ในตรีโกณมิติ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือความเท่าเทียมกัน ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ และเป็นจริงสำหรับทุกค่าของตัวแปร ที่ปรากฏ ซึ่งทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันนั้นมีค่า ในทางเรขาคณิต เอกลักษณ์เหล่านี้คือเอกลักษณ์ ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันบางอย่างของ มุม หนึ่งมุมหรือมากกว่านั้นซึ่งแตกต่างจากเอกลักษณ์ของสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ที่อาจเกี่ยวข้องกับมุม แต่ก็อาจเกี่ยวข้องกับความยาวด้านหรือความยาวอื่นๆ ของสามเหลี่ยม ด้วย
เอกลักษณ์เหล่านี้มีประโยชน์เมื่อใดก็ตามที่ต้องการลดรูปนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกโนเมตริก การประยุกต์ใช้ที่สำคัญอย่างหนึ่งคือการหาปริพันธ์ ของฟังก์ชันที่ไม่ใช่ตรีโกโนเมตริก เทคนิคทั่วไปคือการใช้กฎการแทนที่ด้วยฟังก์ชันตรีโกโนเมตริก ก่อน แล้วจึงลดรูปปริพันธ์ที่ได้ด้วยเอกลักษณ์ตรีโกโนเมตริก
เอกลักษณ์พีทาโกเรียน ฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกและส่วนกลับของฟังก์ชันเหล่านั้นบนวงกลมหนึ่งหน่วย สามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกัน กล่าวคือ อัตราส่วนระหว่างด้านที่สอดคล้องกันมีค่าเท่ากัน สำหรับ sin, cos และ tan รัศมีหนึ่งหน่วยจะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมที่กำหนดฟังก์ชันเหล่านั้น เอกลักษณ์ส่วนกลับเกิดขึ้นจากอัตราส่วนของด้านในสามเหลี่ยมที่เส้นหนึ่งหน่วยนี้ไม่ได้เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากอีกต่อไป สามเหลี่ยมที่แรเงาสีน้ำเงินแสดงถึงเอกลักษณ์และสามเหลี่ยมสีแดงแสดงว่า1 + cot 2 θ = csc 2 θ {\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta } tan 2 θ + 1 = sec 2 θ {\displaystyle \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta } ความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างค่าไซน์และค่าโคไซน์ นั้นกำหนดโดยเอกลักษณ์ของพีทาโกเรียน:
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 , {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}
ที่ซึ่งหมายถึงและหมายถึงsin 2 θ {\displaystyle \sin ^{2}\theta } ( sin θ ) 2 {\displaystyle {(\sin \theta )}^{2}} cos 2 θ {\displaystyle \cos ^{2}\theta } ( cos θ ) 2 . {\displaystyle {(\cos \theta )}^{2}.}
สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบทพีทาโกรัส และเป็นผลมาจากสมการของวงกลมหน่วย สมการนี้สามารถแก้หาค่าไซน์หรือโคไซน์ได้: x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
sin θ = ± 1 − cos 2 θ , cos θ = ± 1 − sin 2 θ . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}
โดยที่เครื่องหมายขึ้นอยู่กับควอดแรนต์ ของθ . {\displaystyle \theta .}
การหารเอกลักษณ์นี้ด้วย, , หรือทั้งสองอย่าง จะได้เอกลักษณ์ดังต่อไปนี้: sin 2 θ {\displaystyle \sin ^{2}\theta } cos 2 θ {\displaystyle \cos ^{2}\theta } 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 1 + tan 2 θ = sec 2 θ sec 2 θ + csc 2 θ = sec 2 θ csc 2 θ {\displaystyle {\begin{aligned}1+\cot ^{2}\theta &=\csc ^{2}\theta \\1+\tan ^{2}\theta &=\sec ^{2}\theta \\\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta &=\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}}
โดยใช้เอกลักษณ์เหล่านี้ เราสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกใดๆ ในรูปของฟังก์ชันอื่นๆ ได้ ( โดยไม่เกิน เครื่องหมายบวกหรือลบ):
จากการพิจารณาวงกลมหนึ่งหน่วย เราสามารถกำหนดคุณสมบัติต่อไปนี้ของฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกได้
การสะท้อน การแปลงพิกัด ( a , b ) เมื่อเลื่อนมุมสะท้อนทีละขั้นα {\displaystyle \alpha } π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} เมื่อทิศทางของเวกเตอร์ในปริภูมิยูคลิด ถูกแทนด้วยมุมมุมนี้จะถูกกำหนดโดยเวกเตอร์อิสระ (เริ่มต้นที่จุดกำเนิด) และเวกเตอร์หน่วยบวก แนวคิดเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับเส้นตรงในปริภูมิยูคลิดได้ เช่นกัน โดยที่มุมนั้นจะถูกกำหนดโดยเส้นขนานกับเส้นตรงที่กำหนดซึ่งผ่านจุดกำเนิดและแกนบวก ถ้าเส้นตรง (เวกเตอร์) ที่มีทิศทางถูกสะท้อนเกี่ยวกับเส้นตรงที่มีทิศทางมุมทิศทางของเส้นตรง (เวกเตอร์) ที่สะท้อนนี้จะมีค่าเท่ากับ θ , {\displaystyle \theta ,} x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} θ {\displaystyle \theta } α , {\displaystyle \alpha ,} θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} θ ′ = 2 α − θ . {\displaystyle \theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .}
ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้สำหรับมุมเฉพาะจะสอดคล้องกับเอกลักษณ์ง่ายๆ กล่าวคือ เท่ากัน หรือมีเครื่องหมายตรงข้าม หรือใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติเสริม สิ่งเหล่านี้ยังเป็นที่รู้จักในชื่อสูตรลด รูป[ 2 ] θ , θ ′ {\displaystyle \theta ,\;\theta ^{\prime }} α {\displaystyle \alpha }
θ {\displaystyle \theta } เอกลักษณ์ คู่/คี่ [ 3 ] α = 0 {\displaystyle \alpha =0} θ {\displaystyle \theta } มุมเสริม α = π 4 {\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}} θ {\displaystyle \theta } มุมเสริม α = π 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}} θ {\displaystyle \theta } α = 3 π 4 {\displaystyle \alpha ={\frac {3\pi }{4}}} θ {\displaystyle \theta } มุมคู่ควบ; เปรียบเทียบกับ α = π {\displaystyle \alpha =\pi } α = 0 {\displaystyle \alpha =0} sin ( − θ ) = − sin θ {\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta } sin ( π 2 − θ ) = cos θ {\displaystyle \sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta } sin ( π − θ ) = + sin θ {\displaystyle \sin(\pi -\theta )=+\sin \theta } sin ( 3 π 2 − θ ) = − cos θ {\displaystyle \sin \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta } sin ( 2 π − θ ) = − sin ( θ ) = sin ( − θ ) {\displaystyle \sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )} cos ( − θ ) = + cos θ {\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta } cos ( π 2 − θ ) = sin θ {\displaystyle \cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta } cos ( π − θ ) = − cos θ {\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta } cos ( 3 π 2 − θ ) = − sin θ {\displaystyle \cos \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sin \theta } cos ( 2 π − θ ) = + cos ( θ ) = cos ( − θ ) {\displaystyle \cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )} tan ( − θ ) = − tan θ {\displaystyle \tan(-\theta )=-\tan \theta } tan ( π 2 − θ ) = cot θ {\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta } tan ( π − θ ) = − tan θ {\displaystyle \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta } tan ( 3 π 2 − θ ) = + cot θ {\displaystyle \tan \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\cot \theta } tan ( 2 π − θ ) = − tan ( θ ) = tan ( − θ ) {\displaystyle \tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )} csc ( − θ ) = − csc θ {\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta } csc ( π 2 − θ ) = sec θ {\displaystyle \csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta } csc ( π − θ ) = + csc θ {\displaystyle \csc(\pi -\theta )=+\csc \theta } csc ( 3 π 2 − θ ) = − sec θ {\displaystyle \csc \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sec \theta } csc ( 2 π − θ ) = − csc ( θ ) = csc ( − θ ) {\displaystyle \csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )} sec ( − θ ) = + sec θ {\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta } sec ( π 2 − θ ) = csc θ {\displaystyle \sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta } sec ( π − θ ) = − sec θ {\displaystyle \sec(\pi -\theta )=-\sec \theta } sec ( 3 π 2 − θ ) = − csc θ {\displaystyle \sec \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\csc \theta } sec ( 2 π − θ ) = + sec ( θ ) = sec ( − θ ) {\displaystyle \sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )} cot ( − θ ) = − cot θ {\displaystyle \cot(-\theta )=-\cot \theta } cot ( π 2 − θ ) = tan θ {\displaystyle \cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta } cot ( π − θ ) = − cot θ {\displaystyle \cot(\pi -\theta )=-\cot \theta } cot ( 3 π 2 − θ ) = + tan θ {\displaystyle \cot \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\tan \theta } cot ( 2 π − θ ) = − cot ( θ ) = cot ( − θ ) {\displaystyle \cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )}
การเปลี่ยนแปลงและช่วงเวลา การแปลงพิกัด ( a , b ) เมื่อเลื่อนมุมทีละขั้นθ {\displaystyle \theta } π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} เลื่อนมุมฉาก ไปหนึ่งในสี่ของคาบ เลื่อนไปครึ่งคาบในมุมตรงข้าม เลื่อนด้วยมุมที่ตรงกัน เต็มคาบ [ 4 ] ระยะเวลา sin ( θ ± π 2 ) = ± cos θ {\displaystyle \sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta } sin ( θ + π ) = − sin θ {\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin \theta } sin ( θ + k ⋅ 2 π ) = + sin θ {\displaystyle \sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta } 2 π {\displaystyle 2\pi } cos ( θ ± π 2 ) = ∓ sin θ {\displaystyle \cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta } cos ( θ + π ) = − cos θ {\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos \theta } cos ( θ + k ⋅ 2 π ) = + cos θ {\displaystyle \cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta } 2 π {\displaystyle 2\pi } csc ( θ ± π 2 ) = ± sec θ {\displaystyle \csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta } csc ( θ + π ) = − csc θ {\displaystyle \csc(\theta +\pi )=-\csc \theta } csc ( θ + k ⋅ 2 π ) = + csc θ {\displaystyle \csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta } 2 π {\displaystyle 2\pi } sec ( θ ± π 2 ) = ∓ csc θ {\displaystyle \sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta } sec ( θ + π ) = − sec θ {\displaystyle \sec(\theta +\pi )=-\sec \theta } sec ( θ + k ⋅ 2 π ) = + sec θ {\displaystyle \sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta } 2 π {\displaystyle 2\pi } tan ( θ ± π 4 ) = tan θ ± 1 1 ∓ tan θ {\displaystyle \tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}} tan ( θ + π 2 ) = − cot θ {\displaystyle \tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta } tan ( θ + k ⋅ π ) = + tan θ {\displaystyle \tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta } π {\displaystyle \pi } cot ( θ ± π 4 ) = cot θ ∓ 1 1 ± cot θ {\displaystyle \cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }}} cot ( θ + π 2 ) = − tan θ {\displaystyle \cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta } cot ( θ + k ⋅ π ) = + cot θ {\displaystyle \cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta } π {\displaystyle \pi }
