การแบ่งมุมออกเป็นสามส่วน

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ การแบ่งมุมออกเป็นสามส่วน

การแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันคือการสร้างมุมที่มีขนาดเท่ากับหนึ่งในสามของมุมที่กำหนด โดยใช้เพียงสองเครื่องมือ ได้แก่ไม้บรรทัด ที่ไม่มีเครื่องหมาย

Q: หลักฐานของความเป็นไปไม่ได้

ปิแอร์ วอนต์เซล ตี พิมพ์บทพิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ของการแบ่งมุมใดๆ ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันตามหลักคลาสสิกในปี พ.ศ.

มุมสามารถแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันได้โดยใช้การสร้างแบบเนอุซิส (neusis)โดยใช้เครื่องมืออื่นๆ นอกเหนือจากไม้บรรทัดที่ไม่มีเครื่องหมายและวงเวียน ตัวอย่างนี้แสดงการแบ่งมุมใดๆ $θ > ⁠ ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน 3π / 4 โดย ใช้$ ไม้บรรทัดที่มีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม ทำให้ได้มุมแบ่งสาม $ส่วน$ $φ = θ / 3 ⁠$ .

การแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันคือการสร้างมุมที่มีขนาดเท่ากับหนึ่งในสามของมุมที่กำหนด โดยใช้เพียงสองเครื่องมือ ได้แก่ไม้บรรทัด ที่ไม่มีเครื่องหมาย และวงเวียนนี่เป็นปัญหาคลาสสิกของการสร้างมุมด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนในคณิตศาสตร์กรีกโบราณ

ในปี ค.ศ. 1837 ปิแอร์ วอนต์เซลพิสูจน์ว่าปัญหาดังกล่าวไม่สามารถ แก้ได้สำหรับมุมใดๆ ก็ตาม อย่างไรก็ตาม มุมพิเศษบางมุมสามารถแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันได้ เช่น การแบ่ง มุมฉากออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันนั้นทำได้ง่ายมาก

เป็นไปได้ที่จะแบ่งมุมใดๆ ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันโดยใช้เครื่องมืออื่นๆ นอกเหนือจากไม้บรรทัดและวงเวียน ตัวอย่างเช่นการสร้างแบบเนอุซิสซึ่งเป็นที่รู้จักกันในหมู่ชาวกรีกโบราณ เกี่ยวข้องกับการเลื่อนและการหมุนไม้บรรทัดที่มีเครื่องหมายไปพร้อมๆ กัน ซึ่งไม่สามารถทำได้ด้วยเครื่องมือดั้งเดิม นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์ยังได้พัฒนาเทคนิคอื่นๆ ขึ้นมาตลอดหลายศตวรรษที่ผ่านมา

เนื่องจากมีการนิยามไว้อย่างง่าย แต่การพิสูจน์ว่าไม่สามารถแก้ได้นั้นซับซ้อน ปัญหาการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันจึงมักเป็นหัวข้อของ การพยายามแก้ปัญหา แบบคณิตศาสตร์เทียมโดยผู้ที่ไร้เดียงสา "วิธีแก้ปัญหา" เหล่านี้มักเกี่ยวข้องกับการตีความกฎที่ผิดพลาด หรือไม่ถูกต้องเลย^{[ 1 ]}

ภูมิหลังและปัญหาที่พบ

การแบ่งครึ่งมุมโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด ใช้เข็มทิศวาดส่วนโค้งที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดของมุม จากนั้นวาดส่วนโค้งสองส่วนที่มีความยาวเท่ากัน โดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่ส่วนโค้งแรกตัดกับด้านของมุม จากนั้นใช้ไม้บรรทัดลากเส้นตรงผ่านจุดสองจุดที่ส่วนโค้งสองส่วนหลังตัดกัน เพื่อแบ่งมุมออกเป็นสองส่วนอย่างเรียบร้อย — การแบ่งครึ่งมุมใด ๆ นั้น ได้รับการแก้ไขมานานแล้ว

