ในทางเรขาคณิตสัจพจน์เส้นขนานเป็นสัจพจน์ข้อที่ห้าในตำราพื้นฐานของยูคลิดและเป็นสัจพจน์ เฉพาะ ในเรขาคณิตแบบยูคลิดโดยระบุว่า ในเรขาคณิตสองมิติ:

ถ้าเส้นตรงเส้น หนึ่งตัดกับเส้นตรงอีกสองเส้น ทำให้เกิด มุมภายในสอง มุม ที่อยู่ด้านเดียวกัน โดยมุมภายใน ทั้งสองมุมนั้นน้อยกว่าสองมุมฉาก แล้วถ้าลากเส้นตรงทั้งสองเส้นต่อไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด เส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นจะมาบรรจบกันที่ด้านที่ผลรวมของมุมภายในน้อยกว่าสองมุมฉาก

สามารถเขียนในรูปแบบอื่นได้เช่นกัน:

ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกับเส้นตรงอีกสองเส้น มุมภายในสองมุมที่อยู่ด้านเดียวกันจะรวมกันได้น้อยกว่าสองมุมฉากก็ต่อเมื่อเส้นตรงทั้งสองนั้น เมื่อต่อออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด จะมาบรรจบกันที่ด้านนั้น

ความแตกต่างระหว่างสูตรทั้งสองนั้นอยู่ที่สิ่งที่ตรงกันข้ามกับสูตรแรก:

ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกับเส้นตรงอีกสองเส้นที่ตัดกันที่ด้านใดด้านหนึ่งของเส้นตรงเส้นแรก มุมภายในสองมุมที่ด้านนั้นรวมกันแล้วต้องน้อยกว่าสองมุมฉาก

ข้อความหลังนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในตำรา Elementsของยูคลิดโดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นตรงสองเส้นที่แตกต่างกันจะมีจุดตัดกันได้มากที่สุดเพียงจุดเดียว ในทางกลับกัน ข้อความหลังนี้บ่งชี้ว่าเส้นตรงสองเส้นที่แตกต่างกันไม่สามารถมีจุดตัดกันได้สองจุด (ลองลากเส้นตรงที่ผ่านระหว่างจุดตัดทั้งสองจุด แล้วนำข้อความนี้ไปใช้กับทั้งสองด้านของเส้นตรงนั้น)

การกำหนดสรรค์ดั้งเดิมนี้ไม่ได้กล่าวถึงเส้นขนานโดยเฉพาะ^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม บทกลับและการกำหนดสรรค์ที่สองบ่งบอกถึงการมีอยู่ของเส้นขนาน เนื่องจากหากมุมภายในรวมกันได้สองมุมฉาก เส้นทั้งสองจะไม่ตัดกัน ยูคลิดได้ให้คำจำกัดความของเส้นขนานไว้ในหนังสือเล่มที่ 1 คำจำกัดความที่ 23 ^{[ 2 ]}ก่อนสรรค์ห้าข้อ^{[ 3 ]}

เรขาคณิตแบบยุคลิดคือ เรขาคณิตที่สอดคล้องกับสัจพจน์ทั้งหมดของยุคลิด รวมถึงสัจพจน์เส้นขนานและสัจพจน์ผกผันของมันเรขาคณิตแบบไม่ยุคลิดคือ เรขาคณิตที่ไม่สอดคล้องกับสัจพจน์เส้นขนานในรูปแบบที่สองเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิกคือ เรขาคณิตที่ไม่สอดคล้องกับสัจพจน์เส้นขนานในรูปแบบแรกเรขาคณิตแบบวงรีคือ เรขาคณิตที่ไม่สอดคล้องกับสัจพจน์ผกผันของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในเรขาคณิตทรงกลมเส้นตรงสองเส้นจะตัดกันที่จุดสองจุดพอดี