ป้าย เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับควอดแรนต์ของมุม ถ้าและsgn คือฟังก์ชัน เครื่องหมาย − π < θ ≤ π {\displaystyle {-\pi }<\theta \leq \pi }
sgn ( sin θ ) = sgn ( csc θ ) = { + 1 if 0 < θ < π − 1 if − π < θ < 0 0 if θ ∈ { 0 , π } sgn ( cos θ ) = sgn ( sec θ ) = { + 1 if − π 2 < θ < π 2 − 1 if − π < θ < − π 2 or π 2 < θ < π 0 if θ ∈ { − π 2 , π 2 } sgn ( tan θ ) = sgn ( cot θ ) = { + 1 if − π < θ < − π 2 or 0 < θ < π 2 − 1 if − π 2 < θ < 0 or π 2 < θ < π 0 if θ ∈ { − π 2 , 0 , π 2 , π } {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {\pi }{2}}}<\theta <{\tfrac {\pi }{2}}\\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {\pi }{2}}\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {\pi }{2}}<\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {\pi }{2}}\ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {\pi }{2}}\\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {\pi }{2}}}<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {\pi }{2}}<\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {\pi }{2}}},0,{\tfrac {\pi }{2}},\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}}
ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบร่วมกันดังนั้นสำหรับค่าθ ที่อยู่นอกช่วง ฟังก์ชันจะมีค่าซ้ำกัน (ดูหัวข้อ§ การเลื่อนและคาบ ด้านบน) เครื่องหมายของไซนูซอยด์หรือโคไซนูซอยด์สามารถใช้กำหนดคลื่นสี่เหลี่ยม มาตรฐาน ได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันและจะมีค่า±1 และสอดคล้องกับคลื่นสี่เหลี่ยมที่มีการเลื่อนเฟสเท่ากับ 2 π , {\displaystyle 2\pi ,} ( − π , π ] , {\displaystyle ({-\pi },\pi ],} sgn ( sin x ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(\sin x)} sgn ( cos x ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(\cos x)} π / 2
เอกลักษณ์ผลรวมและผลต่างของมุม การสร้างทางเรขาคณิตเพื่อหาเอกลักษณ์ตรีโกณมิติของผลรวมมุม แผนภาพแสดงเอกลักษณ์ความแตกต่างของมุมสำหรับและsin ( α − β ) {\displaystyle \sin(\alpha -\beta )} cos ( α − β ) {\displaystyle \cos(\alpha -\beta )} สิ่งเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่า ทฤษฎีบท (หรือสูตร ) การบวกและการลบมุม sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}
เอกลักษณ์ผลต่างมุมสำหรับและสามารถหาได้จากเวอร์ชันผลรวมมุม (และในทางกลับกัน) โดยการแทนที่และโดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าและนอกจากนี้ยังสามารถหาได้โดยใช้รูปภาพที่ดัดแปลงเล็กน้อยสำหรับเอกลักษณ์ผลรวมมุม ซึ่งแสดงไว้ในที่นี้ และยังสามารถมองได้ว่าเป็นการแสดงผลคูณจุด และผลคูณไขว้ ของเวกเตอร์สองตัวในรูปของโคไซน์และไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ ทั้งสองsin ( α − β ) {\displaystyle \sin(\alpha -\beta )} cos ( α − β ) {\displaystyle \cos(\alpha -\beta )} − β {\displaystyle -\beta } β {\displaystyle \beta } sin ( − β ) = − sin ( β ) {\displaystyle \sin(-\beta )=-\sin(\beta )} cos ( − β ) = cos ( β ) {\displaystyle \cos(-\beta )=\cos(\beta )}
เอกลักษณ์เหล่านี้สรุปไว้ในสองแถวแรกของตารางต่อไปนี้ ซึ่งรวมถึงเอกลักษณ์ผลบวกและผลต่างสำหรับฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกอื่นๆ ด้วย
ไซน์ sin ( α ± β ) {\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )} = {\displaystyle =} sin α cos β ± cos α sin β {\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta } [ 5 ] [ 6 ] โคไซน์ cos ( α ± β ) {\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )} = {\displaystyle =} cos α cos β ∓ sin α sin β {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta } [ 6 ] [ 7 ] แทนเจนต์ tan ( α ± β ) {\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )} = {\displaystyle =} tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β {\displaystyle {\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}} [ 6 ] [ 8 ] โคเซแคนต์ csc ( α ± β ) {\displaystyle \csc(\alpha \pm \beta )} = {\displaystyle =} sec α sec β csc α csc β sec α csc β ± csc α sec β {\displaystyle {\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}} [ 9 ] เซแคนท์ sec ( α ± β ) {\displaystyle \sec(\alpha \pm \beta )} = {\displaystyle =} sec α sec β csc α csc β csc α csc β ∓ sec α sec β {\displaystyle {\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}} [ 9 ] โคแทนเจนต์ cot ( α ± β ) {\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta )} = {\displaystyle =} cot α cot β ∓ 1 cot β ± cot α {\displaystyle {\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}} [ 6 ] [ 10 ] อาร์คซีน arcsin x ± arcsin y {\displaystyle \arcsin x\pm \arcsin y} = {\displaystyle =} arcsin ( x 1 − y 2 ± y 1 − x 2 y ) {\displaystyle \arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}{\vphantom {y}}}}\right)} [ 11 ] อาร์คโคซีน arccos x ± arccos y {\displaystyle \arccos x\pm \arccos y} = {\displaystyle =} arccos ( x y ∓ ( 1 − x 2 ) ( 1 − y 2 ) ) {\displaystyle \arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)} [ 12 ] อาร์คแทงเจนต์ arctan x ± arctan y {\displaystyle \arctan x\pm \arctan y} = {\displaystyle =} arctan ( x ± y 1 ∓ x y ) {\displaystyle \arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)} [ 13 ] อาร์คโคแทนเจนต์ arccot x ± arccot y {\displaystyle \operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y} = {\displaystyle =} arccot ( x y ∓ 1 y ± x ) {\displaystyle \operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)}
ค่าไซน์และโคไซน์ของผลรวมของมุมจำนวนอนันต์ เมื่ออนุกรมลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ แล้ว ∑ i = 1 ∞ θ i {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}
sin ( ∑ i = 1 ∞ θ i ) = ∑ odd k ≥ 1 ( − 1 ) k − 1 2 ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , … } | A | = k ( ∏ i ∈ A sin θ i ∏ i ∉ A cos θ i ) cos ( ∑ i = 1 ∞ θ i ) = ∑ even k ≥ 0 ( − 1 ) k 2 ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , … } | A | = k ( ∏ i ∈ A sin θ i ∏ i ∉ A cos θ i ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}}
เนื่องจากอนุกรมลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ จึงจำเป็นต้องเป็นเช่นนั้นและ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในเอกลักษณ์ทั้งสองนี้ ความไม่สมมาตรปรากฏขึ้นซึ่งไม่พบในกรณีของผลรวมของมุมที่มีจำนวนจำกัด: ในแต่ละผลคูณ จะมีตัวประกอบไซน์เพียงจำนวนจำกัด แต่มี ตัวประกอบโคไซน์จำนวน จำกัด พจน์ที่มีตัวประกอบไซน์จำนวนอนันต์จะต้องเท่ากับศูนย์ ∑ i = 1 ∞ θ i {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}} lim i → ∞ θ i = 0 , {\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,} lim i → ∞ sin θ i = 0 , {\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,} lim i → ∞ cos θ i = 1. {\textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.}
เมื่อมีเพียงจำนวนจำกัดของมุมที่ไม่เป็นศูนย์ ก็จะมีเพียงจำนวนจำกัดของพจน์ทางด้านขวาที่ไม่เป็นศูนย์เช่นกัน เพราะตัวประกอบไซน์ส่วนใหญ่จะเป็นศูนย์ ยกเว้นเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น ในแต่ละพจน์ ตัวประกอบโคไซน์ส่วนใหญ่จะเป็นหนึ่ง ยกเว้นเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น θ i {\displaystyle \theta _{i}}
เส้นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของผลรวม ให้(สำหรับ) เป็นพหุนามสมมาตรพื้นฐาน ดีกรีk ในตัวแปร สำหรับนั่นคือ e k {\displaystyle e_{k}} k = 0 , 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k=0,1,2,3,\ldots } x i = tan θ i {\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}} i = 0 , 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle i=0,1,2,3,\ldots ,}
e 0 = 1 e 1 = ∑ i x i = ∑ i tan θ i e 2 = ∑ i < j x i x j = ∑ i < j tan θ i tan θ j e 3 = ∑ i < j < k x i x j x k = ∑ i < j < k tan θ i tan θ j tan θ k ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}}
แล้ว
tan ( ∑ i θ i ) = e 1 − e 3 + e 5 − ⋯ e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ . {\displaystyle \tan {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}.} tan ( ∑ i θ i ) = sin ( ∑ i θ i ) / ∏ i cos θ i cos ( ∑ i θ i ) / ∏ i cos θ i = ∑ odd k ≥ 1 ( − 1 ) k − 1 2 ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , … } | A | = k ∏ i ∈ A tan θ i ∑ even k ≥ 0 ( − 1 ) k 2 ∑ A ⊆ { 1 , 2 , 3 , … } | A | = k ∏ i ∈ A tan θ i = e 1 − e 3 + e 5 − ⋯ e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ cot ( ∑ i θ i ) = e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ e 1 − e 3 + e 5 − ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\[10pt]&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[10pt]\cot {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}
จำนวนพจน์ทางด้านขวาขึ้นอยู่กับจำนวนพจน์ทางด้านซ้าย
ตัวอย่างเช่น: tan ( θ 1 + θ 2 ) = e 1 e 0 − e 2 = x 1 + x 2 1 − x 1 x 2 = tan θ 1 + tan θ 2 1 − tan θ 1 tan θ 2 , tan ( θ 1 + θ 2 + θ 3 ) = e 1 − e 3 e 0 − e 2 = ( x 1 + x 2 + x 3 ) − ( x 1 x 2 x 3 ) 1 − ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) , tan ( θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 ) = e 1 − e 3 e 0 − e 2 + e 4 = ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) − ( x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 ) 1 − ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 ) + ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}
และอื่นๆ กรณีที่มีพจน์จำนวนจำกัดเท่านั้นสามารถพิสูจน์ได้ด้วย การเหนี่ยว นำทางคณิตศาสตร์ [ 14 ] [ 15 ]
สมมติว่าและและ a , b , c , d , p , q ∈ R {\textstyle a,b,c,d,p,q\in \mathbb {R} } i = − 1 {\textstyle i={\sqrt {-1}}}