โดยใช้เพียงไม้บรรทัดที่ไม่ระบุเครื่องหมายและวงเวียน นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกได้ค้นพบวิธีการแบ่งเส้นตรงออกเป็นส่วนเท่าๆ กันตามอำเภอใจ การวาดเส้นขนาน การ แบ่ง ครึ่ง มุมการสร้างรูปหลายเหลี่ยม จำนวนมาก และการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับหรือสองเท่าของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดให้

มีปัญหาอยู่สามข้อที่แก้ไม่ตก ได้แก่ การแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันการเพิ่มขนาดของลูกบาศก์เป็นสองเท่าและการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับวงกลมปัญหาการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันมีดังนี้:

สร้างมุมที่มีขนาดเท่ากับหนึ่งในสามของมุมที่กำหนด (หรือแบ่งมุมนั้นออกเป็นสามมุมเท่าๆ กัน) โดยใช้เพียงสองเครื่องมือ:

ไม้บรรทัดตรงที่ไม่มีเครื่องหมาย และ
เข็มทิศ

หลักฐานของความเป็นไปไม่ได้

ไม้บรรทัด ไม้บรรทัดที่แสดงอยู่นี้มีเครื่องหมายกำกับไว้ ส่วนไม้บรรทัดตรง ที่สมบูรณ์แบบ จะไม่มีเครื่องหมายใดๆ

ปิแอร์ วอนต์เซล ตีพิมพ์บทพิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ของการแบ่งมุมใดๆ ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันตามหลักคลาสสิกในปี พ.ศ. 2480 ^{[ 2 ]}บทพิสูจน์ของวอนต์เซล ซึ่งเขียนใหม่ด้วยศัพท์สมัยใหม่ ใช้แนวคิดของการขยายฟิลด์ซึ่งเป็นหัวข้อที่มักรวมเข้ากับทฤษฎีของกาลัวอย่างไรก็ตาม วอนต์เซลตีพิมพ์ผลลัพธ์เหล่านี้ก่อนเอวาริสต์ กาลัว (ซึ่งงานของเขาที่เขียนในปี พ.ศ. 2473 ไม่ได้ตีพิมพ์จนกระทั่งปี พ.ศ. 2489) และไม่ได้ใช้แนวคิดที่กาลัวนำเสนอ^{[ 3 ]}

ปัญหาการสร้างมุมที่มีขนาด $θ$ ที่กำหนด ให้ เทียบเท่ากับการสร้างส่วนของเส้นตรงสองส่วน โดยที่อัตราส่วนของความยาวคือ $cos θ$ จากวิธีแก้ปัญหาข้อใดข้อหนึ่ง เราสามารถหาคำตอบของอีกข้อหนึ่งได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดสูตรมุมสามส่วนให้ความสัมพันธ์ระหว่างค่าโคไซน์ของมุมเดิมและมุมที่แบ่งออกเป็นสามส่วน: $cos$ $θ =$ 4 $cos$ $3$ $θ / 3 ⁠ - 3 cos ⁠ θ / 3 ⁠$ .

ดังนั้น เมื่อกำหนดส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวหนึ่งหน่วย ปัญหาการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันจึงเทียบเท่ากับการสร้างส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเป็นรากของพหุนามกำลังสาม ความเทียบเท่านี้ช่วยลดปัญหาทางเรขาคณิตดั้งเดิมให้เหลือเพียงปัญหาทางพีชคณิตล้วนๆ

จำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถสร้างได้ จำนวนอตรรกยะทุกจำนวนที่ สร้างได้ในขั้นตอนเดียวจากจำนวนที่กำหนดให้ จะเป็นรากของพหุนามดีกรี 2 ที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ที่สร้างขึ้นจากจำนวนเหล่านั้น ดังนั้น จำนวนใดๆ ที่สร้างได้ด้วยลำดับขั้นตอน จะเป็นรากของพหุนามขั้นต่ำที่มีดีกรีเป็นกำลังของสองมุม $⁠$ $π / 3$ มุม $60$ องศา(เขียนว่า 60°)สามารถสร้างได้ข้อโต้แย้งด้านล่างแสดงให้เห็นว่าการสร้างมุม 20° นั้นเป็นไปไม่ได้ ซึ่งหมายความว่ามุม 60° ไม่สามารถแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันได้ และดังนั้นมุมใดๆ ก็ไม่สามารถแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันได้เช่นกัน

