ในทางคณิตศาสตร์การแยกตัวประกอบ (หรือfactorisationดูความแตกต่างของการสะกดในภาษาอังกฤษ ) หรือการแยกตัวประกอบคือการเขียนจำนวนหรือวัตถุทางคณิตศาสตร์ อื่น ๆ ในรูปผลคูณของตัวประกอบ หลายตัว ซึ่งโดยปกติจะเป็นวัตถุที่เล็กกว่าหรือเรียบง่ายกว่าของชนิดเดียวกัน ตัวอย่างเช่น3 × 5คือการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มของ15และ( x − 2 ) ( x + 2)คือการแยกตัวประกอบพหุนามของx² ⁻ 4

โดยทั่วไปแล้ว การแยกตัวประกอบไม่ถือว่ามีความหมายในระบบจำนวนที่มีการหารเช่น จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนเนื่องจากจำนวนใดๆ ก็ตาม${\displaystyle x}$สามารถเขียนอย่างง่ายๆ ได้ดังนี้${\displaystyle (xy)\times (1/y)}$เมื่อใดก็ตาม${\displaystyle y}$ไม่ใช่ศูนย์ อย่างไรก็ตาม การแยกตัวประกอบที่มีความหมายสำหรับจำนวนตรรกยะหรือฟังก์ชันตรรกยะสามารถทำได้โดยการเขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด และแยกตัวประกอบของตัวเศษและตัวส่วนออกจากกัน

การแยกตัวประกอบได้รับการพิจารณาครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณในกรณีของจำนวนเต็ม พวกเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิตซึ่งกล่าวว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะซึ่งไม่สามารถแยกตัวประกอบต่อไปเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 ได้ ยิ่งไปกว่านั้น การแยกตัวประกอบนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงลำดับของตัวประกอบ แม้ว่าการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม จะ เป็นเหมือนการผกผันของการคูณ แต่ก็มีความยากในเชิงอัลกอริทึม มากกว่ามาก ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่ถูกนำมาใช้ประโยชน์ในระบบการเข้ารหัส RSAเพื่อใช้การเข้ารหัสแบบกุญแจสาธารณะ

การแยกตัวประกอบพหุนามได้รับการศึกษามานานหลายศตวรรษแล้ว ในพีชคณิตเบื้องต้นการแยกตัวประกอบพหุนามช่วยลดปัญหาการหาค่ารากของพหุนามลงเหลือเพียงการหาค่ารากของตัวประกอบ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มหรือในฟิลด์จะมีคุณสมบัติการแยกตัวประกอบเฉพาะซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต โดยแทนที่จำนวนเฉพาะด้วยพหุนามที่ไม่สามารถ แยกตัวประกอบได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งพหุนามเอกตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์เป็น จำนวนเชิงซ้อนสามารถ แยกตัวประกอบได้เฉพาะ (โดยไม่คำนึงถึงลำดับ) เป็นพหุนามเชิงเส้นซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตในกรณีนี้ การแยกตัวประกอบสามารถทำได้ด้วยอัลกอริทึมการหาค่ารากกรณีของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มเป็นพื้นฐานสำหรับพีชคณิตคอมพิวเตอร์มีอัลกอริทึม คอมพิวเตอร์ที่มีประสิทธิภาพ สำหรับการคำนวณการแยกตัวประกอบ (แบบสมบูรณ์) ภายในวงแหวนของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ (ดูการแยกตัวประกอบของพหุนาม )

วงแหวนสลับที่ซึ่งมีคุณสมบัติการแยกตัวประกอบเฉพาะตัวเรียกว่าโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะตัวมีระบบจำนวนบางระบบเช่นวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิต บางประเภท ที่ไม่ใช่โดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะตัว อย่างไรก็ตาม วงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตมีคุณสมบัติที่อ่อนกว่าของโดเมนเดเดคินด์ กล่าว คืออุดมคติ สามารถแยกตัวประกอบได้ เฉพาะเป็นอุดมคติเฉพาะ เท่านั้น

