ในทางคณิตศาสตร์เมทริกซ์สามเหลี่ยม เป็น เมทริกซ์จัตุรัสชนิดพิเศษ ส่วนเมทริกซ์จัตุรัสเรียกว่า...เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างคือเมทริกซ์ที่ค่าทุกค่าเหนือเส้นทแยงมุมหลักศูนย์ ในทำนองเดียวกัน เมทริกซ์จัตุรัสเรียกว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมเป็น เมทริกซ์สามเหลี่ยมบนถ้าค่าทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์

เนื่องจากสมการเมทริกซ์ที่มีเมทริกซ์สามเหลี่ยมนั้นแก้ได้ง่ายกว่า จึงมีความสำคัญมากในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขโดยใช้อัลกอริทึมการแยกตัวประกอบ LU เมทริกซ์ผกผันสามารถเขียนได้เป็นผลคูณของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างLและเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนU ก็ต่อเมื่อไมเนอร์หลักนำหน้าทั้งหมดของเมทริก ซ์นั้น ไม่เป็นศูนย์

เมทริกซ์ในรูปแบบ

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bเมทริกซ์}}}$

เรียกว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างหรือเมทริกซ์สามเหลี่ยมซ้ายและในทำนองเดียวกัน เมทริกซ์ในรูปแบบ

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bเมทริกซ์}}}$

เรียกว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนหรือเมทริกซ์สามเหลี่ยมขวา เมทริกซ์สามเหลี่ยม ล่างหรือเมทริกซ์สามเหลี่ยมซ้ายมักใช้สัญลักษณ์L แทน และเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนหรือเมทริกซ์สามเหลี่ยมขวามักใช้สัญลักษณ์UหรือRแทน

เมทริกซ์ที่เป็นทั้งเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนและล่างเรียกว่า เมทริก ซ์ทแยงมุมเมทริกซ์ที่คล้ายกับเมทริกซ์สามเหลี่ยมเรียกว่าเมท ริกซ์ ที่แปลงเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมได้

เมทริกซ์ที่ไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัส (หรือบางครั้งอาจเป็นเมทริกซ์ใดๆ) ที่มีค่าเป็นศูนย์อยู่เหนือ (ใต้) เส้นทแยงมุม เรียกว่า เมทริกซ์สี่เหลี่ยมคางหมูล่าง (บน) ค่าที่ไม่เป็นศูนย์ในเมทริกซ์เหล่านี้จะประกอบกันเป็นรูป สี่เหลี่ยมคางหมู

เมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\end{bmatrix}}}$

คือเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างสำหรับเมทริกซ์ที่ไม่สมมาตร:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&5&8\\2&96&9\\4&9&69\end{bmatrix}}}$

และ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&9\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

คือสามเหลี่ยมบนสำหรับเมทริกซ์ที่ไม่สมมาตร:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\99&6&9\\40&88&1\end{bmatrix}}}$

สมการเมทริกซ์ในรูปแบบหรือนั้นแก้ได้ง่ายมากโดยใช้กระบวนการวนซ้ำที่เรียกว่าการแทนค่าไปข้างหน้าสำหรับเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง และในทำนองเดียวกัน คือ การแทนค่าไปข้างหลังสำหรับเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน กระบวนการนี้เรียกว่า การแทนค่าไปข้าง หน้า เพราะสำหรับเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง ขั้น แรก จะคำนวณ จากนั้นแทน ค่าไปข้างหน้าลง ในสมการถัดไปเพื่อหาและทำซ้ำไปเรื่อยๆ จนถึงในเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน จะทำงานย้อนกลับ โดยคำนวณ ก่อนจากนั้นแทนค่ากลับลงใน สมการ ก่อนหน้าเพื่อหาและทำซ้ำไปเรื่อยๆจนถึง ${\displaystyle L\mathbf {x} =\mathbf {b} }$${\displaystyle U\mathbf {x} =\mathbf {b} }$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n-1}}$${\displaystyle x_{1}}$

