ค้นหาคำว่า versine  หรือversed sineใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

เวอร์ไซน์หรือเวอร์เซดไซน์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ที่พบใน ตารางตรีโกณมิติยุคแรกๆ ( ^ภาษาสันสกฤตAryabhatiya [ ^{1 ]} ส่วนที่ 1) เวอร์ไซน์ของมุมหนึ่งคือ 1 ลบโคไซน์ ของ มุมนั้น

มีฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องหลายอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันโคเวอร์ไซน์และฟังก์ชันฮาเวอร์ไซน์ ฟังก์ชันฮาเวอร์ไซน์ ซึ่งก็คือครึ่งหนึ่งของเวอร์ไซน์ มีความสำคัญเป็นพิเศษในสูตรฮาเวอร์ไซน์สำหรับการนำทาง

เวอร์ไซน์^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}หรือเวอร์ไซน์แบบกลับด้าน^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ปรากฏอยู่ในตารางตรีโกณมิติยุคแรกๆ บางส่วน มีการใช้สัญลักษณ์ในสูตรโดยใช้ตัวย่อversin , sinver , ^{[ 13 ] [ 14 ]} versหรือsiv ^{[ 15 ] [ 16 ]}ในภาษาละตินเรียกว่าsinus versus ( ไซน์กลับด้าน), versinus , versusหรือsagitta (ลูกศร) ^{[ 17 ]}

เมื่อแสดงในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ทั่วไป ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ ค่าเวอร์ไซน์จะเท่ากับ $${\displaystyle \operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=\sin \theta \,\tan {\frac {\theta }{2}}}$$

มีฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องหลายอย่างที่สอดคล้องกับเวอร์ไซน์:

• โคไซน์เวอร์เซด [ ^{18 ] [ nb 1 ] หรือ}เวอร์โคไซน์ย่อว่าเวอร์โคซินเวอร์โคสหรือvcs
• ไซน์ที่ปกคลุมหรือcoversine ^{[ 19 ]} (ในภาษาละตินcosinus versusหรือcoversinus ) ย่อว่าcoversin , covers , ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} cosivหรือcvs ^{[ 23 ]}

นอกจากนี้ ยังมีการสร้างตารางพิเศษขึ้นโดยใช้ค่าครึ่งหนึ่งของไซน์เวอร์เซด เนื่องจากมีการใช้งานเฉพาะในสูตรฮาเวอร์ไซน์ที่ใช้ในด้านการเดินเรือมา อย่างยาวนาน

• ไซน์ที่ผันแล้ว^{[ 24 ]}หรือhaversine (ภาษาละตินsemiversus ) ^{[ 25 ] [ 26 ]}ย่อว่าhaversin , semiversin , semiversinus , havers , hav , ^{[ 27 ] [ 28 ]} hvs , ^{[ nb 2 ]} semหรือhv . ^{[ 29 ]}ถูกกำหนดให้เป็น

$${\displaystyle {\text{hav}}\ \theta =\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos \theta }{2}}}$$

ฟังก์ชัน ไซน์ธรรมดา( ดูหมายเหตุเกี่ยวกับรากศัพท์ ) บางครั้งในอดีตเรียกว่าไซน์เรคตัส ("ไซน์ตรง") เพื่อเปรียบเทียบกับไซน์เวอร์เซด ( ไซน์เวอร์เซด ) ^{[ 31 ]}ความหมายของคำเหล่านี้จะชัดเจนหากพิจารณาฟังก์ชันในบริบทดั้งเดิมของคำจำกัดความ ซึ่งก็คือวงกลมหน่วย :