a i + b c i + d = p i + q {\displaystyle {\frac {ai+b}{ci+d}}=pi+q} และให้เป็นจำนวนใดๆ ซึ่ง สมมติว่าดังนั้นเศษส่วนข้างต้นจึงไม่สามารถเป็น φ {\textstyle \varphi } tan φ = c d . {\textstyle \tan \varphi ={\tfrac {c}{d}}.} a c ≠ b d {\textstyle {\tfrac {a}{c}}\neq {\tfrac {b}{d}}} 0 / 0 [ 16 ] θ ∈ R {\textstyle \theta \in \mathbb {R} }
a tan θ + b c tan θ + d = p tan ( θ − φ ) + q . {\displaystyle {\frac {a\tan \theta +b}{c\tan \theta +d}}=p\tan(\theta -\varphi )+q.} (ในกรณีที่ตัวส่วนของเศษส่วนนี้เป็น 0 เราจะกำหนดค่าของเศษส่วนเป็นโดยที่สัญลักษณ์ไม่ได้หมายถึงหรือแต่หมายถึงค่าที่เข้าใกล้โดยการเคลื่อนที่ไปในทิศทางบวกหรือลบ ทำให้การเติมเต็มเส้นตรงนั้นในทางโทโพโลยีเป็นวงกลม) ∞ {\textstyle \infty } ∞ {\textstyle \infty } + ∞ {\textstyle +\infty } − ∞ {\textstyle -\infty } ∞ {\textstyle \infty } R ∪ { ∞ } {\textstyle \mathbb {R} \cup \{\,\infty \,\}}
จากเอกลักษณ์นี้สามารถแสดงให้เห็นได้อย่างรวดเร็วว่าตระกูลของ ตัวแปรสุ่ม ที่มีการแจกแจงแบบโคชี ทั้งหมด นั้นปิดภายใต้การแปลงเศษส่วนเชิงเส้น ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ทราบกันมาตั้งแต่ปี พ.ศ. 2519 [ 17 ]
เส้นตัดและเส้นร่วมตัดของผลรวม sec ( ∑ i θ i ) = ∏ i sec θ i e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ csc ( ∑ i θ i ) = ∏ i sec θ i e 1 − e 3 + e 5 − ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}
โดยที่พหุนามสมมาตรพื้นฐานดีกรี k ในตัวแปรn ตัวและจำนวนพจน์ในตัวส่วนและจำนวนตัวประกอบในผลคูณในตัวเศษขึ้นอยู่กับจำนวนพจน์ในผลรวมทางด้านซ้าย[ 18 ] e k {\displaystyle e_{k}} x i = tan θ i , {\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i},} i = 1 , … , n , {\displaystyle i=1,\ldots ,n,}
ตัวอย่างเช่น,
sec ( α + β + γ ) = sec α sec β sec γ 1 − tan α tan β − tan α tan γ − tan β tan γ csc ( α + β + γ ) = sec α sec β sec γ tan α + tan β + tan γ − tan α tan β tan γ . {\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}}
แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทของปโตเลมีและเอกลักษณ์ตรีโกณมิติผลรวมมุมของไซน์ ทฤษฎีบทของปโตเลมีกล่าวว่า ผลรวมของผลคูณของความยาวด้านตรงข้ามเท่ากับผลคูณของความยาวเส้นทแยงมุม เมื่อความยาวด้านเหล่านั้นแสดงในรูปของค่าไซน์และโคไซน์ดังแสดงในรูปข้างต้น จะได้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติผลรวมมุมของไซน์ดังนี้: sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ทฤษฎีบทของปโตเลมีมีความสำคัญในประวัติศาสตร์ของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เนื่องจากเป็นวิธีการพิสูจน์ผลลัพธ์ที่เทียบเท่ากับสูตรผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์เป็นครั้งแรก ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสวงกลม ดังแสดงในรูปประกอบ ผลรวมของผลคูณของความยาวด้านตรงข้ามเท่ากับผลคูณของความยาวเส้นทแยงมุม ในกรณีพิเศษที่เส้นทแยงมุมหรือด้านใดด้านหนึ่งเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ทฤษฎีบทนี้จะนำไปสู่เอกลักษณ์ตรีโกณมิติผลรวมและผลต่างของมุมโดยตรง[ 19 ] A B C D {\displaystyle ABCD}
ตามทฤษฎีบทของทาเลส และ ต่าง ก็ เป็นมุมฉาก สามเหลี่ยมมุมฉาก และ ต่างก็ มีด้านตรงข้ามมุมฉากร่วมกันซึ่งมีความยาว 1 ดังนั้น ด้าน, และ จึง เท่า กัน∠ D A B {\displaystyle \angle DAB} ∠ D C B {\displaystyle \angle DCB} D A B {\displaystyle DAB} D C B {\displaystyle DCB} B D ¯ {\displaystyle {\overline {BD}}} A B ¯ = sin α {\displaystyle {\overline {AB}}=\sin \alpha } A D ¯ = cos α {\displaystyle {\overline {AD}}=\cos \alpha } B C ¯ = sin β {\displaystyle {\overline {BC}}=\sin \beta } C D ¯ = cos β {\displaystyle {\overline {CD}}=\cos \beta }
ตามทฤษฎีมุมภายในวงกลม มุมศูนย์กลาง ที่ คอร์ดทำกับจุดศูนย์กลางของวงกลมจะเป็นสองเท่าของมุมนั่นคือดังนั้น สามเหลี่ยมสีแดงคู่สมมาตรแต่ละคู่จะมีมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากับ สามเหลี่ยมแต่ละคู่มีด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวดังนั้นความยาวของคือ นั่น คือเส้นทแยงมุมอีกเส้นของรูปสี่เหลี่ยมคือเส้นผ่านศูนย์กลางที่มีความยาว 1 ดังนั้นผลคูณของความยาวเส้นทแยงมุมก็คือ เช่นกัน A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} ∠ A D C {\displaystyle \angle ADC} 2 ( α + β ) {\displaystyle 2(\alpha +\beta )} α + β {\displaystyle \alpha +\beta } 1 2 {\textstyle {\frac {1}{2}}} A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} 2 × 1 2 sin ( α + β ) {\textstyle 2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )} sin ( α + β ) {\displaystyle \sin(\alpha +\beta )} sin ( α + β ) {\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}
เมื่อนำค่าเหล่านี้มาแทนในข้อความของทฤษฎีบทของปโตเลมีที่ว่าจะได้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติผลรวมมุมสำหรับไซน์: สูตรผลต่างมุมสำหรับสามารถหาได้ในทำนองเดียวกันโดยให้ด้านทำหน้าที่เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางแทน[ 19 ] | A C ¯ | ⋅ | B D ¯ | = | A B ¯ | ⋅ | C D ¯ | + | A D ¯ | ⋅ | B C ¯ | {\displaystyle |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|} sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β {\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta } sin ( α − β ) {\displaystyle \sin(\alpha -\beta )} C D ¯ {\displaystyle {\overline {CD}}} B D ¯ {\displaystyle {\overline {BD}}}
การสาธิตเชิงภาพของสูตรมุมสองเท่าสำหรับค่าไซน์ สำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่วข้างต้นที่มีด้านยาวหนึ่งหน่วยและมุม 2θ พื้นที่ 1 / 2 sin θ cos θ เมื่อวางตะแคง พื้นที่เดียวกันคือ 1 / 2 θ บาป 2 θ = 2ซิน θ cos θ .
สูตรสำหรับมุมสามเท่า[ 20 ]
sin ( 3 θ ) = 3 sin θ − 4 sin 3 θ = 4 sin θ sin ( π 3 − θ ) sin ( π 3 + θ ) cos ( 3 θ ) = 4 cos 3 θ − 3 cos θ = 4 cos θ cos ( π 3 − θ ) cos ( π 3 + θ ) tan ( 3 θ ) = 3 tan θ − tan 3 θ 1 − 3 tan 2 θ = tan θ tan ( π 3 − θ ) tan ( π 3 + θ ) cot ( 3 θ ) = 3 cot θ − cot 3 θ 1 − 3 cot 2 θ sec ( 3 θ ) = sec 3 θ 4 − 3 sec 2 θ csc ( 3 θ ) = csc 3 θ 3 csc 2 θ − 4 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3\theta )&=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta &&=4\sin \theta \sin \left({\tfrac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\tfrac {\pi }{3}}+\theta \right)\\\cos(3\theta )&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta &&=4\cos \theta \cos \left({\tfrac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\tfrac {\pi }{3}}+\theta \right)\\\tan(3\theta )&={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}&&=\tan \theta \tan \left({\tfrac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\tfrac {\pi }{3}}+\theta \right)\\\cot(3\theta )&={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}\\\sec(3\theta )&={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}\\\csc(3\theta )&={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}\\\end{aligned}}}
สูตรสำหรับมุมหลายมุม[ 22 ]
sin ( n θ ) = ∑ k ∈ O + n ( − 1 ) k − 1 2 ( n k ) cos n − k θ sin k θ = sin θ ∑ i = 0 n + 1 2 ∑ j = 0 i ( − 1 ) i − j ( n 2 i + 1 ) ( i j ) cos n − 2 ( i − j ) − 1 θ = sin ( θ ) ∑ k = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( − 1 ) k ( 2 cos ( θ ) ) n − 2 k − 1 ( n − k − 1 k ) = 2 ( n − 1 ) ∏ k = 0 n − 1 sin ( k π n + θ ) cos ( n θ ) = ∑ k ∈ E 0 + n ( − 1 ) k 2 ( n k ) cos n − k θ sin k θ = ∑ i = 0 n 2 ∑ j = 0 i ( − 1 ) i − j ( n 2 i ) ( i j ) cos n − 2 ( i − j ) θ = ∑ k = 0 ⌊ n 2 ⌋ ( − 1 ) k ( 2 cos ( θ ) ) n − 2 k ( n − k k ) n 2 n − 2 k cos ( ( 2 n + 1 ) θ ) = ( − 1 ) n 2 2 n ∏ k = 0 2 n cos ( k π 2 n + 1 − θ ) cos ( 2 n θ ) = ( − 1 ) n 2 2 n − 1 ∏ k = 0 2 n − 1 cos ( ( 1 + 2 k ) π 4 n − θ ) tan ( n θ ) = ∑ k ∈ O + n ( − 1 ) k − 1 2 ( n k ) tan k θ ∑ k ∈ E 0 + n ( − 1 ) k 2 ( n k ) tan k θ O + = Positive odd integers E 0 + = Non-negative even integers {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k\in \mathbb {O} ^{+}}^{n}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{\frac {n+1}{2}}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta \\&=\sin(\theta )\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\bigl (}2\cos(\theta ){\bigr )}^{n-2k-1}{n-k-1 \choose k}\\&=2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}+\theta \right)\\\cos(n\theta )&=\sum _{k\in \mathbb {E} _{0}^{+}}^{n}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{\frac {n}{2}}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta \\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{(2\cos(\theta ))}^{n-2k}{n-k \choose k}{\frac {n}{2n-2k}}\\\cos {\bigl (}(2n+1)\theta {\bigr )}&=(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos \left({\frac {k\pi }{2n+1}}-\theta \right)\\\cos(2n\theta )&=(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos \left({\frac {(1+2k)\pi }{4n}}-\theta \right)\\\tan(n\theta )&={\frac {\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {O} ^{+}}^{n}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {E} _{0}^{+}}^{n}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}\\\mathbb {O} ^{+}&={\text{Positive odd integers}}\\\mathbb {E} _{0}^{+}&={\text{Non-negative even integers}}\\\end{aligned}}}
วิธีเชบิเชฟ วิธีเชบิเชฟ เป็นอัลกอริทึมแบบ เรียกซ้ำ สำหรับการค้นหาสูตรมุมหลายเท่าลำดับที่n โดยรู้ค่าลำดับ ที่ n และลำดับที่ n [ 23 ] ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} ( n − 2 ) {\displaystyle (n-2)}
cos ( n x ) {\displaystyle \cos(nx)} cos ( ( n − 1 ) x ) {\displaystyle \cos((n-1)x)} cos ( ( n − 2 ) x ) {\displaystyle \cos((n-2)x)} cos ( x ) {\displaystyle \cos(x)}
cos ( n x ) = 2 cos x cos ( ( n − 1 ) x ) − cos ( ( n − 2 ) x ) . {\displaystyle \cos(nx)=2\cos x\cos {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}-\cos {\bigl (}(n-2)x{\bigr )}.}
สามารถพิสูจน์ได้โดยการนำสูตรต่างๆ มารวมกัน
cos ( ( n − 1 ) x + x ) = cos ( ( n − 1 ) x ) cos x − sin ( ( n − 1 ) x ) sin x cos ( ( n − 1 ) x − x ) = cos ( ( n − 1 ) x ) cos x + sin ( ( n − 1 ) x ) sin x {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\bigl (}(n-1)x+x{\bigr )}&=\cos {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}\cos x-\sin {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}\sin x\\\cos {\bigl (}(n-1)x-x{\bigr )}&=\cos {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}\cos x+\sin {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}\sin x\end{aligned}}}