โปรดสังเกตว่าวิธีนี้ไม่จำเป็นต้องทำการผกผันเมทริกซ์

สมการเมทริกซ์L x = bสามารถเขียนได้ในรูปของระบบสมการเชิงเส้น

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

สังเกตว่าสมการแรก ( ) เกี่ยวข้องเฉพาะ เท่านั้นดังนั้นจึงสามารถหาค่า ได้โดยตรง สมการที่สองเกี่ยวข้องเฉพาะและเท่านั้น ดังนั้นจึงสามารถหาค่าได้เมื่อแทนค่า ที่หาได้แล้วลงไป ทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆสมการที่ -th เกี่ยวข้องเฉพาะ เท่านั้นและสามารถหาค่า ได้โดยใช้ค่า ที่หาได้แล้วก่อนหน้านี้สูตรที่ได้คือ: ${\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}}$

สมการเมทริกซ์ที่มีเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนUสามารถแก้ได้ในทำนองเดียวกัน เพียงแต่ทำย้อนกลับเท่านั้น

การทดแทนล่วงหน้า (Forward substitution) ถูกนำมาใช้ในการสร้างเส้นโค้งผลตอบแทน ทางการเงิน (Financial Bootstrapping )

เมทริกซ์สลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนจะได้เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง และเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างจะได้เมทริกซ์สลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน

เมทริกซ์ที่สมมาตรและเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมจะเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม ในทำนองเดียวกัน เมทริกซ์ที่เป็นเมทริกซ์ปกติ (หมายความว่า A ^* A = AA ^*โดยที่A ^*คือเมทริกซ์สลับตำแหน่งสังยุค ) และเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมก็จะเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเช่นกัน สามารถดูได้จากค่าในแนวทแยงมุมของA ^* AและAA ^*

ค่าดีเทอร์มิแนนต์และ ค่าเพอร์ มาเนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณของสมาชิกในแนวทแยงมุม ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยการคำนวณโดยตรง

ในความเป็นจริงแล้วยังมีข้อเท็จจริงเพิ่มเติมอีกว่าค่าไอเกนของเมทริกซ์สามเหลี่ยมคือค่าที่อยู่บนแนวทแยงมุมของเมทริกซ์นั้น ยิ่งไปกว่านั้น ค่าไอเกนแต่ละค่าจะปรากฏบนแนวทแยงมุมk ครั้ง โดยที่ kคือความซ้ำเชิงพีชคณิต ของค่าไอเกน นั้น นั่นคือความซ้ำของค่าไอเกนนั้นในฐานะรากของพหุนามลักษณะเฉพาะ ของA กล่าวอีกนัยหนึ่ง พหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สามเหลี่ยม n × n A คือ ค่าไอเกนของ เมทริกซ์สามเหลี่ยมn × n A นั่นเอง${\displaystyle p_{A}(x)=\det(xI-A)}$

${\displaystyle p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$,

นั่นคือ พหุนามดีกรีn ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งรากเป็นรายการแนวทแยงของA (โดยมีความซ้ำซ้อน) เพื่อดูสิ่งนี้ ให้สังเกตว่ายังเป็นรูปสามเหลี่ยมด้วย ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของมันจึงเป็นผลคูณของรายการแนวทแยง^{[ 1 ]}${\displaystyle xI-A}$${\displaystyle \det(xI-A)}$${\displaystyle (x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$

ถ้าค่าบนเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์สามเหลี่ยม (ล่างหรือบน) เป็น 1 ทั้งหมด เมทริกซ์นั้นเรียกว่าเมทริกซ์เอกสามเหลี่ยม (ล่างหรือบน )

ชื่ออื่นที่ใช้เรียกเมทริกซ์เหล่านี้ ได้แก่ เมท ริกซ์สามเหลี่ยมหน่วย (ล่างหรือบน) หรือในบางกรณีที่ใช้น้อยมาก คือ เมทริก ซ์สามเหลี่ยมนอร์ม (ล่างหรือบน) อย่างไรก็ตาม เมทริกซ์สามเหลี่ยม หน่วยไม่เหมือนกับเมทริกซ์หน่วยและ เมทริกซ์สามเหลี่ยม นอร์มก็ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องนอร์มของเมทริกซ์