ให้ $Q$ เป็นเซตของจำนวนตรรกยะถ้า 60° สามารถแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันได้ ดีกรีของพหุนามขั้นต่ำของ $cos 20°$ บน $Q$ จะเป็นกำลังของสอง ให้ $x$ $= cos 20°$ สังเกตว่า $cos 60°$ = $cos$ $⁠$ $π / 3 =$ $$ $1 / 2 จาก นั้น$ โดยใช้สูตรมุมสามเท่า $cos ⁠ π / 3 = 4 x 3 - 3 x$ และดังนั้น $4 x 3 - 3 x = ⁠ 1 / 2 ดังนั้น$ $8x³ - 6x - 1 = 0กำหนด$ ให้p $(t) เป็น$ พหุนามp $(t) = 8t³ - 6t - 1$

เนื่องจาก $x = cos 20°$ เป็นรากของ $p (t)$ ดังนั้นพหุนามขั้นต่ำสำหรับ $cos 20°$ จึงเป็นตัวประกอบของ $p (t)$ เนื่องจาก $p (t)$ มีดีกรี 3 ถ้ามันสามารถลดรูปได้โดยใช้ $Q$ มันจะมีรากตรรกยะตามทฤษฎีบทรากตรรกยะรากนี้จะต้องเป็น $\pm1, \pm ⁠ 1 / 2, \pm ⁠ 1 / 4 หรือ$ $\pm$ $$ $1 / 8$ แต่ไม่มีตัวใดเป็นราก ดังนั้น $p$ $(t) จึง$ ไม่สามารถแยกบน $Q$ และพหุนามขั้นต่ำสำหรับcos $20°$ มีดีกรี $3$

ดังนั้น มุมที่มีขนาด $60°$ จึง ไม่สามารถแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันได้

มุมที่สามารถแบ่งครึ่งได้

อย่างไรก็ตาม มุมบางมุมสามารถแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับมุมที่สร้างได้ ใดๆ $θ$ มุมที่มีขนาด $3θ$ สามารถแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันได้อย่างง่ายดาย โดยการไม่สนใจมุมที่กำหนดและสร้างมุมที่มีขนาด $θ โดยตรง นอกจาก$ $นี้$ ยังมีมุมที่ไม่สามารถสร้างได้ แต่สามารถแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันได้ (ถึงแม้ว่ามุมหนึ่งในสามนั้นจะไม่สามารถสร้างได้ก็ตาม) ตัวอย่างเช่น $⁠$ $3π / 7$ มุมดังกล่าวมีห้ามุมที่มีขนาดแตก $ต่าง$ $กัน$ $3π / 7$ $รวม$ $กัน$ เพื่อสร้างมุมวัด $15 π / 7 ซึ่ง$ ก็คือวงกลมที่สมบูรณ์บวกกับสิ่งที่ $ต้องการ$ $π / 7 ⁠$ .

สำหรับจำนวนเต็ม บวก $N$ มุมที่มีขนาด $⁠$ $2π / เอ็น ⁠$ สามารถแบ่งได้ 3 ส่วนก็ต่อเมื่อ $3$ ไม่หาร $N$ ลงตัว^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} ในทางตรงกันข้าม $⁠$ $2π / เอ็น สามารถ$ สร้างได้ก็ต่อเมื่อ $N$ เป็นกำลังของ $2$ หรือเป็นผลคูณของกำลังของ $2$ กับผลคูณของจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์ไป

ลักษณะเฉพาะทางพีชคณิต

อีกครั้ง ให้ $Q$ แทนเซตของจำนวนตรรกยะ

ทฤษฎีบท : มุมที่มีขนาด $θ$ สามารถแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ $กัน$ ได้ก็ต่อเมื่อ $q (t) = 4t³ - 3t - cos(θ)$ สามารถลดรูปได้บนส่วนขยายฟิลด์ $Q (cos(θ$ ) $)$