จากการเหนี่ยวนำจะได้ว่าเป็นพหุนามของ ซึ่งเรียกว่าพหุนามเชบิเชฟชนิดแรกT_n ดังนั้น[ 24 ] cos ( n x ) {\displaystyle \cos(nx)} cos x {\displaystyle \cos x} cos ( n θ ) = T n ( cos θ ) {\displaystyle \cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )}
ในทำนองเดียวกันสามารถคำนวณได้จาก , และด้วย sin ( n x ) {\displaystyle \sin(nx)} sin ( ( n − 1 ) x ) {\displaystyle \sin((n-1)x)} sin ( ( n − 2 ) x ) {\displaystyle \sin((n-2)x)} cos x {\displaystyle \cos x} sin ( n x ) = 2 cos x sin ( ( n − 1 ) x ) − sin ( ( n − 2 ) x ) {\displaystyle \sin(nx)=2\cos x\sin {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}-\sin {\bigl (}(n-2)x{\bigr )}}
สามารถพิสูจน์ได้โดยการบวกสูตรสำหรับและsin ( ( n − 1 ) x + x ) {\displaystyle \sin((n-1)x+x)} sin ( ( n − 1 ) x − x ) . {\displaystyle \sin((n-1)x-x).}
เพื่อใช้ในลักษณะเดียวกับวิธีของเชบิเชฟ สำหรับเส้นสัมผัส เราสามารถเขียนได้ดังนี้:
tan ( n x ) = tan ( ( n − 1 ) x ) + tan x 1 − tan ( ( n − 1 ) x ) tan x . {\displaystyle \tan(nx)={\frac {\tan {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}+\tan x}{1-\tan {\bigl (}(n-1)x{\bigr )}\tan x}}\,.}
sin θ 2 = sgn ( sin θ 2 ) 1 − cos θ 2 cos θ 2 = sgn ( cos θ 2 ) 1 + cos θ 2 tan θ 2 = 1 − cos θ sin θ = sin θ 1 + cos θ = csc θ − cot θ = tan θ 1 + sec θ = sgn ( sin θ ) 1 − cos θ 1 + cos θ = − 1 + sgn ( cos θ ) 1 + tan 2 θ tan θ cot θ 2 = 1 + cos θ sin θ = sin θ 1 − cos θ = csc θ + cot θ = sgn ( sin θ ) 1 + cos θ 1 − cos θ sec θ 2 = sgn ( cos θ 2 ) 2 1 + cos θ csc θ 2 = sgn ( sin θ 2 ) 2 1 − cos θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}} [ 25 ] [ 26 ]
อีกด้วย tan η ± θ 2 = sin η ± sin θ cos η + cos θ tan ( θ 2 + π 4 ) = sec θ + tan θ 1 − sin θ 1 + sin θ = | 1 − tan θ 2 | | 1 + tan θ 2 | {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}}
โต๊ะ สามารถแสดงสิ่งเหล่านี้ได้โดยใช้เอกลักษณ์ผลบวกและผลต่าง หรือสูตรมุมทวีคูณ
ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ สูตรมุมคู่[ 27 ] [ 28 ] sin ( 2 θ ) = 2 sin θ cos θ = 2 tan θ 1 + tan 2 θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}} cos ( 2 θ ) = cos 2 θ − sin 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 sin 2 θ = 1 − tan 2 θ 1 + tan 2 θ {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\theta )&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}} tan ( 2 θ ) = 2 tan θ 1 − tan 2 θ {\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}} cot ( 2 θ ) = cot 2 θ − 1 2 cot θ {\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}} สูตรมุมสามเท่า[ 24 ] [ 29 ] sin ( 3 θ ) = − sin 3 θ + 3 cos 2 θ sin θ = − 4 sin 3 θ + 3 sin θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3\theta )&=-\sin ^{3}\theta +3\cos ^{2}\theta \sin \theta \\&=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta \end{aligned}}} cos ( 3 θ ) = cos 3 θ − 3 sin 2 θ cos θ = 4 cos 3 θ − 3 cos θ {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(3\theta )&=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}} tan ( 3 θ ) = 3 tan θ − tan 3 θ 1 − 3 tan 2 θ {\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}} cot ( 3 θ ) = 3 cot θ − cot 3 θ 1 − 3 cot 2 θ {\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}} สูตรครึ่งมุม[ 25 ] [ 26 ] sin θ 2 = sgn ( sin θ 2 ) 1 − cos θ 2 ( or sin 2 θ 2 = 1 − cos θ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}} cos θ 2 = sgn ( cos θ 2 ) 1 + cos θ 2 ( or cos 2 θ 2 = 1 + cos θ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}} tan θ 2 = csc θ − cot θ = ± 1 − cos θ 1 + cos θ = sin θ 1 + cos θ = 1 − cos θ sin θ tan η + θ 2 = sin η + sin θ cos η + cos θ tan ( θ 2 + π 4 ) = sec θ + tan θ 1 − sin θ 1 + sin θ = | 1 − tan θ 2 | | 1 + tan θ 2 | tan θ 2 = tan θ 1 + 1 + tan 2 θ for θ ∈ ( − π 2 , π 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[3pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[5pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[5pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[5pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\\[5pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\tan \theta }{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\text{for }}\theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}} cot θ 2 = csc θ + cot θ = ± 1 + cos θ 1 − cos θ = sin θ 1 − cos θ = 1 + cos θ sin θ {\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[4pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}}
ข้อเท็จจริงที่ว่าสูตรมุมสามเท่าสำหรับไซน์และโคไซน์เกี่ยวข้องเฉพาะกำลังของฟังก์ชันเดียว ทำให้เราสามารถเชื่อมโยงปัญหาทางเรขาคณิตของ การแบ่ง มุมออกเป็นสามส่วน โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด กับปัญหาทางพีชคณิตของการแก้สมการกำลังสาม ซึ่งทำให้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนนั้นโดยทั่วไปเป็นไปไม่ได้ โดยใช้เครื่องมือที่มีอยู่
มีสูตรสำหรับการคำนวณเอกลักษณ์ตรีโกณมิติสำหรับมุมหนึ่งในสามอยู่ แต่ต้องหาค่าศูนย์ของสมการกำลัง สาม 4x³ − 3x + d = 0 โดยที่x d คือค่าที่ทราบของฟังก์ชัน โคไซน์ ที่มุมเต็ม อย่างไรก็ตาม ค่าดิสคริมิแนนต์ ของสมการนี้เป็นบวก ดังนั้นสมการนี้จึงมีรากจริงสามราก (ซึ่งมีเพียงหนึ่งรากเท่านั้นที่เป็นคำตอบสำหรับโคไซน์ของมุมหนึ่งในสาม) คำตอบเหล่านี้ไม่มีคำตอบใดที่สามารถลดทอน เป็น นิพจน์พีชคณิต จริงได้เนื่องจากมีการใช้จำนวนเชิงซ้อนตัวกลางภายใต้ราก ที่ สาม
ได้มาจากการแก้ปัญหาสูตรโคไซน์มุมสองเท่าเวอร์ชันที่สองและสาม
ไซน์ โคไซน์ อื่น sin 2 θ = 1 − cos ( 2 θ ) 2 {\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}} cos 2 θ = 1 + cos ( 2 θ ) 2 {\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}} sin 2 θ cos 2 θ = 1 − cos ( 4 θ ) 8 {\displaystyle \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(4\theta )}{8}}} sin 3 θ = 3 sin θ − sin ( 3 θ ) 4 {\displaystyle \sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin(3\theta )}{4}}} cos 3 θ = 3 cos θ + cos ( 3 θ ) 4 {\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}} sin 3 θ cos 3 θ = 3 sin ( 2 θ ) − sin ( 6 θ ) 32 {\displaystyle \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin(2\theta )-\sin(6\theta )}{32}}} sin 4 θ = 3 − 4 cos ( 2 θ ) + cos ( 4 θ ) 8 {\displaystyle \sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}} cos 4 θ = 3 + 4 cos ( 2 θ ) + cos ( 4 θ ) 8 {\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}} sin 4 θ cos 4 θ = 3 − 4 cos ( 4 θ ) + cos ( 8 θ ) 128 {\displaystyle \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(4\theta )+\cos(8\theta )}{128}}} sin 5 θ = 10 sin θ − 5 sin ( 3 θ ) + sin ( 5 θ ) 16 {\displaystyle \sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta )+\sin(5\theta )}{16}}} cos 5 θ = 10 cos θ + 5 cos ( 3 θ ) + cos ( 5 θ ) 16 {\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta )+\cos(5\theta )}{16}}} sin 5 θ cos 5 θ = 10 sin ( 2 θ ) − 5 sin ( 6 θ ) + sin ( 10 θ ) 512 {\displaystyle \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin(2\theta )-5\sin(6\theta )+\sin(10\theta )}{512}}}
สูตรการลดกำลังของโคไซน์: แผนภาพประกอบ สามเหลี่ยมสีแดง สีส้ม และสีน้ำเงินล้วนคล้ายกัน และสามเหลี่ยมสีแดงและสีส้มเท่ากันทุกประการ ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมสีน้ำเงินมีความยาวมุมฉากคือดังนั้นฐานของสามเหลี่ยมนั้นมีความยาวความยาวนั้นเท่ากับผลรวมของความยาวของและนั่นคือดังนั้นการหารทั้งสองข้างด้วยจะได้สูตรการลดกำลังของโคไซน์: สูตรครึ่งมุมของโคไซน์สามารถหาได้โดยการแทนที่ด้วยและถอดรากที่สองของทั้งสองข้าง:A D ¯ {\displaystyle {\overline {AD}}} 2 cos θ {\displaystyle 2\cos \theta } ∠ D A E {\displaystyle \angle DAE} θ {\displaystyle \theta } A E ¯ {\displaystyle {\overline {AE}}} 2 cos 2 θ {\displaystyle 2\cos ^{2}\theta } B D ¯ {\displaystyle {\overline {BD}}} A F ¯ {\displaystyle {\overline {AF}}} 1 + cos ( 2 θ ) {\displaystyle 1+\cos(2\theta )} 2 cos 2 θ = 1 + cos ( 2 θ ) {\displaystyle 2\cos ^{2}\theta =1+\cos(2\theta )} 2 {\displaystyle 2} cos 2 θ = {\displaystyle \cos ^{2}\theta =} 1 2 ( 1 + cos ( 2 θ ) ) {\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\cos(2\theta ))} θ {\displaystyle \theta } θ / 2 {\displaystyle \theta /2} cos ( θ / 2 ) = ± ( 1 + cos θ ) / 2 . {\textstyle \cos \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1+\cos \theta \right)/2}}.} สูตรลดกำลังของฟังก์ชันไซน์: แผนภาพประกอบ สามเหลี่ยมสีน้ำเงินและสีเขียวที่แรเงา และสามเหลี่ยมที่ขีดเส้นสีแดงล้วนเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกัน และทั้งหมดมีมุม θ ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมที่ขีดเส้นสีแดงมีความยาว θ ดังนั้นด้าน ประกอบมุมฉากจึง มี ความยาว θ ส่วนของเส้นตรง θ มีความยาว θ และผลรวมของความยาวของ θ และ θ เท่ากับความยาวของθ ซึ่งคือ 1 ดังนั้น θ = 1 การลบ θ ออกจากทั้งสองข้างและหารด้วย 2 จะได้สูตรลดกำลังของฟังก์ชันไซน์: θ = 1 สูตรครึ่งมุมของฟังก์ชันไซน์สามารถหาได้โดยการแทนที่ θ ด้วย θ และถอดรากที่สองของทั้งสองข้าง: โปรดสังเกตว่ารูปนี้ยังแสดงให้เห็นในส่วนของเส้นตรงแนวตั้ง θ ว่า θ = 1E B D {\displaystyle EBD} θ {\displaystyle \theta } B D ¯ {\displaystyle {\overline {BD}}} 2 sin θ {\displaystyle 2\sin \theta } D E ¯ {\displaystyle {\overline {DE}}} 2 sin 2 θ {\displaystyle 2\sin ^{2}\theta } A E ¯ {\displaystyle {\overline {AE}}} cos 2 θ {\displaystyle \cos 2\theta } A E ¯ {\displaystyle {\overline {AE}}} D E ¯ {\displaystyle {\overline {DE}}} A D ¯ {\displaystyle {\overline {AD}}} cos 2 θ + 2 sin 2 θ = 1 {\displaystyle \cos 2\theta +2\sin ^{2}\theta =1} cos 2 θ {\displaystyle \cos 2\theta } sin 2 θ = {\displaystyle \sin ^{2}\theta =} 1 2 ( 1 − cos ( 2 θ ) ) {\textstyle {\frac {1}{2}}(1-\cos(2\theta ))} θ {\displaystyle \theta } θ / 2 {\displaystyle \theta /2} sin ( θ / 2 ) = ± ( 1 − cos θ ) / 2 . {\textstyle \sin \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1-\cos \theta \right)/2}}.} E B ¯ {\displaystyle {\overline {EB}}} sin 2 θ = 2 sin θ cos θ {\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }
โดยทั่วไปแล้ว ในแง่ของกำลังของหรือข้อความต่อไปนี้เป็นจริง และสามารถอนุมานได้โดยใช้สูตรของเดอ มัวร์ สูตรของออยเลอร์ และทฤษฎีบททวิ นาม sin θ {\displaystyle \sin \theta } cos θ {\displaystyle \cos \theta }
ถ้าn คือ ... cos n θ {\displaystyle \cos ^{n}\theta } sin n θ {\displaystyle \sin ^{n}\theta } n เป็นจำนวนคี่ cos n θ = 2 2 n ∑ k = 0 n − 1 2 ( n k ) cos ( ( n − 2 k ) θ ) {\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}} sin n θ = 2 2 n ∑ k = 0 n − 1 2 ( − 1 ) ( n − 1 2 − k ) ( n k ) sin ( ( n − 2 k ) θ ) {\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}} n เป็นเลขคู่ cos n θ = 1 2 n ( n n 2 ) + 2 2 n ∑ k = 0 n 2 − 1 ( n k ) cos ( ( n − 2 k ) θ ) {\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}} sin n θ = 1 2 n ( n n 2 ) + 2 2 n ∑ k = 0 n 2 − 1 ( − 1 ) ( n 2 − k ) ( n k ) cos ( ( n − 2 k ) θ ) {\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}}
เอกลักษณ์ผลคูณเป็นผลรวมและผลรวมเป็นผลคูณ การพิสูจน์เอกลักษณ์โคไซน์ผลรวมและผลต่างสำหรับการคำนวณโปรสตาเฟอรีซิสโดยใช้สามเหลี่ยมหน้าจั่ว เอกลักษณ์ผลคูณเป็นผลรวม[ 30 ] โปรสตาเฟอรีซิส สามารถพิสูจน์ได้โดยการขยายด้านขวาโดยใช้ทฤษฎีบทการบวกมุม ในอดีต สี่ข้อแรกเหล่านี้เรียกว่าสูตรของเวอร์เนอร์ ตามชื่อ ของ โยฮันเนส เวอร์เนอร์ ผู้ใช้สูตรเหล่านี้ในการคำนวณทางดาราศาสตร์[ 31 ] การปรับแอมพลิจูด สำหรับการประยุกต์ใช้สูตรผลคูณเป็นผลรวม และบีท (อะคูสติก) และตัวตรวจจับเฟส สำหรับการประยุกต์ใช้สูตรผลรวมเป็นผลคูณ
เอกลักษณ์ผลคูณเป็นผลรวม ผลคูณของค่าไซน์หรือโคไซน์สองค่าที่มีมุมต่างกัน สามารถแปลงเป็นผลรวมของฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกของผลรวมและผลต่างของมุมเหล่านั้นได้:
cos θ cos φ = 1 2 ( cos ( θ − φ ) + cos ( θ + φ ) ) , sin θ sin φ = 1 2 ( cos ( θ − φ ) − cos ( θ + φ ) ) , sin θ cos φ = 1 2 ( sin ( θ + φ ) + sin ( θ − φ ) ) , cos θ sin φ = 1 2 ( sin ( θ + φ ) − sin ( θ − φ ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta \,\cos \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ){\bigr )},\\[5mu]\sin \theta \,\sin \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ){\bigr )},\\[5mu]\sin \theta \,\cos \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ){\bigr )},\\[5mu]\cos \theta \,\sin \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ){\bigr )}.\end{aligned}}} tan θ tan φ = cos ( θ − φ ) − cos ( θ + φ ) cos ( θ − φ ) + cos ( θ + φ ) , tan θ tan φ = sin ( θ + φ ) + sin ( θ − φ ) sin ( θ + φ ) − sin ( θ − φ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\tan \theta \,\tan \varphi &={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}},\\[5mu]{\frac {\tan \theta }{\tan \varphi }}&={\frac {\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}{\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}.\end{aligned}}}
โดยทั่วไปแล้ว สำหรับผลคูณของค่าไซน์หรือโคไซน์จำนวนใดๆ ก็ตาม ∏ k = 1 n cos θ k = 1 2 n ∑ e ∈ S cos ( e 1 θ 1 + ⋯ + e n θ n ) where e = ( e 1 , … , e n ) ∈ S = { 1 , − 1 } n , ∏ k = 1 n sin θ k = ( − 1 ) ⌊ n 2 ⌋ 2 n { ∑ e ∈ S cos ( e 1 θ 1 + ⋯ + e n θ n ) ∏ j = 1 n e j if n is even , ∑ e ∈ S sin ( e 1 θ 1 + ⋯ + e n θ n ) ∏ j = 1 n e j if n is odd . {\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[5mu]&{\text{where }}e=(e_{1},\ldots ,e_{n})\in S=\{1,-1\}^{n},\\\prod _{k=1}^{n}\sin \theta _{k}&={\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\displaystyle \sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is even}},\\\displaystyle \sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is odd}}.\end{cases}}\end{aligned}}}
เอกลักษณ์ผลรวมเป็นผลคูณ แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมและผลคูณของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ สามเหลี่ยมมุมฉากสีน้ำเงินมีมุม θ และสามเหลี่ยมมุมฉากสีแดงมีมุมθ ทั้งสองมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 1 มุมเสริมที่เรียกว่า θ และθ ถูกสร้างขึ้นเพื่อให้θ และ θ = θ และ θ = θ ดังนั้น θ และ θ = θ ซึ่งทำให้สามารถสร้างสามเหลี่ยมที่มีเส้นขอบสีม่วงที่เท่ากันทุกประการสองรูป คือ θ และθ โดยแต่ละรูปมีด้านตรงข้ามมุมฉากและมุม θ ที่ฐาน ผลรวมของความสูงของสามเหลี่ยมสีแดงและสีน้ำเงินคือ θ = 1 และ θ = 2 ซึ่งเท่ากับสองเท่าของความสูงของสามเหลี่ยมสีม่วงรูปหนึ่ง นั่นคือ θ = 1 เมื่อเขียน θ และθ ในสมการนั้นในรูปของ θ และ θ จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมและ ผลคูณของฟังก์ชันไซน์ คือ θ = 1 ในทำนองเดียวกัน ผลรวมของความกว้างของสามเหลี่ยมสีแดงและสีน้ำเงินจะให้ความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชันโคไซน์θ {\displaystyle \theta } φ {\displaystyle \varphi } p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} p = 1 2 ( θ + φ ) {\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )} q = 1 2 ( θ − φ ) {\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi )} θ = p + q {\displaystyle \theta =p+q} φ = p − q {\displaystyle \varphi =p-q} A F G {\displaystyle AFG} F C E {\displaystyle FCE} cos q {\displaystyle \cos q} p {\displaystyle p} sin θ + sin φ {\displaystyle \sin \theta +\sin \varphi } 2 sin p cos q {\displaystyle 2\sin p\cos q} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} θ {\displaystyle \theta } φ {\displaystyle \varphi } sin θ + sin φ = 2 sin 1 2 ( θ + φ ) cos 1 2 ( θ − φ ) {\displaystyle \sin \theta +\sin \varphi =2\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi )} ผลรวมของไซน์หรือโคไซน์ของมุมสองมุมสามารถแปลงเป็นผลคูณของไซน์หรือโคไซน์ของค่าเฉลี่ยและครึ่งหนึ่งของผลต่างของมุมได้: [ 32 ]
sin θ + sin φ = 2 sin 1 2 ( θ + φ ) cos 1 2 ( θ − φ ) , sin θ − sin φ = 2 cos 1 2 ( θ + φ ) sin 1 2 ( θ − φ ) , cos θ + cos φ = 2 cos 1 2 ( θ + φ ) cos 1 2 ( θ − φ ) , cos θ − cos φ = − 2 sin 1 2 ( θ + φ ) sin 1 2 ( θ − φ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta +\sin \varphi &=2\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ),\\[5mu]\sin \theta -\sin \varphi &=2\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ),\\[5mu]\cos \theta +\cos \varphi &=2\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ),\\[5mu]\cos \theta -\cos \varphi &=-2\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ).\end{aligned}}}
ผลรวมของแทนเจนต์ของมุมสองมุมสามารถแปลงเป็นผลหารของไซน์ของมุมหารด้วยผลคูณของโคไซน์ได้: [ 32 ] tan θ ± tan φ = sin ( θ ± φ ) cos θ cos φ . {\displaystyle \tan \theta \pm \tan \varphi ={\frac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\cos \theta \,\cos \varphi }}.}
Charles Hermite ได้แสดงเอกลักษณ์ต่อไปนี้[ 33 ] จำนวนเชิงซ้อน ซึ่งไม่มีจำนวนเชิงซ้อนใดที่แตกต่างกันด้วยผลคูณจำนวนเต็มของ π ให้ a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
A n , k = ∏ 1 ≤ j ≤ n j ≠ k cot ( a k − a j ) {\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})}
(โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเป็นผลิตภัณฑ์ที่ว่างเปล่า คือ 1) จากนั้น A 1 , 1 , {\displaystyle A_{1,1},}
cot ( z − a 1 ) ⋯ cot ( z − a n ) = cos n π 2 + ∑ k = 1 n A n , k cot ( z − a k ) . {\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).}
ตัวอย่างที่ไม่ธรรมดาที่ง่ายที่สุดคือกรณี n = 2
cot ( z − a 1 ) cot ( z − a 2 ) = − 1 + cot ( a 1 − a 2 ) cot ( z − a 1 ) + cot ( a 2 − a 1 ) cot ( z − a 2 ) . {\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).}
ผลคูณจำกัดของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สำหรับจำนวนเต็มn , m ที่เป็นจำนวน เฉพาะสัมพัทธ์
∏ k = 1 n ( 2 a + 2 cos ( 2 π k m n + x ) ) = 2 ( T n ( a ) + ( − 1 ) n + m cos ( n x ) ) {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)}
โดยที่T คือพหุนามเชบิ เชฟ
ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันไซน์
∏ k = 1 n − 1 sin ( k π n ) = n 2 n − 1 . {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.}
โดยทั่วไปสำหรับจำนวนเต็มn > 0 [ 34 ]
sin ( n x ) = 2 n − 1 ∏ k = 0 n − 1 sin ( k π n + x ) = 2 n − 1 ∏ k = 1 n sin ( k π n − x ) . {\displaystyle \sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}+x\right)=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}-x\right).}
หรือเขียนในแง่ของหน้าที่ของ คอร์ด crd x ≡ 2 sin 1 2 x {\textstyle \operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2}}x}
crd ( n x ) = ∏ k = 1 n crd ( 2 k π n − x ) . {\displaystyle \operatorname {crd} (nx)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {crd} \left({\frac {2k\pi }{n}}-x\right).}
สิ่งนี้มาจากการแยกตัวประกอบของพหุนาม ออกเป็นตัวประกอบเชิงเส้น (ดูรากที่หนึ่ง ): สำหรับจำนวนเชิงซ้อนz ใดๆ และจำนวนเต็มn > 0 z n − 1 {\textstyle z^{n}-1}
z n − 1 = ∏ k = 1 n ( z − exp 2 k i π n ) . {\displaystyle z^{n}-1=\prod _{k=1}^{n}\left(z-\exp {\frac {2ki\pi }{n}}\right).}
การรวมเชิงเส้น ในบางวัตถุประสงค์ เป็นเรื่องสำคัญที่จะต้องทราบว่าการรวมกันเชิงเส้น ของคลื่นไซน์ที่มีคาบหรือความถี่เดียวกัน แต่มีเฟส ต่างกัน ก็ยังคงได้เป็นคลื่นไซน์ที่มีคาบหรือความถี่เดียวกัน แต่มีเฟสต่างกันเช่นกัน สิ่งนี้มีประโยชน์ในการปรับข้อมูล ไซน์ให้ เข้ากับแบบจำลอง เนื่องจากข้อมูลที่วัดหรือสังเกตได้มีความสัมพันธ์เชิงเส้นกับตัวแปร ที่ไม่ทราบค่า a และb ของ ฐาน ส่วนประกอบเฟสตรงกันและเฟสตั้งฉาก ด้านล่าง ส่งผลให้เมท ริกซ์จาโคเบียน ง่ายขึ้นเมื่อเทียบกับเมทริกซ์ของ และc {\displaystyle c} φ {\displaystyle \varphi }
ไซน์และโคไซน์ การรวมเชิงเส้นหรือการบวกฮาร์มอนิกของคลื่นไซน์และโคไซน์เทียบเท่ากับคลื่นไซน์เดี่ยวที่มีการเลื่อนเฟสและแอมพลิจูดที่ปรับขนาด[ 35 ] [ 36 ]
a cos x + b sin x = c cos ( x + φ ) {\displaystyle a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )}
โดยที่และถูกกำหนดไว้ดังนี้: c {\displaystyle c} φ {\displaystyle \varphi }
c = sgn ( a ) a 2 + b 2 , φ = arctan ( − b a ) , {\displaystyle {\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &=\arctan \left(-{\frac {b}{a}}\right),\end{aligned}}}
