อ่าน 11 นาที
ระบบสัจพจน์
ใน คณิตศาสตร์ และ ตรรกศาสตร์ ระบบ สัจพจน์ หรือ ระบบสัจพจน์ เป็นโครงสร้างเชิงตรรกะแบบนิรนัยมาตรฐานชนิดหนึ่ง ซึ่งใช้ใน วิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี ด้วย...
ระบบสัจพจน์
ในคณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์ระบบสัจพจน์หรือระบบสัจพจน์เป็นโครงสร้างเชิงตรรกะแบบนิรนัยมาตรฐานชนิดหนึ่ง ซึ่งใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี ด้วย ประกอบด้วยชุดของข้อความที่เป็นทางการที่เรียกว่าสัจพจน์ซึ่งใช้สำหรับการนิรนัยเชิงตรรกะของข้อความอื่นๆ ในคณิตศาสตร์ ผลลัพธ์เชิงตรรกะของสัจพจน์เหล่านี้อาจเรียกว่าบทพิสูจน์ย่อยหรือทฤษฎีบททฤษฎี ทาง คณิตศาสตร์เป็นคำที่ใช้เรียกถึงระบบสัจพจน์และทฤษฎีบทที่ได้มาจากระบบนั้นทั้งหมด
การพิสูจน์ภายในระบบสัจพจน์คือลำดับขั้นตอนการอนุมานที่สร้างข้อความใหม่ขึ้นมาอันเป็นผลมาจากสัจพจน์ โดยตัวมันเองแล้ว ระบบสัจพจน์เป็นโครงสร้างทางไวยากรณ์โดยเจตนา: เมื่อสัจพจน์ถูกแสดงในภาษาธรรมชาติซึ่งเป็นเรื่องปกติในหนังสือและเอกสารทางเทคนิคคำนาม เหล่านั้น มีจุดประสงค์เพื่อใช้เป็นคำแทนการใช้แนวทางสัจพจน์เป็นการเปลี่ยนจากการให้เหตุผลแบบไม่เป็นทางการ ซึ่งคำนามอาจมีความหมายเชิงความหมายในโลกแห่งความเป็นจริง ไปสู่การพิสูจน์แบบเป็นทางการ ในการตั้งค่าที่เป็นทางการอย่างสมบูรณ์ ระบบตรรกะ เช่นแคลคูลัสภาคแสดงจะต้องถูกใช้ในการพิสูจน์ การประยุกต์ใช้การให้เหตุผลเชิงสัจพจน์แบบเป็นทางการในปัจจุบันแตกต่างจากวิธีการแบบดั้งเดิมทั้งในการไม่พิจารณาความหมาย และในการระบุระบบตรรกะที่ใช้
วิธีการเชิงสัจพจน์ในคณิตศาสตร์
การลดทอนชุดของข้อเสนอให้เหลือชุดของสัจพจน์เฉพาะเจาะจงเป็นพื้นฐานของการวิจัยทางคณิตศาสตร์ความสัมพันธ์นี้มีความโดดเด่นและเป็นที่ถกเถียงกันมากในคณิตศาสตร์ช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่เกิดผลงานสำคัญหลายชิ้นของวิธีการสัจพจน์ขึ้นสัจพจน์ความน่าจะเป็นของAndrey Kolmogorovจากปี 1933 เป็นตัวอย่างที่โดดเด่น[ 1 ]บางครั้งวิธีการนี้ถูกโจมตีว่าเป็น "รูปแบบนิยม" เพราะมันตัดทอนสัญชาตญาณในการทำงานของนักคณิตศาสตร์และผู้ที่ใช้คณิตศาสตร์ ในบริบททางประวัติศาสตร์ รูปแบบนิยมที่ถูกกล่าวหานี้กำลังถูกกล่าวถึงว่าเป็นการอนุมานซึ่งยังคงเป็นแนวทางปรัชญาที่แพร่หลายในคณิตศาสตร์[ 2 ]
ลำดับเหตุการณ์ของระบบสัจพจน์จนถึงปี 1900
ระบบสัจพจน์หลักๆ ถูกพัฒนาขึ้นในศตวรรษที่สิบเก้า ซึ่งรวมถึงเรขาคณิตนอกยุคลิดทฤษฎีเซตเชิงนามธรรมของจอร์จ แคนเตอร์และสัจพจน์แก้ไขของฮิลเบิร์ตสำหรับ เรขาคณิต ยุค ลิด
| วันที่ | ผู้เขียน | งาน | ความคิดเห็น |
|---|---|---|---|
| ช่วงศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสตกาลถึงศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาล | ยูคลิดแห่ง อเล็ก ซานเดรีย | องค์ประกอบต่างๆ | เป็นที่รู้จักในฐานะการนำเสนอเชิงสัจพจน์ที่เก่าแก่ที่สุดของเรขาคณิตระนาบยุคลิดซึ่งครอบคลุมบางส่วนของทฤษฎีจำนวนด้วย[ 3 ] |
| ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1677 | บารุค สปิโนซา | Ethica, ordine geometico สาธิต | เช่นเดียวกับPrincipia philosophiae cartesianaeในปี 1663 สปิโนซาในEthics ของเขา อ้างว่าใช้ "วิธีการทางเรขาคณิต" ของยูคลิด มุมมองสมัยใหม่คือ "ความแตกต่างนั้นชัดเจนระหว่างความปรารถนาที่จะพิสูจน์ประเด็นต่างๆ โดยใช้การโต้แย้งแบบนิรนัยจากสัจพจน์ที่ชัดเจนในตัวเองและแหล่งที่มาที่ชัดเจนของประเด็นเหล่านั้นจากประสบการณ์ชีวิตและอย่างดีที่สุดก็คือการผสมผสานระหว่างทฤษฎีและสัญชาตญาณ" [ 4 ] |
| 1829 | นิโคไล โลบาเชฟสกี | О началах геометрии ("เกี่ยวกับต้นกำเนิดของเรขาคณิต") | บทความของโลบาเชฟสกีได้รับการยอมรับว่าเป็นงานตีพิมพ์ชิ้นแรกเกี่ยวกับเรขาคณิตระนาบเชิงสัจพจน์ที่พัฒนาขึ้นโดยไม่ใช้สัจพจน์เส้นขนานของยุคลิด ซึ่งถือเป็นรากฐานของเรขาคณิตนอกยุคลิด |
| 1879 | ก็อตต์ล็อบ เฟรเก | อภิรชริฟต์ | Frege ได้เผยแพร่ระบบที่เป็นทางการสำหรับรากฐานของคณิตศาสตร์ ในภาษาสมัยใหม่ มันคือตรรกะลำดับที่สอง [ 5 ]ที่มีความสัมพันธ์เอกลักษณ์มันถูกแสดงออกมาในรูปแบบสัญกรณ์เชิงเส้นสำหรับต้นไม้การวิเคราะห์ |