การแยกตัวประกอบอาจหมายถึงการแยกส่วนทั่วไปของวัตถุทางคณิตศาสตร์ออกเป็นผลคูณของวัตถุที่เล็กกว่าหรือเรียบง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น ทุกฟังก์ชันสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นการประกอบกันของฟังก์ชันทั่วถึงกับฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเมทริกซ์ มี การแยกตัวประกอบเมทริกซ์หลายประเภทตัวอย่างเช่น ทุกเมทริกซ์มีการแยกตัวประกอบ LUP ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งเป็นผลคูณของ เมท ริกซ์สามเหลี่ยมล่างLที่มีค่าในแนวทแยงมุมทั้งหมดเท่ากับหนึ่งเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนUและเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนPนี่คือการกำหนดเมทริกซ์ของการกำจัดแบบเกาส์เซียน

ตามทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิต จำนวนเต็ม ทุกจำนวนที่มากกว่า 1 จะมีตัวประกอบเฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน (โดยไม่คำนึงถึงลำดับของตัวประกอบ) ซึ่งก็คือจำนวนเฉพาะที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบต่อไปเป็นผลคูณของจำนวนเต็มที่มากกว่าหนึ่งได้อีก

ในการคำนวณการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มnจำเป็นต้องมีอัลกอริทึมสำหรับการค้นหาตัวหารqของnหรือการตัดสินว่าnเป็นจำนวนเฉพาะ เมื่อพบตัวหารดังกล่าว การประยุกต์ใช้อัลกอริทึมนี้ซ้ำๆ กับตัวประกอบqและn / qจะให้การแยกตัวประกอบที่สมบูรณ์ของn ใน ที่สุด ^{[ 1 ]}

ในการหาตัวหารqของn (ถ้ามี) ก็เพียงพอที่จะทดสอบค่าq ทั้งหมด ที่ทำให้1 < qและq² ^≤ n อันที่จริง ถ้าrเป็นตัวหารของnโดยที่r² ^> nแล้วq = n / rก็จะเป็นตัวหารของn โดยที่q² ^≤ n ด้วย

ถ้าเราทดสอบค่าของqตามลำดับจากน้อยไปมาก ตัวหารตัวแรกที่พบจะต้องเป็นจำนวนเฉพาะ และตัวประกอบร่วมr = n / qจะต้องไม่มีตัวหารใดที่เล็กกว่าq ดังนั้น เพื่อให้ ได้การแยกตัวประกอบที่สมบูรณ์ จึงเพียงพอที่จะดำเนินการตามขั้นตอนวิธีต่อไปโดยการค้นหาตัวหารของrที่ไม่น้อยกว่าq และไม่มากกว่า√r

ไม่จำเป็นต้องทดสอบค่าq ทุกค่า เพื่อใช้วิธีการนี้ โดยหลักการแล้ว การทดสอบเฉพาะตัวหารเฉพาะก็เพียงพอแล้ว ซึ่งจำเป็นต้องมีตารางจำนวนเฉพาะที่อาจสร้างขึ้นได้ เช่น โดยใช้ตะแกรงของเอราโตสเธเนสเนื่องจากวิธีการแยกตัวประกอบทำงานโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับตะแกรงของเอราโตสเธเนส การทดสอบตัวหารเฉพาะจำนวนที่ไม่แน่ชัดว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่นั้นจึงมีประสิทธิภาพมากกว่า โดยทั่วไปแล้ว อาจเริ่มจากการทดสอบ 2, 3, 5 และจำนวนที่มากกว่า 5 ซึ่งหลักสุดท้ายเป็น 1, 3, 7, 9 และผลรวมของหลักต่างๆ ไม่ใช่พหุคูณของ 3

วิธีนี้ใช้ได้ผลดีสำหรับการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มขนาดเล็ก แต่ไม่มีประสิทธิภาพสำหรับจำนวนเต็มขนาดใหญ่ ตัวอย่างเช่นปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ไม่สามารถค้นพบจำนวนแฟร์มาต์ลำดับ ที่ 6 ได้