เมทริกซ์เอกลักษณ์สามเหลี่ยมจำกัดทั้งหมดเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์กำลังหนึ่งเดียว

ถ้าค่าทั้งหมดในแนวทแยงมุมหลักของเมทริกซ์สามเหลี่ยม (ล่างหรือบน) เป็น 0 เมทริกซ์นั้นจะเรียกว่าเมท ริกซ์สามเหลี่ยม (ล่างหรือบน) อย่างเคร่งครัด

เมทริกซ์สามเหลี่ยมจำกัดทั้งหมดเป็นเมทริกซ์นิล โพ เทนต์ที่มีดัชนีไม่เกินnอันเป็นผลมาจากทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตัน

เมทริกซ์สามเหลี่ยมอะตอม (ล่างหรือบน) เป็นเมทริกซ์รูปแบบพิเศษของเมทริกซ์สามเหลี่ยมหน่วย โดยที่ องค์ประกอบนอกแนวทแยงทั้งหมดเป็นศูนย์ ยกเว้นองค์ประกอบในคอลัมน์เดียว เมทริกซ์ดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่าเมทริกซ์ฟรอเบนิอุสเมทริกซ์เกาส์หรือเมทริกซ์การแปลงเกาส์

เมทริกซ์บล็อกสามเหลี่ยม คือเมทริกซ์บล็อก (เมทริกซ์แบ่งส่วน) ที่เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม

เมทริกซ์จะเป็น เมทริก ซ์สามเหลี่ยมบล็อกบนก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

ที่สำหรับทุกคน^{[ 2 ]}${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

เมทริกซ์จะเป็น เมทริก ซ์บล็อกสามเหลี่ยมล่างถ้า ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

ที่สำหรับทุกคน^{[ 2 ]}${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

เมทริกซ์ที่คล้ายกับเมทริกซ์สามเหลี่ยมเรียกว่า เมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นสามเหลี่ยมได้ (triangularizable ) ในเชิงนามธรรม นี่เทียบเท่ากับการทำให้แฟลก มีเสถียรภาพ : เมทริกซ์สามเหลี่ยมบนคือเมทริกซ์ที่รักษาแฟลกมาตรฐานซึ่งกำหนดโดยฐานเรียงลำดับมาตรฐานและแฟลกที่ได้แฟลกทั้งหมดเป็นคอนจูเกตกัน (เนื่องจากกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปกระทำแบบทรานซิทีฟบนฐาน) ดังนั้นเมทริกซ์ใด ๆ ที่ทำให้แฟลกมีเสถียรภาพจึงคล้ายกับเมทริกซ์ที่ทำให้แฟลกมาตรฐานมีเสถียรภาพ ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

เมทริกซ์จัตุรัสเชิงซ้อนใดๆ สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมได้^{[ 1 ]}ในความเป็นจริง เมทริกซ์Aบนฟิลด์ที่มีค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของA (ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ใดๆ บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ) มีลักษณะคล้ายกับเมทริกซ์สามเหลี่ยม สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้การเหนี่ยวนำบนข้อเท็จจริงที่ว่าAมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ โดยการใช้ปริภูมิผลหารโดยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและเหนี่ยวนำเพื่อแสดงว่าAทำให้แฟล็กมีเสถียรภาพ และดังนั้นจึงสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมได้โดยสัมพันธ์กับฐานสำหรับแฟล็กนั้น

ทฤษฎีบท รูปแบบปกติของจอร์แดนให้คำแถลงที่แม่นยำยิ่งขึ้นโดยระบุว่าในสถานการณ์นี้Aคล้ายกับเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนที่มีรูปแบบเฉพาะมาก อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์การสร้างสามเหลี่ยมที่ง่ายกว่ามักจะเพียงพอ และในทุกกรณีก็ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทรูปแบบปกติของจอร์แดน^{[ 1 ] [ 3 ]}