| ช่วงปี ค.ศ. 1882/3 ถึงทศวรรษ ค.ศ. 1890 | วอลเทอร์ ฟอน ไดค์ | สัจพจน์สำหรับทฤษฎีกลุ่ม นามธรรม | ฟอน ไดค์ ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้คิดค้นสัจพจน์ของทฤษฎีกลุ่มที่เป็นมาตรฐานในปัจจุบัน[ 6 ]เห็นได้ชัดจากการที่ฟอน ไดค์ แนะนำกลุ่มอิสระว่าเขากำลังทำงานกับแนวคิดมาตรฐานของกลุ่มนามธรรมอย่างไรก็ตาม ยังไม่ชัดเจนว่าการมีอยู่ขององค์ประกอบผกผันเป็นสัจพจน์หรือไม่: มันจะเป็นผลมาจากสมมติฐานทางความหมายที่ว่ากลุ่มเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยน (การเรียงสับเปลี่ยนสามารถผกผันได้ตามนิยาม) หรือการแปลงทางเรขาคณิตที่มีคุณสมบัติเดียวกัน รูปแบบการอธิบายในยุคนั้นไม่ได้เน้นย้ำประเด็นดังกล่าวเจมส์ เพียร์พอนต์หนึ่งใน "นักทฤษฎีสมมติฐาน" ชาวอเมริกัน มีชุดสัจพจน์สำหรับกลุ่มในปี 1896 ซึ่งเป็นแบบสมัยใหม่ แม้ว่าจะไม่ได้สมมติความเป็นเอกลักษณ์ขององค์ประกอบเอกลักษณ์ (เช่น) ก็ตาม[ 7 ] |
| 1888 | ริชาร์ด เดเดคินด์ | การสร้างจำนวนจริง | เมื่อ Dedekind นำเสนอการสร้างจำนวนจริงโดยใช้Dedekind cutsสัจพจน์สำหรับจำนวนจริงก็เป็นเพียงตำนานทางคณิตศาสตร์ อยู่แล้ว ต่อมา สัจพจน์ย่อยของสัจพจน์เหล่านั้นจะกำหนดฟิลด์เรียงลำดับ ข้อกำหนดเพิ่มเติม คือทฤษฎีของ ลิ มิตทางคณิตศาสตร์[ 8 ]ตัวอย่างเช่น การที่จะเข้าใจแนวคิดที่ว่าเส้นจำนวนจริงก่อให้เกิดความต่อเนื่องเชิงเส้นหมายถึงการจัดการกับปริศนาของซีโน ในประวัติศาสตร์ และยังต้องชี้แจงประเด็นเรื่องการแสดงทศนิยมที่ไม่เป็นเอกลักษณ์ เช่น0.999... =1 โดยการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์การสร้างแบบจำลองสัจพจน์ของจำนวนจริงของ Dedekind ทำให้เรื่องเหล่านี้มีพื้นฐานที่มั่นคง ในทางปฏิบัติ ทฤษฎีบทที่พิสูจน์โดยใช้ Dedekind cuts ซึ่งเป็นผลลัพธ์พื้นฐานในการวิเคราะห์จำนวนจริงสามารถพิสูจน์ได้สำหรับการสร้างอื่นๆ เช่น การใช้ลำดับโคชีของจำนวนตรรกยะ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นสัจพจน์ที่ตรวจสอบได้ ตัวอย่างเช่นคุณสมบัติของอาร์คิมีเดียน |
| 1889 | จูเซปเป เปอาโน | ปรินชิเปียของเลขคณิต โนวาวิธีอธิบาย | หลังจากผลงานก่อนหน้านี้ของผู้อื่นสัจพจน์ของเปอาโนได้ให้พื้นฐานเชิงสัจพจน์สำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์บนจำนวนธรรมชาติและการอุปมานทางคณิตศาสตร์ซึ่งได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง |
| 1898 | อัลเฟรด นอร์ธ ไวท์เฮด | ตำราพีชคณิตสากล | Whitehead ได้นำเสนอระบบสัจพจน์แรกสำหรับพีชคณิตบูลีน ตามที่ George Booleได้แนะนำไว้ในงานพื้นฐานเกี่ยวกับตรรกะและความน่าจะเป็น[ 9 ] |
| 1899 | เดวิด ฮิลเบิร์ต | Grundlagen der Geometrie | ได้นำเสนอสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อสัจพจน์ของฮิลเบิร์ตซึ่งเป็นระบบสัจพจน์ที่ได้รับการปรับปรุงใหม่สำหรับเรขาคณิตทรงสามมิติ |
สถานการณ์ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20
เดวิด ฮิลเบิร์ต "เป็นคนแรกที่นำวิธีการเชิงสัจพจน์มาใช้เป็นกรอบการตรวจสอบสำหรับการศึกษาพื้นฐานของคณิตศาสตร์ อย่างชัดเจน " [ 10 ]สำหรับฮิลเบิร์ต ประเด็นพื้นฐานที่สำคัญคือสถานะเชิงตรรกะของทฤษฎีเซตของแคนเตอร์ในรายการปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข 23 ข้อในคณิตศาสตร์ตั้งแต่ปี 1900 ฮิลเบิร์ตได้ระบุสมมติฐานความต่อเนื่องเป็นปัญหาแรกในรายการ[ 11 ]
ปัญหาข้อที่หกของฮิลเบิร์ตเรียกร้องให้ "กำหนดสัจพจน์ของสาขาวิทยาศาสตร์ทั้งหมดที่คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญ" เขาหมายถึงอย่างน้อยสาขาหลักๆ ในฟิสิกส์คณิตศาสตร์และความน่าจะเป็น[ 12 ] [ 13 ]เกี่ยวกับผลกระทบต่อวิทยาศาสตร์ จอร์โจ อิสราเอลได้เขียนไว้ว่า:
ก่อตั้งโดยนักคณิตศาสตร์เฟลิกซ์ ไคลน์ ... สำนักเกิตติงเงน ภายใต้อิทธิพลของเดวิด ฮิลเบิร์ต ได้มุ่งเน้นความพยายามไปที่ ... ทฤษฎีเซต การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน กลศาสตร์ควอนตัม และตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ โดยยึดถือหลักการเชิงวิธีการคือ วิธีการเชิงสัจพจน์ ซึ่งจะปฏิวัติวงการวิทยาศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 ตั้งแต่ทฤษฎีความน่าจะเป็นไปจนถึงฟิสิกส์เชิงทฤษฎี[ 14 ]
อิสราเอลยังแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการต่อต้านทางวัฒนธรรม อย่างน้อยในฝรั่งเศสและอิตาลี ต่อ "แบบจำลองเยอรมัน" นี้และขอบเขตระหว่างประเทศ[ 14 ]การประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ครั้งแรกได้รับฟังความคิดเห็นของอองรี ปวงกาเรจากฝรั่งเศสเกี่ยวกับฟิสิกส์คณิตศาสตร์ รายชื่อของฮิลเบิร์ตเป็นการส่งไปยังการประชุมครั้งที่สอง[ 15 ]สำนักเรขาคณิตเชิงพีชคณิตของอิตาลีมีทัศนคติที่แตกต่างออกไปต่องานเชิงสัจพจน์ในการสร้างทฤษฎีและการสอน[ 16 ]
ลำดับเหตุการณ์ของระบบสัจพจน์ตั้งแต่ปี 1901
ในช่วงเวลาก่อนปี 1950 คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ส่วนใหญ่ ได้รับรากฐานเชิงสัจพจน์ที่เป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวาง ระบบหลายระบบดำรงอยู่ร่วมกันในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์คณิตศาสตร์เริ่มถูกเขียนในรูปแบบที่กระชับขึ้น ไม่เยิ่นเย้อ แต่ก็ยังคงไม่เป็นทางการอยู่