${\displaystyle 1+2^{2^{5}}=1+2^{32}=4\,294\,967\,297}$

ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ อันที่จริง การใช้วิธีข้างต้นจะต้องใช้มากกว่านั้นหาร10,000 ครั้ง สำหรับจำนวนที่มีทศนิยม 10 ตำแหน่ง 

มีอัลกอริทึมการแยกตัวประกอบที่มีประสิทธิภาพมากกว่านี้ อย่างไรก็ตาม อัลกอริทึมเหล่านั้นยังคงมีประสิทธิภาพค่อนข้างต่ำ เนื่องจากด้วยเทคโนโลยีในปัจจุบัน แม้แต่คอมพิวเตอร์ที่ทรงพลังที่สุดก็ยังไม่สามารถแยกตัวประกอบจำนวนที่มีทศนิยม 500 หลัก ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะสองจำนวนที่สุ่มเลือกมาได้ นี่จึงเป็นสิ่งที่ทำให้ระบบการเข้ารหัส RSAซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในการสื่อสารทางอินเทอร์เน็ต ที่ปลอดภัย มีความปลอดภัย

การจัดการนิพจน์เป็นพื้นฐานของพีชคณิตการแยกตัวประกอบเป็นหนึ่งในวิธีการจัดการนิพจน์ที่สำคัญที่สุดด้วยเหตุผลหลายประการ หากเราสามารถเขียนสมการให้อยู่ในรูปแยกตัวประกอบได้E ⋅ F = 0ปัญหาในการแก้สมการจะแยกออกเป็นสองปัญหาอิสระ (และโดยทั่วไปง่ายกว่า) คือE = 0และF = 0เมื่อนิพจน์สามารถแยกตัวประกอบได้ ตัวประกอบมักจะง่ายกว่ามาก และอาจให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับปัญหาได้ ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc}$

ซึ่งประกอบด้วยการคูณ 16 ครั้ง การลบ 4 ครั้ง และการบวก 3 ครั้ง สามารถแยกตัวประกอบได้เป็นนิพจน์ที่ง่ายกว่ามาก

${\displaystyle (xa)(xb)(xc),}$

โดยใช้เพียงการคูณสองครั้งและการลบสามครั้งเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น รูปแบบที่แยกตัวประกอบแล้วจะให้รากx = a , b , cเป็นรากของพหุนาม ทันที

ในทางกลับกัน การแยกตัวประกอบนั้นไม่สามารถทำได้เสมอไป และถึงแม้จะทำได้ ตัวประกอบก็ไม่ได้ง่ายกว่าเดิมเสมอไป ตัวอย่างเช่น${\displaystyle x^{10}-1}$สามารถแยกออกเป็นสองปัจจัยที่ไม่สามารถลดทอนได้${\displaystyle x-1}$และ${\displaystyle x^{9}+x^{8}+\cdots +x^{2}+x+1}$.

มีการพัฒนาวิธีการต่างๆ มากมายสำหรับการหาตัวประกอบ ซึ่งบางวิธีได้อธิบายไว้ด้านล่างนี้

การแก้สมการพีชคณิตอาจมองได้ว่าเป็นปัญหาของการแยกตัวประกอบพหุนามที่จริงแล้วทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตสามารถกล่าวได้ดังนี้: พหุนาม ทุกตัว ในตัวแปรx ที่มีดีกรี nและสัมประสิทธิ์ เป็น จำนวนเชิงซ้อน สามารถแยกตัวประกอบได้เป็นตัวประกอบเชิงเส้นn ตัว${\displaystyle x-a_{i},}$สำหรับi = 1, ..., nโดยที่aคือรากของพหุนาม^{[ 2 ]}แม้ว่าโครงสร้างของการแยกตัวประกอบจะทราบในกรณีเหล่านี้ แต่ aไม่สามารถคำนวณได้ในรูปของราก ( ราก ^ที่n ) ตามทฤษฎีบท Abel–Ruffiniในกรณีส่วนใหญ่ วิธีที่ดีที่สุดคือการคำนวณค่าโดยประมาณของรากด้วยอัลกอริทึมการค้นหาราก