เนื่องจากa ≠ 0. {\displaystyle a\neq 0.}
การเลื่อนเฟสตามอำเภอใจ โดยทั่วไปแล้ว สำหรับการเลื่อนเฟสใดๆ เราจะได้ว่า
a sin ( x + θ a ) + b sin ( x + θ b ) = c sin ( x + φ ) {\displaystyle a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )}
ที่ไหนและตอบสนอง: c {\displaystyle c} φ {\displaystyle \varphi }
c 2 = a 2 + b 2 + 2 a b cos ( θ a − θ b ) , tan φ = a sin θ a + b sin θ b a cos θ a + b cos θ b . {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}}
ไซนูซอยด์มากกว่าสองอัน กรณีทั่วไปอ่านว่า[ 36 ]
∑ i a i sin ( x + θ i ) = a sin ( x + θ ) , {\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),} a 2 = ∑ i , j a i a j cos ( θ i − θ j ) {\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})} tan θ = ∑ i a i sin θ i ∑ i a i cos θ i . {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.}
เอกลักษณ์เหล่านี้ ซึ่งตั้งชื่อตามโจเซฟ หลุยส์ ลากรองจ์ ได้แก่: [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] ∑ k = 0 n sin k θ = cos 1 2 θ − cos ( ( n + 1 2 ) θ ) 2 sin 1 2 θ ∑ k = 1 n cos k θ = − sin 1 2 θ + sin ( ( n + 1 2 ) θ ) 2 sin 1 2 θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sin k\theta &={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\theta -\cos \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\\[5pt]\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta &={\frac {-\sin {\tfrac {1}{2}}\theta +\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\end{aligned}}} θ ≢ 0 ( mod 2 π ) . {\displaystyle \theta \not \equiv 0{\pmod {2\pi }}.}
ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องอีกอย่างหนึ่งคือเคอร์เนลของ Dirichlet :
D n ( θ ) = 1 + 2 ∑ k = 1 n cos k θ = sin ( ( n + 1 2 ) θ ) sin 1 2 θ . {\displaystyle D_{n}(\theta )=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta ={\frac {\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}.}
เอกลักษณ์ที่คล้ายกันคือ[ 40 ]
∑ k = 1 n cos ( 2 k − 1 ) α = sin ( 2 n α ) 2 sin α . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha ={\frac {\sin(2n\alpha )}{2\sin \alpha }}.}
การพิสูจน์มีดังต่อไปนี้ โดยใช้เอกลักษณ์ผลรวมและผลต่างของมุม จาก นั้น ลองพิจารณาสูตรต่อไปนี้ sin ( A + B ) − sin ( A − B ) = 2 cos A sin B . {\displaystyle \sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B.}
2 sin α ∑ k = 1 n cos ( 2 k − 1 ) α = 2 sin α cos α + 2 sin α cos 3 α + 2 sin α cos 5 α + ⋯ + 2 sin α cos ( 2 n − 1 ) α {\displaystyle 2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos 3\alpha +2\sin \alpha \cos 5\alpha +\cdots +2\sin \alpha \cos(2n-1)\alpha }
2 sin α ∑ k = 1 n cos ( 2 k − 1 ) α = ∑ k = 1 n ( sin ( 2 k α ) − sin ( 2 ( k − 1 ) α ) ) = ( sin 2 α − sin 0 ) + ( sin 4 α − sin 2 α ) + ( sin 6 α − sin 4 α ) + ⋯ + ( sin ( 2 n α ) − sin ( 2 ( n − 1 ) α ) ) = sin ( 2 n α ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha \\&\quad =\sum _{k=1}^{n}(\sin(2k\alpha )-\sin(2(k-1)\alpha ))\\&\quad =(\sin 2\alpha -\sin 0)+(\sin 4\alpha -\sin 2\alpha )+(\sin 6\alpha -\sin 4\alpha )+\cdots +(\sin(2n\alpha )-\sin(2(n-1)\alpha ))\\&\quad =\sin(2n\alpha ).\end{aligned}}}
ดังนั้น การหารสูตรนี้ด้วย จึงเป็นการพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์ 2 sin α {\displaystyle 2\sin \alpha }
ถ้ากำหนดโดยการแปลงเศษส่วนเชิงเส้น และในทำนองเดียวกัน แล้ว f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ( x ) = ( cos α ) x − sin α ( sin α ) x + cos α , {\displaystyle f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},} g ( x ) = ( cos β ) x − sin β ( sin β ) x + cos β , {\displaystyle g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},} f ( g ( x ) ) = g ( f ( x ) ) = ( cos ( α + β ) ) x − sin ( α + β ) ( sin ( α + β ) ) x + cos ( α + β ) . {\displaystyle f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.}
กล่าวโดยสรุป หากเรายอมให้สิ่งที่เราเรียกว่าข้างต้นเป็นไปเช่นนั้นแล้ว α {\displaystyle \alpha } f α {\displaystyle f_{\alpha }} f {\displaystyle f} f α ∘ f β = f α + β . {\displaystyle f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.}
ถ้าคือความชันของเส้นตรง แล้วคือความชันของการหมุนเส้นตรงนั้นเป็นมุมx {\displaystyle x} f ( x ) {\displaystyle f(x)} − α . {\displaystyle -\alpha .}
ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน สูตรของออยเลอร์ระบุว่า สำหรับจำนวนจริงx ใดๆ : [ 41 ] i คือหน่วยจินตนาการ การแทนค่า − x สำหรับx ทำให้เราได้ว่า: e i x = cos x + i sin x , {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,} e − i x = cos ( − x ) + i sin ( − x ) = cos x − i sin x . {\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x.}
สมการทั้งสองนี้สามารถใช้เพื่อแก้หาค่าโคไซน์และไซน์ในรูปของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง[ 42 ] [ 43 ] cos x = e i x + e − i x 2 {\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}} sin x = e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}
สูตรเหล่านี้มีประโยชน์สำหรับการพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติอื่นๆ อีกมากมาย ตัวอย่างเช่น e i ( θ + φ )e iθ e iφ
cos( θ + φ ) + i sin( θ + φ ) = (cos θ + i sin θ ) (cos φ + i sin φ ) = (cos θ cos φ − sin θ sin φ ) + i ( cos θ sin φ + sin θ cos φ )
การที่ส่วนจริงของด้านซ้ายเท่ากับส่วนจริงของด้านขวา เป็นสูตรการบวกมุมสำหรับฟังก์ชันโคไซน์ ส่วนการที่ส่วนจินตนาการเท่ากัน ทำให้ได้สูตรการบวกมุมสำหรับฟังก์ชันไซน์
ตารางต่อไปนี้แสดงฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกและฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเหล่านั้นในรูปของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม เชิงซ้อน
การทำงาน ฟังก์ชันผกผัน[ 44 ] sin θ = e i θ − e − i θ 2 i {\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}} arcsin x = − i ln ( i x + 1 − x 2 ) {\displaystyle \arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)} cos θ = e i θ + e − i θ 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}} arccos x = − i ln ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle \arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)} tan θ = − i e i θ − e − i θ e i θ + e − i θ {\displaystyle \tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}} arctan x = i 2 ln ( i + x i − x ) {\displaystyle \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)} csc θ = 2 i e i θ − e − i θ {\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}} arccsc x = − i ln ( i x + 1 − 1 x 2 ) {\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\,\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)} sec θ = 2 e i θ + e − i θ {\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}} arcsec x = − i ln ( 1 x + i 1 − 1 x 2 ) {\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)} cot θ = i e i θ + e − i θ e i θ − e − i θ {\displaystyle \cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}} arccot x = i 2 ln ( x − i x + i ) {\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)} cis θ = e i θ {\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }} arccis x = − i ln x {\displaystyle \operatorname {arccis} x=-i\ln x}
ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกเชิงซ้อน ฟังก์ชันตรีโกณมิติอาจอนุมานได้จากฟังก์ชันไฮเปอร์โบ ลิก ที่มีอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน สูตรสำหรับความสัมพันธ์แสดงไว้ด้านล่าง[ 45 ] [ 46 ] sin x = − i sinh ( i x ) cos x = cosh ( i x ) tan x = − i tanh ( i x ) cot x = i coth ( i x ) sec x = sech ( i x ) csc x = i csch ( i x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=-i\sinh(ix)\\\cos x&=\cosh(ix)\\\tan x&=-i\tanh(ix)\\\cot x&=i\coth(ix)\\\sec x&=\operatorname {sech} (ix)\\\csc x&=i\operatorname {csch} (ix)\\\end{aligned}}}
การขยายซีรีส์ เมื่อใช้ การขยาย อนุกรมกำลัง เพื่อกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติ จะได้เอกลักษณ์ต่อไปนี้: [ 47 ]
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}}
สำหรับการประยุกต์ใช้กับฟังก์ชันพิเศษ สูตร ผลคูณอนันต์ ต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติมีประโยชน์: [ 48 ] [ 49 ]
sin x = x ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 n 2 ) , cos x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 ( n − 1 2 ) ) 2 ) , sinh x = x ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x 2 π 2 n 2 ) , cosh x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x 2 π 2 ( n − 1 2 ) ) 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right),\\[10mu]\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right).\end{aligned}}}
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน เอกลักษณ์ต่อไปนี้ให้ผลลัพธ์ของการประกอบฟังก์ชันตรีโกณมิติกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน[ 50 ]
sin ( arcsin x ) = x cos ( arcsin x ) = 1 − x 2 tan ( arcsin x ) = x 1 − x 2 sin ( arccos x ) = 1 − x 2 cos ( arccos x ) = x tan ( arccos x ) = 1 − x 2 x sin ( arctan x ) = x 1 + x 2 cos ( arctan x ) = 1 1 + x 2 tan ( arctan x ) = x sin ( arccsc x ) = 1 x cos ( arccsc x ) = 1 − 1 x 2 tan ( arccsc x ) = 1 x 1 − 1 x 2 sin ( arcsec x ) = 1 − 1 x 2 cos ( arcsec x ) = 1 x tan ( arcsec x ) = x 1 − 1 x 2 sin ( arccot x ) = 1 1 + x 2 cos ( arccot x ) = x 1 + x 2 tan ( arccot x ) = 1 x {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\arcsin x)&=x&\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cos(\arccos x)&=x&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arctan x)&=x\\\sin(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x}}&\cos(\operatorname {arccsc} x)&={\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}&\tan(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}\\\sin(\operatorname {arcsec} x)&={\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}&\cos(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {1}{x}}&\tan(\operatorname {arcsec} x)&=x{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\\\sin(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arccot} x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}}