ข้อสมมติฐานนี้เคยถูกมองว่าชัดเจนหรือหลีกเลี่ยงไม่ได้มานานแล้ว แต่การพิสูจน์นั้นยากลำบาก ในที่สุดก็พบว่าการกลับข้อสมมติฐานนี้ทำให้ได้เรขาคณิตที่ถูกต้อง แม้ว่าจะแตกต่างกันก็ตาม เรขาคณิตที่ข้อสมมติฐานเส้นขนานหรือข้อผกผันของมันไม่เป็นจริงเรียกว่าเรขาคณิตนอกยุคลิดเรขาคณิตที่ ไม่ ขึ้นอยู่กับข้อสมมติฐานข้อที่ห้าของยุคลิดและสมมติว่าเส้นตรงสองเส้นที่แตกต่างกันมีจุดตัดกันอย่างมากที่สุดเพียงจุดเดียว (กล่าวคือ สมมติเฉพาะสิ่งที่เทียบเท่ากับข้อสมมติฐานสี่ข้อแรกในปัจจุบัน) เรียกว่าเรขาคณิตสัมบูรณ์ (หรือบางครั้งเรียกว่า "เรขาคณิตที่เป็นกลาง")

สิ่งที่เทียบเคียงได้กับสัจพจน์เส้นขนานของยูคลิดที่รู้จักกันดีที่สุด ซึ่งขึ้นอยู่กับสัจพจน์อื่นๆ ของเขา คือสัจพจน์ของเพลย์แฟร์ซึ่งตั้งชื่อตามจอห์น เพลย์แฟร์นักคณิตศาสตร์ ชาวสกอตแลนด์ ซึ่งกล่าวว่า:

ในระนาบ เมื่อกำหนดเส้นตรงและจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงนั้น จะสามารถลากเส้นตรงขนานกับเส้นตรงที่กำหนดผ่านจุดนั้นได้มากที่สุดเพียงเส้นเดียว^{[ 4 ]}

สัจพจน์นี้โดยตัวมันเองไม่เทียบเท่ากับสัจพจน์เส้นขนานของยุคลิดในเชิงตรรกะ เนื่องจากมีเรขาคณิตบางกรณีที่สัจพจน์หนึ่งเป็นจริงและอีกสัจพจน์หนึ่งไม่เป็นจริง อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่มีสัจพจน์ที่เหลือซึ่งให้เรขาคณิตแบบยุคลิด สัจพจน์หนึ่งสามารถใช้เพื่อพิสูจน์อีกสัจพจน์หนึ่งได้ ดังนั้นจึงเทียบเท่ากันในบริบทของเรขาคณิตสัมบูรณ์^{[ 5 ]}

มีการเสนอข้อความอื่นๆ อีกมากมายที่เทียบเท่ากับสัจพจน์เส้นขนาน บางข้อความดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกับเส้นขนานในตอนแรก และบางข้อความดูเหมือนจะชัดเจนในตัวเองจน ผู้คนที่อ้างว่าได้พิสูจน์สัจพจน์เส้นขนานจากสัจพจน์อื่นๆ ของยูคลิดได้ สันนิษฐานไว้โดยไม่รู้ตัว ข้อความที่เทียบเท่าเหล่านี้ได้แก่:

1. มีเพียงเส้นตรงเดียวเท่านั้นที่สามารถลากขนานกับเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งได้ โดยกำหนดให้เส้นตรงนั้นผ่านจุดภายนอกจุดหนึ่ง ( สัจพจน์ของเพลย์แฟร์ )
2. ผลรวมของมุมในทุกสามเหลี่ยมเท่ากับ 180° ( สัจพจน์ของสามเหลี่ยม )
3. มีสามเหลี่ยมรูปหนึ่งซึ่งผลรวมของมุมทั้งสี่เท่ากับ 180 องศา
4. ผลรวมของมุมทั้งสี่เท่ากันสำหรับทุกสามเหลี่ยม
5. มีสามเหลี่ยม สองรูป ที่คล้ายกันแต่ไม่เท่ากันทุกประการ
6. ทุกสามเหลี่ยมสามารถล้อมรอบได้
7. ถ้ามุมสามมุมของรูปสี่เหลี่ยมเป็นมุมฉากมุมที่สี่ก็จะเป็นมุมฉากเช่นกัน
8. มีรูปสี่เหลี่ยมหนึ่งรูปที่ทุกมุมเป็นมุมฉาก นั่นคือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
9. มีเส้นตรงสองเส้นที่อยู่ห่างกัน เป็น ระยะ คงที่
10. เส้นตรงสองเส้นที่ขนานกับเส้นตรงเดียวกัน ย่อมขนานกันด้วย
11. ในสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านอีกสองด้าน ( ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ) ^{[ 6 ] [ 7 ]}
12. กฎของโคไซน์ซึ่งเป็นการขยายความของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
13. ไม่มีขีดจำกัดสูงสุดสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม ( สัจพจน์ของวอลลิส ) ^{[ 8 ]}
14. มุมยอดของรูปสี่เหลี่ยม Saccheriมีค่า 90°
15. ถ้าเส้นตรงตัดกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้นขนาน ซึ่งทั้งสองเส้นขนานนั้นอยู่บนระนาบเดียวกันกับเส้นตรงเดิม เส้นตรงนั้นก็จะตัดกับเส้นขนานอีกเส้นหนึ่งด้วย ( สัจพจน์ของ โพรคลัส ) ^{[ 9 ]}