รูปแบบที่จดจำได้

เอกลักษณ์หลายอย่างแสดงความเท่าเทียมกันระหว่างผลบวกและผลคูณ วิธีการข้างต้นสามารถนำมาใช้เพื่อให้ด้านผลบวกของเอกลักษณ์บางอย่างปรากฏในนิพจน์ ซึ่งสามารถแทนที่ด้วยผลคูณได้

ด้านล่างนี้คือเอกลักษณ์ที่ด้านซ้ายมักใช้เป็นรูปแบบ (ซึ่งหมายความว่าตัวแปรEและFที่ปรากฏในเอกลักษณ์เหล่านี้อาจแทนนิพจน์ย่อยใดๆ ของนิพจน์ที่ต้องแยกตัวประกอบ) ^{[ 6 ]}

• ผลต่างของกำลังสอง

${\displaystyle E^{2}-F^{2}=(E+F)(E-F)}$

ตัวอย่างเช่น,

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+&2ab+b^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}\\&=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=(a+b)^{2}-(x-y)^{2}\\&=(a+b+x-y)(a+b-x+y).\end{aligned}}}$

• ผลรวม/ผลต่างของลูกบาศก์สองลูก

${\displaystyle E^{3}+F^{3}=(E+F)(E^{2}-EF+F^{2})}$

${\displaystyle E^{3}-F^{3}=(E-F)(E^{2}+EF+F^{2})}$

• เอกลักษณ์ของคอชี

${\displaystyle a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)=(a+b)^{3}}$

${\displaystyle a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)=(a-b)^{3}}$

• ผลต่างของกำลังสี่สองกำลังสอง

${\displaystyle {\begin{aligned}E^{4}-F^{4}&=(E^{2}+F^{2})(E^{2}-F^{2})\\&=(E^{2}+F^{2})(E+F)(E-F)\end{aligned}}}$

• ผลรวม/ผลต่างของเลขยกกำลังn สองตัว

ในเอกลักษณ์ต่อไปนี้ ปัจจัยต่างๆ มักจะสามารถแยกย่อยออกเป็นปัจจัยเพิ่มเติมได้อีก:

• ผลต่าง เลขชี้กำลังคู่

${\displaystyle E^{2n}-F^{2n}=(E^{n}+F^{n})(E^{n}-F^{n})}$

• ผลต่าง เลขชี้กำลังคู่หรือคี่

${\displaystyle E^{n}-F^{n}=(E-F)(E^{n-1}+E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}+\cdots +EF^{n-2}+F^{n-1})=(E-F)\sum _{k=0}^{n-1}{E^{n-1-k}F^{k}}}$

นี่เป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าตัวประกอบอาจมีค่ามากกว่าผลรวมที่แยกตัวประกอบออกมามาก

• ผลรวม เลขชี้กำลังคี่

${\displaystyle E^{n}+F^{n}=(E+F)(E^{n-1}-E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}-\cdots -EF^{n-2}+F^{n-1})=(E+F)\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}{E^{n-1-k}F^{k}}}$

(ได้มาจากการเปลี่ยนFเป็น–Fในสูตรก่อนหน้า)

• ผลรวม เลขชี้กำลังคู่

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นกำลังของสองโดยทั่วไปแล้วจะไม่สามารถแยกตัวประกอบของนิพจน์นั้นได้โดยไม่ต้องใช้จำนวนเชิงซ้อน (ถ้าEและFมีจำนวนเชิงซ้อน อาจจะไม่เป็นเช่นนั้น) ถ้าnมีตัวหารเป็นเลขคี่ นั่นคือถ้าn = pqโดยที่p เป็น เลขคี่ เราสามารถใช้สูตรก่อนหน้านี้ (ในหัวข้อ "ผลรวม เลขชี้กำลังเป็นเลขคี่") มาประยุกต์ใช้ได้${\displaystyle (E^{q})^{p}+(F^{q})^{p}.}$

• พหุนามสามพจน์และสูตรลูกบาศก์

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^{2}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz=(x+y+z)^{3}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x+y)(y+z)(x+z)=(x+y+z)^{3}\\\end{aligned}}}$