สำหรับคอร์ด แนวตั้ง ABของวงกลมหนึ่งหน่วย ค่าไซน์ของมุมθ (ซึ่งแทนครึ่งหนึ่งของมุมที่รองรับΔ ) คือระยะทางAC (ครึ่งหนึ่งของคอร์ด) ในทางกลับกัน ค่าเวอร์ไซน์ของθคือระยะทางCDจากจุดศูนย์กลางของคอร์ดไปยังจุดศูนย์กลางของส่วนโค้ง ดังนั้น ผลรวมของ cos( θ ) (เท่ากับความยาวของเส้นOC ) และ versin( θ ) (เท่ากับความยาวของเส้นCD ) คือรัศมีOD (ความยาว 1) เมื่อแสดงด้วยวิธีนี้ ค่าไซน์จะเป็นแนวตั้ง ( rectusซึ่งแปลว่า "ตรง") ในขณะที่ค่าเวอร์ไซน์จะเป็นแนวนอน (versin ซึ่งแปลว่า "หันกลับ ไม่เข้าที่") ทั้งสองค่าเป็นระยะทางจากCไปยังวงกลม

รูปนี้ยังแสดงให้เห็นถึงเหตุผลว่าทำไมบางครั้งเวอร์ไซน์จึงถูกเรียกว่าซากิตตาซึ่งเป็นภาษาละตินแปลว่าลูกศร^{[ 17 ] [ 30 ]}หากส่วนโค้งADBของมุมสองเท่าΔ  = 2 θถูกมองว่าเป็น " คันธนู " และคอร์ดABเป็น "สายธนู" แล้วเวอร์ไซน์CDก็คือ "ก้านลูกศร" อย่างชัดเจน

นอกจากนี้ เพื่อให้สอดคล้องกับการตีความไซน์ว่าเป็น "แนวตั้ง" และไซน์เวอร์เซดเป็น "แนวนอน" sagittaจึงเป็นคำพ้องความหมายที่ล้าสมัยสำหรับabscissa (แกนแนวนอนของกราฟ) ^{[ 30 ]}

ในปี พ.ศ. 2364 คอชีใช้คำว่าsinus versus ( siv ) สำหรับ versine และcosinus versus ( cosiv ) สำหรับ coversine ^{[ 15 ] [ 16 ] [ nb 1 ]}

เมื่อθเข้าใกล้ศูนย์ versin( θ ) คือความแตกต่างระหว่างปริมาณสองปริมาณที่เกือบเท่ากัน ดังนั้นผู้ใช้ตารางตรีโกณมิติสำหรับโคไซน์เพียงอย่างเดียวจะต้องมีความแม่นยำสูงมากเพื่อให้ได้เวอร์ไซน์เพื่อหลีกเลี่ยงการหักล้างที่ร้ายแรงทำให้ตารางแยกต่างหากสำหรับเวอร์ไซน์สะดวกยิ่งขึ้น^{[ 12 ]}แม้จะมีเครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์ข้อผิดพลาดจากการปัดเศษทำให้แนะนำให้ใช้สูตร sin ²สำหรับ  θ ขนาด เล็ก

ข้อดีทางประวัติศาสตร์อีกประการหนึ่งของเวอร์ไซน์คือมันมีค่าเป็นบวกเสมอ ดังนั้นลอการิทึม ของมัน จึงสามารถหาค่าได้ทุกที่ยกเว้นมุมเดียว ( θ = 0, 2π , …) ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์—ด้วยเหตุนี้ จึงสามารถใช้ตารางลอการิทึมในการคูณในสูตรที่เกี่ยวข้องกับเวอร์ไซน์ได้

ในความเป็นจริง ตารางค่าไซน์ (ครึ่ง คอร์ด ) ที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่(ตรงข้ามกับคอร์ดที่จัดทำเป็นตารางโดยปโตเลมีและนักเขียนชาวกรีกคนอื่นๆ) ซึ่งคำนวณจากSurya Siddhanthaของอินเดียซึ่งมีอายุย้อนไปถึงศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช เป็นตารางค่าไซน์และเวอร์เซดไซน์ (เพิ่มขึ้นทีละ 3.75° จาก 0 ถึง 90°) ^{[ 31 ]}

