ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์พีชคณิตเชิงเส้นการแยกตัวประกอบเมทริกซ์หรือการแยกตัวประกอบเมทริกซ์คือการแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ มีการแยกตัวประกอบเมทริกซ์หลายแบบ แต่ละแบบมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาเฉพาะกลุ่ม

ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข มีการใช้การแยกส่วน ที่ แตกต่างกันเพื่อนำอัลกอริทึม เมทริกซ์ที่มีประสิทธิภาพมาใช้

ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น เมทริกซ์Aสามารถแยกตัวประกอบได้โดยใช้การแยกตัวประกอบ LUการแยกตัวประกอบ LU จะแยกเมทริกซ์ออกเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างLและเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนUระบบสมการที่ได้นั้นต้องการการบวกและการคูณน้อยกว่าเมื่อเทียบกับระบบสมการเดิมแม้ว่าอาจต้องใช้จำนวนหลักมากขึ้นอย่างมากในการคำนวณที่ไม่แม่นยำ เช่นเลขทศนิยม ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$${\displaystyle L(U\mathbf {x} )=\mathbf {b} }$${\displaystyle U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b} }$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

ในทำนองเดียวกันการแยกส่วน QRแสดงAเป็นQRโดยที่Qเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากและRเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ระบบQ ( R x ) = bแก้ได้โดยR x = Q ^T b = cและระบบR x = cแก้ได้โดย ' การแทนค่าแบบย้อนกลับ ' จำนวนการบวกและการคูณที่ต้องการจะมากกว่าการใช้ตัวแก้ LU ประมาณสองเท่า แต่ไม่จำเป็นต้องใช้ตัวเลขเพิ่มในการคำนวณที่ไม่แม่นยำ เนื่องจากการแยกส่วน QR มีเสถียรภาพเชิงตัวเลข

• โดยทั่วไปใช้ได้กับเมทริกซ์จัตุรัสAแม้ว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมผืนผ้าก็สามารถใช้ได้เช่นกัน^{[ 1 ] [ nb 1 ]}
• การแยกส่วนประกอบ: โดยที่Lเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างและUเป็น เมทริกซ์ สามเหลี่ยมบน${\displaystyle A=LU}$
• ที่เกี่ยวข้อง: การแยกส่วนLDUคือโดยที่Lเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่มีเลข 1 อยู่บนแนวทแยงมุม, Uเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนที่มีเลข 1 อยู่บนแนวทแยงมุม และDเป็น เมท ริกซ์แนวทแยงมุม${\displaystyle A=LDU}$
• ที่เกี่ยวข้อง: การแยกส่วนLUPคือโดยที่Lคือเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง , Uคือเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนและPคือ เมทริก ซ์การเรียงสับเปลี่ยน${\displaystyle PA=LU}$
• การมีอยู่: การแยกส่วนแบบ LUP มีอยู่สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสA ใดๆ เมื่อPเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์การแยกส่วนแบบ LUP จะลดรูปเป็นการแยกส่วนแบบ LU
• หมายเหตุ: การแยกตัวประกอบ LUP และ LU มีประโยชน์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นขนาดn x nการแยกตัวประกอบเหล่านี้สรุปกระบวนการกำจัดแบบเกาส์เซียนในรูปแบบเมทริกซ์ เมทริกซ์Pแทนการสลับแถวใดๆ ที่ดำเนินการในกระบวนการกำจัดแบบเกาส์เซียน หากการกำจัดแบบเกาส์เซียนสร้างรูปแบบขั้นบันไดแถวโดยไม่ต้องมีการสลับแถวใดๆ แสดงว่าP  =  Iดังนั้นจึงมีการแยกตัวประกอบ LU อยู่${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์A ขนาด m x nที่มีอันดับr
• การแยกส่วนประกอบ: โดยที่Cคือ เมทริกซ์ขนาด m x rที่มีอันดับคอลัมน์เต็ม และFคือเมทริกซ์ขนาดr x n ที่มีอันดับแถวเต็ม${\displaystyle A=CF}$
• หมายเหตุ: การแยกตัวประกอบอันดับสามารถใช้ใน การ ^{คำนวณ}ผกผันเทียมของ Moore–PenroseของA [ ^{2 ]}ซึ่งสามารถนำไปใช้เพื่อให้ได้คำตอบทั้งหมดของระบบเชิง เส้น${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์จัตุรัส , เมทริกซ์เฮอร์มิเชียน , เมท ริกซ์บวกกำหนด${\displaystyle A}$
• การแยกส่วนประกอบ: โดยที่เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนที่มีค่าบวกจริงเป็นองค์ประกอบแนวทแยง${\displaystyle A=U^{*}U}$${\displaystyle U}$
• หมายเหตุ: ถ้าเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนและเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด (positive semi-definite) เมทริกซ์นั้นจะมีรูปแบบการแยกตัวประกอบดังนี้ถ้าอนุญาตให้ค่าในแนวทแยงมุมของเมทริกซ์เป็นศูนย์ได้${\displaystyle A}$${\displaystyle A=U^{*}U}$${\displaystyle U}$
• ความเป็นเอกลักษณ์: สำหรับเมทริกซ์บวกกำหนด การแยกตัวประกอบโคลสกี้มีความเป็นเอกลักษณ์ อย่างไรก็ตาม ในกรณีของเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด การแยกตัวประกอบโคลสกี้จะไม่เป็นเอกลักษณ์
• หมายเหตุ: ถ้าเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์จริงและสมมาตร เมทริกซ์นั้นจะมีสมาชิกที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมด${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$
• หมายเหตุ: อีกทางเลือกหนึ่งคือการแยกส่วน LDLซึ่งสามารถหลีกเลี่ยงการหาค่ารากที่สองได้

• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์A ขนาด m x nที่มีคอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้น
• การแยกส่วนประกอบ: โดยที่เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาดm x mและเป็น เมทริกซ์ สามเหลี่ยมบนขนาดm x n${\displaystyle A=QR}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle R}$
• ความเป็นเอกลักษณ์: โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์นี้ไม่มีเอกลักษณ์ แต่ถ้า เมทริกซ์ นั้นมีอันดับ เต็ม จะมีเมทริกซ์เพียงหนึ่งเดียวที่มีองค์ประกอบแนวทแยงมุมเป็นบวกทั้งหมด ถ้าเมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์จัตุรัส ก็จะมีเอกลักษณ์เช่น กัน${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Q}$
• หมายเหตุ: การแยกตัวประกอบ QR เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการแก้ระบบสมการ ข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์ตั้งฉาก หมายความว่าดังนั้น จึงเทียบเท่ากับซึ่งแก้ได้ง่ายมากเนื่องจากเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=I}$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$${\displaystyle R\mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {b} }$${\displaystyle R}$

• เรียกอีกอย่างว่าการแยกองค์ประกอบสเปกตรัม
• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์จัตุรัสAที่มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้น (ไม่จำเป็นต้องมีค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน)
• การแยกส่วนประกอบ: โดยที่Dคือเมทริกซ์แนวทแยง ที่ สร้างขึ้นจากค่าลักษณะเฉพาะของAและคอลัมน์ของVคือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ที่สอดคล้องกัน ของA${\displaystyle A=VDV^{-1}}$
• การมีอยู่: เมทริกซ์Aขนาดn x nจะมี ค่าลักษณะเฉพาะ (จำนวนเชิงซ้อน) จำนวน n ค่าเสมอ ซึ่งสามารถเรียงลำดับ (ได้มากกว่าหนึ่งวิธี) เพื่อสร้างเมทริกซ์ทแยงมุมDขนาดn x nและเมทริกซ์V ที่มีคอลัมน์ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งสอดคล้องกับสมการค่าลักษณะเฉพาะเมท ริกซ์ ผกผันได้ก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั้ง nตัวเป็นอิสระ เชิงเส้น (กล่าวคือ ค่าลักษณะเฉพาะแต่ละค่ามีความซ้ำเชิงเรขาคณิตเท่ากับความซ้ำเชิงพีชคณิต ) เงื่อนไขที่เพียงพอ (แต่ไม่จำเป็น) สำหรับสิ่งนี้คือ ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดต้องแตกต่างกัน (ในกรณีนี้ ความซ้ำเชิงเรขาคณิตและความซ้ำเชิงพีชคณิตเท่ากับ 1)${\displaystyle AV=VD}$${\displaystyle V}$
• หมายเหตุ: เราสามารถปรับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะให้มีความยาวเท่ากับหนึ่งได้เสมอ (ดูคำจำกัดความของสมการค่าลักษณะเฉพาะ)