ในกรณีของเมทริกซ์เชิงซ้อน เราสามารถกล่าวเพิ่มเติมเกี่ยวกับการทำให้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมได้ กล่าวคือ เมทริกซ์จัตุรัสใดๆAก็มีการแยกส่วนแบบ Schurซึ่งหมายความว่าAนั้นสมมูลกันในเชิงเอกภาพ (กล่าวคือ คล้ายคลึงกัน โดยใช้เมทริกซ์เอกภาพเป็นฐานในการเปลี่ยน) กับเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ซึ่งเป็นผลมาจากการใช้ฐานแบบเฮอร์มิเชียนสำหรับแฟล็ก

ชุดของเมทริกซ์เรียกว่า${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$เมทริกซ์ สามารถทำให้เป็นเมทริก ซ์สามเหลี่ยมพร้อมกันได้หากมีฐานที่ทำให้เมทริกซ์เหล่านั้นเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนทั้งหมด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ หากเมทริกซ์เหล่านั้นสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนได้ด้วยเมทริกซ์ความคล้ายคลึงPที่กำหนดความสามารถในการทำให้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมพร้อมกันหมายความว่าพีชคณิตนี้เป็นคู่ควบกับพีชคณิตย่อยของ Lie ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน และเทียบเท่ากับพีชคณิตนี้เป็นพีชคณิตย่อยของ Lie ของพีชคณิตย่อยBorel ${\displaystyle A_{i},}$${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}].}$

ผลลัพธ์พื้นฐานคือ (บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต) เมทริกซ์ที่สลับ กันได้ หรือโดยทั่วไปแล้วสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมได้พร้อมกัน สามารถพิสูจน์ได้โดยการแสดงให้เห็นก่อนว่าเมทริกซ์ที่สลับกันได้มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะร่วมกัน แล้วจึงอุปมานตามมิติเช่นเดิม สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Frobenius ในปี 1878 สำหรับคู่เมทริกซ์ที่สลับกันได้ ดังที่ได้กล่าวไว้ในหัวข้อ เมทริกซ์ที่สลับกันได้ ส่วนเมทริกซ์เดี่ยว บนจำนวนเชิงซ้อน เมทริกซ์เหล่านี้สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมได้โดยใช้เมทริกซ์เอกภาพ ${\displaystyle A,B}$${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$

ข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์สลับที่กันได้มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะร่วมกันนั้น สามารถตีความได้ว่าเป็นผลมาจากทฤษฎีบท Nullstellensatz ของฮิลเบิร์ตกล่าวคือ เมทริกซ์สลับที่กันได้ก่อให้เกิดพีชคณิตสลับที่ กันได้ ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นวาไรตี้ใน ปริภูมิเชิงเส้น kมิติ และการมีอยู่ของค่าลักษณะเฉพาะ (ร่วมกัน) (และด้วยเหตุนี้จึงมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะร่วมกัน) สอดคล้องกับวาไรตี้ดังกล่าวที่มีจุด (ที่ไม่ว่างเปล่า) ซึ่งเป็นเนื้อหาของทฤษฎีบท Nullstellensatz (แบบอ่อน) ในทางพีชคณิต ตัวดำเนินการเหล่านี้สอดคล้องกับการแสดงพีชคณิตของพีชคณิตพหุนามในตัวแปร k ตัว${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}]}$${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{k}]}$

สิ่งนี้ได้รับการสรุปโดยทั่วไปโดยทฤษฎีบทของ Lieซึ่งแสดงให้เห็นว่าการแสดงแทนใดๆ ของพีชคณิต Lie ที่แก้ได้นั้น สามารถทำให้เป็นสามเหลี่ยมบนได้พร้อมกัน โดยกรณีของเมทริกซ์ที่สลับกันได้คือ กรณีของ พีชคณิต Lie แบบอาเบล ซึ่งพีชคณิต แบบอาเบลนั้นแก้ได้โดยปริยาย