• เอกลักษณ์อาร์แกนด์

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2})}$

${\displaystyle x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)}$

• การกระจายทวินาม

ทฤษฎีบททวินามให้รูปแบบที่สามารถจดจำได้ง่ายจากจำนวนเต็มที่ปรากฏอยู่ในนั้น

ในระดับต่ำ:

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}}$

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}}$

${\displaystyle a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}}$

${\displaystyle a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}}$

โดยทั่วไปแล้ว สัมประสิทธิ์ของรูปแบบที่ขยายแล้วของ${\displaystyle (a+b)^{n}}$และ${\displaystyle (a-b)^{n}}$คือสัมประสิทธิ์ทวินามที่ปรากฏในแถวที่nของสามเหลี่ยมปาสคาล

รากฐานแห่งความเป็นเอกภาพ

รากที่n ของเอกภาพคือจำนวนเชิงซ้อนซึ่งแต่ละตัวเป็นรากของพหุนาม${\displaystyle x^{n}-1.}$ดังนั้นตัวเลขเหล่านั้นจึงเป็นตัวเลข $${\displaystyle e^{2ik\pi /n}=\cos {\tfrac {2\pi k}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi k}{n}}}$$ สำหรับ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1.}$

ดังนั้น สำหรับนิพจน์EและF ใดๆ จะได้ว่า: $${\displaystyle E^{n}-F^{n}=(E-F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E-Fe^{2ik\pi /n}\right)}$$$${\displaystyle E^{n}+F^{n}=\prod _{k=0}^{n-1}\left(E-Fe^{(2k+1)i\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is even}}}$$$${\displaystyle E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E+Fe^{2ik\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is odd}}}$$

ถ้าEและFเป็นนิพจน์จริง และต้องการตัวประกอบจริง จะต้องแทนที่ ตัวประกอบคู่สั งยุคเชิงซ้อน ทุกคู่ ด้วยผลคูณของมัน เนื่องจากสังยุคเชิงซ้อนของ${\displaystyle e^{i\alpha }}$เป็น${\displaystyle e^{-i\alpha },}$และ $${\displaystyle \left(a-be^{i\alpha }\right)\left(a-be^{-i\alpha }\right)=a^{2}-ab\left(e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right)+b^{2}e^{i\alpha }e^{-i\alpha }=a^{2}-2ab\cos \,\alpha +b^{2},}$$ จะได้การแยกตัวประกอบจริงดังต่อไปนี้ (โดยการเปลี่ยนkเป็นn − kหรือn + 1 − kและใช้สูตรตรีโกณมิติ ตามปกติ ) $${\displaystyle {\begin{aligned}E^{2n}-F^{2n}&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\\&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}E^{2n}+F^{2n}&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}}$$

ค่าโคไซน์ที่ปรากฏในการแยกตัวประกอบเหล่านี้เป็นจำนวนพีชคณิตและสามารถแสดงในรูปของรากได้ (ซึ่งเป็นไปได้เพราะกลุ่มกาโลอิส ของพวกมัน เป็นกลุ่มวัฏจักร) อย่างไรก็ตาม นิพจน์รากเหล่านี้ซับซ้อนเกินกว่าจะนำไปใช้ได้ ยกเว้นสำหรับค่าn ที่ต่ำ ตัวอย่างเช่น $${\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2}).}$$$${\displaystyle a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),}$$$${\displaystyle a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{2}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),}$$

บ่อยครั้งที่เราต้องการการแยกตัวประกอบที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ การแยกตัวประกอบดังกล่าวเกี่ยวข้องกับพหุนามไซโคลโทมิก ในการแสดงการแยกตัวประกอบจำนวนตรรกยะของผลรวม ผลต่าง หรือกำลัง เราจำเป็นต้องมีสัญลักษณ์สำหรับการทำให้เป็นเอกพันธุ์ของพหุนาม : ถ้า${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}+\cdots +a_{n},}$การทำให้เป็นเนื้อเดียวกันของมันคือพหุนามสองตัวแปร${\displaystyle {\overline {P}}(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}.}$จากนั้น คนหนึ่งก็มี $${\displaystyle E^{n}-F^{n}=\prod _{k\mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),}$$$${\displaystyle E^{n}+F^{n}=\prod _{k\mid 2n,k\not \mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),}$$ โดยที่ผลคูณนั้นได้มาจากตัวหารทั้งหมดของnหรือตัวหารทั้งหมดของ2nที่ไม่หารn ลงตัว และ${\displaystyle Q_{n}(x)}$คือพหุนามไซโคลโทมิกตัวที่n

