เรขาคณิตสังเคราะห์ ( บางครั้งเรียกว่าเรขาคณิตเชิงสัจพจน์หรือเรขาคณิตบริสุทธิ์ ) คือเรขาคณิตที่ไม่ใช้พิกัดโดยอาศัยวิธีการเชิงสัจพจน์ในการพิสูจน์ผลลัพธ์ทั้งหมดจากคุณสมบัติพื้นฐานไม่กี่ข้อ ซึ่งในตอนแรกเรียกว่าสมมติฐานและในปัจจุบันเรียกว่าสัจพจน์

หลังจากที่ เรเน่ เดส์การ์ตส์ ได้นำเสนอ วิธีการพิกัดในศตวรรษที่ 17 ซึ่งเรียกว่า เรขาคณิตวิเคราะห์คำว่า "เรขาคณิตสังเคราะห์" จึงถูกบัญญัติขึ้นเพื่ออ้างถึงวิธีการเก่าๆ ที่ก่อนหน้าเดส์การ์ตส์เป็นวิธีเดียวที่รู้จักกัน

ตามคำกล่าวของเฟลิกซ์ ไคลน์

เรขาคณิตสังเคราะห์คือเรขาคณิตที่ศึกษาตัวรูปทรงโดยตรง โดยไม่พึ่งพาสูตร ในขณะที่เรขาคณิตวิเคราะห์ใช้สูตรต่างๆ อย่างสม่ำเสมอ ซึ่งสามารถเขียนลงได้หลังจากนำระบบพิกัดที่เหมาะสมมาใช้แล้ว

^{[ 1 ]}

แนวทางที่เป็นระบบแรกสำหรับเรขาคณิตสังเคราะห์คือหนังสือ Elementsของยูคลิดอย่างไรก็ตาม ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ปรากฏว่าสัจพจน์ของยูคลิด ไม่เพียงพอสำหรับการกำหนดลักษณะของเรขาคณิต ระบบสัจพจน์ ที่สมบูรณ์ระบบแรก สำหรับเรขาคณิตได้รับการเสนอขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 โดยเดวิด ฮิลเบิร์ตในเวลาเดียวกัน ปรากฏว่าทั้งวิธีการสังเคราะห์และวิธีการวิเคราะห์สามารถนำมาใช้สร้างเรขาคณิตได้ ข้อเท็จจริงที่ว่าทั้งสองแนวทางนั้นเทียบเท่ากันได้รับการพิสูจน์โดยเอมิล อาร์ตินในหนังสือGeometric Algebraของ เขา

เนื่องจากความเท่าเทียมกันนี้ การแบ่งแยกระหว่างเรขาคณิตสังเคราะห์และเรขาคณิตวิเคราะห์จึงไม่ถูกนำมาใช้อีกต่อไป ยกเว้นในระดับพื้นฐาน หรือสำหรับเรขาคณิตที่ไม่เกี่ยวข้องกับจำนวนใดๆ เช่นเรขาคณิตจำกัด บางประเภท และเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบเดซาร์เกส

กระบวนการสังเคราะห์เชิงตรรกะเริ่มต้นด้วยจุดเริ่มต้นที่กำหนดขึ้นเองแต่แน่นอน จุดเริ่มต้นนี้คือการแนะนำแนวคิดพื้นฐานหรือองค์ประกอบพื้นฐาน และสัจพจน์เกี่ยวกับองค์ประกอบพื้นฐานเหล่านั้น:

• แนวคิด พื้นฐานที่สุดคือแนวคิดขั้นพื้นฐานที่สุด โดยทั่วไปแล้วจะรวมทั้งวัตถุและความสัมพันธ์ ในเรขาคณิต วัตถุคือสิ่งต่างๆ เช่นจุดเส้นและระนาบในขณะที่ความสัมพันธ์พื้นฐานคือความสัมพันธ์แบบตกกระทบ – ของวัตถุหนึ่งที่พบหรือเชื่อมต่อกับอีกวัตถุหนึ่ง คำศัพท์เหล่านี้ไม่มีคำจำกัดความฮิลเบิร์ตเคยกล่าวไว้ว่าแทนที่จะพูดถึงจุด เส้น และระนาบ เราอาจพูดถึงโต๊ะ เก้าอี้ และแก้วเบียร์ก็ได้^{[ 2 ]}ประเด็นก็คือคำศัพท์พื้นฐานเป็นเพียงตัวแทน ที่ว่างเปล่า และไม่มีคุณสมบัติที่แท้จริง
• สัจพจน์คือข้อความเกี่ยวกับรูปทรงพื้นฐานเหล่านี้ ตัวอย่างเช่นจุดสองจุดใดๆ จะอยู่บนเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้น (กล่าวคือ สำหรับจุดสองจุดใดๆ จะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ผ่านทั้งสองจุด) สัจพจน์นั้นถือว่าถูกต้องแล้ว ไม่ได้พิสูจน์ สัจพจน์เป็นองค์ประกอบพื้นฐานของแนวคิดทางเรขาคณิต เนื่องจากระบุคุณสมบัติของรูปทรงพื้นฐานเหล่านั้น