ในทางกลับกัน แนวทางที่เกี่ยวข้องกับฮิลเบิร์ตที่มองว่าวิธีการเชิงสัจพจน์เป็นพื้นฐานกลับถูกวิพากษ์วิจารณ์ ส่วนหนึ่งของ การวิจารณ์โปรแกรมทั้งหมดของฮิลเบิร์ต โดยLEJ Brouwer ส่งผลให้ Arend Heytingสร้างสัจพจน์ของตรรกะประพจน์เชิงสัญชาตญาณ[ 17 ]ซึ่งทำให้ลัทธิสร้างสรรค์นิยมในคณิตศาสตร์สามารถประนีประนอมกับ "ลัทธินิรนัยนิยม" ได้ โดยการแลกเปลี่ยนแคลคูลัสเชิงตรรกะ ภายใต้ชื่อการตีความ Brouwer–Heyting– Kolmogorov
| วันที่ | ผู้เขียน | งาน | ความคิดเห็น |
|---|---|---|---|
| ปี ค.ศ. 1908 ถึง 1922 | เอิร์นส์ เซอร์เมโลและอับราฮัม เฟรนเคิล | ทฤษฎีเซตของ Zermelo-Fraenkel | ทฤษฎี Zermelo-Fraenkel (ZF) ซึ่งพัฒนาต่อยอดจากทฤษฎีเซตของ Zermeloในปี พ.ศ. 2451 ได้วางรากฐานเชิงสัจพจน์สำหรับทฤษฎีเซตด้วยระบบสัจพจน์ที่ชัดเจน (โดยยึดหลักการจำกัดตรรกะลำดับที่หนึ่ง ) เมื่อเพิ่มสัจพจน์ของการเลือกเข้าไปทฤษฎี ZFC ก็ได้วางรากฐานการทำงานสำหรับคณิตศาสตร์คลาสสิกส่วนใหญ่[ 18 ] |
| 1910 | เอิร์นส์ สไตน์นิทซ์ | ทฤษฎีพีชคณิต เดอร์ คอร์เพอร์ | Steinitz ภายใต้อิทธิพลของการแนะนำจำนวน p-adic โดยKurt Hensel ได้ให้ทฤษฎีสัจพจน์ของ แนวคิด ฟิลด์ในพีชคณิตนามธรรม[ 19 ] |
| ปี 1911 ถึง 1913 | อัลเฟรด นอร์ธ ไวท์เฮดและเบอร์แทรนด์ รัสเซลล์ | ปรินชิเปีย มาเธมาติกา (เล่ม 3) | งานที่อุทิศให้กับหลักการของการกำหนดรูปแบบเชิงสัจพจน์ของคณิตศาสตร์ ซึ่งกล่าวถึงความขัดแย้งของทฤษฎีเซต โดยใช้ ทฤษฎีประเภทแบบเฉพาะตัว( ทฤษฎีประเภทแบบแตกแขนง ) ระบบนี้ไม่เกี่ยวข้องกับสัจพจน์ของการขยาย[ 20 ] [ 21 ] |
| 1913 | เฮอร์มันน์ เวย์ล | Die Idee der Riemannschen Fläche [ 22 ] | Weyl ได้ให้ แนวคิด พื้นผิว Riemannของการวิเคราะห์เชิงซ้อนเป็นการวิเคราะห์เชิงสัจพจน์ โดยกำหนดให้เป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่มีมิติหนึ่งในแง่ของระบบเพื่อนบ้าน[ 23 ] |
| 1914 | เฟลิกซ์ เฮาส์ดอร์ฟ | Grundzüge der Mengenlehre | หนังสือเล่มนี้ประกอบด้วยสัจพจน์สำหรับสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าพื้นที่โทโพโลยีเฮาส์ดอร์ฟโดยสร้างขึ้นจากการใช้ย่านใกล้เคียงของไวล์[ 23 ] |
| 1915 | มอริซ เฟรเชต์ | การวัดเชิงนามธรรมบนปริภูมิการวัด | แนวคิดของการวัดแบบเลเบสและปริพันธ์ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งนำเสนอครั้งแรกบนเส้นจำนวนจริงและปริภูมิยุคลิดได้รับการจัดการตามสัจพจน์บนระบบเซต[ 24 ] |
| 1920 | สเตฟาน บานาค | ปริภูมิเวกเตอร์บรรทัดฐานสมบูรณ์ | ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อปริภูมิบานาคซึ่งเป็นการตั้งค่าแบบคลาสสิกสำหรับการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันโดยในตอนแรกถือว่าปริภูมิเวกเตอร์จริง[ 25 ] |
| 1921 | จอห์น เมย์นาร์ด เคนส์ | ตำราว่าด้วยความน่าจะเป็น | งานของเคนส์ได้ลดความสำคัญของความน่าจะเป็นลงไปอยู่ภายใต้ตรรกะ โดยได้รับอิทธิพลจากหนังสือ Principia Mathematicaและได้นำเสนอการตีความความน่าจะเป็น ในรูปแบบ สัจพจน์ |
| 1921 | เอมมี่ โนเธอร์ | Idealtheorie ใน Ringbereichen [ 26 ] | บทความของ Noether ได้นำเสนอเงื่อนไขลูกโซ่ขึ้นบนอุดมคติเป็นสัจพจน์ในวงแหวนสลับเปลี่ยนทำให้เกิดคลาสย่อยที่เรียกว่าวงแหวน Noetherianซึ่งช่วยให้สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทฐานของ Hilbert ได้โดยตรงแบบ อุปนัย นอกจากนี้ยังถือเป็นจุดเริ่มต้นของ "ยุคสมัย" ในพีชคณิตนามธรรม[ 27 ] [ 28 ] |
| 1923 | นอร์เบิร์ต วีนเนอร์ | กระบวนการไวเนอร์ | Wiener สร้างมาตรวัดที่กำหนด แบบจำลอง กระบวนการสุ่มของการเคลื่อนที่แบบบราวน์[ 29 ] |
| 1932 | ออสวาลด์ เว็บเลนและเจเอชซี ไวท์เฮด | พื้นฐานของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (1932) | งานดังกล่าวได้ให้คำจำกัดความเชิงสัจพจน์ที่ยอมรับของ แม นิโฟลด์เชิงอนุพันธ์ [ 30 ]นอกเหนือจากปัญหาบางประการเกี่ยวกับสัจพจน์การแยก |
| 1932 | จอห์น ฟอน นอยมันน์ | Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik ,สัจพจน์ของ Dirac–von Neumann | การมีส่วนร่วมในการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัมย้อนกลับไปถึงบทความในปี 1927 โดย von Neumann ซึ่งเสนอการกำหนดสัจพจน์ของงานพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมโดยจำลองรูปแบบอย่างเป็นทางการตามสัญลักษณ์ของPaul Diracโดยใช้ วิธีการ ของปริภูมิฮิลเบิร์ต แบบนามธรรม และ ตัวดำเนิน การที่ไม่จำกัด[ 31 ] |