อย่างไรก็ตาม ทางเลือกอื่นๆ ที่ใช้คำว่า "ขนาน" นั้นดูไม่เรียบง่ายอีกต่อไป เมื่อเราต้องอธิบายว่าหมายถึงความหมายใดในสี่ความหมายทั่วไปของ "ขนาน" ได้แก่ ระยะห่างคงที่ ไม่ตัดกัน มุมเดียวกันเมื่อตัดกับเส้นที่สาม หรือมุมเดียวกันเมื่อตัดกับ เส้นที่สาม ใดๆเนื่องจากความเท่าเทียมกันของทั้งสี่นี้เป็นหนึ่งในข้อสมมติฐานที่ชัดเจนโดยไม่รู้ตัว ซึ่งเทียบเท่ากับสัจพจน์ข้อที่ห้าของยูคลิด ในรายการข้างต้น คำว่า "ขนาน" มักหมายถึงเส้นที่ไม่ตัดกันเสมอ ตัวอย่างเช่น หากคำว่า "ขนาน" ในสัจพจน์ของเพลย์แฟร์หมายถึง 'ระยะห่างคงที่' หรือ 'มุมเดียวกันเมื่อตัดกับเส้นที่สามใดๆ' แล้ว มันจะไม่เทียบเท่ากับสัจพจน์ข้อที่ห้าของยูคลิดอีกต่อไป และสามารถพิสูจน์ได้จากสี่ข้อแรก (สัจพจน์กล่าวว่า 'มีเส้นอย่างมากที่สุดหนึ่งเส้น...' ซึ่งสอดคล้องกับการที่ไม่มีเส้นดังกล่าวอยู่จริง) อย่างไรก็ตาม หากนิยามเส้นขนานว่าคือเส้นที่ไม่ตัดกัน หรือมีเส้นบางเส้นตัดกันในมุมเดียวกัน สัจพจน์ของเพลย์แฟร์จะเทียบเท่ากับสัจพจน์ข้อที่ห้าของยูคลิดในเชิงบริบท และจึงเป็นอิสระทางตรรกะจากสัจพจน์สี่ข้อแรก โปรดสังเกตว่านิยามสองข้อหลังไม่เทียบเท่ากัน เพราะในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก นิยามข้อที่สองใช้ได้เฉพาะกับเส้นขนาน ยิ่งยวด เท่านั้น

ตั้งแต่เริ่มแรก สัจพจน์นี้ถูกโจมตีว่าเป็นสิ่งที่พิสูจน์ได้ และด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่สัจพจน์ และเป็นเวลากว่าสองพันปีแล้วที่มีความพยายามมากมายที่จะพิสูจน์ (อนุมาน) สัจพจน์เส้นขนานโดยใช้สัจพจน์สี่ข้อแรกของยูคลิด^{[ 10 ]}เหตุผลหลักที่การพิสูจน์ดังกล่าวเป็นที่ต้องการอย่างมากก็คือ สัจพจน์เส้นขนานนั้นไม่ชัดเจนในตัวเอง ต่างจากสัจพจน์สี่ข้อแรก หากลำดับที่สัจพจน์ถูกระบุไว้ใน Elements มีความสำคัญ แสดงว่ายูคลิดรวมสัจพจน์นี้ไว้ก็ต่อเมื่อเขารู้ว่าเขาไม่สามารถพิสูจน์หรือดำเนินการต่อไปได้หากไม่มีมัน^{[ 11 ]} มีความพยายามมากมายที่จะพิสูจน์สัจพจน์ข้อที่ห้าจากสัจพจน์อีกสี่ข้อ ซึ่งหลายข้อได้รับการยอมรับว่าเป็นการพิสูจน์เป็นเวลานานจนกระทั่งพบข้อผิดพลาด ข้อผิดพลาดมักจะเป็นการสมมติคุณสมบัติที่ 'ชัดเจน' บางอย่างซึ่งปรากฏว่าเทียบเท่ากับสัจพจน์ข้อที่ห้า ( สัจพจน์ของเพลย์แฟร์ ) แม้ว่าจะเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่สมัยของโพรคลัส แต่สัจพจน์ข้อนี้กลายเป็นที่รู้จักในชื่อสัจพจน์ของเพลย์แฟร์หลังจากที่จอห์น เพลย์แฟร์เขียนคำอธิบายที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับยูคลิดในปี 1795 ซึ่งเขาเสนอให้แทนที่สัจพจน์ข้อที่ห้าของยูคลิดด้วยสัจพจน์ของเขาเอง ปัจจุบันนี้ กว่าสองพันสองร้อยปีต่อมา สัจพจน์ข้อที่ห้าของยูคลิดก็ยังคงเป็นสัจพจน์อยู่