จากการกำหนดชุดของสัจพจน์ การสังเคราะห์จะดำเนินไปในรูปแบบของการให้เหตุผลเชิงตรรกะที่สร้างขึ้นอย่างระมัดระวัง เมื่อผลลัพธ์ที่สำคัญได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวดแล้ว ผลลัพธ์นั้นจะกลายเป็นทฤษฎีบท

การวิเคราะห์แบบดั้งเดิมของยูคลิดยังคงไม่มีใครโต้แย้งเป็นเวลากว่าสองพันปี จนกระทั่งการค้นพบเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิดพร้อมกันโดยเกาส์ โบล ยา อิโลบาเชฟสกีและรีมันน์ในศตวรรษที่ 19 ทำให้เหล่านักคณิตศาสตร์ตั้งคำถามถึงสมมติฐานพื้นฐานของยูคลิด^{[ 3 ]}

ซิลเวสตร์ ฟรองซัวส์ ลาครัวซ์ (Sylvestre François Lacroix ) นักวิเคราะห์เรขาคณิตสังเคราะห์ชาวฝรั่งเศสในยุคแรก(ค.ศ. 1816) สรุปเรขาคณิตสังเคราะห์ไว้ดังนี้:

องค์ประกอบของยูคลิดได้รับการจัดการโดยวิธีการสังเคราะห์ ผู้เขียนนี้ หลังจากได้ตั้งสัจพจน์และสร้างเงื่อนไขที่จำเป็นแล้ว ได้ตั้งข้อเสนอซึ่งเขาพิสูจน์ตามลำดับโดยได้รับการสนับสนุนจากสิ่งที่อยู่ก่อนหน้า โดยดำเนินการจากสิ่งที่เรียบง่ายไปสู่สิ่งที่ซับซ้อนซึ่งเป็นลักษณะสำคัญของการสังเคราะห์^{[ 4 ]}

ยุคทองของเรขาคณิตสังเคราะห์ถือได้ว่าเป็นศตวรรษที่ 19 เมื่อวิธีการวิเคราะห์ที่อิงตามพิกัดและแคลคูลัสถูกละเลยโดยนักเรขาคณิต บางคน เช่นJakob Steinerโดยหันมาเน้นการพัฒนาเรขาคณิตเชิงฉายภาพ แบบสังเคราะห์ล้วนๆ ตัวอย่างเช่น การพิจารณาระนาบเชิงฉายภาพโดยเริ่มจากสัจพจน์ของการตกกระทบนั้นเป็นทฤษฎีที่กว้างกว่า (มีแบบจำลอง มากกว่า) เมื่อเทียบกับการเริ่มต้นด้วย ปริภูมิเวกเตอร์สามมิติเรขาคณิตเชิงฉายภาพนั้นมีรูปแบบสังเคราะห์ที่เรียบง่ายและสง่างามที่สุดในบรรดาเรขาคณิตทั้งหมด^{[ 5 ]}

ในโครงการของเขาที่เมืองเออร์ลังเงินเฟลิกซ์ ไคลน์ได้ลดความสำคัญของความขัดแย้งระหว่างวิธีการสังเคราะห์และวิธีการวิเคราะห์ลง:

ความแตกต่างระหว่างเรขาคณิตสังเคราะห์สมัยใหม่และเรขาคณิตวิเคราะห์สมัยใหม่ไม่จำเป็นต้องถือว่าเป็นสิ่งสำคัญอีกต่อไป เนื่องจากทั้งเนื้อหาและวิธีการให้เหตุผลได้ค่อยๆ มีรูปแบบที่คล้ายคลึงกันในทั้งสอง ดังนั้นในข้อความนี้เราจึงเลือกใช้คำว่าเรขาคณิตเชิงฉาย (projective geometry) เป็นคำเรียกทั่วไปสำหรับทั้งสอง แม้ว่าวิธีการสังเคราะห์จะเกี่ยวข้องกับการรับรู้พื้นที่มากกว่า และทำให้การพัฒนาอย่างง่ายในระยะแรกมีเสน่ห์ที่หาได้ยาก แต่ขอบเขตของการรับรู้พื้นที่ก็ไม่ได้ปิดกั้นวิธีการวิเคราะห์ และสูตรของเรขาคณิตวิเคราะห์สามารถมองได้ว่าเป็นคำแถลงที่แม่นยำและชัดเจนเกี่ยวกับความสัมพันธ์ทางเรขาคณิต ในทางกลับกัน ไม่ควรประเมินข้อดีของการวิจัยดั้งเดิมของการวิเคราะห์ที่มีสูตรที่ดีต่ำเกินไป ซึ่งเป็นข้อดีที่เกิดจากการก้าวไปข้างหน้า กล่าวได้ว่า ล้ำหน้าความคิด แต่ควรยืนยันเสมอว่าเรื่องทางคณิตศาสตร์ไม่ควรถือว่าสมบูรณ์จนกว่าจะปรากฏชัดเจนโดยสัญชาตญาณ และความก้าวหน้าที่ทำได้ด้วยความช่วยเหลือของการวิเคราะห์เป็นเพียงก้าวแรก แม้จะเป็นก้าวที่สำคัญมากก็ตาม^{[ 6 ]}

การศึกษาเชิงสัจพจน์อย่างละเอียดของเรขาคณิตแบบยุคลิดนำไปสู่การสร้างรูปสี่เหลี่ยมแลมเบิร์ตและรูปสี่เหลี่ยมซัคเคอรีโครงสร้างเหล่านี้ได้เปิดสาขาเรขาคณิตนอกยุคลิดซึ่งสัจพจน์เส้นขนานของยุคลิดถูกปฏิเสธเกาส์ โบลยาอิและโลบาเชฟสกีได้สร้างเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ขึ้นโดย อิสระ ซึ่งเส้นขนานจะมีมุมขนานที่ขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างเส้นเหล่านั้น การศึกษานี้เข้าถึงได้อย่างกว้างขวางผ่าน แบบจำลอง จานปวงกาเรซึ่งการเคลื่อนที่กำหนดโดยการแปลงโมเบียสในทำนองเดียวกันรีมันน์ลูกศิษย์ของเกาส์ ได้สร้างเรขาคณิตรีมันน์ขึ้นซึ่งเรขาคณิตวงรีเป็นกรณีพิเศษอย่างหนึ่ง

อีกตัวอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตผกผันตามที่ลุดวิก อิมมานูเอล แม็กนัส ได้พัฒนาขึ้น ซึ่งอาจถือได้ว่าเป็นเรขาคณิตสังเคราะห์ การดำเนินการที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดอย่างการแลกเปลี่ยนซึ่ง กันและกัน นั้นแสดงถึงการวิเคราะห์ระนาบ

Karl von Staudtแสดงให้เห็นว่าสัจพจน์ทางพีชคณิต เช่นการสลับที่และการจัดกลุ่มของการบวกและการคูณ เป็นผลสืบเนื่องมาจากการเกิดร่วมกันของเส้นในโครงสร้างทางเรขาคณิต David Hilbertแสดงให้เห็น^{[ 7 ]}ว่าโครงสร้าง Desarguesมีบทบาทพิเศษ งานเพิ่มเติมดำเนินการโดยRuth Moufangและนักเรียนของเธอ แนวคิดเหล่านี้เป็นหนึ่งในแรงจูงใจของเรขาคณิตการเกิดร่วมกัน

เมื่อพิจารณาเส้นขนาน เป็นหลัก การสังเคราะห์จะสร้าง เรขาคณิตเชิงอัฟฟินขึ้น มา แม้ว่าเรขาคณิตแบบยุคลิดจะเป็นทั้งเรขาคณิตเชิงอัฟฟินและเรขาคณิตเมตริกแต่โดยทั่วไปแล้วปริภูมิเชิงอัฟฟินอาจไม่มีเมตริก ความยืดหยุ่นที่เพิ่มขึ้นนี้ทำให้เรขาคณิตเชิงอัฟฟินเหมาะสมสำหรับการศึกษาปริภูมิเวลาดังที่ได้กล่าวไว้ในประวัติศาสตร์ของเรขาคณิตเชิงอัฟฟิน

ในปี ค.ศ. 1955 เฮอร์เบิร์ต บูเซมันน์และพอล เจ. เคลลีย์ ได้หวนรำลึกถึงเรขาคณิตสังเคราะห์:

แม้ว่าจะไม่เต็มใจก็ตาม นักเรขาคณิตต้องยอมรับว่าความสวยงามของเรขาคณิตสังเคราะห์ได้สูญเสียเสน่ห์ไปสำหรับคนรุ่นใหม่ เหตุผลนั้นชัดเจน: เมื่อไม่นานมานี้ เรขาคณิตสังเคราะห์เป็นสาขาเดียวที่การให้เหตุผลดำเนินไปอย่างเคร่งครัดจากสัจพจน์ ในขณะที่เสน่ห์นี้ — ซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับผู้คนที่สนใจคณิตศาสตร์จำนวนมาก — ได้ถูกนำเสนอโดยสาขาอื่นๆ อีกมากมาย^{[ 5 ]}

ตัวอย่างเช่น ปัจจุบันการศึกษาในระดับวิทยาลัยรวมถึงพีชคณิตเชิงเส้นโทโพโลยีและทฤษฎีกราฟซึ่งเนื้อหาได้รับการพัฒนาจากหลักการพื้นฐาน และข้อเสนอต่างๆ ได้รับการอนุมานโดยการพิสูจน์เบื้องต้นการคาดหวังว่าจะแทนที่เรขาคณิตสังเคราะห์ด้วยเรขาคณิตวิเคราะห์จะนำไปสู่การสูญเสียเนื้อหาทางเรขาคณิต^{[ 8 ]}

นักเรียนเรขาคณิตในปัจจุบันมีสัจพจน์อื่นๆ นอกเหนือจากสัจพจน์ของยูคลิดให้เลือกใช้

Ernst Kötterได้เผยแพร่รายงานภาษาเยอรมันในปี พ.ศ. 2444 เกี่ยวกับการพัฒนาเรขาคณิตสังเคราะห์จากMongeถึง Staudt (พ.ศ. 2490 ) ^{[ 9 ]}

การพิสูจน์เชิงสังเคราะห์ของทฤษฎีบททางเรขาคณิตใช้โครงสร้างเสริม (เช่นเส้นช่วย ) และแนวคิดต่างๆ เช่น ความเท่ากันของด้านหรือมุม และความคล้ายคลึงและความเท่ากันทุกประการของสามเหลี่ยม ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทผีเสื้อทฤษฎีบทเส้นแบ่งครึ่งมุมทฤษฎีบทอพอล โล เนียสทฤษฎีบทธงชาติอังกฤษทฤษฎีบทเซวาทฤษฎีบทวงกลมแนบในที่เท่ากันทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยเรขาคณิตสูตรของเฮรอนทฤษฎีบทสามเหลี่ยมหน้าจั่วและกฎของโคไซน์

เมื่อพิจารณาร่วมกับเรขาคณิตเชิงคำนวณแล้ว ได้มีการก่อตั้งเรขาคณิตสังเคราะห์เชิงคำนวณ ขึ้น ซึ่งมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับ ทฤษฎีเมทริกซ์ตัวอย่างเช่นเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สังเคราะห์เป็นการประยุกต์ใช้ ทฤษฎี โทโพสกับรากฐานของทฤษฎีแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์

• หมวดหมู่: ทฤษฎีบทในเรขาคณิตระนาบ
• พื้นฐานของเรขาคณิต
• สัจพจน์ของฮิลเบิร์ต
• เรขาคณิตของการตกกระทบ
• เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สังเคราะห์
• หลักการของทาร์สกี

• Boyer, Carl B. (2004) [1956]. ประวัติศาสตร์ของเรขาคณิตวิเคราะห์ . สำนักพิมพ์โดเวอร์. ISBN 978-0-486-43832-0.
• Halsted, GB (1896). เรขาคณิตสังเคราะห์เบื้องต้นผ่านทางInternet Archive
• Halsted, George Bruce (1906). เรขาคณิตเชิงฉายสังเคราะห์ , ผ่านทาง Internet Archive.
• ฮิลเบิร์ตและโคห์น-วอสเซน. เรขาคณิตและจินตนาการ .