ในตรีโกณมิติทรงกลม สูตร ครึ่งด้านจะเชื่อมโยงมุมและความยาวของด้านของสามเหลี่ยมทรงกลมซึ่งเป็นสามเหลี่ยมที่วาดบนพื้นผิวของทรงกลมดังนั้นจึงมีด้านโค้งและไม่เป็นไปตามสูตรสำหรับสามเหลี่ยมระนาบ^{[ 1 ]}

สำหรับสามเหลี่ยมบนทรงกลม สูตรครึ่งด้านคือ^{[ 2 ]}${\displaystyle \triangle ABC}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos(S)\,\cos(SA)}{\cos(SB)\,\cos(SC)}}}\end{aligned}}}$$

โดยที่a, b, cคือความยาวเชิงมุม (การวัดมุมศูนย์กลางความยาวส่วนโค้งที่ปรับให้เป็นมาตรฐานเทียบกับทรงกลมรัศมีหนึ่งหน่วย ) ของด้านตรงข้ามมุมA, B, Cตามลำดับ และคือครึ่งหนึ่งของผลรวมของมุม สามารถหาได้อีกสองสูตรสำหรับและโดยการสลับป้ายกำกับ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(A+B+C)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A,B,C.}$

ความสัมพันธ์คู่ขั้วสำหรับสามเหลี่ยมทรงกลมคือสูตร ครึ่งมุม

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(sb)\,\sin(sc)}{\sin(s)\,\sin(sa)}}}\end{aligned}}}$$

โดยที่ครึ่งเส้นรอบรูปคือครึ่งหนึ่งของผลรวมของด้าน นอกจากนี้ ยังสามารถได้สูตรเพิ่มเติมอีกสองสูตรโดยการสลับป้ายกำกับ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$${\displaystyle A,B,C.}$

ความสัมพันธ์เดียวกันนี้สามารถเขียนได้ในรูปสมการเชิงตรรกะของครึ่งสัมผัส (สัมผัสของครึ่งมุม) ถ้าและแล้วสูตรครึ่งด้านจะเทียบเท่ากับ: ${\displaystyle t_{a}=\tan {\tfrac {1}{2}}a,}$${\displaystyle t_{b}=\tan {\tfrac {1}{2}}b,}$${\displaystyle t_{c}=\tan {\tfrac {1}{2}}c,}$${\displaystyle t_{A}=\tan {\tfrac {1}{2}}A,}$${\displaystyle t_{B}=\tan {\tfrac {1}{2}}B,}$${\displaystyle t_{C}=\tan {\tfrac {1}{2}}C,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}t_{a}^{2}&={\frac {{\bigl (}t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}-1{\bigr )}{\bigl (}{-t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}+1}{\bigr )}}{{\bigl (}t_{B}t_{C}-t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}+1{\bigr )}{\bigl (}t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}-t_{A}t_{B}+1{\bigr )}}}.\end{aligned}}}$$

และสูตรครึ่งมุมนั้นเทียบเท่ากับ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}t_{A}^{2}&={\frac {{\bigl (}t_{a}-t_{b}+t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}{\bigl (}t_{a}+t_{b}-t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}}{{\bigl (}t_{a}+t_{b}+t_{c}-t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}{\bigl (}{-t_{a}+t_{b}+t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}}{\bigr )}}}.\end{aligned}}}$$

• กฎโคไซน์ทรงกลม
• กฎของฮาเวอร์ซีน