ตัวอย่างเช่น, $${\displaystyle a^{6}-b^{6}={\overline {Q}}_{1}(a,b){\overline {Q}}_{2}(a,b){\overline {Q}}_{3}(a,b){\overline {Q}}_{6}(a,b)=(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2}),}$$$${\displaystyle a^{6}+b^{6}={\overline {Q}}_{4}(a,b){\overline {Q}}_{12}(a,b)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}),}$$ เนื่องจากตัวหารของ 6 คือ 1, 2, 3, 6 และตัวหารของ 12 ที่ไม่หาร 6 คือ 4 และ 12

สำหรับพหุนาม การแยกตัวประกอบมีความเกี่ยวข้องอย่างมากกับปัญหาการแก้สมการพีชคณิตสมการพีชคณิตมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle P(x)\ \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \,a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=0,}$

โดยที่P ( x )เป็นพหุนามในxที่มี${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$ คำตอบของสมการนี้ (หรือเรียกว่ารากของพหุนาม) คือค่าrของxที่ทำให้

${\displaystyle P(r)=0.}$

ถ้า${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)}$ถ้า P ( x ) = 0เป็นการแยกตัวประกอบของ P(x) = 0 เป็นผลคูณของพหุนามสองตัว รากของP ( x )จะเป็นผลรวมของรากของQ ( x )และรากของR ( x )ดังนั้น การแก้สมการP ( x ) = 0 จึง ลดลงเหลือเพียงปัญหาที่ง่ายกว่าคือการแก้สมการQ ( x ) = 0และR ( x ) = 0

ในทางกลับกันทฤษฎีบทตัวประกอบกล่าวว่า ถ้าrเป็นรากของP ( x ) = 0แล้วP ( x )สามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้

${\displaystyle P(x)=(x-r)Q(x),}$

โดยที่Q ( x )คือผลหารของการหารแบบยุคลิดของP ( x ) = 0ด้วยตัวประกอบเชิงเส้น (ดีกรีหนึ่ง) x − r

ถ้าสัมประสิทธิ์ของP ( x )เป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตกล่าวว่าP ( x )มีรากเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน เมื่อใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบแบบเวียนซ้ำ จะได้ว่า

${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$

ที่ไหน${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$คือรากจริงหรือรากเชิงซ้อนของPโดยอาจมีบางส่วนซ้ำกันได้ การแยกตัวประกอบที่สมบูรณ์นี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงลำดับของตัวประกอบ

ถ้าสัมประสิทธิ์ของP ( x )เป็นจำนวนจริง โดยทั่วไปแล้วเราต้องการการแยกตัวประกอบที่ตัวประกอบมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ในกรณีนี้ การแยกตัวประกอบที่สมบูรณ์อาจมีตัวประกอบกำลังสอง (ดีกรีสอง) บางตัว การแยกตัวประกอบนี้สามารถอนุมานได้ง่ายจากการแยกตัวประกอบที่สมบูรณ์ข้างต้น อันที่จริง ถ้าr = a + ibเป็นรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงของP ( x )แล้วs = a − ibซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุค ของมัน ก็เป็นรากของP ( x ) ด้วย ดังนั้น ผลคูณ

${\displaystyle (x-r)(x-s)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}}$

เป็นตัวประกอบของP ( x )ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง การทำซ้ำเช่นนี้สำหรับตัวประกอบที่ไม่ใช่จำนวนจริงทั้งหมดจะให้การแยกตัวประกอบที่มีตัวประกอบเชิงเส้นหรือตัวประกอบกำลังสองที่เป็นจำนวนจริง

ในการคำนวณการแยกตัวประกอบจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนเหล่านี้ จำเป็นต้องใช้รากของพหุนาม ซึ่งอาจคำนวณได้ไม่แม่นยำนัก และอาจได้จากการประมาณค่าโดยใช้อัลกอริธึมการหาราก เท่านั้น