| 1933 | อันเดรย์ โคลโมโกโรฟ | สัจพจน์ความน่าจะเป็น | งานของ Kolmogorov ทำให้ความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์อยู่ภายใต้ทฤษฎีการวัดในขณะที่ยังคงเปิดการตีความไว้ ดังนั้นจึงสร้างค่าที่คาดหวังบนปริพันธ์ของ Lebesgue [ 32 ] ตั้งแต่ Georg Bohlmannในช่วงต้นศตวรรษเป็นต้นมา มีการกำหนดสูตรเชิงสัจพจน์มากมาย การทำให้ความน่าจะเป็นเป็นฟังก์ชันเซตแบบซิกมาบวกโดยพลการนั้นมีความสำคัญ[ 33 ] |
| พ.ศ. 2488 | ซามูเอล ไอเลนเบิร์กและนอร์แมน สตีนรอด | สัจพจน์ของ Eilenberg–Steenrod | ระบบสัจพจน์สำหรับทฤษฎีโฮโมโลยีในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตสะท้อนให้เห็นถึงการพัฒนาตั้งแต่ Noether สนับสนุนให้มีการจัดระเบียบคลาสโฮโมโลยีบนหลักการพีชคณิตนามธรรม[ 27 ] |
| พ.ศ. 2488–2493 | ลอเรนต์ ชวาร์ตซ์ | ทฤษฎีการแจกแจง | โดยใช้ความเป็นคู่สำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีของฟังก์ชันทดสอบ ชวาร์ตซ์ได้ให้การจัดการเชิงสัจพจน์ที่เป็นเอกภาพของฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก และ วิธีการดำเนินการอย่างเป็นทางการอื่นๆ อีกจำนวนหนึ่งรวมถึงทฤษฎีทางเรขาคณิตของกระแส[ 34 ] |
สถานการณ์ในช่วงกลางศตวรรษที่ 20
ลักษณะเด่นสามประการของคณิตศาสตร์ในปี ค.ศ. 1950 ได้แก่:
- กลุ่ม Bourbaki ยังคงตีพิมพ์ หนังสือชุดÉléments de mathématiqueในฝรั่งเศสอย่างต่อเนื่อง โดยมีเป้าหมายเพื่อนำเสนอแนวคิดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์อย่างครอบคลุม
- สถานการณ์ที่เปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วในพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตภายหลังการตีพิมพ์หนังสือFoundations of Algebraic GeometryโดยAndré Weil
- ทฤษฎีสนามควอนตัม (QFT) ซึ่งขาดรากฐานเชิงสัจพจน์ที่น่าพอใจ
สัจพจน์แบบบูร์บากิ
จุดมุ่งหมายของ Bourbaki คือการจัดการคณิตศาสตร์ในวงกว้าง ซึ่งจะเป็นไปตามหลักการเชิงสัจพจน์ โดยอิงจากพื้นฐานเชิงตรรกะที่ลดทอนลงในทฤษฎีเซต (b) ตามแบบอย่างของ Hilbert และโรงเรียน Göttingen แม้ว่าจะไม่รวมความต้องการของฟิสิกส์และการคำนวณ (c) เป็นการรับเอาพัฒนาการปัจจุบันของฝรั่งเศส งานเริ่มต้นดำเนินการโดยเป็นการตอบโต้แบบเฉียบพลันของกลุ่มคนรุ่นใหม่ต่อCours d'analyse mathématiqueซึ่งเป็นตำรามาตรฐานเกี่ยวกับการวิเคราะห์แบบคลาสสิกจากต้นศตวรรษที่ 20 โดยÉdouard GoursatและสนับสนุนตำราModerne Algebraจากต้นทศวรรษ 1930 เกี่ยวกับพีชคณิตนามธรรมโดยBartel Leendert van der Waerden [ 35 ]
บทความที่ไม่ระบุชื่อผู้เขียนจากปี 1950 ซึ่งแท้จริงแล้วเป็นผลงานของJean Dieudonnéได้อธิบายถึงทัศนคติของ Bourbaki ต่อวิธีการเชิงสัจพจน์[ 36 ] [ 37 ]ข้อได้เปรียบหลักของการทำงานเชิงสัจพจน์นั้นกล่าวกันว่าอยู่ที่ "การขยายความ" ของ "รูปแบบ" หรือโครงสร้าง ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมีความสำคัญเหนือกว่างานพื้นฐานและการชี้แจงการอนุมานสิ่งที่ Dieudonné เขียนนั้นเป็นของยุคสมัยของเขา เป็นการเบี่ยงเบนจากแนวทางของ Hilbert และยังไม่ใช่การบรรลุถึงโครงสร้างในความหมายที่แฝงอยู่ในมอร์ฟิซึมของทฤษฎีหมวดหมู่[ 37 ]
ลำดับเหตุการณ์ของพันธุ์นามธรรม
เพื่อจุดประสงค์ในการอธิบายการพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์สำหรับเส้นโค้งบนฟิลด์จำกัดเวลได้ใช้จาโคเบียนของเส้นโค้งและผลลัพธ์บางอย่างจากทฤษฎีการตัดกันเนื่องจากเขาทำงานบนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ pแทนที่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนการถ่ายทอดผลลัพธ์แบบคลาสสิกจึงต้องใช้การพิสูจน์ทางพีชคณิตล้วนๆ นอกจากนี้ เขายังใช้การสร้างจาโคเบียนเป็น "วาไรตี้เชิงนามธรรม" ซึ่งเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริง แทนที่จะเป็นวาไรตี้พีชคณิตเชิงโปรเจกทีฟที่ พบในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อน
หนึ่งชั่วอายุคนต่อมา เมื่อ Robin Hartshorneตีพิมพ์ตำราAlgebraic Geometryคำว่า "ความหลากหลายเชิงนามธรรม" จึงได้รับการกำหนดนิยามมาตรฐานภายในทฤษฎีโครงร่าง[ 38 ]
| วันที่ | ผู้เขียน | งาน | ความคิดเห็น |
|---|---|---|---|
| 1882 | ริชาร์ด เดเดไคนด์และไฮน์ริช มาร์ติน เวเบอร์ | ทฤษฎี der algebraischen Functionen einer Veränderlichen | สำหรับเส้นโค้งพีชคณิต ที่ไม่สามารถลดทอนได้ Cซึ่งกำหนดไว้เหนือจำนวนเชิงซ้อน และฟิลด์ฟังก์ชันF ของมัน Dedekind และ Weber พิจารณาวงแหวนย่อยRโดยที่Fเป็นฟิลด์ผลหาร ของมัน การศึกษาอุดมคติในRทำให้ได้จุดของC กลับคืนมา โดยมีข้อยกเว้นจำนวนจำกัด การตั้งค่านี้เหมาะสมที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทRiemann-Roch [ 39 ] |
