ในทางคณิตศาสตร์เส้นโค้งของแอกเนซี ( การออกเสียงภาษาอิตาลี: [aɲˈɲeːzi, -eːsi; -ɛːzi] ) คือเส้นโค้งระนาบกำลังสามที่กำหนดจากจุดสองจุดที่อยู่ตรงข้ามกันบนวงกลม

เส้นโค้งนี้ได้รับการศึกษาครั้งแรกในปี ค.ศ. 1653 โดยปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ในปี ค.ศ. 1703 โดยกุยโด กรันดีและโดย ไอ แซค นิวตันชื่อของเส้นโค้งนี้มาจากนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีมาเรีย กาเอตานา อักเนซีผู้ตีพิมพ์ผลงานนี้ในปี ค.ศ. 1748 ชื่อภาษาอิตาลีla versiera di Agnesiมาจากภาษาละตินversoria ( แผ่นเรือใบ) และsinus versus ซึ่ง จอห์น คอลสันอ่านว่าl'avversiera di Agnesiโดยที่avversieraแปลว่า "หญิงผู้ต่อต้านพระเจ้า" และตีความว่า "แม่มด" ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

กราฟของอนุพันธ์ของ ฟังก์ชัน อาร์คแทงเจนต์เป็นตัวอย่างหนึ่งของแม่มดแห่งอักเนซี เช่นเดียวกับฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของการแจกแจงโคชีแม่มดแห่งอักเนซีมีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นนอกจากนี้ยังก่อให้เกิดปรากฏการณ์ของรุนเกในการประมาณฟังก์ชันด้วยพหุนามใช้ในการประมาณการแจกแจงพลังงานของเส้นสเปกตรัมและจำลองรูปร่างของเนินเขา

เส้นโค้งแม่มดสัมผัสกับวงกลมกำหนดที่จุดกำหนดจุดหนึ่งจากสองจุด และ เป็นเส้น กำกับของเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดกำหนดอีกจุดหนึ่ง เส้นโค้งนี้มีจุดยอด (จุดที่มีความโค้งสูงสุด) เพียงจุดเดียว ณ จุดที่สัมผัสกับวงกลมกำหนด ซึ่งเป็นวงกลมสัมผัสที่จุดนั้นด้วย นอกจากนี้ยังมีจุดเปลี่ยนความโค้ง แบบจำกัดสอง จุดและจุดเปลี่ยนความโค้งแบบอนันต์หนึ่งจุด พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งแม่มดกับเส้นกำกับมีค่าเป็นสี่เท่าของพื้นที่วงกลมกำหนด และปริมาตรของการหมุนของเส้นโค้งรอบเส้นกำหนดมีค่าเป็นสองเท่าของปริมาตรของทรงโดนัทที่เกิดจากการหมุนของวงกลมกำหนด

ในการสร้างเส้นโค้งนี้ ให้เริ่มต้นด้วยจุดสองจุดใดๆOและMแล้ววาดวงกลมที่มีOM เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง สำหรับจุด Aอื่นๆบนวงกลม ให้Nเป็นจุดตัดของเส้นตัดOAและเส้นสัมผัสที่Mให้Pเป็นจุดตัดของเส้นตั้งฉากกับOMที่ผ่านAและเส้นขนานกับOMที่ผ่านNจากนั้น^Pจะอยู่บนแม่มดของ Agnesi แม่มดประกอบด้วยจุดP ทั้งหมด ที่สามารถสร้างได้ด้วยวิธีนี้จากการเลือกOและM เดียวกัน ^{[ 5} ] ซึ่งรวมถึงจุดMเอง เป็นกรณีจำกัด

สมมติว่าจุดOอยู่ที่จุดกำเนิดและจุดMอยู่บนแกนบวกและวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางOMมีรัศมีแล้ว เส้นโค้งที่สร้างจากO และMจะมีสมการคาร์ทีเซียน^{[ 6 ] [ 7 ]} สมการนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยการเลือก ให้อยู่ในรูปแบบ หรือเทียบเท่าโดยการกำจัดตัวส่วน ให้เป็นสมการพีชคณิต กำลังสาม ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น เส้นโค้งนี้คือกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชันอาร์คแทงเจนต์^{[ 8 ]}${\displaystyle y}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}={\frac {(2a)^{3}}{(x)^{2}+(2a)^{2}}}.}$$${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$$${\displaystyle y={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$$$${\displaystyle (x^{2}+1)y=1.}$$

แม่มดแห่ง Agnesi สามารถอธิบายได้ด้วยสมการพาราเมตริกซึ่งพารามิเตอร์θคือมุมระหว่างOMและOAซึ่งวัดตามเข็มนาฬิกา: ^{[ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=2a\tan \theta ,\\y&=2a\cos ^{2}\theta .\end{aligned}}}$$