การพิสูจน์เป็นการสรุปโดยทั่วไปที่ค่อนข้างตรงไปตรงมาของการพิสูจน์ที่ให้ไว้ข้างต้นว่า มุม $60°$ ไม่สามารถแบ่งออกเป็นสามส่วนได้^{[ 6 ]}

ชิ้นส่วนจำนวนอื่นๆ

สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ $N$ มุมที่มีขนาด $2 π ⁄ N$ เรเดียน สามารถแบ่งออกเป็น $n$ ส่วนเท่าๆ กันได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนก็ต่อเมื่อ $n$ เป็นกำลังของ $2$ หรือเป็นกำลังของ $2$ คูณด้วยผลคูณของจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์ที่แตกต่างกันหนึ่งตัวหรือมากกว่า ซึ่งไม่มีตัวใดหาร $N$ ลงตัว ในกรณีของการแบ่งสามส่วน ( $n = 3$ ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์) เงื่อนไขนี้จะกลายเป็นข้อกำหนดที่กล่าวไว้ข้างต้นว่า $N$ ต้องไม่หารด้วย $3$ ลงตัว^{[ 5 ]}

วิธีการอื่นๆ

ปัญหาทั่วไปของการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน สามารถแก้ไขได้โดยการใช้เครื่องมือเพิ่มเติม ซึ่งเป็นการก้าวออกไปจากกรอบความคิดดั้งเดิมของชาวกรีกที่ใช้เพียงวงเวียนและไม้บรรทัด

มีการเสนอวิธีการแบ่งมุมทั่วไปออกเป็นสามส่วนที่ไม่ถูกต้องหลายวิธี วิธีการเหล่านี้บางวิธีให้ค่าประมาณที่สมเหตุสมผล ในขณะที่วิธีอื่นๆ (บางวิธีจะกล่าวถึงด้านล่าง) เกี่ยวข้องกับเครื่องมือที่ไม่ได้รับอนุญาตในปัญหาแบบคลาสสิก นักคณิตศาสตร์Underwood Dudleyได้อธิบายรายละเอียดความพยายามที่ล้มเหลวเหล่านี้ไว้ในหนังสือThe Trisectorsของ เขา ^{[ 1 ]}

การประมาณค่าโดยการแบ่งครึ่งต่อเนื่อง

การแบ่งเป็นสามส่วนสามารถประมาณได้โดยการทำซ้ำวิธีการใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดในการแบ่งครึ่งมุม อนุกรมเรขาคณิต⁠1/3=1/4+1/16+1/64+1/256⁠ + ⋯หรือ ⁠1/3=1/2⁠ − ⁠1/4+1/8⁠ − ⁠1/16⁠ + ⋯สามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการแบ่งครึ่งได้ สามารถหาค่าประมาณที่มีความแม่นยำในระดับใดก็ได้ภายในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด^{[ 7 ]}

การใช้โอริกามิ

การแบ่งเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน เช่นเดียวกับการสร้างรูปทรงเรขาคณิตหลายอย่างที่ไม่สามารถทำได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน สามารถทำได้ง่ายๆ ด้วยการพับกระดาษ หรือโอริกา มิ หลักการของฮูซิตา (ประเภทของการพับ) สามารถสร้างส่วนขยายกำลังสาม (รากที่สาม) ที่มีความยาวที่กำหนดได้ ในขณะที่ไม้บรรทัดและวงเวียนสามารถสร้างได้เฉพาะส่วนขยายกำลังสอง (รากที่สอง) เท่านั้น

การใช้การเชื่อมโยง

มี กลไกเชื่อมโยงแบบง่ายๆ หลายอย่างที่สามารถใช้สร้างเครื่องมือแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน ได้แก่ เครื่องมือแบ่งมุมสามส่วนของ Kempe และ Link Fan หรือ Isoklinostat ของ Sylvester ^{[ 8 ]}

โดยใช้ไม้บรรทัดสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในปี 1932 ลุดวิก บีเบอร์บาคตีพิมพ์ในวารสาร für die reine und angewandte MathematikงานของเขาZur Lehre von den kubischen Konstruktionen ^{[ 9 ]}พระองค์ตรัสไว้ในนั้น (แปลฟรี):