ค่าเวอร์ไซน์ปรากฏเป็นขั้นตอนกลางในการประยุกต์ใช้สูตรครึ่งมุม sin ² ( ⁠θ/2) = ⁠​1/2⁠ versin( θ ) ซึ่งได้มาจากปโตเลมีและถูกนำมาใช้ในการสร้างตารางดังกล่าว

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าฮาเวอร์ไซน์มีความสำคัญในการนำทางเนื่องจากปรากฏอยู่ในสูตรฮาเวอร์ไซน์ซึ่งใช้ในการคำนวณระยะทางบนทรงรี ทางดาราศาสตร์ได้อย่างแม่นยำพอสมควร (ดูปัญหาเกี่ยวกับรัศมีของโลกเทียบกับทรงกลม ) เมื่อกำหนดตำแหน่งเชิงมุม (เช่นลองจิจูดและละติจูด ) นอกจากนี้ยังสามารถใช้ sin ² ( ⁠θ/2) โดยตรง แต่การมีตารางของค่าแฮเวอร์ไซน์ทำให้ไม่จำเป็นต้องคำนวณกำลังสองและรากที่สอง^{[ 12 ]}

มีการบันทึก การใช้งานครั้งแรกของJosé de Mendoza y Ríosในสิ่งที่ต่อมาเรียกว่า haversines ไว้ในปี พ.ศ. 2344 ^{[ 14 ] [ 32 ]}

ตารางฮาเวอร์ซีนภาษาอังกฤษที่รู้จักกันเป็นครั้งแรกได้รับการตีพิมพ์โดยเจมส์ แอนดรูว์ในปี พ.ศ. 2348 ภายใต้ชื่อ "ตารางของเซมิคอร์ดธรรมชาติ" ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 17 ]}

ในปี พ.ศ. 2378 คำว่าhaversine (เขียนแทนด้วยhav.หรือlogarithmic ฐาน 10ว่าlog. haversineหรือlog. havers. ) ถูกบัญญัติขึ้น^{[ 35 ]}โดยJames Inman ^{[ 14 ] [ 36 ] [ 37 ]}ในฉบับที่สามของผลงานของเขาเรื่อง Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamenเพื่อลดความซับซ้อนของการคำนวณระยะทางระหว่างสองจุดบนพื้นผิวโลกโดยใช้ตรีโกณมิติเชิงทรงกลมสำหรับการประยุกต์ใช้ในการนำทาง^{[ 3 ] [ 35 ]} Inman ยังใช้คำว่าnat. versineและnat. vers.สำหรับ versines อีกด้วย ^{[ 3 ]}

ตารางฮาเวอร์ซีนที่ได้รับการยกย่องสูงอื่นๆ ได้แก่ ตารางของริชาร์ด ฟาร์ลีย์ในปี พ.ศ. 2499 ^{[ 33 ] [ 38 ]}และตารางของจอห์น คอลฟิลด์ แฮนนิงตันในปี พ.ศ. 2419 ^{[ 33 ] [ 39 ]}

ค่าแฮเวอร์ไซน์ยังคงถูกนำมาใช้ในการนำทางและพบการประยุกต์ใช้ใหม่ในช่วงไม่กี่ทศวรรษที่ผ่านมา เช่น วิธีการของ Bruce D. Stark ในการหาระยะทางดวงจันทร์โดยใช้ลอการิทึมเกาส์เซียนตั้งแต่ปี 1995 ^{[ 40 ] [ 41 ]}หรือในวิธีการที่กระชับกว่าสำหรับการลดระยะการมองเห็นตั้งแต่ปี 2014 ^{[ 29 ]}

แม้ว่าการใช้ฟังก์ชันเวอร์ซีน คัฟเวอร์ซีน และฮาเวอร์ซีน รวมถึงฟังก์ชันผกผัน ของฟังก์ชันเหล่านี้ จะมีมานานหลายศตวรรษแล้ว แต่ชื่อของฟังก์ชัน ร่วมอีกห้าฟังก์ชันที่เหลือ ดูเหมือนจะมีที่มาที่ใหม่กว่ามาก

หนึ่งคาบ (0 < θ < 2 π ) ของรูปคลื่นเวอร์ไซน์ หรือที่นิยมใช้กันทั่วไปคือ ฮาเวอร์ไซน์ มักใช้ในการประมวลผลสัญญาณและทฤษฎีการควบคุมเป็นรูปทรงของพัลส์หรือฟังก์ชันหน้าต่าง (รวมถึงหน้าต่างHann , Hann–Poissonและ Tukey ) เนื่องจากมัน"เปิด" จากศูนย์ไปหนึ่ง (สำหรับฮาเวอร์ไซน์) และกลับไปที่ศูนย์ อย่างราบรื่น ( ต่อเนื่องทั้งในค่าและความชัน ) ^{[ nb 2 ]}ในการใช้งานเหล่านี้ เรียกว่าฟังก์ชัน Hannหรือตัวกรองโคไซน์ยกกำลัง

${\displaystyle {\textrm {versin}}(\theta ):=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,}$[ 4 ]
${\displaystyle {\textrm {coversin}}(\theta ):={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,}$[ 4 ]
${\displaystyle {\textrm {vercosin}}(\theta ):=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,}$[ 18 ]
${\displaystyle {\textrm {haversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}=\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,}$[ 4 ]

ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นการหมุนแบบวงกลมของกันและกัน

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {versin} (\theta )&=\mathrm {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {vercosin} \left(\theta +\pi \right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}}$[ 42 ]	${\displaystyle \int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C}$[ 4 ] [ 42 ]
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {vercosin} (x)=-\sin {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {vercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {coversin} (x)=-\cos {x}}$[ 19 ]	${\displaystyle \int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C}$[ 19 ]
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}}$[ 24 ]	${\displaystyle \int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C}$[ 24 ]

ฟังก์ชันผกผัน เช่นarcversine (arcversin, arcvers, ^{[ 8 ]} avers, ^{[ 43 ] [ 44 ]} aver), arcvercosine (arcvercosin, arcvercos, avercos, avcs), arccoversine (arccoversin, arccovers, ^{[ 8 ]} acovers, ^{[ 43 ] [ 44 ]} acvs), arccovercosine (arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc), archaversine (archaversin, archav, haversin ⁻¹ , ^{[ 45 ]} invhav, ^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]} ahav, ^{[ 43 ] [ 44 ]} ahvs, ahv, hav ^{−1 [ 49 ] [ 50 ]} ), archavercosine (archavercosin, archavercos, ahvc), archacoversine (archacoversin, นอกจากนี้ยังมี สารที่กลายพันธุ์เป็น archacovercosine ( ahcv, archacovercosin, archacovercos, ahcc) อีกด้วย:

${\displaystyle \operatorname {arcversin} (y)=\arccos \left(1-y\right)\,}$[ 43 ] [ 44 ]

${\displaystyle \operatorname {arcvercos} (y)=\arccos \left(y-1\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {arccoversin} (y)=\arcsin \left(1-y\right)\,}$[ 43 ] [ 44 ]

${\displaystyle \operatorname {arccovercos} (y)=\arcsin \left(y-1\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {archaversin} (y)=2\arcsin \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(1-2y\right)\,}$[ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 49 ] [ 50 ]

${\displaystyle \operatorname {archavercos} (y)=2\arccos \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(2y-1\right)}$

${\displaystyle \operatorname {archacoversin} (y)=\arcsin \left(1-2y\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {archacovercos} (y)=\arcsin \left(2y-1\right)\,}$

ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถขยายไปยังระนาบเชิงซ้อนได้^{[ 42 ] [ 19 ] [ 24 ]}

ชุด Maclaurin : ^{[ 24 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\theta }}=0}$^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}}$^{[ 8 ]}

เมื่อค่าเวอร์ไซน์vมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับรัศมีrจะสามารถประมาณได้จากความยาวคอร์ดครึ่งหนึ่งL (ระยะทางACที่แสดงด้านบน) โดยใช้สูตร^{[ 51 ]}$${\displaystyle v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}.}$$

หรืออีกทางหนึ่ง หากเวอร์ไซน์มีขนาดเล็กและทราบเวอร์ไซน์ รัศมี และความยาวครึ่งคอร์ดแล้ว สามารถใช้ค่าเหล่านี้ในการประมาณความยาวส่วนโค้งs ( ADในรูปด้านบน) โดยใช้สูตร สูตรนี้เป็นที่รู้จักของนักคณิตศาสตร์ชาวจีนShen Kuoและสูตรที่แม่นยำยิ่งขึ้นซึ่งเกี่ยวข้องกับ sagitta ได้รับการพัฒนาขึ้นในอีกสองศตวรรษต่อมาโดยGuo Shoujing ^{[ 52 ]}$${\displaystyle s\approx L+{\frac {v^{2}}{r}}}$$

การประมาณค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้นที่ใช้ในทางวิศวกรรม^{[ 53 ]}คือ $${\displaystyle v\approx {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}}}{8r}}}$$

คำว่าเวอร์ไซน์ (versine)บางครั้งยังใช้เพื่ออธิบายการเบี่ยงเบนจากความตรงในเส้นโค้งระนาบใดๆ ซึ่งวงกลมข้างต้นเป็นกรณีพิเศษ เมื่อกำหนดคอร์ดระหว่างสองจุดในเส้นโค้ง ระยะตั้งฉากvจากคอร์ดไปยังเส้นโค้ง (โดยปกติที่จุดกึ่งกลางของคอร์ด) เรียกว่า การวัด เวอร์ไซน์ สำหรับเส้นตรง เวอร์ไซน์ของคอร์ดใดๆ จะเป็น ศูนย์ดังนั้นการวัดนี้จึงบ่งบอกถึงความตรงของเส้นโค้งในกรณีที่ความยาวคอร์ดLเข้าใกล้ศูนย์ อัตราส่วน⁠8 โวลต์/แอล²⁠ไปสู่ความโค้ง ทันที การใช้งานนี้พบได้ทั่วไปโดยเฉพาะในการขนส่งทางรางซึ่งอธิบายการวัดความตรงของรางรถไฟ^{[ 54 ]}และเป็นพื้นฐานของวิธีการ Halladeสำหรับ การสำรวจ ราง รถไฟ

คำว่าsagitta (มักย่อว่าsag ) ถูกนำมาใช้ในทางทัศนศาสตร์ ในลักษณะ เดียวกัน เพื่ออธิบายพื้นผิวของเลนส์และกระจก

• เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
• สารกำจัดและสารกำจัด
• เวอร์ซิเอรา ( แม่มดแห่งอักเนซี )
• เลขชี้กำลังลบ 1
• ลอการิทึมธรรมชาติบวก 1

• ฮอว์คิง, สตีเฟน ดับเบิลยู. บรรณาธิการ (2002). บนบ่าของยักษ์ใหญ่: ผลงานชิ้นเอกของฟิสิกส์และดาราศาสตร์ . ฟิลาเดลเฟีย: รันนิงเพรส . ISBN 0-7624-1698-X.
• มิลเลอร์, เจฟฟ์. "การใช้คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์บางคำที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบ (เล่ม 5)"ใน โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; โรเบิร์ตสัน, เอ็ดมันด์ เอฟ. (บรรณาธิการ). คลังข้อมูลประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor . มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์. สืบค้นเมื่อ2025-05-05 .

• Pegg, Jr., Ed . " Sagitta, Apothem, and Chord" . โครงการสาธิต Wolfram
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ GeoGebra.org
• การแสดงภาพเชิงเรขาคณิตแบบโต้ตอบและไดนามิกของฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบโบราณและสมัยใหม่ที่ Desmos.com