คุณสมบัติหลักของเส้นโค้งนี้สามารถหาได้จากแคลคูลัสเชิงอินทิกรัล พื้นที่ระหว่างแม่มดกับเส้นกำกับของมันมีค่าเป็นสี่เท่าของพื้นที่ของวงกลมคงที่[ ^{6 ] [ 7 ] [ 9 ] ปริมาตร} ของการหมุนของแม่มดแห่ง Agnesi รอบเส้นกำกับของมันคือ[ ^{6 ] ซึ่งมี ค่า}เป็นสองเท่าของปริมาตรของทอรัสที่เกิดจากการหมุนวงกลมที่กำหนดของแม่มดรอบเส้นเดียวกัน^{[ 9 ]}${\displaystyle 4\pi a^{2}}$${\displaystyle 4\pi ^{2}a^{3}}$

เส้นโค้งมีจุดยอด เฉพาะ ที่จุดสัมผัสกับวงกลมที่กำหนด นั่นคือ จุดนี้เป็นจุดเดียวที่ความโค้งถึงค่าต่ำสุดเฉพาะที่หรือค่าสูงสุดเฉพาะที่^{[ 10 ]}วงกลมที่กำหนดของแม่มดก็คือวงกลมสัมผัสที่จุดยอด^{[ 11 ]}ซึ่งเป็นวงกลมเฉพาะที่ "สัมผัส" เส้นโค้งที่จุดนั้นโดยมีทิศทางและความโค้งเดียวกัน^{[ 12 ]}เนื่องจากเป็นวงกลมสัมผัสที่จุดยอดของเส้นโค้ง จึงมีการสัมผัสลำดับที่สามกับเส้นโค้ง^{[ 13 ]}

เส้นโค้งนี้มีจุดเปลี่ยนความโค้งสองจุดณจุดที่ สอดคล้องกับมุม^{[ 6 ] [ 7 ]}เมื่อพิจารณาว่าเป็นเส้นโค้งในระนาบเชิงฉายจะมีจุดเปลี่ยนความโค้งอนันต์จุดที่สาม ณ จุดที่เส้นอนันต์ตัดกับเส้นกำกับ^{[ 14 ]} นอกจากนี้ยัง มีจุดเอกฐาน โดดเดี่ยว ณ จุดที่เส้นอนันต์ตัดกับแกนสมมาตร^{[ 15 ]}ในฐานะกราฟของฟังก์ชันตรรกยะมันเป็นเส้นโค้งพาราเมตริก ตรรกยะ แต่ไม่ใช่เส้นโค้งที่สามารถกำหนดพารามิเตอร์พหุนามได้^{[ 16 ]}$${\displaystyle \left(\pm {\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right)}$$${\displaystyle \theta =\pm \pi /6}$${\displaystyle 1/(x^{2}+1)}$

พื้นที่ที่ใหญ่ที่สุดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่สามารถบรรจุระหว่างแม่มดและเส้นกำกับของแม่มดคือสำหรับ${\displaystyle 4a^{2}}$สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความสูงเท่ากับรัศมีของวงกลมที่กำหนดและมีความกว้างเป็นสองเท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม^{[ 9 ]}

เส้นโค้งนี้ได้รับการศึกษาโดยปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ในตำราว่าด้วยการหา พื้นที่ใต้ เส้นโค้ง ในปี ค.ศ. 1659 ในตำรานี้ แฟร์มาต์คำนวณพื้นที่ใต้เส้นโค้งและ (โดยไม่ให้รายละเอียด) อ้างว่าวิธีการเดียวกันนี้ขยายไปถึงเส้นโค้งซิสซอยด์ของไดโอเคลส ด้วย แฟร์มาต์เขียนว่าเส้นโค้งนี้ได้รับการแนะนำให้เขาโดย " ab erudito geometra " ^{[ 18 ]} Paradís, Pla & Viader (2008)คาดการณ์ว่านักเรขาคณิตที่แนะนำเส้นโค้งนี้ให้แฟร์มาต์อาจเป็นอองตวน เดอ ลาลูแบร์^{[ 19 ]}

โครงสร้างที่ให้ไว้ข้างต้นสำหรับเส้นโค้งนี้ถูกค้นพบโดยGrandi (1718)โครงสร้างเดียวกันนี้ถูกค้นพบก่อนหน้านี้โดยIsaac Newtonแต่ได้รับการตีพิมพ์หลังมรณกรรมในปี 1779 ^{[ 20 ]} Grandi (1718)ยังเสนอชื่อversiera (ในภาษาอิตาลี) หรือversoria (ในภาษาละติน) สำหรับเส้นโค้งนี้^{[ 21 ]}คำภาษาละตินนี้ยังใช้สำหรับแผ่นเชือก ซึ่งเป็นเชือกที่ใช้หมุนใบเรือ แต่ Grandi อาจตั้งใจที่จะอ้างถึง ฟังก์ชัน versineที่ปรากฏในโครงสร้างของเขา เท่านั้น ^{[ 9 ] [ 20 ] [ 22 ] [ 23 ]}