" ดังที่ทราบกันดี... การสร้างรูปทรงเรขาคณิตลูกบาศก์ทุกรูปแบบสามารถสืบย้อนกลับไปได้ถึงการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน และการคูณด้วยกำลังสาม นั่นคือ การถอดรากที่สาม ผมเพียงต้องการแสดงให้เห็นว่างานคลาสสิกสองอย่างนี้สามารถแก้ไขได้อย่างไรโดยใช้ตะขอมุมฉาก "

การสร้างเริ่มต้นด้วยการวาดวงกลมที่ผ่านจุดยอด $P$ ของมุมที่จะแบ่งออกเป็นสามส่วน โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $A$ บนขอบของมุมนี้ และมี $B$ เป็นจุดตัดที่สองกับขอบนั้น วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่P $และ$ มีรัศมีเท่ากันจะตัดกับเส้นที่รองรับขอบที่จุด $A$ และ $O$

ตอนนี้วางไม้บรรทัดสามเหลี่ยมมุมฉากลง บนภาพวาดในลักษณะต่อไปนี้: ด้าน หนึ่ง ของมุมฉากผ่านจุด $O$ ; จุดยอดของมุมฉากอยู่ที่จุด $S$ บนเส้นตรง $PC$ โดยที่ด้านที่สองของไม้บรรทัดสัมผัสกับวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $A ที่จุด$ $E$ ดังนั้น มุมเดิมจึงถูกแบ่งสามส่วนโดยเส้นตรง $PE$ และเส้นตรง $PD$ ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง $SE$ และผ่านจุด $P$ เส้นนี้สามารถวาดได้โดยใช้ไม้บรรทัดสามเหลี่ยมมุมฉากอีกครั้ง หรือโดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียน แบบดั้งเดิม ด้วยการสร้างที่คล้ายกันนี้ เราสามารถปรับปรุงตำแหน่งของ $E$ ได้โดยใช้ ข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นจุดตัดของเส้นตรง $SE$ และเส้นตั้งฉากที่ผ่านจุด $A$

บทพิสูจน์:ต้องพิสูจน์ความเท่ากันของมุมก่อนเส้นตรง $OS$ , $PD$ และ $AE$ ขนานกัน เนื่องจากส่วนของเส้นตรง $OP$ และ $PA$ เท่ากัน เส้นขนานทั้งสามนี้จึงแบ่งส่วนของเส้นตรงสองเส้นที่เท่ากันบนเส้นตัดสลับกันทุกเส้น และโดยเฉพาะอย่างยิ่งบนเส้นตั้งฉากร่วม $SE$ $ดังนั้น$ SD $'$ $=$ $D'$ $E$ $โดย$ ที่ $D'$ คือจุดตัดของเส้น ตรง $PD$ และ $SE$ จึงสรุปได้ว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก $PD$ $'S$ และ $PD'E$ เท่ากันทุกประการ และดังนั้นจึง $ได้$ ความเท่ากันข้อแรกที่ต้องการ ในทางกลับกัน สามเหลี่ยม $PAE$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเนื่องจากรัศมี ของวงกลมทุก $วง$ เท่ากัน ซึ่งหมายความว่า นอกจากนี้ $เรา$ ยังมีเนื่องจากมุมทั้งสองนี้เป็นมุมสลับของเส้นตัดขวางของเส้นขนานสองเส้น สิ่งนี้พิสูจน์ความเท่ากันข้อที่สองที่ต้องการ และดังนั้นจึงพิสูจน์ความถูกต้องของการสร้าง ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}}$ ${\widehat {BPE}}={\widehat {EPD}}.$ ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}},$ ${\widehat {APE}}={\widehat {AEP}}.$ ${\widehat {AEP}}={\widehat {EPD}},$

ด้วยเส้นโค้งเสริม

การแบ่งสามส่วนโดยใช้เกลียวอาร์คิมีเดียน
การแบ่งเป็นสามส่วนโดยใช้สามเหลี่ยมแมคลาอริน