โพรคลัส (410–485) เขียนคำอธิบายเกี่ยวกับหนังสือ The Elementsโดยแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการพยายามพิสูจน์เพื่ออนุมานสัจพจน์ข้อที่ห้าจากสัจพจน์อีกสี่ข้อ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาตั้งข้อสังเกตว่าปโตเลมีได้สร้าง "การพิสูจน์" ที่ผิดพลาด โพรคลัสจึงได้เสนอการพิสูจน์ที่ผิดพลาดของตนเอง อย่างไรก็ตาม เขาได้เสนอสัจพจน์ข้อหนึ่งซึ่งเทียบเท่ากับสัจพจน์ข้อที่ห้า

อิบนุ อัล-ฮัยธัม⁽อัลฮาเซน) (ค.ศ. 965–1039) นักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับได้พยายามพิสูจน์สัจพจน์เส้นขนานโดยใช้การพิสูจน์โดยการขัดแย้ง [ ^{12 ]}ซึ่งในระหว่างนั้นเขาได้นำแนวคิดเรื่องการเคลื่อนที่และการแปลงรูป มา ใช้ในเรขาคณิต^{[ 13 ]}เขาได้กำหนดรูปสี่เหลี่ยมแลมเบิร์ต ซึ่งบอริส อับราโมวิช โรเซนเฟลด์ ตั้งชื่อว่า "รูปสี่เหลี่ยมอิบนุ อัล-ฮัยธัม-แลมเบิร์ต" ^{[ 14 ]}และการพิสูจน์ที่เขาพยายามนั้นมีองค์ประกอบที่คล้ายคลึงกับที่พบใน รูป สี่เหลี่ยมแลมเบิร์ตและสัจพจน์ของเพลย์แฟร์^{[ 15 ]}