| 1910 | เอิร์นส์ สไตน์นิทซ์ | การปิดเชิงพีชคณิต | ฟิลด์K ใดๆ ก็มีการปิดเชิงพีชคณิต ซึ่งเป็นฟิลด์ที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ประกอบด้วยรากทั้งหมดของพหุนามทั้งหมดในตัวแปรเดียวที่มีสัมประสิทธิ์ในK [ 40 ] เนื้อหาของทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตมีใจความว่าจำนวนเชิงซ้อนเป็นการปิดเชิงพีชคณิตของจำนวนจริง เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเหนือฟิลด์K ใดๆ สามารถคิดได้ว่าเป็นการศึกษาเซตของคำตอบในการปิดเชิงพีชคณิตสำหรับระบบพหุนามในตัวแปรจำนวนใดๆ |
| ประมาณปี 1911–1921 | ไฮน์ริช คอร์นบลุม (1890–1914), เอมิล อาร์ติน | ฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ | หลังจากวิทยานิพนธ์ของ Kornblum เกี่ยวกับอนาล็อกของวงแหวนพหุนามของทฤษฎีบทของ Dirichlet เกี่ยวกับลำดับเลขคณิตใช้อนาล็อกของการไม่เป็นศูนย์ของฟังก์ชัน Lวิทยานิพนธ์ของ Artin เรื่องQuadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzenเกี่ยวกับเส้นโค้งไฮเปอร์อิลิปติกเหนือฟิลด์จำกัดได้กล่าวถึงฟังก์ชันก่อกำเนิดซึ่งปัจจุบันเรียกว่าฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ของวาไรตี้เหนือฟิลด์จำกัด[ 41 ]ในฐานะฟังก์ชันตรรกยะมันมีขั้วที่ชัดเจน ศูนย์ของมันกลายเป็นหัวข้อวิจัยในฐานะอนาล็อกของสมมติฐาน ของ Riemann |
| 1931 | ฟรีดริช คาร์ล ชมิดท์ | สมการเชิงฟังก์ชันสำหรับฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ของเส้นโค้ง | Weil แสดงความคิดเห็นว่าทั้งงานของ Schmidt ซึ่งใช้ทฤษฎีบท Riemann-Roch เพื่อพิสูจน์อนาล็อกของสมการเชิงฟังก์ชันของ Riemannและทฤษฎีบทของ Hasse เกี่ยวกับเส้นโค้งวงรีใช้การขยายโดยตรงของพื้นฐาน Dedekind–Weber โดยใช้การปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์จำกัดเป็นฟิลด์ของค่าคงที่[ 42 ] |
| 1932 | วูล์ฟกัง ครุลล์ | อัลเกไมน์ เบิร์ตทังสธีโอรี[ 43 ] | Krull ได้ให้สัจพจน์สำหรับ แนวคิด การประเมินค่า เซตของการประเมินค่าของฟิลด์ฟังก์ชันของวาไรตี้พีชคณิตมีความสัมพันธ์กับเรขาคณิตไบราชันนัลของวาไรตี้ เฉพาะในกรณีของเส้นโค้งเท่านั้นที่ความสัมพันธ์กับจุดของวาไรตี้จะตรงไปตรงมา คำศัพท์ของสถานที่ซึ่งสร้างขึ้นจากการประเมินค่า ถูกใช้โดยนักเรขาคณิตOscar ZariskiและShreeram Abhyankar [ 44 ] Zariskiกล่าวว่างานของเขาได้รับอิทธิพลจากบทความ Dedekind–Weber ตั้งแต่ทศวรรษ 1930 [ 39 ] |
| 1941 | อ็องเดร ไวล์ | ความหลากหลายเชิงนามธรรม | ในฤดูใบไม้ผลิปี 1941 ที่พรินซ์ตัน ไวล์พยายามสร้างรากฐานที่สมบูรณ์สำหรับการพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์สำหรับเส้นโค้งเหนือฟิลด์จำกัดโดยต้องการใช้ความหลากหลายของจาโคเบียนเหนือการปิดเชิงพีชคณิต ต่อมาเขาแสดงความคิดเห็นว่านักพีชคณิตของสำนักเอ็มมี เนอเธอร์นั้นใกล้เคียงกับมุมมองแบบไบราชันนัลของนักเรขาคณิตชาวอิตาลีมากเกินไป ความต้องการของเขาไม่ได้รับการตอบสนองด้วยแนวทางแบบไบราชันนัลต่อจาโคเบียนผ่านผลคูณสมมาตรเขาใช้ "ส่วนหนึ่ง" ของจาโคเบียนที่มีโครงสร้างแบบบวกเป็นความหลากหลาย "นามธรรม" จากนั้นเขาพบว่าแนวคิดนี้ได้รับการกล่าวถึงโดยฟรานเชสโก เซเวรีในTrattato di geometria algebrica: pt. 1. Geometria delle serie lineari (1926), หน้า 283–4 [ 45 ] |
| 1944 | ออสการ์ ซาริสกี | พื้นผิวรีมันน์เชิงนามธรรมของซาริสกี (แมนิโฟลด์) | โทโพโลยีของซาริสกิซึ่งสำหรับปริภูมิแอฟฟินทำให้เซตพีชคณิตเป็นเซตปิดเกิดขึ้นราวปี 1941 หลังจากการบรรยายในงานสัมมนาที่พรินซ์ตัน โดยซาริ ส กิ [ 46 ]หลังจากนั้นไม่กี่ปีซึ่งกลายเป็นตำนานทางคณิตศาสตร์ ซาริสกิก็ได้ตีพิมพ์ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับการประเมินค่า สำหรับฟิลด์Kและวงแหวนย่อยAซาริสกิพิจารณาเซตของวงแหวนประเมินค่าในKที่มีAและมีฟิลด์ของผลหารเท่ากับKเซตย่อยเหล่านี้ของวงแหวนประเมินค่าทั้งหมดในKเป็นฐานของเซตเปิดสำหรับโทโพโลยี และซาริสกิได้พิสูจน์ในกรณีทางเรขาคณิตว่าปริภูมิของวงแหวนประเมินค่าจึงกลายเป็นกึ่งกระชับ (กล่าวคือไม่ได้อยู่ใน ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟทั่วไปแต่มี คุณสมบัติ การครอบคลุมแบบเปิดของปริภูมิกระชับ ) [ 47 ] |
| พ.ศ. 2485–2487 | อ็องเดร ไวล์ | แผนภูมิสำหรับพันธุ์นามธรรม | ตามคำกล่าวของเขาเอง ไวล์กำลังเขียนบทที่ VII ของFoundations of Algebraic Geometryซึ่งตีพิมพ์ในอีกหลายปีต่อมา ภายใต้สมมติฐานการทำงานบางประการ เขาใช้วิธีการทางแผนที่ตามที่เขาเรียก ซึ่งใช้โดยไวล์ ฮาวส์ดอร์ฟ และเวบเลนและไวท์เฮด เขาไม่ได้ใช้โทโพโลยีของซาริสกี ซึ่งยังไม่ได้ตีพิมพ์สำหรับวาไรตี้และเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตแบบไบราชันนัล เขากำหนดจำนวนจุดตัดเฉพาะในระดับท้องถิ่นเท่านั้น[ 48 ] |
| ประมาณปี 1954 | โคล้ด เชอวาลเลย์ | schémas (Mark I) | Chevalley ได้มาถึงแนวคิดพื้นฐานที่ประกอบด้วยชุดของวงแหวนท้องถิ่นเช่น วงแหวนท้องถิ่นที่เกี่ยวข้องกับการประเมินค่า[ 49 ]เขาบรรยายเรื่องนี้ในญี่ปุ่นในปี 1954 [ 50 ]ด้วยการนำทฤษฎีชีฟมาใช้ จึงสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นปริภูมิวงแหวนคำจำกัดความนี้เป็นการเปลี่ยนแปลง |
| ประมาณปี 1956 | อเล็กซานเดอร์ โกรเทนดิค | ทฤษฎีโครงร่าง | การเริ่มต้นใหม่บนพื้นฐานเชิงนามธรรมและสัจพจน์สำหรับเรขาคณิตพีชคณิตเกิดขึ้นจากการนิยามสกีมว่าเป็นปริภูมิวงแหวนที่มีจุดแต่ละจุดมีบริเวณใกล้เคียงในรูปแบบ Spec( A ) โดยที่Aเป็นวงแหวนสลับที่ และ Spec หมายถึงสเปกตรัมของวงแหวนสลับที่โดยที่จุดต่างๆ เป็นอุดมคติเฉพาะ Grothendieck กำลังทำงานเกี่ยวกับทฤษฎีสำหรับวงแหวน Noetherian ในสัมมนาของ Chevalley ในปี 1956 ทฤษฎีนี้ได้รับการพัฒนาในชุดหนังสือÉléments de géométrie algébriqueซึ่งเขียนร่วมกันโดย Grothendieck และ Dieudonné เริ่มต้นในปี 1958 [ 51 ] |
QFT เชิงสัจพจน์
สัจพจน์ที่เป็นไปได้สำหรับ QFT ซึ่งก็คือสัจพจน์ของ Wightmanได้รับการแนะนำโดยArthur Wightmanความจำเป็นสำหรับตัวอย่างที่ไม่ธรรมดาสำหรับสัจพจน์เหล่านี้นำไปสู่ทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงสร้างสรรค์ซึ่งเริ่มต้นจากผลงานของArthur JaffeและOscar Lanfordในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกที่ Wightman เป็นผู้ดูแลในช่วงกลางทศวรรษ 1960 [ 52 ]
การอภิปรายเกี่ยวกับระบบสัจพจน์
ในทางคณิตศาสตร์การ กำหนดระบบสัจพจน์ คือกระบวนการนำองค์ความรู้หนึ่งมาแล้วย้อนกลับไปหาสัจพจน์ของมัน มันคือการสร้างระบบของข้อความ (เช่นสัจพจน์ ) ที่เชื่อมโยงเงื่อนไขพื้นฐานจำนวนหนึ่งเข้าด้วยกัน เพื่อให้สามารถอนุมานข้อเสนอเชิงตรรกะที่สอดคล้องกันได้จากข้อความเหล่านั้น หลังจากนั้น การพิสูจน์ข้อเสนอใดๆ ก็ควรจะสามารถสืบย้อนกลับไปหาสัจพจน์เหล่านั้นได้ในหลักการ การกำหนดระบบสัจพจน์มักเกี่ยวข้องกับการเลือก และเมื่อทฤษฎีใดทฤษฎีหนึ่งได้รับการกำหนดระบบสัจพจน์แล้ว ก็อาจเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนแปลงชุดสัจพจน์โดยไม่ส่งผลกระทบต่อผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ได้
สัจพจน์และสมมติฐาน
ในตรรกศาสตร์กรีกโบราณ มีการยอมรับ ความแตกต่างระหว่างสัจพจน์และสมมติฐาน (อย่างไรก็ตาม คำว่า "สมมติฐาน" เป็นคำภาษาอังกฤษที่มาจากภาษาละตินยุคกลาง ) โดยสะท้อนให้เห็นถึงสัจพจน์ที่กล่าวถึงแนวคิดพื้นฐานในลักษณะที่ควรจะเป็นพื้นฐานร่วมกัน โดยไม่ได้นำไปใช้อย่างสม่ำเสมอ และสมมติฐานเป็น "คำขอ" หรือ "ข้อเรียกร้อง" เพื่อจุดประสงค์ในการโต้แย้งมุมมองของอริสโตเติลเกี่ยวกับสมมติฐานนั้นเรียบง่ายมาก[ 53 ]
นับตั้งแต่ผลงานของ Boole ในช่วงทศวรรษ 1840 ในประเพณีพีชคณิตของตรรกะตรรกะเองก็ได้รับการพัฒนาจาก "สมมติฐาน" เพียงอย่างเดียว มุมมองแบบมินิมัลลิสต์ถูกนำมาใช้ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 เพื่อบ่งชี้ถึงการวิจัยเกี่ยวกับความเป็นอิสระของสัจพจน์ความสง่างามทางคณิตศาสตร์ก็เป็นสิ่งที่ต้องพิจารณาเช่นกัน[ 54 ] Friedrich Schurวิพากษ์วิจารณ์การขาดความเป็นอิสระของสัจพจน์ของ Hilbert สำหรับเรขาคณิตที่ระบุไว้ในGrundlagen der Geometrie [ 55 ]
ลำดับเวลาของการวิเคราะห์เชิงสมมติฐาน
ตามที่Susan Stebbing กล่าวไว้ การวิเคราะห์เชิงสมมติฐานคือสิ่งที่ใช้ "ในการสร้างระบบการอนุมาน " [ 56 ]เป็นคำที่ใช้กับการแก้ไขหรือปรับระบบสัจพจน์ สัจพจน์อาจถูกเพิ่มหรือลบออกจากระบบ สัจพจน์อาจถูกเสริมความแข็งแกร่งหรือลดทอนความแข็งแกร่ง นอกจากนี้ยังสามารถเปลี่ยนแปลงแคลคูลัสเชิงตรรกะที่ใช้สำหรับการอนุมานได้อีกด้วย
| วันที่ | ผู้เขียน | งาน | ความคิดเห็น |
|---|---|---|---|
| ช่วงศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสตกาลถึงศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาล | ยูคลิดแห่ง อเล็ก ซานเดรีย | องค์ประกอบต่างๆ | คำศัพท์ภาษากรีกที่ยูคลิดใช้คือ αἰτήματα (aitēmata) [ 53 ]คำแปลภาษาอังกฤษมาตรฐานคือ "postulate" [ 57 ] |
| 1882 | มอริตซ์ ปาสช์ | สัจพจน์ของปาสช์ | Pasch ได้นำเสนอสัจพจน์ของเรขาคณิตระนาบที่ยูคลิดไม่ได้พิสูจน์ แต่เขาใช้โดยปริยาย[ 58 ]มันไม่ใช่ผลสืบเนื่องมาจากสัจพจน์ของยูคลิด กล่าวคือเป็นอิสระจากระบบของยูคลิด |