มีเส้นโค้งบางเส้นที่เรียกว่าtrisectrixซึ่งหากวาดบนระนาบโดยใช้วิธีอื่น สามารถใช้แบ่งมุมใดๆ ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันได้^{[ 10 ]} ตัวอย่างเช่นtrisectrix ของ Colin Maclaurinซึ่งกำหนดในพิกัดคาร์ทีเซียนโดยสมการโดยปริยาย

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),

และเกลียวอาร์คิมีดีส เกลียวนี้สามารถใช้แบ่งมุมออกเป็น ส่วนเท่าๆ กัน ได้หลายส่วน อาร์คิมีดีสได้อธิบายวิธีการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันโดยใช้เกลียวอาร์คิมีดีสไว้ในหนังสือเรื่อง " ว่า ด้วยเกลียว " เมื่อราว 225 ปีก่อนคริสตกาล

โดยใช้ไม้บรรทัดที่มีเครื่องหมาย

อีกวิธีหนึ่งในการแบ่งมุมใดๆ ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน โดยใช้หลักการที่อยู่นอกเหนือกรอบของกรีก คือการใช้ไม้บรรทัดที่มีเครื่องหมายสองอันห่างกันในระยะที่กำหนด การสร้างแบบต่อไปนี้เป็นผลงานของอาร์คิมิดีสเรียกว่าการสร้างแบบเนอุซิส (Neusis)ซึ่งใช้เครื่องมืออื่นๆ นอกเหนือจาก ไม้บรรทัดตรง ที่ไม่มีเครื่องหมายแผนภาพที่เราใช้แสดงการสร้างนี้สำหรับมุมแหลม แต่จริงๆ แล้วสามารถใช้ได้กับมุมใดๆ ก็ได้จนถึง 180 องศา

สิ่งนี้ต้องอาศัยข้อเท็จจริงสามประการจากเรขาคณิต (ทางด้านขวา):

มุมทุกมุมบนเส้นตรงเดียวกันรวมกันได้ 180 องศา
ผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 180° และ ,
ด้านสองด้านที่เท่ากันใดๆ ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะตัดกับด้านที่สามด้วยมุมเดียวกัน

ให้ $l$ เป็นเส้นแนวนอนในแผนภาพด้านข้าง มุม $a$ (ทางซ้ายของจุด $B$ ) เป็นสิ่งที่เราจะแบ่งออกเป็นสามส่วน ขั้นแรก ลากจุด $A ที่$ รังสีของมุม โดย ให้ห่างจาก $B$ หนึ่งหน่วย จากนั้น ลาก วงกลมรัศมี $AB$ แล้วใช้ไม้บรรทัดที่มีเครื่องหมายกำกับ โดยวางเครื่องหมายหนึ่งไว้ที่ $A$ และอีกเครื่องหมายหนึ่งไว้ที่ $B$ ขณะที่ไม้บรรทัด (แต่ไม่ใช่เครื่องหมาย) ยังคงสัมผัสกับ $A$ ให้เลื่อนและหมุนไม้บรรทัดจนกระทั่งเครื่องหมายหนึ่งอยู่บนวงกลมและอีกเครื่องหมายหนึ่งอยู่บนเส้น $l$ เครื่องหมายบนวงกลมจะถูกกำหนดให้เป็น $C$ และเครื่องหมายบนเส้นจะถูกกำหนดให้เป็น $D$ ซึ่งจะทำให้แน่ใจว่า $CD = AB$ ลากเส้นรัศมี $BC$ เพื่อให้เห็นได้ชัดว่าส่วนของเส้นตรง $AB$ , $BC$ และ $CD$ มีความยาวเท่ากัน ตอนนี้ สามเหลี่ยม $ABC$ และ $BCD$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วดังนั้น (ตามข้อเท็จจริงที่ 3 ข้างต้น) แต่ละสามเหลี่ยมจึงมีมุมเท่ากันสองมุม

สมมติฐาน : กำหนดให้ $AD$ เป็นเส้นตรง และ $AB$ , $BC$ และ $CD$ มีความยาวเท่ากันทั้งหมด

สรุป : มุม $b = ⁠ เอ / 3 ⁠$ .