การหาตัวผกผันการคูณ ของทั้งสองข้างของสมการแต่ละสมการข้างต้น จะได้สมการสำหรับ ด้านขวาของสูตรข้างต้นจะถูกพลิกกลับเสมอ ตัวอย่างเช่น สมการสำหรับคือ: ในขณะที่สมการสำหรับและคือ: csc = 1 sin , sec = 1 cos , and cot = 1 tan . {\displaystyle \csc ={\frac {1}{\sin }},\;\sec ={\frac {1}{\cos }},{\text{ and }}\cot ={\frac {1}{\tan }}.} cot ( arcsin x ) {\displaystyle \cot(\arcsin x)} cot ( arcsin x ) = 1 tan ( arcsin x ) = 1 x 1 − x 2 = 1 − x 2 x {\displaystyle \cot(\arcsin x)={\frac {1}{\tan(\arcsin x)}}={\frac {1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}} csc ( arccos x ) {\displaystyle \csc(\arccos x)} sec ( arccos x ) {\displaystyle \sec(\arccos x)} csc ( arccos x ) = 1 sin ( arccos x ) = 1 1 − x 2 and sec ( arccos x ) = 1 cos ( arccos x ) = 1 x . {\displaystyle \csc(\arccos x)={\frac {1}{\sin(\arccos x)}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad {\text{ and }}\quad \sec(\arccos x)={\frac {1}{\cos(\arccos x)}}={\frac {1}{x}}.}
เอกลักษณ์ต่อไปนี้ได้มาจากการอนุมานจากเอกลักษณ์การสะท้อน เอกลักษณ์ เหล่านี้จะเป็นจริงเมื่อใดก็ตามที่และอยู่ในโดเมนของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง x , r , s , − x , − r , {\displaystyle x,r,s,-x,-r,} − s {\displaystyle -s} π 2 = arcsin ( x ) + arccos ( x ) = arctan ( r ) + arccot ( r ) = arcsec ( s ) + arccsc ( s ) π = arccos ( x ) + arccos ( − x ) = arccot ( r ) + arccot ( − r ) = arcsec ( s ) + arcsec ( − s ) 0 = arcsin ( x ) + arcsin ( − x ) = arctan ( r ) + arctan ( − r ) = arccsc ( s ) + arccsc ( − s ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{9}{\frac {\pi }{2}}~&=~\arcsin(x)&&+\arccos(x)~&&=~\arctan(r)&&+\operatorname {arccot}(r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arccsc}(s)\\[0.4ex]\pi ~&=~\arccos(x)&&+\arccos(-x)~&&=~\operatorname {arccot}(r)&&+\operatorname {arccot}(-r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arcsec}(-s)\\[0.4ex]0~&=~\arcsin(x)&&+\arcsin(-x)~&&=~\arctan(r)&&+\arctan(-r)~&&=~\operatorname {arccsc}(s)&&+\operatorname {arccsc}(-s)\\[1.0ex]\end{alignedat}}}
นอกจากนี้[ 51 ] arctan x + arctan 1 x = { π 2 , if x > 0 − π 2 , if x < 0 arccot x + arccot 1 x = { π 2 , if x > 0 3 π 2 , if x < 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\{\frac {3\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\end{aligned}}} arccos 1 x = arcsec x and arcsec 1 x = arccos x {\displaystyle \arccos {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x} arcsin 1 x = arccsc x and arccsc 1 x = arcsin x {\displaystyle \arcsin {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccsc} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x}
ฟังก์ชันอาร์คแทงเจนต์ สามารถขยายเป็นอนุกรมได้ดังนี้: [ 52 ] arctan ( n x ) = ∑ m = 1 n arctan x 1 + ( m − 1 ) m x 2 {\displaystyle \arctan(nx)=\sum _{m=1}^{n}\arctan {\frac {x}{1+(m-1)mx^{2}}}}
เอกลักษณ์ที่ไม่มีตัวแปร ในแง่ของ ฟังก์ชัน อาร์คแทงเจนต์ เรามี[ 51 ] arctan 1 2 = arctan 1 3 + arctan 1 7 {\displaystyle \arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}}
ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของเอกลักษณ์อาร์กแทนเจนต์ของออยเลอร์ [ 53 ]
arctan 1 p = arctan 1 p + q + arctan q p 2 + p q + 1 . {\displaystyle \arctan {\frac {1}{p}}=\arctan {\frac {1}{p+q}}+\arctan {\frac {q}{p^{2}+pq+1}}.}
กฎของมอร์รี ซึ่ง เป็นสิ่งที่แปลกประหลาดอย่างยิ่งcos 20 ∘ ⋅ cos 40 ∘ ⋅ cos 80 ∘ = 1 8 , {\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},}
เป็นกรณีพิเศษของเอกลักษณ์ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว: ∏ j = 0 k − 1 cos ( 2 j x ) = sin ( 2 k x ) 2 k sin x . {\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin x}}.}
ในทำนองเดียวกัน ถือเป็นกรณีพิเศษของเอกลักษณ์ที่มีลักษณะดังนี้: sin 20 ∘ ⋅ sin 40 ∘ ⋅ sin 80 ∘ = 3 8 {\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}} x = 20 ∘ {\displaystyle x=20^{\circ }} sin x ⋅ sin ( 60 ∘ − x ) ⋅ sin ( 60 ∘ + x ) = sin 3 x 4 . {\displaystyle \sin x\cdot \sin \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \sin \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\sin 3x}{4}}.}
สำหรับกรณีนี้ x = 15 ∘ {\displaystyle x=15^{\circ }} sin 15 ∘ ⋅ sin 45 ∘ ⋅ sin 75 ∘ = 2 8 , sin 15 ∘ ⋅ sin 75 ∘ = 1 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}}
สำหรับกรณีนี้ x = 10 ∘ {\displaystyle x=10^{\circ }} sin 10 ∘ ⋅ sin 50 ∘ ⋅ sin 70 ∘ = 1 8 . {\displaystyle \sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.}
เอกลักษณ์โคไซน์เดียวกันคือ cos x ⋅ cos ( 60 ∘ − x ) ⋅ cos ( 60 ∘ + x ) = cos 3 x 4 . {\displaystyle \cos x\cdot \cos \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \cos \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\cos 3x}{4}}.}
ในทำนองเดียวกัน cos 10 ∘ ⋅ cos 50 ∘ ⋅ cos 70 ∘ = 3 8 , cos 15 ∘ ⋅ cos 45 ∘ ⋅ cos 75 ∘ = 2 8 , cos 15 ∘ ⋅ cos 75 ∘ = 1 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }&={\frac {\sqrt {3}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}}
ในทำนองเดียวกัน tan 50 ∘ ⋅ tan 60 ∘ ⋅ tan 70 ∘ = tan 80 ∘ , tan 40 ∘ ⋅ tan 30 ∘ ⋅ tan 20 ∘ = tan 10 ∘ . {\displaystyle {\begin{aligned}\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }&=\tan 80^{\circ },\\\tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }&=\tan 10^{\circ }.\end{aligned}}}
ต่อไปนี้เป็นสิ่งที่อาจไม่สามารถนำไปใช้กับเอกลักษณ์ที่มีตัวแปรได้โดยง่ายนัก (แต่โปรดดูคำอธิบายด้านล่าง): cos 24 ∘ + cos 48 ∘ + cos 96 ∘ + cos 168 ∘ = 1 2 . {\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}
หน่วยวัดองศาจะไม่เหมาะสมไปกว่าหน่วยวัดเรเดียนอีกต่อไป เมื่อเราพิจารณาเอกลักษณ์นี้โดยมี 21 อยู่ในตัวส่วน: cos 2 π 21 + cos ( 2 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 4 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 5 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 8 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 10 ⋅ 2 π 21 ) = 1 2 . {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.}
ตัวประกอบ 1, 2, 4, 5, 8, 10 อาจเริ่มทำให้เห็นรูปแบบได้ชัดเจนขึ้น: พวกมันคือจำนวนเต็มที่น้อยกว่า 21 / 2 จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ กับ (หรือไม่มีตัวประกอบเฉพาะ ร่วมกับ) 21 ตัวอย่างสุดท้ายหลายตัวอย่างเป็นผลลัพธ์ที่ได้จากข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับพหุนามไซโคลโทมิก ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ : ค่าโคไซน์คือส่วนจริงของศูนย์ของพหุนามเหล่านั้น ผลรวมของศูนย์คือฟังก์ชันโมเบียส ที่ประเมินค่าที่ (ในกรณีสุดท้ายข้างต้น) 21 มีเพียงครึ่งหนึ่งของศูนย์เท่านั้นที่ปรากฏอยู่ข้างต้น เอกลักษณ์ที่อยู่ก่อนหน้าอันสุดท้ายนี้เกิดขึ้นในลักษณะเดียวกันโดยแทนที่ 21 ด้วย 15
เอกลักษณ์โคไซน์อื่นๆ ได้แก่[ 54 ] 2 cos π 3 = 1 , 2 cos π 5 × 2 cos 2 π 5 = 1 , 2 cos π 7 × 2 cos 2 π 7 × 2 cos 3 π 7 = 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {\pi }{3}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}&=1,\end{aligned}}} cos π 3 + cos π 5 × cos 2 π 5 + cos π 7 × cos 2 π 7 × cos 3 π 7 + ⋯ = 1. {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.}
อัตลักษณ์ที่น่าสนใจเหล่านั้นจำนวนมากมีที่มาจากข้อเท็จจริงทั่วไปดังต่อไปนี้: [ 55 ] ∏ k = 1 n − 1 sin k π n = n 2 n − 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}} ∏ k = 1 n − 1 cos k π n = sin π n 2 2 n − 1 . {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}.}
เมื่อนำสิ่งเหล่านี้มารวมกันจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ∏ k = 1 n − 1 tan k π n = n sin π n 2 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}}
ถ้าn เป็นจำนวนคี่ ( ) เราสามารถใช้สมมาตรเพื่อให้ได้ n = 2 m + 1 {\displaystyle n=2m+1} ∏ k = 1 m tan k π 2 m + 1 = 2 m + 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}}
ฟังก์ชันถ่ายโอนของตัวกรองความถี่ต่ำแบบ Butterworth สามารถแสดงได้ในรูปของพหุนามและขั้ว โดยการกำหนดความถี่เป็นความถี่ตัด จะสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ต่อไปนี้ได้: ∏ k = 1 n sin ( 2 k − 1 ) π 4 n = ∏ k = 1 n cos ( 2 k − 1 ) π 4 n = 2 2 n {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}}
π วิธีที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณค่าπ ให้ได้จำนวนหลักจำนวนมาก นั้น ใช้สูตรเอกลักษณ์แบบไม่มีตัวแปรของMachin ดังต่อไป นี้ ซึ่งเรียกว่าสูตรแบบ Machin : หรืออีกวิธีหนึ่งคือใช้สูตรเอกลักษณ์ของLeonhard Euler : หรือโดยใช้สามเหลี่ยมพีทาโกเรียน : π 4 = 4 arctan 1 5 − arctan 1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}} π 4 = 5 arctan 1 7 + 2 arctan 3 79 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}} π = arccos 4 5 + arccos 5 13 + arccos 16 65 = arcsin 3 5 + arcsin 12 13 + arcsin 63 65 . {\displaystyle \pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.}
อื่นๆ ได้แก่: [ 56 ] [ 51 ] π 4 = arctan 1 2 + arctan 1 3 , {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}},} π = arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 , {\displaystyle \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3,} π 4 = 2 arctan 1 3 + arctan 1 7 . {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}
Generally, for numbers t , ..., t ∈ (−1, 1)θ = Σn −1t ∈ (π /4, 3π /4)t = tan(π /2 − θ ) = cot θ t , ..., t (−1, 1) . In particular, the computed t t , ..., t π 2 = ∑ k = 1 n arctan ( t k ) π = ∑ k = 1 n sgn ( t k ) arccos ( 1 − t k 2 1 + t k 2 ) π = ∑ k = 1 n arcsin ( 2 t k 1 + t k 2 ) π = ∑ k = 1 n arctan ( 2 t k 1 − t k 2 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sgn}(t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}}
where in all but the first expression, we have used tangent half-angle formulae. The first two formulae work even if one or more of the t (−1, 1) . Note that if t = p /q (2t , 1 − t 2 , 1 + t 2 ) values in the above formulae are proportional to the Pythagorean triple (2pq , q 2 − p 2 , q 2 + p 2 ) .
