเพี้ยน ( คณิตศาสตร์เทียม ) เช่น การใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด เพื่อเพิ่มปริมาตรเป็นสองเท่า

นอกจากนี้ ยังสามารถใช้การพับกระดาษเพื่อสร้างรากที่สามของสองได้ อีกด้วย

ใช้ไม้บรรทัดที่มีขีดบอกระยะ

มีการสร้างเนอุซิส แบบง่ายๆ โดยใช้ไม้บรรทัดที่มีเครื่องหมายสำหรับความยาวซึ่งเป็นรากที่สามของ 2 เท่าของความยาวอีกค่าหนึ่ง^{[ 14 ]}

1. ทำเครื่องหมายบนไม้บรรทัดด้วยความยาวที่กำหนด ซึ่งในที่สุดจะกลายเป็น GH
2. สร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC โดยให้แต่ละด้านมีความยาวตามที่กำหนดให้
3. ขยาย AB ออกไปอีกเท่าตัวไปยัง D
4. ต่อเส้น BC ออกไปจนเกิดเป็นเส้น CE
5. ต่อเส้น DC ออกไปจนเกิดเป็นเส้น CF
6. วางไม้บรรทัดที่ทำเครื่องหมายไว้ให้ผ่านจุด A โดยให้ปลายด้านหนึ่ง (G) ของความยาวที่ทำเครื่องหมายไว้ตกอยู่บนรังสี CF และปลายอีกด้านหนึ่ง (H) ตกอยู่บนรังสี CE ดังนั้น GH คือความยาวที่กำหนดให้

ดังนั้น AG คือความยาวที่กำหนดคูณด้วย${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$.

ในทฤษฎีดนตรีสิ่งที่เทียบเคียงได้กับการเพิ่มเป็นสองเท่าตามธรรมชาติคือช่วงเสียงคู่แปด (ช่วงเสียงที่เกิดจากการเพิ่มความถี่ของเสียงเป็นสองเท่า) และสิ่งที่เทียบเคียงได้กับลูกบาศก์ตามธรรมชาติคือการแบ่งช่วงเสียงคู่แปดออกเป็นสามส่วน โดยแต่ละส่วนมีช่วงเสียง เท่ากัน ในแง่นี้ ปัญหาของการเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่าได้ รับการแก้ไขโดยช่วงเสียงเมเจอร์เทิร์ด ในระบบเสียงเท่ากันซึ่งเป็นช่วงเสียงที่มีขนาดเท่ากับหนึ่งในสามของช่วงเสียงคู่แปดพอดี โดยจะคูณความถี่ของเสียงด้วย${\displaystyle 2^{4/12}=2^{1/3}={\sqrt[{3}]{2}}}$ความยาวด้านของลูกบาศก์เดเลียน^{[ 15 ]}

• Frédéric Beatrix, Peter Katzlinger: วิธีแก้ปัญหา Delian ที่ค่อนข้างแม่นยำใน: Parabola เล่มที่ 59 (2023) ฉบับที่ 1นิตยสารออนไลน์ (ISSN 1446-9723) จัดพิมพ์โดย School of Mathematics and Statistics มหาวิทยาลัย New South Wales
• การเพิ่มขนาดลูกบาศก์เป็นสองเท่า การสร้างแบบใกล้เคียงในรูปแบบแอนิเมชั่น (ด้าน = 1.259921049894873) — Wikimedia Commons
• "การทำซ้ำลูกบาศก์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• การคูณลูกบาศก์ด้วยสอง โดย JJ O'Connor และ EF Robertson ในคลังข้อมูลประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ของ MacTutor
• การเพิ่มกำลังสามเป็นสองเท่า–วิธีแก้ปัญหาของอาร์คีทัส (ตัดตอนจากหนังสือ ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์กรีกโดยเซอร์ โทมัส ฮีธ )
• ปัญหาของเดเลียนได้รับการแก้ไขแล้ว หรือยัง?ที่cut-the- knot
• วิดีโอจาก Mathologer: "ปริศนาที่แก้ไม่ตกมา 2000 ปี: ทำไมการเพิ่มกำลังสามเป็นสองเท่าและการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากฐานสองจึงเป็นไปไม่ได้?"