โดยทั่วไปและแม่นยำยิ่งขึ้น ชุดของเมทริกซ์สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมได้พร้อมกันก็ต่อเมื่อเมทริกซ์นั้นเป็น เมทริก ซ์นิลโพเทนต์สำหรับพหุนามp ทั้งหมด ใน ตัวแปร k ที่ไม่สลับที่กัน โดยที่คือตัวสลับที่สำหรับการสลับ ที่กัน ตัวสลับที่จะเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นจริง สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Drazin, Dungey และ Gruenberg ในปี 1951 ^{[ 4 ]}มีการพิสูจน์โดยย่อโดย Prasolov ในปี 1994 ^{[ 5 ]}ทิศทางหนึ่งชัดเจน: ถ้าเมทริกซ์สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมได้พร้อมกัน เมทริกซ์นั้นจะสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนได้ อย่างเคร่งครัด (ดังนั้นจึง เป็นเมทริกซ์นิลโพเทนต์) ซึ่งจะถูกรักษาไว้โดยการคูณด้วยเมทริกซ์ใดๆหรือการรวมกันของเมทริกซ์เหล่านั้น – มันจะยังคงมี 0 บนแนวทแยงในฐานของเมทริกซ์สามเหลี่ยม ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$${\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]}$${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$${\displaystyle A_{k}}$

คุณสมบัติรูปสามเหลี่ยมด้านบนยังคงรักษาไว้ได้ด้วยการดำเนินการหลายอย่าง:

• ผลรวมของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนสองเมทริกซ์จะเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเช่นกัน
• ผลคูณของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนสองเมทริกซ์จะเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเช่นกัน
• เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ถ้ามีอยู่ ก็จะเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเช่นกัน
• ผลคูณของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนกับสเกลาร์จะเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเช่นกัน

ข้อเท็จจริงเหล่านี้รวมกันหมายความว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนก่อตัวเป็นพีชคณิตย่อยของ พีชคณิต แบบเชื่อม โยง ของเมทริกซ์จัตุรัสสำหรับขนาดที่กำหนด นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนสามารถมองได้ว่าเป็นพีชคณิตย่อยแบบลีของพีชคณิตลีของเมทริกซ์จัตุรัสที่มีขนาดคงที่ โดยที่วงเล็บลี [ a , b ] กำหนดโดยตัวสลับab − baพีชคณิตลีของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนทั้งหมดเป็นพีชคณิตลีที่แก้ได้มักเรียกกันว่าพีชคณิตย่อยแบบบอเรลของพีชคณิตลีของเมทริกซ์จัตุรัสทั้งหมด

ผลลัพธ์ทั้งหมดนี้ยังคงใช้ได้หากเปลี่ยนเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน เป็น เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างตลอดทั้งกระบวนการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างก็ก่อให้เกิดพีชคณิตลีด้วยเช่นกัน อย่างไรก็ตาม การดำเนินการที่ผสมเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนและล่างโดยทั่วไปแล้วจะไม่สร้างเมทริกซ์สามเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น ผลรวมของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนและล่างอาจเป็นเมทริกซ์ใดก็ได้ และผลคูณของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างกับเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนก็ไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมเสมอไป

เซตของเมทริกซ์หน่วยสามเหลี่ยมก่อตัวเป็นกลุ่มลี (Lie group )

เซตของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (หรือล่าง) อย่างเคร่งครัดก่อให้เกิดพีชคณิตลีแบบนิลโพเท นต์ ซึ่งเขียน แทนด้วย พีชคณิตนี้เป็นพีชคณิตลี อนุพันธ์ ของซึ่งเป็นพีชคณิตลีของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนทั้งหมด ในสัญลักษณ์นอกจากนี้ ยังเป็นพีชคณิตลีของกลุ่มลีของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเอกภาค อีกด้วย${\displaystyle {\mathfrak {n}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

อันที่จริง ตามทฤษฎีบทของเองเกล พีชคณิตลีแบบนิลโพเทนต์ที่มีมิติจำกัดใดๆ จะเป็นคู่สมกับพีชคณิตย่อยของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนอย่างเคร่งครัด กล่าวคือ พีชคณิตลีแบบนิลโพเทนต์ที่มีมิติจำกัดนั้นสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนอย่างเคร่งครัดได้พร้อมกัน

พีชคณิตของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนมีรูปแบบทั่วไปตามธรรมชาติในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันซึ่งก่อให้เกิดพีชคณิตแบบซ้อนบนปริภูมิฮิลเบิร์ต