For example, for n = 3π 2 = arctan ( a b ) + arctan ( c d ) + arctan ( b d − a c a d + b c ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)} a , b , c , d > 0
An identity of Euclid Euclid showed in Book XIII, Proposition 10 of his Elements sin 2 18 ∘ + sin 2 30 ∘ = sin 2 36 ∘ . {\displaystyle \sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.}
Ptolemy used this proposition to compute some angles in his table of chords in Book I, chapter 11 of Almagest
Composition of trigonometric functions These identities involve a trigonometric function of a trigonometric function:[ 57]
cos ( t sin x ) = J 0 ( t ) + 2 ∑ k = 1 ∞ J 2 k ( t ) cos ( 2 k x ) {\displaystyle \cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)} sin ( t sin x ) = 2 ∑ k = 0 ∞ J 2 k + 1 ( t ) sin ( ( 2 k + 1 ) x ) {\displaystyle \sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}} cos ( t cos x ) = J 0 ( t ) + 2 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k J 2 k ( t ) cos ( 2 k x ) {\displaystyle \cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)} sin ( t cos x ) = 2 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k J 2 k + 1 ( t ) cos ( ( 2 k + 1 ) x ) {\displaystyle \sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}} where J are Bessel functions .
α + β + γ = 180°A conditional trigonometric identity is a trigonometric identity that holds if specified conditions on the arguments to the trigonometric functions are satisfied.[ 58] α + β + γ = 180 ∘ , {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },} [ 59] tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ 1 = cot β cot γ + cot γ cot α + cot α cot β cot ( α 2 ) + cot ( β 2 ) + cot ( γ 2 ) = cot ( α 2 ) cot ( β 2 ) cot ( γ 2 ) 1 = tan ( β 2 ) tan ( γ 2 ) + tan ( γ 2 ) tan ( α 2 ) + tan ( α 2 ) tan ( β 2 ) sin α + sin β + sin γ = 4 cos ( α 2 ) cos ( β 2 ) cos ( γ 2 ) − sin α + sin β + sin γ = 4 cos ( α 2 ) sin ( β 2 ) sin ( γ 2 ) cos α + cos β + cos γ = 4 sin ( α 2 ) sin ( β 2 ) sin ( γ 2 ) + 1 − cos α + cos β + cos γ = 4 sin ( α 2 ) cos ( β 2 ) cos ( γ 2 ) − 1 sin ( 2 α ) + sin ( 2 β ) + sin ( 2 γ ) = 4 sin α sin β sin γ − sin ( 2 α ) + sin ( 2 β ) + sin ( 2 γ ) = 4 sin α cos β cos γ cos ( 2 α ) + cos ( 2 β ) + cos ( 2 γ ) = − 4 cos α cos β cos γ − 1 − cos ( 2 α ) + cos ( 2 β ) + cos ( 2 γ ) = − 4 cos α sin β sin γ + 1 sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2 cos α cos β cos γ + 2 − sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2 cos α sin β sin γ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = − 2 cos α cos β cos γ + 1 − cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = − 2 cos α sin β sin γ + 1 sin 2 ( 2 α ) + sin 2 ( 2 β ) + sin 2 ( 2 γ ) = − 2 cos ( 2 α ) cos ( 2 β ) cos ( 2 γ ) + 2 cos 2 ( 2 α ) + cos 2 ( 2 β ) + cos 2 ( 2 γ ) = 2 cos ( 2 α ) cos ( 2 β ) cos ( 2 γ ) + 1 1 = sin 2 ( α 2 ) + sin 2 ( β 2 ) + sin 2 ( γ 2 ) + 2 sin ( α 2 ) sin ( β 2 ) sin ( γ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\1&=\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta \\\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\1&=\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\\\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)-1\\\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )&=-2\cos(2\alpha )\cos(2\beta )\cos(2\gamma )+2\\\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )&=2\cos(2\alpha )\,\cos(2\beta )\,\cos(2\gamma )+1\\1&=\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}}
Historical shorthands The versine , coversine , haversine , and exsecant were used in navigation. For example, the haversine formula was used to calculate the distance between two points on a sphere. They are rarely used today.
Miscellaneous
Dirichlet kernel The Dirichlet kernel D (x )1 + 2 cos x + 2 cos ( 2 x ) + 2 cos ( 3 x ) + ⋯ + 2 cos ( n x ) = sin ( ( n + 1 2 ) x ) sin ( 1 2 x ) . {\displaystyle 1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}x\right)}}.}
The convolution of any integrable function of period 2 π {\displaystyle 2\pi } n {\displaystyle n} measure or generalized function .
Tangent half-angle substitution If we set t = tan x 2 , {\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}},} [ 60] sin x = 2 t 1 + t 2 ; cos x = 1 − t 2 1 + t 2 ; e i x = 1 + i t 1 − i t ; d x = 2 d t 1 + t 2 , {\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}};\qquad dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}},} e i x = cos x + i sin x , {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,} cis x
When this substitution of t {\displaystyle t} tan x / 2 is used in calculus , it follows that sin x {\displaystyle \sin x} 2t / 1 + t 2 cos x {\displaystyle \cos x} 1 − t 2 / 1 + t 2 dx is replaced by 2 dt / 1 + t 2 sin x {\displaystyle \sin x} cos x {\displaystyle \cos x} t {\displaystyle t} antiderivatives .
cos θ 2 ⋅ cos θ 4 ⋅ cos θ 8 ⋯ = ∏ n = 1 ∞ cos θ 2 n = sin θ θ = sinc θ . {\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .}
A sine identity used in medical imaging Here is an identity discovered as a by-product of research in medical imaging .[ 61]
Let i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} odd positive integer n ,
∑ k = 0 n ( n k ) ( d d x − sin x ) ∘ ( d d x − sin x + i ) ∘ ⋯ ⋯ ∘ ( d d x − sin x + ( k − 1 ) i ) ( sin x ) n − k = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\left({\frac {d}{dx}}-\sin x\right)&\circ \left({\frac {d}{dx}}-\sin x+i\right)\circ \cdots \\\cdots &\circ \left({\frac {d}{dx}}-\sin x+(k-1)i\right)(\sin x)^{n-k}=0.\end{aligned}}} (When k = 0, then the number of differential operators being composed is 0, so the corresponding term in the sum above is just (sin x )n .)
See also
บรรณานุกรม Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , บรรณาธิการ (1972). คู่มือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์พร้อมสูตร กราฟ และตารางทางคณิตศาสตร์ . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ . ISBN 978-0-486-61272-0 .นีลเซ่น, คาจ แอล. (1966), ตารางลอการิทึมและตรีโกณมิติถึงห้าตำแหน่ง (ฉบับที่ 2), นิวยอร์ก: บาร์นส์ แอนด์ โนเบิล , LCCN 61-9103 เซลบี, ซามูเอล เอ็ม., บรรณาธิการ (1970), ตารางคณิตศาสตร์มาตรฐาน (ฉบับที่ 18), บริษัท เคมีคอล รูเบอร์
ลิงก์ภายนอก ค่าของ sin และ cos ที่แสดงในรูปรากที่สอง สำหรับจำนวนเต็มที่เป็นผลคูณของ 3° และ5 + 5 / 8 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\sin \theta )=\operatorname {sgn} (\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{ถ้า}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{ถ้า}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{ถ้า}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn} (\cos \theta )=\operatorname {sgn} (\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{ถ้า}}\ \ {-{\tfrac {\pi }{2}}}<\theta <{\tfrac {\pi }{2}}\\-1&{\text{ถ้า}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {\pi }{2}}\ \ {\text{หรือ}}\ \ {\tfrac {\pi }{2}}<\theta <\pi \\0&{\text{ถ้า}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn} (\tan \theta )=\operatorname {sgn} (\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{ถ้า}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {\pi }{2}}\ \ {\text{หรือ}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {\pi }{2}}\\-1&{\text{ถ้า}}\ \ {-{\tfrac {\pi }{2}}}<\theta <0\ \ {\text{หรือ}}\ \ {\tfrac {\pi }{2}}<\theta <\pi \\0&{\text{ถ้า}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {\pi }{2}}},0,{\tfrac {\pi }{2}},\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3885aee3a70a73da0b369ad2f21a8122f4e78587)
![{\displaystyle ({-\pi },\pi ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122328145a5f3a4162d21b4fbb5f4d1149932d2b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1927ae2be96f5156e18813a20486fdb0ff72f1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\[10pt]&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[10pt]\cot {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ff3a24e1e073c731c170651eca41efdad72212)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9196b8ab5e0aef6cf7d7fec7d7546f2a6e7d2f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b24f2b169fbe11608507c63f5bb728e03b2b4957)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e082e69aab7a9c782f590f3a93262ba3101899b7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&=\operatorname {sgn} (\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn} (\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn} (\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53d104c73c4b28f1dd7bfa5d2b0c7207c68cd87)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639270245e163f1afa8682ac8aa12086db43dce1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[3pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[5pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[5pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[5pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\\[5pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\tan \theta }{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\text{สำหรับ }}\theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cab50a58d64b8c3341fb4f7646888bbbc67ea0c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[4pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c9be831a310f112ffc6e5790bc705dc7b070b87)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta \,\cos \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ){\bigr )},\\[5mu]\sin \theta \,\sin \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ){\bigr )},\\[5mu]\sin \theta \,\cos \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ){\bigr )},\\[5mu]\cos \theta \,\sin \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ){\bigr )}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd715f4b6380798a701537d9c067f28cc371efa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan \theta \,\tan \varphi &={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}},\\[5mu]{\frac {\tan \theta }{\tan \varphi }}&={\frac {\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}{\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a3a5dee2394b1ed85551729df20f0abd6770b7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[5mu]&{\text{where }}e=(e_{1},\ldots ,e_{n})\in S=\{1,-1\}^{n},\\\prod _{k=1}^{n}\sin \theta _{k}&={\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\displaystyle \sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is even}},\\\displaystyle \sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is odd}}.\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106ce6115e77f036a95a2096bc66b01927e5dff9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta +\sin \varphi &=2\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ),\\[5mu]\sin \theta -\sin \varphi &=2\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ),\\[5mu]\cos \theta +\cos \varphi &=2\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ),\\[5mu]\cos \theta -\cos \varphi &=-2\sin {\tfrac {1}{2}}(\ทีต้า +\varphi )\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3676cbeab42be735d5fb198d843eeec23ee9b763)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sin k\theta &={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\theta -\cos \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\\[5pt]\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta &={\frac {-\sin {\tfrac {1}{2}}\theta +\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4679d7bb8112018d06e7d3a849bbe4ce024ff148)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right),\\[10mu]\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d43e1176a38b1e6b653837eb782ae79735783ac)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}{\frac {\pi }{2}}~&=~\arcsin(x)&&+\arccos(x)~&&=~\arctan(r)&&+\operatorname {arccot} (r)~&&=~\operatorname {arcsec} (s)&&+\operatorname {arccsc} (s)\\[0.4ex]\pi ~&=~\arccos(x)&&+\arccos(-x)~&&=~\operatorname {arccot} (r)&&+\operatorname {arccot} (-r)~&&=~\operatorname {arcsec} (s)&&+\operatorname {arcsec} (-s)\\[0.4ex]0~&=~\arcsin(x)&&+\arcsin(-x)~&&=~\arctan(r)&&+\arctan(-r)~&&=~\operatorname {arccsc} (s)&&+\operatorname {arccsc} (-s)\\[1.0ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839db041f421b4af5890106450e2b4d3e9e183d4)