• หมายเหตุ: เมทริกซ์ปกติA ทุกตัว (นั่นคือ เมทริกซ์ที่โดยที่คือเมทริกซ์สลับตำแหน่งสังยุค ) สามารถแยกส่วนประกอบตามค่าลักษณะเฉพาะได้ สำหรับเมทริกซ์ปกติA (และเฉพาะเมทริกซ์ปกติเท่านั้น) เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะยังสามารถทำให้เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากปกติได้ ( ) และการแยกส่วนประกอบตามค่าลักษณะเฉพาะจะเป็นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมทริกซ์เอกภาพ เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนหรือเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเฉียง (ในกรณีค่าจริง เมทริกซ์ตั้งฉากเมทริกซ์สมมาตรหรือเมทริกซ์สมมาตรเฉียง ตามลำดับ) ทั้งหมดเป็นเมทริกซ์ปกติและดังนั้นจึงมีคุณสมบัตินี้${\displaystyle AA^{*}=A^{*}A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle VV^{*}=I}$${\displaystyle A=VDV^{*}}$
• หมายเหตุ: สำหรับเมทริกซ์สมมาตร จริงใดๆ Aการแยกส่วนประกอบค่าลักษณะเฉพาะจะมีอยู่เสมอและสามารถเขียนได้เป็น โดยที่ทั้งDและVเป็นจำนวนจริง${\displaystyle A=VDV^{\mathsf {T}}}$
• หมายเหตุ: การแยกส่วนประกอบค่าลักษณะเฉพาะมีประโยชน์สำหรับการทำความเข้าใจวิธีแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นหรือสมการเชิงผลต่างเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น สมการเชิงผลต่างที่เริ่มต้นจากเงื่อนไขเริ่มต้นจะแก้ได้ด้วยซึ่งเทียบเท่ากับโดยที่VและDคือเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะของAเนื่องจากDเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม การยกกำลัง D จึงทำได้โดยการยกกำลังแต่ละองค์ประกอบบนแนวทแยงมุมด้วยกำลังtซึ่งทำได้ง่ายกว่าและเข้าใจง่ายกว่าการยกกำลังAด้วยกำลังt มาก เนื่องจากAมักจะไม่ใช่เมทริกซ์ทแยงมุม${\displaystyle x_{t+1}=Ax_{t}}$${\displaystyle x_{0}=c}$${\displaystyle x_{t}=A^{t}c}$${\displaystyle x_{t}=VD^{t}V^{-1}c}$${\displaystyle D^{t}}$

รูปแบบปกติของจอร์แดนและการแยกส่วนแบบจอร์แดน-เชอวาลลีย์

• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์จัตุรัสA
• หมายเหตุ: รูปแบบปกติของจอร์แดนเป็นการขยายการแยกส่วนประกอบค่าลักษณะเฉพาะไปยังกรณีที่มีค่าลักษณะเฉพาะซ้ำกันและไม่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ ในขณะที่การแยกส่วนประกอบแบบจอร์แดน-เชอวาลลีย์ทำเช่นนั้นโดยไม่ต้องเลือกฐาน

• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์จัตุรัสA
• การแยกส่วน (เวอร์ชันเชิงซ้อน): โดยที่Uคือเมทริกซ์เอกลักษณ์คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของUและTคือ เมทริกซ์ สามเหลี่ยมบน ที่เรียกว่า รูปแบบ Schurเชิงซ้อนซึ่งมีค่าลักษณะเฉพาะของAอยู่ตามแนวทแยงมุม${\displaystyle A=UTU^{*}}$${\displaystyle U^{*}}$
• หมายเหตุ: ถ้าAเป็นเมทริกซ์ปกติแล้วTจะเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม และการแยกส่วนแบบ Schur จะตรงกับการแยกส่วนแบบสเปกตรัม

• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์จัตุรัสA
• การแยกส่วนประกอบ: นี่คือรูปแบบหนึ่งของการแยกส่วนประกอบแบบ Schur โดยที่และประกอบด้วยจำนวนจริงเท่านั้น เราสามารถเขียนได้เสมอว่า โดยที่Vคือเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก จริง คือเมทริกซ์สลับตำแหน่งของVและSคือ เมทริกซ์ สามเหลี่ยมบนแบบบล็อกที่เรียกว่ารูปแบบ Schur จริง บล็อกบนแนวทแยงของSมีขนาด 1×1 (ในกรณีนี้จะแสดงค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นจำนวนจริง) หรือ 2×2 (ในกรณีนี้จะได้มาจาก คู่ค่าลักษณะเฉพาะ ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุค )${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A=VSV^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle V^{\mathsf {T}}}$

• เรียกอีกอย่างว่า: การแยกส่วนแบบ Schur ทั่วไป
• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์จัตุรัสAและB
• หมายเหตุ: การแยกส่วนประกอบนี้มีสองเวอร์ชัน ได้แก่ เวอร์ชันเชิงซ้อนและเวอร์ชันเชิงจริง
• การแยกส่วนประกอบ (เวอร์ชันเชิงซ้อน): โดยที่QและZเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ เครื่องหมาย * เหนือตัวอักษรแสดงถึงการสลับเปลี่ยนเชิงสังยุคและSและTเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน${\displaystyle A=QSZ^{*}}$${\displaystyle B=QTZ^{*}}$
• หมายเหตุ: ในการแยกส่วน QZ ที่ซับซ้อน อัตราส่วนขององค์ประกอบแนวทแยงของSต่อองค์ประกอบแนวทแยงที่สอดคล้องกันของTคือค่าลักษณะเฉพาะทั่วไปที่แก้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะทั่วไป (โดยที่เป็นสเกลาร์ที่ไม่ทราบค่า และvเป็นเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์และไม่ทราบค่า)${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}}$${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda B\mathbf {v} }$${\displaystyle \lambda }$
• การแยกส่วนประกอบ (เวอร์ชันจริง): โดยที่A , B , Q , Z , SและTเป็นเมทริกซ์ที่มีเฉพาะจำนวนจริง ในกรณีนี้QและZเป็นเมทริกซ์เชิง ตั้งฉาก Tที่ยกกำลังหมายถึงการสลับแถวและคอลัมน์และSและTเป็น เมทริกซ์ สามเหลี่ยมบนแบบบล็อกบล็อกบนแนวทแยงของSและTมีขนาด 1×1 หรือ 2×2${\displaystyle A=QSZ^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle B=QTZ^{\mathsf {T}}}$

• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์จัตุรัส เมทริกซ์เชิงซ้อน และเมทริกซ์สมมาตรA
• การแยกส่วน: โดยที่Dเป็นเมทริกซ์แนวทแยงมุม ที่ไม่เป็นลบและมี จำนวน จริง และVเป็น เมทริก ซ์เอกลักษณ์ หมายถึงเมทริกซ์สลับตำแหน่งของV${\displaystyle A=VDV^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle V^{\mathsf {T}}}$
• หมายเหตุ: องค์ประกอบแนวทแยงของเมทริกซ์ Dคือรากที่สองที่ไม่เป็นลบของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์${\displaystyle AA^{*}=VD^{2}V^{-1}}$
• หมายเหตุ: Vอาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ แม้ว่าAจะเป็นจำนวนจริงก็ตาม
• หมายเหตุ: นี่ไม่ใช่กรณีพิเศษของการแยกส่วนประกอบค่าลักษณะเฉพาะ (ดูด้านบน) ซึ่งใช้แทนที่จะ ใช้ นอกจากนี้ หากAไม่ใช่จำนวนจริง ก็จะไม่ใช่เมทริกซ์เฮอร์มิเชียน และรูปแบบที่ใช้ก็ใช้ไม่ได้เช่นกัน${\displaystyle V^{-1}}$${\displaystyle V^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle V^{*}}$

• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์Aขนาดm x n
• การแยกส่วนประกอบ: โดยที่Dเป็นเมทริกซ์แนวทแยง ที่ไม่เป็นลบ และUกับVเป็นไปตามเงื่อนไขโดยที่คือเมทริกซ์สลับตำแหน่ง สังยุค ของV (หรือเรียกง่ายๆ ว่าเมทริกซ์สลับตำแหน่งถ้าVประกอบด้วยจำนวนจริงเท่านั้น) และIแทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ (ที่มีมิติใดมิติหนึ่ง)${\displaystyle A=UDV^{*}}$${\displaystyle U^{*}U=I,V^{*}V=I}$${\displaystyle V^{*}}$
• หมายเหตุ: องค์ประกอบแนวทแยงของเมทริกซ์ Dเรียกว่าค่าเอกลักษณ์ของ เมทริก ซ์A
• หมายเหตุ: เช่นเดียวกับการแยกส่วนประกอบค่าลักษณะเฉพาะข้างต้น การแยกส่วนประกอบค่าเอกลักษณ์เกี่ยวข้องกับการค้นหาทิศทางพื้นฐานที่การคูณเมทริกซ์เทียบเท่ากับการคูณสเกลาร์ แต่มีความทั่วไปมากกว่าเนื่องจากเมทริกซ์ที่พิจารณาไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัส
• ความเป็นเอกลักษณ์: ค่าเอกลักษณ์ของจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันเสมอและไม่จำเป็นต้องเป็นเอกลักษณ์โดยทั่วไป${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

หมายถึงรูปแบบต่างๆ ของการแยกส่วนเมทริกซ์ที่มีอยู่แล้ว เช่น SVD ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการปรับขนาดแนวทแยงมุม

• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์Aขนาดm x n
• การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วน (Unit-Scale-Invariant Singular-Value Decomposition): โดยที่Sคือเมทริกซ์แนวทแยง ที่ไม่เป็นลบเพียงหนึ่งเดียว ของค่าเอกลักษณ์ที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วน UและVคือเมทริกซ์เอกลักษณ์คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยนเชิงสังยุคของVและDและE คือเมทริกซ์แนวทแยง ที่ เป็นบวก${\displaystyle A=DUSV^{*}E}$${\displaystyle V^{*}}$
• หมายเหตุ: มีลักษณะคล้ายกับ SVD ยกเว้นว่าองค์ประกอบแนวทแยงของSจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อคูณA ด้วยเมทริกซ์แนวทแยงที่ไม่เอกฐานทางซ้ายและ/หรือขวา ในขณะที่ SVD มาตรฐานนั้น ค่าเอกฐานจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อคูณ Aด้วยเมทริกซ์เอกฐานทางซ้ายและ/หรือขวา
• หมายเหตุ: เป็นทางเลือกอื่นนอกเหนือจาก SVD มาตรฐาน เมื่อต้องการความไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับการแปลงแนวทแยงมุม แทนที่จะเป็นการแปลงแบบเอกภาพของA
• ความเป็นเอกลักษณ์: ค่าเอกลักษณ์ที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วนของ(กำหนดโดยองค์ประกอบแนวทแยงของS ) จะถูกกำหนดอย่างเป็นเอกลักษณ์เสมอ เมทริกซ์แนวทแยงDและEและเมทริกซ์เอกลักษณ์UและVไม่จำเป็นต้องมีเอกลักษณ์เสมอไป${\displaystyle A}$
• หมายเหตุ: เมทริกซ์ UและVไม่เหมือนกับเมทริกซ์ที่ได้จาก SVD

การแยกส่วนแบบคงที่ตามมาตราส่วนที่คล้ายคลึงกันสามารถหาได้จากการแยกส่วนเมทริกซ์อื่นๆ ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ค่าลักษณะเฉพาะแบบคงที่ตามมาตราส่วน^{[ 3 ] [ 4 ]}

• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์จัตุรัส A
• การแยกส่วนประกอบ: โดยที่คือเมทริกซ์เฮสเซนเบิร์กและคือเมทริกซ์เอกลักษณ์${\displaystyle A=PHP^{*}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P}$
• หมายเหตุ: มักเป็นขั้นตอนแรกในกระบวนการแยกส่วนประกอบแบบ Schur

• เรียกอีกอย่างว่า: การแยกส่วน UTV , การแยกส่วน ULV , การแยกส่วน URV
• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์Aขนาดm x n
• การแยกส่วนประกอบ: โดยที่Tคือเมทริกซ์สามเหลี่ยมและUกับVคือเมทริกซ์เอกลักษณ์${\displaystyle A=UTV^{*}}$
• หมายเหตุ: คล้ายคลึงกับการแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ (singular value decomposition) และการแยกส่วนแบบชูร์ (Schur decomposition)

• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์เชิงซ้อนจัตุรัสใดๆA
• การแยกส่วนประกอบ: (การแยกส่วนประกอบแบบขั้วขวา) หรือ(การแยกส่วนประกอบแบบขั้วซ้าย) โดยที่Uคือเมทริกซ์เอกลักษณ์และPและP'คือเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนกึ่งบวก${\displaystyle A=UP}$${\displaystyle A=P'U}$
• ความเป็นเอกลักษณ์: มีค่าเป็นเอกลักษณ์เสมอและเท่ากับ(ซึ่งเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนและเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดเสมอ) ถ้าสามารถผกผันได้ แสดงว่ามีค่าเป็นเอกลักษณ์${\displaystyle P}$${\displaystyle {\sqrt {A^{*}A}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$
• หมายเหตุ: เนื่องจากเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนใดๆ ก็ตามสามารถแยกส่วนสเปกตรัมได้ด้วยเมทริกซ์เอกภาพ จึงสามารถเขียนได้เป็นเนื่องจากเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด ดังนั้นองค์ประกอบทั้งหมดใน จึงไม่เป็นลบ และเนื่องจากผลคูณของเมทริกซ์เอกภาพสองตัวเป็นเมทริกซ์เอกภาพ ดังนั้นการเลือกเมท ริกซ์ หนึ่งตัวสามารถเขียนได้เป็น ซึ่งเป็นการแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ ดังนั้น การมีอยู่ของการแยกส่วนเชิงขั้วจึงเทียบเท่ากับการมีอยู่ของการแยกส่วนค่าเอกลักษณ์${\displaystyle P}$${\displaystyle P=VDV^{*}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle W=UV}$${\displaystyle A=U(VDV^{*})=WDV^{*}}$

• ^{ใช้ได้กับ: เมทริก ซ์}สี่เหลี่ยมจัตุรัส เชิงซ้อน และไม่เอกฐานA ^{[ 5} ]
• การแยกส่วนประกอบ: โดยที่Qคือเมทริกซ์เชิงตั้งฉากเชิงซ้อน และSคือเมทริกซ์สมมาตรเชิงซ้อน${\displaystyle A=QS}$
• ความเป็นเอกลักษณ์: หากไม่มีค่าไอเกนจริงที่เป็นลบ การแยกส่วนจะเป็นเอกลักษณ์^{[ 6 ]}${\displaystyle A^{\mathsf {T}}A}$
• หมายเหตุ: การมีอยู่ของการแยกส่วนนี้เทียบเท่ากับ การมี ความคล้ายคลึงกับ^{[ 7 ]}${\displaystyle AA^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}A}$
• หมายเหตุ: รูปแบบหนึ่งของการแยกส่วนนี้คือโดยที่Rเป็นเมทริกซ์จริง และCเป็น เมทริก ซ์วงกลม^{[ 6 ]}${\displaystyle A=RC}$

• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส เมทริกซ์เชิงซ้อน และเมทริกซ์ไม่เอกฐานA ^{[ 8 ] [ 9 ]}
• การแยกส่วนประกอบ: โดยที่Uเป็นยูนิแทรี, Mเป็นแอนติสมมาตรจริง และSเป็นสมมาตรจริง${\displaystyle A=Ue^{iM}e^{S}}$
• หมายเหตุ: เมทริกซ์Aสามารถแยกส่วนได้เป็น โดยที่U ₂เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์M ₂เป็นเมทริกซ์สมมาตรจริง และS ₂เป็นเมทริกซ์สมมาตรจริง^{[ 6 ]}${\displaystyle A=U_{2}e^{S_{2}}e^{iM_{2}}}$

• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์จัตุรัสAที่มีองค์ประกอบเป็นบวกอย่างเคร่งครัด
• การแยกส่วน: โดยที่Sเป็นเมทริกซ์สุ่มสองชั้นและD ₁และD ₂เป็นเมทริกซ์แนวทแยงจริงที่มีองค์ประกอบเป็นบวกอย่างเคร่งครัด${\displaystyle A=D_{1}SD_{2}}$

• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสเชิงซ้อนAที่มีช่วงตัวเลขอยู่ในภาคส่วนนั้น${\displaystyle S_{\alpha }=\left\{re^{i\theta }\in \mathbb {C} \mid r>0,|\theta |\leq \alpha <{\frac {\pi }{2}}\right\}}$
• การแยกส่วน: โดยที่Cเป็นเมทริกซ์เชิงซ้อนที่ผกผันได้และทั้งหมด^{[ 10 ] [ 11 ]}${\displaystyle A=CZC^{*}}$${\displaystyle Z=\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}$${\displaystyle \left|\theta _{j}\right|\leq \alpha }$

• ใช้ได้กับ: เมทริกซ์จัตุรัสบวกแน่นอนAที่มีขนาด2n × 2n
• การแยกส่วน: โดยที่เป็นเมทริกซ์ซิมเพล็กติกและDเป็นเมทริกซ์แนวทแยงมุม ขนาด n x n ที่ไม่ลบ ^{[ 12 ]}${\displaystyle A=S^{\mathsf {T}}\operatorname {diag} (D,D)S}$${\displaystyle S\in {\text{Sp}}(2n)}$

• การแยกส่วนประกอบ: ไม่ใช่ส่วนประกอบเดียวโดยทั่วไป${\displaystyle A=BB}$
• ในกรณีของเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดจะมีเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่ทำให้${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A=B^{*}B=BB}$

มีอนาล็อกของการแยกตัวประกอบ SVD, QR, LU และ Cholesky สำหรับควาซิเมทริกซ์และซีเมทริกซ์หรือ เมทริก ซ์ต่อเนื่อง^{[ 13 ]} "ควาซิเมทริกซ์" เหมือนกับเมทริกซ์ เป็นโครงร่างสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีองค์ประกอบเป็นดัชนี แต่ดัชนีแบบไม่ต่อเนื่องหนึ่งตัวจะถูกแทนที่ด้วยดัชนีแบบต่อเนื่อง ในทำนองเดียวกัน "ซีเมทริกซ์" ก็มีความต่อเนื่องในทั้งสองดัชนี ตัวอย่างของซีเมทริกซ์คือเคอร์เนลของตัวดำเนินการอินทิกรัล

การแยกตัวประกอบเหล่านี้มีพื้นฐานมาจากงานในช่วงแรกของFredholm (1903) , Hilbert (1904)และSchmidt (1907)สำหรับรายละเอียดและคำแปลเป็นภาษาอังกฤษของเอกสารสำคัญ โปรดดูStewart (2011)

• การแยกเมทริกซ์
• การแยกตัวประกอบเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบ
• การวิเคราะห์ส่วนประกอบหลัก

• เครื่องคำนวณเมทริกซ์ออนไลน์ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 12 ธันวาคม 2008 ที่Wayback Machine
• การคำนวณการแยกส่วนเมทริกซ์ Wolfram Alpha » การแยกส่วน LU และ QR
• สารานุกรมคณิตศาสตร์สปริงเกอร์ » การแยกตัวประกอบเมทริกซ์
• GraphLab คือไลบรารี การกรองแบบร่วมมือ (collaborative filtering) ของ GraphLab ซึ่งเป็นการใช้งานแบบขนานขนาดใหญ่ของวิธีการแยกส่วนเมทริกซ์ (ในภาษา C++) สำหรับโปรเซสเซอร์มัลติคอร์