ในทางปฏิบัติ สมการพีชคณิตส่วนใหญ่ที่น่าสนใจมักมี สัมประสิทธิ์ เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะและเราอาจต้องการแยกตัวประกอบที่มีตัวประกอบประเภทเดียวกันทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิตสามารถขยายความไปยังกรณีนี้ได้ โดยระบุว่าพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะมีคุณสมบัติการแยกตัวประกอบเฉพาะตัวกล่าวคือ พหุนามทุกตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะสามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณได้

${\displaystyle P(x)=q\,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),}$

โดยที่qเป็นจำนวนตรรกยะ และ${\displaystyle P_{1}(x),\ldots ,P_{k}(x)}$คือพหุนามที่ไม่คงที่ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้และ เป็น พหุนามดั้งเดิมซึ่งหมายความว่าไม่มีพหุนามใดเลยที่เป็นพหุนาม ที่มีค่าคงที่${\displaystyle P_{i}(x)}$อาจเขียนได้ในรูปผลคูณของพหุนามสองตัว (ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม) ซึ่งไม่ใช่ทั้ง 1 และ −1 (จำนวนเต็มถือเป็นพหุนามดีกรีศูนย์) ยิ่งไปกว่านั้น การแยกตัวประกอบนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงลำดับของตัวประกอบและเครื่องหมายของตัวประกอบ

มีอัลกอริธึม ที่มีประสิทธิภาพ สำหรับการคำนวณการแยกตัวประกอบนี้ ซึ่งถูกนำไปใช้ในระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ ส่วนใหญ่ ดู การแยกตัวประกอบของพหุนามอย่างไรก็ตาม อัลกอริธึมเหล่านี้ซับซ้อนเกินกว่าที่จะใช้สำหรับการคำนวณด้วยกระดาษและดินสอ นอกจากวิธีการเชิงอนุมานข้างต้นแล้ว มีเพียงไม่กี่วิธีเท่านั้นที่เหมาะสมสำหรับการคำนวณด้วยมือ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะใช้ได้เฉพาะกับพหุนามดีกรีต่ำที่มีสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์น้อย วิธีการหลักๆ ดังกล่าวจะอธิบายในหัวข้อถัดไป

จำนวนเต็มและพหุนามบนฟิลด์มีคุณสมบัติการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน กล่าวคือ สมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นผลคูณของสมาชิกที่ผกผันได้ ( หน่วย ±1 ในกรณีของจำนวนเต็ม) และผลคูณของสมาชิกที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีก ( จำนวนเฉพาะในกรณีของจำนวนเต็ม) และการแยกตัวประกอบนี้จะไม่ซ้ำกัน ยกเว้นการจัดเรียงตัวประกอบใหม่และการสลับหน่วยระหว่างตัวประกอบ โดเมนจำนวนเต็มที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่าโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน (UFD)

ตัวหารร่วมมากมีอยู่ใน UFD แต่ไม่ใช่ว่าทุกโดเมนจำนวนเต็มที่มีตัวหารร่วมมาก (เรียกว่าโดเมน GCD ) จะเป็น UFD ทุกโดเมนอุดมคติหลักเป็น UFD

โดเมนแบบยุคลิดคือโดเมนเชิงจำนวนเต็มซึ่งมีการกำหนดการแบ่งแบบยุคลิดคล้ายกับการแบ่งจำนวนเต็ม โดเมนแบบยุคลิดทุกโดเมนเป็นโดเมนอุดมคติหลัก และดังนั้นจึงเป็น UFD (Unified Domain Functional Domain)

ในโดเมนแบบยุคลิด การหารแบบยุคลิดช่วยให้สามารถกำหนดอัลกอริทึมแบบยุคลิดสำหรับการคำนวณตัวหารร่วมมากได้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าจะมีอัลกอริทึมการแยกตัวประกอบอยู่จริง มีตัวอย่างที่ชัดเจนของฟิลด์Fที่ไม่มีอัลกอริทึมการแยกตัวประกอบใดๆ ในโดเมนแบบยุคลิดF [ x ]ของพหุนามเอกตัวแปรเหนือF

ในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตการศึกษาเกี่ยวกับสมการไดโอแฟนไทน์นำไปสู่การที่นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 19 นำเสนอการขยายความของจำนวนเต็มที่เรียกว่าจำนวนเต็มเชิง พีชคณิต วงแหวน แรกของจำนวนเต็มเชิงพีชคณิตที่ได้รับการพิจารณาคือจำนวนเต็มเกาส์เซียนและจำนวนเต็มไอเซนสไตน์ซึ่งมีคุณสมบัติร่วมกับจำนวนเต็มทั่วไปคือเป็นโดเมนอุดมคติหลักและด้วยเหตุนี้จึงมีคุณสมบัติการแยกตัวประกอบเฉพาะ

น่าเสียดายที่ในไม่ช้าก็ปรากฏว่าวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตส่วนใหญ่ไม่ใช่วงแหวนหลักและไม่มีการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}],}$ซึ่ง

$${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),}$$

และปัจจัยทั้งหมดเหล่านี้ไม่สามารถลดทอนได้

การขาดการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันนี้เป็นอุปสรรคสำคัญในการแก้สมการไดโอแฟนไทน์ ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ที่ผิดพลาดหลายครั้ง (ซึ่งอาจรวมถึง "การพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมอย่างแท้จริงของ แฟร์มาต์ซึ่งขอบกระดาษแคบเกินกว่าจะบรรจุได้" ) นั้นอาศัยสมมติฐานโดยนัยของการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน

ความยากลำบากนี้ได้รับการแก้ไขโดยเดเดคินด์ซึ่งพิสูจน์ว่าวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตมีการแยกตัวประกอบของอุดมคติ ที่ไม่ซ้ำกัน กล่าวคือ ในวงแหวนเหล่านี้ อุดมคติทุกตัวเป็นผลคูณของอุดมคติเฉพาะ และการแยกตัวประกอบนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวตามลำดับของตัวประกอบ โดเมนจำนวนเต็มที่มีคุณสมบัติการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันนี้เรียกว่าโดเมนเดเดคินด์พวกมันมีคุณสมบัติที่ดีหลายประการที่ทำให้พวกมันเป็นพื้นฐานในทฤษฎีจำนวนพีชคณิต

เมทริกซ์ริงเป็นเมทริกซ์ไม่สลับที่และไม่มีการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน: โดยทั่วไปแล้ว มีหลายวิธีในการเขียนเมทริกซ์เป็นผลคูณของเมทริกซ์ ดังนั้น ปัญหาการแยกตัวประกอบจึงประกอบด้วยการหาตัวประกอบที่มีประเภทที่กำหนด ตัวอย่างเช่นการแยกตัวประกอบ LUให้เมทริกซ์เป็นผลคูณของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างกับเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเนื่องจากสิ่งนี้ไม่สามารถทำได้เสมอไป โดยทั่วไปจึงพิจารณา "การแยกตัวประกอบ LUP" ซึ่งมีเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนเป็นตัวประกอบที่สาม

ดูหัวข้อการแยกตัวประกอบเมทริกซ์สำหรับประเภทการแยกตัวประกอบเมทริกซ์ที่พบได้บ่อยที่สุด

เมทริกซ์เชิงตรรกะแสดงถึงความสัมพันธ์แบบไบนารีและการคูณเมทริกซ์สอดคล้องกับการประกอบความสัมพันธ์การแยกความสัมพันธ์ผ่านการแยกตัวประกอบช่วยให้สามารถระบุลักษณะของความสัมพันธ์ได้ เช่นความสัมพันธ์แบบสองฟังก์ชัน

• วิธีการแยกตัวประกอบของออยเลอร์สำหรับจำนวนเต็ม
• วิธีการแยกตัวประกอบของแฟร์มาต์สำหรับจำนวนเต็ม
• การแยกตัวประกอบโมโนอิด
• การแบ่งส่วนแบบคูณ
• ตารางการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มแบบเกาส์เซียน

• Wolfram Alpha ก็สามารถแยกตัวประกอบได้เช่นกัน