การพิสูจน์ :

จากข้อเท็จจริงที่ 1) ข้างต้น°. $e+c=180$
เมื่อพิจารณาสามเหลี่ยมBCDจากข้อเท็จจริงที่ 2) ° $e+2b=180$
จากสมการสองสมการสุดท้าย จะได้ว่า. $c=2b$
ดังนั้น, . $a=c+b=2b+b=3b$

และทฤษฎีบท นั้น ได้รับการพิสูจน์แล้ว

อีกครั้งที่การก่อสร้างนี้ก้าวออกนอกกรอบการก่อสร้างที่อนุญาตไว้โดยการใช้ไม้บรรทัดที่มีเครื่องหมายกำกับ

ด้วยเชือก

Thomas Hutcheson ได้ตีพิมพ์บทความในMathematics Teacher ^{[ 11 ]}ซึ่งใช้เชือกแทนวงเวียนและไม้บรรทัด เชือกสามารถใช้เป็นไม้บรรทัด (โดยการยืด) หรือวงเวียน (โดยการตรึงจุดหนึ่งและระบุอีกจุดหนึ่ง) แต่ยังสามารถพันรอบทรงกระบอกได้ ซึ่งเป็นกุญแจสำคัญในการแก้ปัญหาของ Hutcheson

ฮัทเชสันสร้างทรงกระบอกจากมุมที่จะแบ่งออกเป็นสามส่วน โดยลากส่วนโค้งผ่านมุมนั้น แล้วทำให้ส่วนโค้งนั้นสมบูรณ์เป็นวงกลม จากนั้นสร้างทรงกระบอกจากวงกลมนั้น โดยที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (มุม 360 องศาที่ถูกแบ่งออกเป็นสามส่วน) ถูกบรรจุอยู่ภายในทรงกระบอกนั้น จากนั้นจึง "แมป" ทรงกระบอกนี้ไปยังมุมที่จะแบ่งออกเป็นสามส่วน โดยใช้การพิสูจน์อย่างง่ายของสามเหลี่ยมคล้ายกัน

ด้วย "ขวานโทมาฮอว์ก"

ขวานโทมาฮอว์กที่แบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน ขวานโทมาฮอว์กนี้เกิดจากเส้นหนาและครึ่งวงกลมที่แรเงา

รูปทรงเรขาคณิตที่เรียก ว่า "ขวานโทมาฮอว์ก " ประกอบด้วยครึ่งวงกลมและเส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกัน โดยที่ความยาวของเส้นตรงที่สั้นกว่าเท่ากับรัศมีของวงกลม การแบ่งครึ่งทำได้โดยการวางปลายด้านหนึ่งของเส้นตรงที่สั้นกว่าของขวานโทมาฮอว์กไว้บนเส้นตรงเส้นหนึ่ง และวางขอบของวงกลมไว้บนเส้นตรงอีกเส้นหนึ่ง เพื่อให้ "ด้าม" (เส้นตรงที่ยาวกว่า) ตัดผ่านจุดยอดของมุม เส้นแบ่งครึ่งจะลากระหว่างจุดยอดและจุดศูนย์กลางของครึ่งวงกลม

ถึงแม้ว่าขวานโทมาฮอว์กจะสามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด แต่โดยทั่วไปแล้วการสร้างขวานโทมาฮอว์กในตำแหน่งใดๆ ที่ต้องการนั้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น การสร้างข้างต้นจึงไม่ขัดแย้งกับหลักการที่ว่ามุมต่างๆ ไม่สามารถแบ่งได้เป็นสามส่วนเท่าๆ กันด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนเพียงอย่างเดียว

เนื่องจากขวานโทมาฮอว์กสามารถใช้เป็นไม้ฉากได้ จึงสามารถใช้สำหรับการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน โดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ในหัวข้อ § ด้วยไม้บรรทัดสามเหลี่ยมมุมฉาก

ขวานโทมาฮอว์กให้ผลลัพธ์ทางเรขาคณิตเช่นเดียวกับวิธีการพับกระดาษ กล่าวคือ ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมกับปลายของส่วนที่สั้นกว่าจะเป็นสองเท่าของระยะห่างของรัศมี ซึ่งรับประกันได้ว่าจะสัมผัสกับมุม นอกจากนี้ยังเทียบเท่ากับการใช้ไม้บรรทัดตัว L ของสถาปนิก ( ไม้ฉากของช่างไม้ ) อีกด้วย