โอมาร์ คัยยัม (ค.ศ. 1050–1123) นักคณิตศาสตร์ นักดาราศาสตร์ นักปรัชญา และกวีชาวเปอร์เซียพยายามพิสูจน์สัจพจน์ข้อที่ห้าจากสัจพจน์อื่นที่ระบุไว้อย่างชัดเจน (โดยอิงจากหลักการข้อที่สี่จากห้าหลักการของนักปรัชญา ( อริสโตเติล )) กล่าวคือ "เส้นตรงสองเส้นที่บรรจบกันจะตัดกัน และเป็นไปไม่ได้ที่เส้นตรงสองเส้นที่บรรจบกันจะแยกออกจากกันในทิศทางที่พวกมันบรรจบกัน" ^{[ 16 ]}เขาได้มาจากผลลัพธ์ก่อนหน้านี้บางส่วนที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตวงรีและเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกแม้ว่าสัจพจน์ของเขาจะยกเว้นความเป็นไปได้หลังก็ตาม^{[ 17 ]}รูปสี่เหลี่ยมซัคเครีก็ได้รับการพิจารณาครั้งแรกโดยโอมาร์ คัยยัม ในช่วงปลายศตวรรษที่ 11 ในหนังสือเล่มที่ 1 ของคำอธิบายเกี่ยวกับความยากลำบากในสัจพจน์ของยูคลิด [ ^{14 ] แตก}ต่างจากนักวิจารณ์หลายคนเกี่ยวกับยูคลิดก่อนและหลังเขา (รวมถึงโจวันนี จิโรลาโม ซัคเครี ) คัยยัมไม่ได้ เขาพยายามพิสูจน์สัจพจน์เส้นขนานโดยตรง แต่ได้มาจากการอนุมานจากสัจพจน์สมมูลของเขาเอง เขาตระหนักว่ามีสามความเป็นไปได้ที่เกิดขึ้นจากการละเว้นสัจพจน์ข้อที่ห้าของยูคลิด ถ้าเส้นตั้งฉากสองเส้นกับเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกับเส้นตรงอีกเส้นหนึ่ง การเลือกเส้นหลังอย่างรอบคอบสามารถทำให้มุมภายในตรงจุดที่เส้นหลังตัดกับเส้นตั้งฉากทั้งสองเท่ากัน (ในกรณีนี้ เส้นหลังจะขนานกับเส้นตรงเส้นแรก) ถ้ามุมภายในที่เท่ากันเหล่านั้นเป็นมุมฉาก เราจะได้สัจพจน์ข้อที่ห้าของยูคลิด มิฉะนั้น มุมเหล่านั้นจะต้องเป็นมุมแหลมหรือมุมป้าน เขาแสดงให้เห็นว่ากรณีมุมแหลมและมุมป้านนำไปสู่ความขัดแย้งเมื่อใช้สัจพจน์ของเขา แต่ปัจจุบันเป็นที่ทราบกันว่าสัจพจน์ของเขานั้นเทียบเท่ากับสัจพจน์ข้อที่ห้า

นาซีร์ อัล-ดิน อัล-ตูซี (ค.ศ. 1201–1274) ในหนังสือAl-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya ( การอภิปรายที่ขจัดข้อสงสัยเกี่ยวกับเส้นขนาน ) (ค.ศ. 1250) ได้เขียนบทวิจารณ์โดยละเอียดเกี่ยวกับสัจพจน์เส้นขนานและเกี่ยวกับการพิสูจน์ที่คายยามพยายามทำเมื่อหนึ่งศตวรรษก่อนหน้านั้น นาซีร์ อัล-ดิน พยายามพิสูจน์โดยการขัดแย้งกับสัจพจน์เส้นขนาน^{[ 18 ]}เขายังพิจารณากรณีของสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อเรขาคณิตวงรีและเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก แม้ว่าเขาจะตัดทั้งสองอย่างออกไปก็ตาม^{[ 17 ]}

ซาดร์ อัล-ดิน บุตรชายของนาซีร์ อัล-ดิน ได้เขียนหนังสือเกี่ยวกับเรื่องนี้ในปี 1298 โดยอิงจากความคิดในภายหลังของบิดา ซึ่งนำเสนอข้อโต้แย้งแรกๆ ข้อหนึ่งสำหรับสมมติฐานที่ไม่ใช่แบบยุคลิดที่เทียบเท่ากับสัจพจน์เส้นขนาน “โดยพื้นฐานแล้ว เขาได้แก้ไขทั้งระบบสัจพจน์และสัจพจน์แบบยุคลิด และการพิสูจน์ข้อเสนอหลายข้อจากElements ” ^{[ 18 ] [ 19 ]}งานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในกรุงโรมในปี 1594 และได้รับการศึกษาโดยนักเรขาคณิตชาวยุโรป งานนี้เป็นจุดเริ่มต้นของงานของซัคเคอรีเกี่ยวกับเรื่องนี้^{[ 18 ]}ซึ่งเริ่มต้นด้วยการวิจารณ์งานของซาดร์ อัล-ดิน และงานของวอลลิส^{[ 20 ]}

จิออร์ดาโน วิตาเล (ค.ศ. 1633–1711) ในหนังสือEuclide restituto (ค.ศ. 1680, 1686) ของเขา ใช้รูปสี่เหลี่ยมคัยยัม-ซัคเครีเพื่อพิสูจน์ว่า ถ้าจุดสามจุดอยู่ห่างเท่ากันบนฐาน AB และจุดยอด CD แล้ว AB และ CD จะอยู่ห่างเท่ากันทุกที่จิโรลาโม ซัคเครี (ค.ศ. 1667–1733) ดำเนินการตามแนวทางการให้เหตุผลเดียวกันอย่างละเอียดถี่ถ้วนยิ่งขึ้น โดยได้ข้อสรุปที่ถูกต้องเกี่ยวกับความไม่สมเหตุสมผลในกรณีมุมป้าน (โดยดำเนินการเช่นเดียวกับยูคลิด จากสมมติฐานโดยนัยว่าเส้นตรงสามารถขยายออกไปได้เรื่อยๆ และมีความยาวอนันต์) แต่ไม่สามารถหักล้างกรณีมุมแหลมได้ (ถึงแม้ว่าเขาจะเข้าใจผิดคิดว่าตนเองทำได้แล้วก็ตาม)