| มีชีวิตอยู่ระหว่างปี ค.ศ. 1890 – 1930 | โรงเรียนอเมริกัน | ทฤษฎีสมมติฐาน | Abrams เขียนว่า "คณิตศาสตร์ในสหรัฐอเมริกาเริ่มพัฒนาไปตามแนวทางของการตรวจสอบภายในและความเข้มงวดทางทฤษฎี ซึ่งได้พัฒนามาแล้วในสถานที่ต่างๆ เช่น ฝรั่งเศสและเยอรมนีตั้งแต่ต้นศตวรรษที่สิบเก้า" "ทฤษฎีสมมติฐาน" เป็นส่วนสำคัญในแนวโน้มที่โดดเด่นนี้ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ของ อเมริกา [ 59 ] Scanlan ชี้ให้เห็นถึง "มาตรฐานสำหรับการกำหนดสัจพจน์ของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์" ของสำนัก และงานเกี่ยวกับ " คุณสมบัติ เชิงอภิปรัชญาเช่นความเป็นอิสระความสมบูรณ์และความสอดคล้อง " EV HuntingtonและOswald Veblenเป็นบุคคลสำคัญของสำนักนี้ ร่วมกับEH MooreและRobert Lee Mooreพวกเขามีส่วนสำคัญในการผลักดันคณิตศาสตร์เชิงสัจพจน์ในระดับนานาชาติ[ 60 ] [ 61 ] |
| 1904 | ออสวาลด์ เว็บเลน | ทฤษฎีเชิงหมวดหมู่ | Veblen เรียกทฤษฎีว่าทฤษฎีเชิงหมวดหมู่หากทฤษฎีนั้นมีแบบจำลองเพียงแบบเดียว[ 62 ] |
| 1910 | แอ็กเซล ทู | Die Lösung eines Spezialfalles eines generellen logischen ปัญหา | นำเสนอโจทย์ปัญหาสำหรับทฤษฎีสมการซึ่งเป็นแง่มุมหนึ่งของพีชคณิตสากล[ 63 ] [ 64 ] |
| 1915 | เลโอโปลด์ โลเวนไฮม์ | Über Möglichkeiten im Relativkalkül | รูปแบบแรกของสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบท Löwenheim-Skolemซึ่งเป็นก้าวสำคัญในการแยกบทบาทในงานพื้นฐานของตรรกะลำดับที่หนึ่งงานของเขาได้รับการชี้แจงและเสริมความแข็งแกร่งโดยThoralf Skolemในช่วงทศวรรษ 1920 [ 65 ] |
| 1926 | อดอล์ฟ ลินเดนบอม | พีชคณิตลินเดนบอม-ทาร์สกี | งานของ Lindenbaum นำไปสู่ตรรกศาสตร์เชิงพีชคณิต[ 66 ] |
| 1933 | อัลเฟรด ทาร์สกี | นิยามของความจริง | แนวทางของ Tarski ซึ่งมีการแบ่งแยกอย่างชัดเจนระหว่าง "ภาษาวัตถุ" และภาษาอภิภาษาที่ใช้ในการอธิบาย นำไปสู่ทฤษฎีแบบจำลองตามคำจำกัดความของความจริงผ่านการเหนี่ยวนำเชิงโครงสร้างเหนือเงื่อนไขในตรรกะลำดับแรก[ 67 ] |
| 1935 | การ์เร็ตต์ เบิร์คฮอฟฟ์ | ทฤษฎีบท HSP | Birkhoff ได้ก่อตั้งพีชคณิตสากล ขึ้น ใหม่ โดยตั้งใจนำชื่อหนังสือของ Whitehead ในยุคก่อนหน้ามาใช้ โดยยึดแนวคิดเรื่อง "ความหลากหลายของพีชคณิต" ตัวอย่างเก่าๆ เช่น พีชคณิตบูลีนและควอเทอร์เนียนแรงจูงใจมาจากพีชคณิตอิสระและการประยุกต์ใช้จากทฤษฎีลำดับเช่นแลตทิซแบบโมดูลาร์ที่Øystein Ore ใช้ประโยชน์ ในบริบทของสำนักพีชคณิตนามธรรมของ Noether [ 68 ] |
| ทศวรรษ 1950 | โรงเรียนทาร์สกีที่เบิร์กลีย์ | ทฤษฎีแบบจำลองคลาสสิก | ทฤษฎีแบบจำลองส่วนใหญ่พัฒนาโดยนักศึกษาของ Tarski ที่มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2485 โดยใช้ประโยชน์จากงานก่อนหน้านี้เพื่อสร้างความหมายเชิงหลักการสำหรับระบบสัจพจน์ภายในตรรกะทางคณิตศาสตร์[ 69 ] |
| 2024 | เทเรนซ์ เทา | โครงการทฤษฎีสมการ[ 70 ] | โครงการนี้มีจุดประสงค์เพื่อทำการปรับเทียบทฤษฎีในตรรกะเชิงสมการสำหรับแมกมา อย่างสมบูรณ์ โดยที่การดำเนินการไบนารีถูกใช้ไม่เกินสี่ครั้งลำดับบางส่วนของทฤษฎีทำให้T ≤ Uเมื่อTบ่งชี้ทฤษฎีบททั้งหมดที่บ่งชี้โดยUวัตถุประสงค์ของโครงการนี้คือการกำหนดกรณีทั้งหมดของ ≤ เพื่อให้ สามารถวาด แผนภาพ Hasse ที่แม่นยำ ของลำดับบางส่วนได้ มีการใช้ซอฟต์แวร์ ช่วยพิสูจน์ในบางกรณี โครงการนี้เสร็จสมบูรณ์ในเดือนเมษายน พ.ศ. 2568 [ 71 ] |
คุณสมบัติ
คุณสมบัติสำคัญสี่ประการของระบบสัจพจน์ ได้แก่ ความสอดคล้อง ความสอดคล้องเชิงสัมพัทธ์ ความสมบูรณ์ และความเป็นอิสระ ระบบสัจพจน์จะถือว่าสอดคล้องหากไม่มีข้อขัดแย้ง กล่าว คือ เป็นไปไม่ได้ที่จะอนุมานทั้งข้อความและข้อความปฏิเสธจากสัจพจน์ของระบบ[ 72 ] ความสอดคล้องเป็นข้อกำหนดสำคัญสำหรับระบบสัจพจน์ส่วนใหญ่ เนื่องจากข้อขัดแย้งจะทำให้สามารถพิสูจน์ข้อความใดๆ ก็ได้ ( หลักการระเบิด ) ความสอดคล้องเชิงสัมพัทธ์จะเข้ามามีบทบาทเมื่อเราไม่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของระบบสัจพจน์ได้ อย่างไรก็ตาม ในบางกรณีเราสามารถแสดงได้ว่าระบบสัจพจน์ A สอดคล้องหากชุดสัจพจน์ B อีกชุดหนึ่งสอดคล้อง[ 72 ]
ในระบบสัจพจน์ สัจพจน์จะเรียกว่าเป็นอิสระหากไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้จากสัจพจน์อื่นในระบบ ระบบจะเรียกว่าเป็นอิสระหากสัจพจน์พื้นฐานแต่ละข้อเป็นอิสระ[ 72 ]ต่างจากความสอดคล้อง ในหลายกรณี ความเป็นอิสระไม่ใช่ข้อกำหนดที่จำเป็นสำหรับระบบสัจพจน์ที่ใช้งานได้ — แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะมีการแสวงหาเพื่อลดจำนวนสัจพจน์ในระบบให้น้อยที่สุด