ด้วยเข็มทิศที่เชื่อมต่อกัน

มุมสามารถแบ่งออกเป็นสามส่วนโดยใช้อุปกรณ์ที่มีลักษณะคล้ายเข็มทิศแบบสี่ง่าม โดยมีการเชื่อมต่อระหว่างง่ามที่ออกแบบมาเพื่อให้มุมทั้งสามระหว่างง่ามที่อยู่ติดกันเท่ากัน^{[ 12 ]}

การใช้ประโยชน์จากการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วน

ภาพเคลื่อนไหวของการสร้างรูปเจ็ดเหลี่ยมด้วยรัศมีวงกลมล้อมรอบ โดยอิงจากAndrew M. Gleasonโดยใช้การแบ่งมุมเป็นสามส่วนด้วยขวาน^[¹³^]^:^{หน้า 186} ${\overline {OA}}=6$

สมการกำลังสามที่มีสัมประสิทธิ์จริงสามารถแก้ได้ทางเรขาคณิตโดยใช้เข็มทิศ ไม้บรรทัด และตัวแบ่งมุมสามส่วนก็ต่อเมื่อมีราก จริง สาม ราก^[¹³^]^:^{ทฤษฎีบท 1}

รูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีnด้านสามารถสร้างได้ด้วยไม้บรรทัด วงเวียน และตัวแบ่งมุมสามส่วนก็ต่อเมื่อโดยที่r, s, k ≥ 0 และ โดยที่p เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันซึ่งมากกว่า 3 ในรูปแบบ(เช่นจำนวนเฉพาะเพียร์พอนต์ที่มากกว่า 3) ^[¹³^]^:^{ทฤษฎีบท 2} $n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ $2^{t}3^{u}+1$

ดูเพิ่มเติม

อ่านเพิ่มเติม

คูแรนต์, ริชาร์ด, เฮอร์เบิร์ต ร็อบบินส์, เอียน สจ๊วต, คณิตศาสตร์คืออะไร?: แนวทางเบื้องต้นสู่แนวคิดและวิธีการ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด สหรัฐอเมริกา, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3.
Dudley, Underwood. (1983) "สิ่งที่ต้องทำเมื่อ Trisector มาถึง" THE MATHEMATICAL INTELLIGENCER. 5 (1): 20–25. Springer-Verlag, นิวยอร์ก. ลิงก์

ลิงก์ภายนอก

เว็บไซต์ MathWorld
ปัญหาทางเรขาคณิตในสมัยโบราณ รวมถึงการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน
ประวัติศาสตร์บางส่วน
ลิงก์หนึ่งของการสร้างไม้บรรทัดที่ทำเครื่องหมายไว้
อีกประเด็นหนึ่งคือการกล่าวถึงอาร์คิมิดีส
บทความยาวที่มีการประมาณค่าและวิธีการต่างๆ มากมาย ซึ่งอยู่นอกเหนือกรอบแนวคิดของกรีก
เว็บไซต์เรขาคณิต

วิธีการแบ่งสามส่วนอื่นๆ

การแบ่งมุมโดยประมาณออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันในรูปแบบแอนิเมชัน ความคลาดเคลื่อนสูงสุดของมุม ≈ ±4E-8°
การแบ่งสามส่วนโดยใช้ ( เก็บถาวรเมื่อ 25 ตุลาคม 2009) ลิมาคอนของปาสคาลดูเพิ่มเติมที่Trisectrix
การแบ่งสามส่วนโดยใช้เกลียวอาร์คิมีเดียน
การแบ่งสามส่วนผ่านกระดูกโคนคอยด์ของนิโคมีเดส
เว็บไซต์ sciencenews.orgเกี่ยวกับการใช้ศิลปะการพับกระดาษ (origami)
การแบ่งสามส่วนแบบไฮเปอร์โบลิกและสเปกตรัมของรูปหลายเหลี่ยมปกติ

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[