ในปี ค.ศ. 1766 โยฮันน์ แลมเบิร์ตได้เขียน แต่ไม่ได้ตีพิมพ์Theorie der Parallellinienซึ่งเขาพยายามพิสูจน์สัจพจน์ข้อที่ห้าเช่นเดียวกับซัคเคอรี เขาทำงานกับรูปทรงที่ปัจจุบันเราเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมแลมเบิร์ต ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฉากสามมุม (สามารถถือได้ว่าเป็นครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมซัคเคอรี) เขาได้ขจัดความเป็นไปได้ที่มุมที่สี่จะเป็นมุมป้านอย่างรวดเร็ว เช่นเดียวกับที่ซัคเคอรีและคัยยัมได้ทำ และจากนั้นก็ดำเนินการพิสูจน์ทฤษฎีบทหลายข้อภายใต้สมมติฐานของมุมแหลม แตกต่างจากซัคเคอรี เขาไม่เคยรู้สึกว่าเขาพบข้อขัดแย้งกับสมมติฐานนี้ เขาได้พิสูจน์ผลลัพธ์ที่ไม่ใช่แบบยุคลิดว่าผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมจะเพิ่มขึ้นเมื่อพื้นที่ของสามเหลี่ยมลดลง และสิ่งนี้ทำให้เขาคาดเดาถึงความเป็นไปได้ของแบบจำลองกรณีมุมแหลมบนทรงกลมที่มีรัศมีจินตนาการ เขาไม่ได้พัฒนาความคิดนี้ต่อไปอีก^{[ 21 ]}

ในขณะที่คัยยัมและซัคเครีพยายามพิสูจน์ความน่าจะเป็นข้อที่ห้าของยูคลิดโดยการหักล้างทางเลือกที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียว ศตวรรษที่สิบเก้าในที่สุดก็ได้เห็นนักคณิตศาสตร์สำรวจทางเลือกเหล่านั้นและค้นพบ เรขาคณิต ที่สอดคล้องกันทางตรรกะที่เกิดขึ้น ในปี 1829 นิโคไล อิวาโนวิช โลบาเชฟสกีได้ตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงมุมในวารสารรัสเซียที่ไม่เป็นที่รู้จัก (ต่อมาตีพิมพ์ซ้ำในปี 1840 ในภาษาเยอรมัน) ในปี 1831 ยาโนส โบลยาอีได้รวมภาคผนวกที่อธิบายถึงเรขาคณิตเชิงมุมไว้ในหนังสือของบิดาของเขา ซึ่งไม่ต้องสงสัยเลยว่าเขาได้พัฒนาขึ้นโดยอิสระจากโลบาเชฟสกี คา ร์ล ฟรีดริช เกาส์ก็ได้ศึกษาปัญหานี้เช่นกัน แต่เขาไม่ได้ตีพิมพ์ผลลัพธ์ใดๆ ของเขา เมื่อได้ยินเกี่ยวกับผลลัพธ์ของโบลยาอีในจดหมายจากฟาร์คัส โบลยาอี บิดาของโบลยา อี เกาส์ได้กล่าวว่า:

ถ้าผมเริ่มต้นด้วยการบอกว่าผมไม่สามารถยกย่องผลงานนี้ได้ คุณคงจะประหลาดใจอยู่ครู่หนึ่ง แต่ผมไม่สามารถพูดเป็นอย่างอื่นได้ การยกย่องผลงานนี้ก็เท่ากับการยกย่องตัวเอง อันที่จริง เนื้อหาทั้งหมดของผลงาน เส้นทางที่ลูกชายของคุณเลือกเดิน ผลลัพธ์ที่เขาได้รับ ล้วนสอดคล้องกับการใคร่ครวญของผมเกือบทั้งหมด ซึ่งครอบงำจิตใจผมมาเป็นเวลาสามสิบหรือสามสิบห้าปีแล้ว^{[ 22 ]}