ระบบสัจพจน์เรียกว่าสมบูรณ์หากสำหรับทุกข้อความ ไม่ว่าจะเป็นข้อความนั้นเองหรือข้อความปฏิเสธก็สามารถอนุมานได้จากสัจพจน์ของระบบ กล่าวคือ ทุกข้อความสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จโดยใช้สัจพจน์[ 72 ] [ 73 ]อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าในบางกรณีอาจไม่สามารถตัดสินได้ว่าข้อความนั้นสามารถพิสูจน์ได้หรือไม่
หลักการพื้นฐานและแบบจำลอง
แบบจำลองสำหรับระบบสัจพจน์คือโครงสร้างที่เป็นทางการซึ่งกำหนดความหมายให้กับคำที่ไม่นิยามที่นำเสนอในระบบ ในลักษณะที่ถูกต้องตามความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ในระบบ หากระบบสัจพจน์มีแบบจำลอง ก็จะกล่าวได้ว่าสัจพจน์นั้นเป็นไปตามเงื่อนไข[ 74 ] การมีอยู่ของแบบจำลองที่สอดคล้องกับระบบสัจพจน์พิสูจน์ถึงความสอดคล้องของระบบ[ 75 ]
แบบจำลองยังสามารถใช้เพื่อแสดงความเป็นอิสระของสัจพจน์ในระบบได้อีกด้วย การสร้างแบบจำลองสำหรับระบบย่อย (โดยไม่มีสัจพจน์เฉพาะ) แสดงให้เห็นว่าสัจพจน์ที่ถูกละเว้นนั้นเป็นอิสระหากความถูกต้องของสัจพจน์นั้นไม่จำเป็นต้องเป็นผลมาจากระบบย่อย[ 74 ]
กล่าวกันว่าแบบจำลองสองแบบเป็นไอโซมอร์ฟิกกันหากสามารถพบการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างองค์ประกอบของแบบจำลองทั้งสองได้ ในลักษณะที่รักษาความสัมพันธ์ของแบบ จำลองทั้งสองไว้ [ 76 ]ระบบสัจพจน์ที่แบบจำลองทุกแบบเป็นไอโซมอร์ฟิกกันเรียกว่าระบบเชิงหมวดหมู่หรือเชิงหมวดหมู่ อย่างไรก็ตาม คำนี้ไม่ควรสับสนกับหัวข้อของทฤษฎีหมวดหมู่คุณสมบัติของความเป็นหมวดหมู่ (categoricity) รับประกันความสมบูรณ์ของระบบ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ความสมบูรณ์ไม่ได้รับประกันความเป็นหมวดหมู่ (categoricity) ของระบบ เนื่องจากแบบจำลองสองแบบอาจแตกต่างกันในคุณสมบัติที่ไม่สามารถแสดงได้ด้วยความหมายของระบบ
ความไม่สมบูรณ์
หากระบบที่เป็นทางการไม่สมบูรณ์การพิสูจน์ทุกอย่างอาจไม่สามารถสืบย้อนกลับไปยังสัจพจน์ของระบบนั้นได้ ตัวอย่างเช่น ข้อความทางทฤษฎีจำนวนอาจแสดงได้ในภาษาของเลขคณิต (เช่น ภาษาของสัจพจน์ของพีอาโน) และอาจมีการพิสูจน์ที่อ้างอิงถึงโทโพโลยีหรือการวิเคราะห์เชิงซ้อนอาจไม่ชัดเจนในทันทีว่าสามารถหาการพิสูจน์อื่นที่ได้มาจากสัจพจน์ของพีอาโนเพียงอย่างเดียวได้หรือไม่
ดูเพิ่มเติม
- แบบแผนสัจพจน์ – แม่แบบที่ระบุสัจพจน์อย่างน้อยหนึ่งข้อ
- ระบบเชิงรูปธรรม – แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบการอนุมานหรือการพิสูจน์
- ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล – ผลลัพธ์เชิงจำกัดในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์
- ระบบการอนุมานแบบฮิลเบิร์ต – ระบบการอนุมานเชิงรูปแบบในตรรกศาสตร์
- ประวัติศาสตร์ของตรรกศาสตร์
- รายชื่อระบบสัจพจน์ในตรรกศาสตร์
- รายชื่อระบบตรรกะ
- ตรรกศาสตร์นิยม – สำนักคิดในปรัชญาคณิตศาสตร์
- ทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkel – ระบบมาตรฐานของทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์
อ่านเพิ่มเติม
- "วิธีการเชิงสัจพจน์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
- Eric W. Weisstein, ระบบสัจพจน์ , จาก MathWorld—แหล่งข้อมูลออนไลน์ของ Wolfram Mathworld.wolfram.comและAnswers.com
สรุปเนื้อหา
ข้อมูลสำคัญจากบทความ
ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ ระบบสัจพจน์
ใน คณิตศาสตร์ และ ตรรกศาสตร์ ระบบ สัจพจน์ หรือ ระบบสัจพจน์ เป็นโครงสร้างเชิงตรรกะแบบนิรนัยมาตรฐานชนิดหนึ่ง ซึ่งใช้ใน วิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี ด้วย...
วิธีการเชิงสัจพจน์ในคณิตศาสตร์
การลดทอนชุดของข้อเสนอให้เหลือชุดของสัจพจน์เฉพาะเจาะจงเป็นพื้นฐานของ การวิจัยทางคณิตศาสตร์ ความสัมพันธ์นี้มีความโดดเด่นและเป็นที่ถกเถียงกันมากในคณิตศาสตร์ช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่เกิดผลงานสำคัญหลายชิ้นของวิธีการสัจพจน์ขึ้น...
ลำดับเหตุการณ์ของระบบสัจพจน์จนถึงปี 1900
ระบบสัจพจน์หลักๆ ถูกพัฒนาขึ้นในศตวรรษที่สิบเก้า ซึ่งรวมถึง เรขาคณิตนอกยุคลิด ทฤษฎีเซต เชิงนามธรรมของ จอร์จ แคนเตอร์ และสัจพจน์แก้ไขของฮิลเบิร์ตสำหรับ เรขาคณิต ยุค ลิด
สถานการณ์ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20
เดวิด ฮิลเบิร์ต "เป็นคนแรกที่นำวิธีการเชิงสัจพจน์มาใช้เป็นกรอบการตรวจสอบสำหรับการศึกษา พื้นฐานของคณิตศาสตร์ อย่างชัดเจน " [ 10 ] สำหรับฮิลเบิร์ต ประเด็นพื้นฐานที่สำคัญคือสถานะเชิงตรรกะของ ทฤษฎีเซตของแคนเตอร์ ใน รายการปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข 23...