ในปี ค.ศ. 1748 มาเรีย กาเอตานา อักเนซีได้ตีพิมพ์Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana ซึ่งเป็น ตำราแคลคูลัสเล่มแรกๆ^{[ 17 ]} ในตำราเล่มนี้ หลังจากที่ได้พิจารณาเส้นโค้งอื่นๆ อีกสองเส้นแล้ว เธอก็ได้รวมการศึกษาเส้นโค้งนี้ไว้ด้วย เธอได้กำหนดเส้นโค้งนี้ในเชิงเรขาคณิตว่าเป็นตำแหน่งของจุด ที่สอดคล้องกับสัดส่วนที่กำหนด กำหนดสมการพีชคณิต และค้นหาจุดยอด เส้นกำกับ และจุดเปลี่ยนเว้า^{[ 24 ]}

มาเรีย กาเอตานา อักเนซีตั้งชื่อเส้นโค้งนี้ว่าเวอร์ซิเอราตาม ที่แกรนดีกล่าวไว้ ^{[ 22 ] [ 24 ]}บังเอิญว่าในเวลานั้นในอิตาลีเป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงปีศาจด้วยคำอื่น เช่นอะเวอร์ซิเอโรหรือเวอร์ซิเอโรซึ่งมาจากภาษาละตินadversariusซึ่งหมายถึง "ศัตรู" ของพระเจ้า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวอร์ซิเอราถูกใช้เพื่อบ่งบอกถึงภรรยาของปีศาจ หรือ "แม่มด" ^{[ 25 ]}ด้วยเหตุนี้ ศาสตราจารย์จอห์น คอลสัน แห่งเคมบริดจ์ จึงแปลชื่อของเส้นโค้งนี้ผิดเป็น "แม่มด" ^{[ 26 ]}งานเขียนสมัยใหม่ที่แตกต่างกันเกี่ยวกับอักเนซีและเกี่ยวกับเส้นโค้งนี้ เสนอข้อสันนิษฐานที่แตกต่างกันเล็กน้อยว่าการแปลผิดนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร^{[ 27 ] [ 28 ]}สตรูอิกกล่าวว่า: ^{[ 24 ]}

คำว่า [ versiera ] มาจากภาษาละตินvertereซึ่งหมายถึงการหมุน แต่ก็เป็นคำย่อของภาษาอิตาลีavversieraซึ่งหมายถึงปีศาจเพศหญิง มีคนฉลาดคนหนึ่งในอังกฤษเคยแปลคำนี้ว่า 'แม่มด' และการเล่นคำตลกๆ นี้ก็ยังคงถูกเก็บรักษาไว้ในตำราเรียนภาษาอังกฤษส่วนใหญ่ของเรา ... เส้นโค้งนี้ปรากฏอยู่ในงานเขียนของแฟร์มาต์ ( Oeuvres , I, 279–280; III, 233–234) และคนอื่นๆ แล้ว ชื่อversieraมาจาก Guido Grandi ( Quadratura circuli et hyperbolae , Pisa, 1703) เส้นโค้งนี้เป็นประเภทที่ 63 ใน การจำแนกประเภทของ นิวตัน ... คนแรกที่ใช้คำว่า 'แม่มด' ในความหมายนี้อาจเป็น B. Williamson, Integral calculus , 7 (1875), 173; ^{[ 29 ]}ดูพจนานุกรมภาษาอังกฤษของออกซ์ฟอร์ด

ในทางกลับกันStephen Stiglerแนะนำว่า Grandi เอง "อาจจะกำลังเล่นคำ" ซึ่งเป็นการเล่นคำซ้อนคำที่เชื่อมโยงปีศาจกับ versine และฟังก์ชัน sine กับรูปร่างของหน้าอกผู้หญิง (ซึ่งทั้งสองอย่างสามารถเขียนเป็น "seno" ในภาษาอิตาลีได้) ^{[ 20 ]}

เวอร์ชันที่ปรับขนาดของเส้นโค้งคือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของการแจกแจงโคชีนี่คือการแจกแจงความน่าจะเป็นบนตัวแปรสุ่ม ที่กำหนดโดยการทดลองสุ่ม ต่อไปนี้ : สำหรับจุดคงที่เหนือแกนให้เลือกเส้นตรงที่ผ่าน จุด แบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอ และให้เป็นพิกัดของจุดที่เส้นตรงสุ่มนี้ตัดกับแกน การแจกแจงโคชีมีการแจกแจงแบบยอดแหลมที่มีลักษณะคล้าย กับ การแจกแจงปกติแต่หางที่หนาทำให้ไม่สามารถมีค่าที่คาดหวังตามคำจำกัดความปกติได้ แม้ว่าจะมีสมมาตรก็ตาม ในแง่ของแม่มดเอง นี่หมายความว่าพิกัดของจุดศูนย์กลางของบริเวณระหว่างเส้นโค้งและเส้นกำกับไม่สามารถกำหนดได้ดี แม้ว่าบริเวณนี้จะมีความสมมาตรและพื้นที่จำกัดก็ตาม^{[ 20 ] [ 30 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเมื่อประมาณฟังก์ชันโดยใช้การแทรกสอดพหุนามด้วยจุดแทรกสอดที่มีระยะห่างเท่ากัน อาจเป็นกรณีที่สำหรับบางฟังก์ชัน การใช้จุดมากขึ้นทำให้การประมาณแย่ลง ดังนั้นการแทรกสอดจึงเบี่ยงเบนจากฟังก์ชันที่พยายามประมาณแทนที่จะลู่เข้าหา พฤติกรรมที่ขัดแย้งนี้เรียกว่าปรากฏการณ์ของ Rungeซึ่งถูกค้นพบครั้งแรกโดยCarl David Tolmé Rungeสำหรับฟังก์ชัน Runge ซึ่งเป็นเวอร์ชันปรับขนาดอีกแบบหนึ่งของ witch of Agnesi เมื่อแทรกสอดฟังก์ชันนี้ในช่วงปรากฏการณ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นกับ witch เองในช่วง ที่ กว้าง กว่า ^{[ 31 ]}${\displaystyle y=1/(1+25x^{2})}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle y=1/(1+x^{2})}$${\displaystyle [-5,5]}$

แม่มดแห่ง Agnesi ประมาณการกระจายพลังงานสเปกตรัมของเส้นสเปกตรัมโดยเฉพาะเส้นรังสีเอ็กซ์^{[ 32 ]}

หน้าตัดของเนินเขา เรียบ มีรูปร่างคล้ายกับแม่มด^{[ 33 ]}เส้นโค้งที่มีรูปร่างนี้ถูกใช้เป็นอุปสรรคทางภูมิประเทศทั่วไปในการไหลในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์^{[ 34 ] [ 35 ]}คลื่นเดี่ยวในน้ำลึกก็สามารถมีรูปร่างนี้ได้เช่นกัน^{[ 36 ] [ 37 ]}

Gottfried Wilhelm Leibnizใช้เส้นโค้งเวอร์ชันนี้เพื่อหาอนุพันธ์ของสูตร Leibniz สำหรับπสูตรนี้ ซึ่งเป็นอนุกรมอนันต์ สามารถหาได้โดยการเทียบพื้นที่ใต้เส้นโค้งกับปริพันธ์ของฟังก์ชันโดย ใช้ การขยายอนุกรม เทย์เลอร์ของฟังก์ชันนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิต อนันต์ และทำการอินทิเกรตทีละพจน์^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots ,}$$${\displaystyle 1/(1+x^{2})}$${\displaystyle 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots }$

The Witch of Agnesiเป็นชื่อนวนิยายของ Robert Spiller ซึ่งมีฉากหนึ่งที่ครูเล่าประวัติความเป็นมาของคำนี้^{[ 38 ]}

Witch of Agnesiยังเป็นชื่ออัลบั้มเพลงของวงแจ๊สสี่คน Radius อีกด้วย หน้าปกอัลบั้มมีภาพการสร้างแม่มด^{[ 39 ]}

วิกิซอร์ซมีเนื้อหาจาก บทความ สารานุกรมบริแทนนิกาค.ศ. 1911เรื่อง " แม่มดแห่งอักเนซี "

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับแม่มดแห่งอักเนซี

• "แม่มดแห่งแอกเนซี" ในดัชนีเส้นโค้งอันโด่งดังของ MacTutor
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "แม่มดแห่งแอกเนซี" , แมธเวิลด์
• Witch of Agnesiโดย Chris Boucher ดัดแปลงจากผลงานของEric W. Weissteinในโครงการ Wolfram Demonstrations Project
• แลมบ์, อีฟลิน (28 พฤษภาคม 2018), "สถานที่โปรดของฉันบางส่วน: แม่มดแห่งแอกเนซี" , รากเหง้าแห่งความสามัชย์ , ไซเอนทิ สต์ อเมริกัน