รูปทรงเรขาคณิตที่ได้นั้น ต่อมาได้รับการพัฒนาโดยโลบาเชฟสกีรีมันน์และปวงกาเรไปเป็นเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก (กรณีมุมแหลม) และเรขาคณิตวงรี (กรณีมุมป้าน) ในที่สุด ยูจีนิโอ เบลตรามี ก็ได้พิสูจน์ให้เห็น ถึงความเป็นอิสระของสัจพจน์เส้นขนานจากสัจพจน์อื่นๆ ของยูคลิดในปี ค.ศ. 1868

ยูคลิดไม่ได้ตั้งสมมติฐานผกผันของสมมติฐานข้อที่ห้าของเขา ซึ่งเป็นวิธีหนึ่งในการแยกแยะเรขาคณิตแบบยูคลิดออกจากเรขาคณิตแบบวงรี Elements มีการพิสูจน์ข้อความที่เทียบเท่ากัน (เล่ม 1 ข้อเสนอที่ 27): ถ้าเส้นตรงที่ตกกระทบเส้นตรงสองเส้นทำให้มุมสลับเท่ากัน เส้นตรงทั้งสองจะขนานกัน ดังที่De Morgan ^{[ 23 ]}ชี้ให้เห็น สิ่งนี้เทียบเท่าทางตรรกะกับ (เล่ม 1 ข้อเสนอที่ 16) ผลลัพธ์เหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสมมติฐานข้อที่ห้า แต่ต้องใช้สมมติฐานข้อที่สอง^{[ 24 ]}ซึ่งถูกละเมิดในเรขาคณิตแบบวงรี

ความพยายามที่จะพิสูจน์สมมติฐานเส้นขนานอย่างมีเหตุผล แทนที่จะใช้แนวคิดทั่วไปข้อที่ 4 ของยูคลิด (ที่ว่ารูปทรงที่ทับซ้อนกันจะเท่ากัน) ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์โดยอาร์เธอร์ โชเพนฮาวเออร์ในหนังสือ The World as Will and Ideaอย่างไรก็ตาม ข้อโต้แย้งที่โชเพนฮาวเออร์ใช้คือสมมติฐานนี้เห็นได้ชัดจากการรับรู้ ไม่ใช่ว่ามันไม่ใช่ผลลัพธ์เชิงตรรกะของสัจพจน์อื่นๆ^{[ 25 ]}

สัจพจน์เส้นขนานเทียบเท่ากับการรวมกันของLotschnittaxiomและสัจพจน์ของอริสโตเติล^{[ 26 ] [ 27 ]} สัจพจน์เส้นขนานระบุว่าเส้นตั้งฉากกับด้านของมุมฉากตัดกัน ในขณะที่สัจพจน์ของอริสโตเติลระบุว่าไม่มีขอบเขตบนสำหรับความยาวของระยะทางจากด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่ง ดังที่แสดงใน^{[ 28 ]}สัจพจน์เส้นขนานเทียบเท่ากับการรวมกันของรูปแบบเรขาคณิตการตกกระทบต่อไปนี้ของLotschnittaxiomและสัจพจน์ของอริสโตเติล :

กำหนดให้มีเส้นขนานสามเส้น จะมีเส้นตรงหนึ่งเส้นที่ตัดกับเส้นขนานทั้งสามนั้น

กำหนดให้เส้นตรงaและเส้นตรงตัดกันสองเส้นที่แตกต่างกัน คือmและnซึ่งแต่ละเส้นต่างจากaจะมีเส้นตรงgที่ตัดกับaและmแต่ไม่ตัดกับ n

การแยกสมมติฐานขนานออกเป็นการเชื่อมโยงของสัจพจน์เรขาคณิตการตกกระทบเหล่านี้เป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่มีเรขาคณิตสัมบูรณ์เท่านั้น^{[ 29 ]}

• เส้นที่อนันต์

• บนเทือกเขาเกาส์

Eder, Michelle (2000), มุมมองเกี่ยวกับสัจพจน์เส้นขนานของยูคลิดในกรีกโบราณและในศาสนาอิสลามยุคกลาง , มหาวิทยาลัยรัตเกอร์ส, สืบค้นเมื่อ 23 มกราคม 2008