เซตของเมทริกซ์สามเหลี่ยมผกผันได้ชนิดใดชนิดหนึ่ง (สามเหลี่ยมล่างหรือสามเหลี่ยมบน) ก่อให้เกิดกลุ่ม ซึ่ง ก็ คือ กลุ่มลี (Lie group ) ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของเมทริกซ์ผกผันได้ทั้งหมด เมทริกซ์สามเหลี่ยมจะผกผันได้ก็ต่อเมื่อสมาชิกในแนวทแยงมุมของเมทริกซ์นั้นผกผันได้ (ไม่เป็นศูนย์)

เมื่อพิจารณาบนจำนวนจริง กลุ่มนี้จะแยกออกจากกัน โดยมีส่วนประกอบตามลำดับที่แต่ละรายการในแนวทแยงเป็นบวกหรือลบ ส่วนประกอบเอกลักษณ์คือเมทริกซ์สามเหลี่ยมผกผันที่มีรายการเป็นบวกบนแนวทแยง และกลุ่มของเมทริกซ์สามเหลี่ยมผกผันทั้งหมดเป็นผลคูณกึ่งตรงของกลุ่มนี้กับกลุ่มของเมทริกซ์แนวทแยง ที่มีรายการ เป็นบวกบนแนวทแยง ซึ่งสอดคล้องกับส่วนประกอบต่างๆ ${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle \pm 1}$

พีชคณิตลีของกลุ่มลีของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนที่ผกผันได้ คือเซตของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนทั้งหมด ซึ่งไม่จำเป็นต้องผกผันได้ และเป็นพีชคณิตลีที่แก้ได้ ซึ่งได้แก่ กลุ่มย่อยบอเรล มาตรฐาน Bของกลุ่มลี GL _n และ พีชคณิตย่อยบอเรล มาตรฐานของพีชคณิตลี gl n _ตามลำดับ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

เมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเป็นเมทริกซ์ที่ทำให้แฟลกมาตรฐาน มี เสถียรภาพ เมทริกซ์ที่ผกผันได้ในกลุ่มนี้จะก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป ซึ่งกลุ่มย่อยคู่ควบของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปนี้คือกลุ่มที่กำหนดให้เป็นตัวทำให้แฟลกสมบูรณ์บางกลุ่มมีเสถียรภาพ (กลุ่มอื่น) กลุ่มย่อยเหล่านี้คือกลุ่มย่อยบอเรลกลุ่มของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่ผกผันได้ก็เป็นกลุ่มย่อยดังกล่าวเช่นกัน เนื่องจากมันเป็นตัวทำให้แฟลกมาตรฐานมีเสถียรภาพซึ่งเกี่ยวข้องกับฐานมาตรฐานในลำดับย้อนกลับ

ตัวรักษาเสถียรภาพของแฟล็กบางส่วนที่ได้จากการละทิ้งบางส่วนของแฟล็กมาตรฐาน สามารถอธิบายได้ว่าเป็นเซตของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนแบบบล็อก (แต่ไม่ใช่ ว่าองค์ประกอบ ทั้งหมดจะเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม) กลุ่มสังยุคของกลุ่มดังกล่าวคือกลุ่มย่อยที่นิยามเป็นตัวรักษาเสถียรภาพของแฟล็กบางส่วน กลุ่มย่อยเหล่านี้เรียกว่ากลุ่มย่อยพาราโบลิก

กลุ่มของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเอกภาคบนขนาด 2×2 นั้นมีโครงสร้างสมมาตรกับกลุ่มการบวกของฟิลด์สเกลาร์ ในกรณีของจำนวนเชิงซ้อน มันจะสอดคล้องกับกลุ่มที่เกิดจากการแปลงโมเบียส แบบพาราโบลิก และ เมทริกซ์สามเหลี่ยมเอกภาคบนขนาด 3×3 นั้นประกอบกันเป็นกลุ่มไฮเซนเบิร์ก

• การกำจัดแบบเกาส์เซียน
• การแยกส่วน QR
• การแยกตัวประกอบโคลสกี้
• เมทริกซ์เฮสเซนเบิร์ก
• เมทริกซ์สามแถว
• ปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลง