ในทางคณิตศาสตร์ลิมิตคือค่าที่ฟังก์ชัน (หรือลำดับ ) เข้าใกล้เมื่ออาร์กิวเมนต์ (หรือดัชนี) เข้าใกล้ค่าบางค่า^{[ 1 ]}ลิมิตของฟังก์ชันมีความสำคัญต่อแคลคูลัสและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และใช้ในการกำหนดความต่อเนื่องอนุพันธ์และปริพันธ์แนวคิดของลิมิตของลำดับได้รับการขยายความไปสู่แนวคิดของลิมิตของโครงข่ายโทโพโลยีและมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับลิมิตและลิมิตโดยตรงในทฤษฎีหมวด หมู่ ลิมิตล่างและ ลิมิตบนเป็นการขยายความของแนวคิดของลิมิตซึ่งมีความเกี่ยวข้องเป็นพิเศษเมื่อลิมิต ณ จุดใดจุดหนึ่งอาจไม่มีอยู่จริง

ในสูตรทางคณิตศาสตร์ ลิมิตของฟังก์ชันมักเขียนเป็น และอ่านว่า "ลิมิตของเมื่อเข้าใกล้เท่ากับ" ซึ่งหมายความว่าค่าของฟังก์ชันสามารถทำให้เข้าใกล้ ได้มากเท่าใดก็ได้โดยการเลือกค่าที่ใกล้เคียงกับ มากพอหรืออีกนัยหนึ่ง การที่ฟังก์ชันเข้าใกล้ลิมิตเมื่อเข้าใกล้บางครั้งอาจแสดงด้วยลูกศรชี้ไปทางขวา (→ หรือ) เช่นใน หรือใน $${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L,}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \rightarrow }$$${\displaystyle f(x)\to L{\text{ เมื่อ }}x\to c,}$$

$${\displaystyle f(x){\xrightarrow[{x\to c}]{}}L,}$$

ซึ่งอ่านว่า " มีแนวโน้มไปทางเช่นเดียวกับที่มีแนวโน้มไปทาง" ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$

ตามที่Hankel (1871) กล่าวไว้ แนวคิดสมัยใหม่ของลิมิตมีต้นกำเนิดมาจากทฤษฎีบท X.1 ของElements ของ Euclidซึ่งเป็นพื้นฐานของวิธีการหาค่าโดยประมาณที่พบใน Euclid และ Archimedes: "เมื่อกำหนดขนาดที่ไม่เท่ากันสองค่า หากลบขนาดที่มากกว่าครึ่งหนึ่งออกจากค่าที่มากกว่า และลบขนาดที่มากกว่าครึ่งหนึ่งออกจากค่าที่เหลืออยู่ และหากทำซ้ำกระบวนการนี้อย่างต่อเนื่อง ก็จะเหลือค่าที่น้อยกว่าค่าที่น้อยกว่าที่กำหนดไว้" ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Grégoire de Saint-Vincentได้ให้คำจำกัดความแรกของลิมิต (จุดสิ้นสุด) ของอนุกรมเรขาคณิตในงานOpus Geometricum (1647) ของเขาว่า " จุดสิ้นสุดของลำดับคือจุดสิ้นสุดของอนุกรม ซึ่งไม่มีลำดับใดสามารถเข้าถึงได้ แม้ว่าจะต่อเนื่องไปจนถึงอนันต์ก็ตาม แต่สามารถเข้าใกล้ได้มากกว่าส่วนที่กำหนด" ^{[ 4 ]}

ใน Scholium to Principiaในปี 1687 ไอแซค นิวตันได้ให้คำจำกัดความที่ชัดเจนของลิมิต โดยระบุว่า "อัตราส่วนขั้นสุดท้ายเหล่านั้น... แท้จริงแล้วไม่ใช่อัตราส่วนของปริมาณขั้นสุดท้าย แต่เป็นลิมิต... ซึ่งพวกมันสามารถเข้าใกล้กันได้มากจนผลต่างของพวกมันน้อยกว่าปริมาณที่กำหนด" ^{[ 5 ]}บรูซ ปูร์เซียยังโต้แย้งเพิ่มเติมว่า นอกเหนือจากที่นิวตันมีความเข้าใจเกี่ยวกับลิมิตที่ซับซ้อนกว่าที่คนทั่วไปเชื่อกันแล้ว เขายังได้เสนอข้อโต้แย้งเอปซิลอนเป็นครั้งแรกอีกด้วย^{[ 6 ]}

นิยามสมัยใหม่ของลิมิตย้อนกลับไปถึงเบอร์นาร์ด โบลซาโนผู้ซึ่งในปี พ.ศ. 2360 ได้พัฒนาพื้นฐานของ เทคนิค เอปซิลอน-เดลต้าเพื่อกำหนดฟังก์ชันต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม งานของเขายังคงไม่เป็นที่รู้จักของนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ จนกระทั่งสามสิบปีหลังจากที่เขาเสียชีวิต^{[ 7 ]}

Augustin-Louis Cauchyในปี พ.ศ. 2364 ^{[ 8 ]}ตามด้วยKarl Weierstrassได้กำหนดนิยามของลิมิตของฟังก์ชันอย่างเป็นทางการ ซึ่งต่อมาเป็นที่รู้จักกันในชื่อนิยามลิมิต (ε, δ )

สัญกรณ์สมัยใหม่ของการวางลูกศรไว้ใต้สัญลักษณ์ลิมิตถูกคิดค้นโดย John Gaston Leathem ในปี พ.ศ. 2448 และได้รับความนิยมจาก ตำรา A Course of Pure MathematicsของGH Hardyในปี พ.ศ. 2451 ^{[ 9 ]}

ลำดับของจำนวนจริงจะลู่เข้าสู่ลิมิตก็ต่อเมื่อพจน์ต่างๆ ในลำดับนั้นให้ค่าประมาณที่ดีอย่างไม่จำกัดของจำนวนนั้นหลังจากตัดพจน์เริ่มต้นออกไปจำนวนจำกัด ตัวอย่างเช่น ลำดับและ เป็นต้น แต่ละพจน์ในลำดับเป็นค่าประมาณของจำนวนตรรกยะถ้าต้องการค่าประมาณที่อยู่ภายในค่าความคลาดเคลื่อนที่กำหนดแล้วพจน์ทั้งหมดในลำดับ ยกเว้นจำนวนจำกัด จะอยู่ภายในค่าความคลาดเคลื่อนที่กำหนด ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ค่า ภายในของค่าประมาณ, , และอยู่นอกช่วงค่าความคลาดเคลื่อน แต่หลังจากตัดค่าประมาณทั้งสามนั้นออกไปแล้ว ค่าประมาณที่เหลือ ทั้งหมดจะอยู่ภายในช่วงค่าความคลาดเคลื่อนคุณสมบัติการประมาณค่าเดียวกันนี้ใช้ได้กับค่าความคลาดเคลื่อนที่เป็นบวกทุกค่า ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle 0,0.3,0.33,0.333,0.3333,}$${\displaystyle 1/3=0.333\ldots }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \เอปไซลอน =0.001}$${\displaystyle 1/3}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0.3}$${\displaystyle 0.33}$${\displaystyle \epsilon =0.001}$${\displaystyle \epsilon }$

กล่าว ให้แม่นยำยิ่งขึ้น ลำดับของจำนวนจริงจะเรียกว่าลู่เข้าถ้ามีจำนวนจริงบวก n อยู่จริง โดยที่สำหรับจำนวนจริงบวก n แต่ละตัวจะมีจำนวนเต็มบวก n ตัว(ขึ้นอยู่กับ n ) อยู่จริง โดยที่ทุกพจน์ที่มี n ≥ n จะอยู่ภายในระยะห่างของ n ตัว n ตัว n นั้นมีเพียงหนึ่งเดียว เมื่อมันมีอยู่จริง มันเรียกว่าลิมิตของลำดับและเขียนได้เป็น λ = λ(n) ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L.}$$

ดังนั้น นิยามของลิมิตของลำดับสามารถสรุปได้ดังนี้:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$หมายความว่า สำหรับทุก ๆจะมีอยู่จริงที่ทำให้สำหรับทุกๆ${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle |a_{n}-L|<\epsilon }$${\displaystyle n>N}$

หากไม่มีสิ่งนั้นอยู่จริงก็จะกล่าวได้ว่าสิ่ง นั้น แตกต่างออกไป ${\displaystyle L}$${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

กล่าวได้ว่าลำดับมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์ถ้าพจน์เกือบทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด มีค่ามากกว่าจำนวนที่กำหนดให้ ตัวอย่างเช่น ลำดับของจำนวนเต็มบวก ลำดับนี้มีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์ เพราะสำหรับขอบเขตใดๆ ที่กำหนดให้ทุกพจน์ในลำดับจะมีค่ามากกว่าหลังจากตัดพจน์ที่มีค่ามากกว่าจำนวนจำกัดออกไปแล้ว ในทางคณิตศาสตร์ ลำดับ มีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์ ถ้ากำหนดให้จำนวนจริงใดๆมีจำนวนเต็มบวก อยู่จำนวนหนึ่งที่ทำให้สำหรับทุกซึ่งเขียนได้เป็น ${\displaystyle 1,2,3,\ldots }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle a_{n}>M}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }$

ในทำนองเดียวกัน ลำดับจะกล่าวได้ว่ามีแนวโน้มเข้าสู่ลบอนันต์หากพจน์เกือบทั้งหมด ยกเว้นเพียงจำนวนจำกัด มีค่าน้อยกว่าขอบเขตล่างที่กำหนดไว้ ซึ่งเขียนได้เป็น ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$

ในแต่ละกรณีที่หรือลำดับดังกล่าวกล่าวได้ว่ามีลิมิตอนันต์ แต่ไม่มีลิมิตในความหมายของการลู่เข้าสู่จำนวนจริง เนื่องจากและไม่ใช่จำนวนจริง ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle -\infty }$

การอธิบายลำดับข้างต้นนั้นใช้สำหรับลำดับของจำนวนจริง แนวคิดเรื่องลิมิตสามารถนิยามได้สำหรับลำดับที่มีค่าอยู่ในปริภูมิที่เป็นนามธรรมมากขึ้น เช่นปริภูมิเมตริกถ้าเป็นปริภูมิเมตริกที่มีฟังก์ชันระยะทางและเป็นลำดับในแล้วลิมิต (เมื่อมีอยู่) ของลำดับ คือ สมาชิกที่ทำให้ เมื่อกำหนดจะมี ที่ทำให้สำหรับแต่ละเราจะได้ ข้อความที่เทียบเท่ากันคือถ้าลำดับของจำนวนจริง${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle a\in M}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$$${\displaystyle d(a,a_{n})<\varepsilon .}$$${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$${\displaystyle d(a,a_{n})\rightarrow 0}$

ตัวอย่างที่สำคัญคือปริภูมิของเวกเตอร์จริงมิติ n โดยที่แต่ละ องค์ประกอบ เป็นจำนวนจริง ตัวอย่างของฟังก์ชันระยะทางที่เหมาะสมคือระยะทางแบบยุคลิดซึ่งกำหนดโดย ลำดับของจุดจะลู่เข้าสู่ถ้าลิมิตมีอยู่และ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{i}}$$${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$$${\displaystyle \{\mathbf {x} _{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} \|\rightarrow 0}$

ในแง่หนึ่งพื้นที่นามธรรมที่สุด ที่สามารถกำหนดลิมิตได้คือพื้นที่เชิงทอพอโลยีถ้าเป็นพื้นที่เชิงทอพอโลยีที่มีทอพอโลยีและเป็นลำดับในแล้วลิมิต (ถ้ามี) ของลำดับ คือจุดที่ทำให้ เมื่อกำหนดย่านใกล้เคียง (แบบเปิด) ของจะมีที่ทำให้สำหรับทุกเป็น จริง ในกรณีนี้ ลิมิต (ถ้ามี) อาจไม่เป็นเอกลักษณ์ อย่างไรก็ตาม มันจะต้องเป็นเอกลักษณ์ถ้าเป็นพื้นที่เฮาส์ดอร์ฟ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\in X}$${\displaystyle U\in \tau }$${\displaystyle a}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$$${\displaystyle a_{n}\in U}$$${\displaystyle X}$

ส่วนนี้กล่าวถึงแนวคิดเรื่องลิมิตของลำดับฟังก์ชัน ซึ่งไม่ควรสับสนกับแนวคิดเรื่องลิมิตของฟังก์ชันที่จะกล่าวถึงต่อไป

สาขาวิชาการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันส่วนหนึ่งมุ่งที่จะระบุแนวคิดที่มีประโยชน์เกี่ยวกับการลู่เข้าในปริภูมิฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น พิจารณาปริภูมิของฟังก์ชันจากเซตทั่วไปไปยังโดยกำหนดลำดับของฟังก์ชันที่แต่ละฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันสมมติว่ามีฟังก์ชัน อยู่ฟังก์ชันหนึ่งซึ่งสำหรับแต่ละและ${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{f_{n}\}_{n>0}}$${\displaystyle f_{n}:E\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in E}$$${\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x){\text{ or equivalently }}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$

จากนั้นลำดับดังกล่าวจะกล่าวได้ว่าลู่เข้าสู่ค่า n แบบจุดต่อจุดอย่างไรก็ตามลำดับดังกล่าวอาจแสดงพฤติกรรมที่ไม่คาดคิดได้ ตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ที่จะสร้างลำดับของฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีลิมิตแบบจุดต่อจุดที่ไม่ต่อเนื่อง ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

แนวคิดอีกอย่างหนึ่งของการลู่เข้าคือการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอระยะห่างสม่ำเสมอระหว่างฟังก์ชันสองฟังก์ชันคือ ผลต่างสูงสุดระหว่างฟังก์ชันทั้งสองเมื่อตัวแปรเปลี่ยนแปลงไป นั่นคือ ลำดับนั้นจะลู่เข้าแบบสม่ำเสมอหรือมีลิมิตสม่ำเสมอของถ้าโดยพิจารณาจากระยะห่างนี้ ลิมิตสม่ำเสมอมีคุณสมบัติที่ดีกว่าลิมิตแบบจุดต่อจุด ตัวอย่างเช่น ลิมิตสม่ำเสมอของลำดับฟังก์ชันต่อเนื่องจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ${\displaystyle f,g:E\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in E}$$${\displaystyle d(f,g)=\max _{x\in E}|f(x)-g(x)|.}$$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$

สามารถกำหนดแนวคิดเรื่องการลู่เข้าได้หลายแบบในปริภูมิฟังก์ชัน ซึ่งบางครั้งขึ้นอยู่กับความสม่ำเสมอของปริภูมิ ตัวอย่างที่โดดเด่นของปริภูมิฟังก์ชันที่มีแนวคิดเรื่องการลู่เข้า ได้แก่ปริภูมิ Lpและปริภูมิ Sobolev

สมมติว่าfเป็นฟังก์ชันค่าจริงและcเป็นจำนวนจริงโดยทั่วไปแล้ว นิพจน์ จะเป็นดังนี้

$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$$

หมายความว่าf ( x )สามารถทำให้ใกล้เคียงกับL ได้มาก เท่าที่ต้องการ โดยทำให้xใกล้เคียงกับc มาก พอ^{[ 10 ]}ในกรณีนั้น สมการข้างต้นสามารถอ่านได้ว่า "ลิมิตของfของxเมื่อxเข้าใกล้cคือL "

ตามหลักการแล้ว นิยามของ "ลิมิตของเมื่อเข้าใกล้" มีดังนี้ ลิมิตคือจำนวนจริงโดยที่เมื่อกำหนดจำนวนจริงใดๆ(ซึ่งถือว่าเป็น "ข้อผิดพลาด") จะมีค่าที่ทำให้สำหรับค่า ใดๆ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขจะเป็นจริงว่านี่คือที่รู้จักกันในชื่อ นิยาม ( ε , δ )ของลิมิต ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$

อสมการนี้ใช้เพื่อแยกจุด ออกจากเซตของจุดที่กำลังพิจารณา แต่ผู้เขียนบางคนไม่ได้รวมสิ่งนี้ไว้ในคำจำกัดความของลิมิต โดยแทนที่ด้วย เพียงแค่การแทนที่นี้เทียบเท่ากับการกำหนดเพิ่มเติมว่า ต้องต่อเนื่องที่${\displaystyle 0<|x-c|}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$${\displaystyle |x-c|<\delta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$

สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีนิยามที่เทียบเท่ากันซึ่งแสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงระหว่างลิมิตของลำดับและลิมิตของฟังก์ชัน^{[ 11 ]}นิยามที่เทียบเท่ากันมีดังต่อไปนี้ ก่อนอื่นให้สังเกตว่าสำหรับทุกลำดับในโดเมนของจะมีลำดับที่เกี่ยวข้องซึ่ง เป็น ภาพของลำดับภายใต้ ลิมิตเป็นจำนวนจริงดังนั้นสำหรับทุกลำดับลำดับที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle \{x_{n}\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}$

เราสามารถกำหนดแนวคิดของลิมิต "มือซ้าย" ("จากด้านล่าง") และลิมิต "มือขวา" ("จากด้านบน") ได้ ซึ่งไม่จำเป็นต้องตรงกันเสมอไป ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันตัวบ่งชี้ บวก , ,ถูกกำหนดไว้ว่าถ้า,และถ้าที่, ฟังก์ชันมี "ลิมิตมือซ้าย" เท่ากับ 0 , "ลิมิตมือขวา" เท่ากับ 1 และไม่มีลิมิตอยู่จริง ในเชิงสัญลักษณ์ สามารถเขียนได้ดังนี้ สำหรับตัวอย่างนี้ , และ , และจากนี้สามารถอนุมานได้ว่าไม่มีอยู่จริงเพราะ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x\leq 0}$${\displaystyle f(x)=1}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)=0}$${\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}f(x)=1}$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}$${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to c^{+}}f(x)}$

สามารถกำหนดนิยามของแนวคิด "มีแนวโน้มเข้าสู่อนันต์" ในโดเมนของได้${\displaystyle f}$$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=L.}$$

สิ่งนี้อาจถือได้ว่าเทียบเท่ากับลิมิตเมื่อส่วนกลับมีแนวโน้มเข้าใกล้ 0: $${\displaystyle \lim _{x'\rightarrow 0^{+}}f(1/x')=L.}$$

หรืออาจนิยามโดยตรงได้ว่า "ลิมิตของเมื่อเข้าใกล้ค่าอนันต์บวก" นิยามว่าคือค่าหนึ่งที่ทำให้เมื่อกำหนดค่าจำนวนจริงใดๆ ก็ตามจะมีค่าหนึ่งที่ทำให้ สำหรับทุกค่า เป็นจริงนิยามสำหรับลำดับนั้นเทียบเท่ากัน กล่าวคือ เมื่อเราจะได้${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle M>0}$${\displaystyle x>M}$${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$${\displaystyle n\rightarrow +\infty }$${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}$

ในนิพจน์เหล่านี้ อนันต์มักจะถือว่าเป็นอนันต์ที่มีเครื่องหมาย ( หรือ)และสอดคล้องกับลิมิตด้านเดียวของส่วนกลับ ลิมิตอนันต์สองด้านสามารถกำหนดได้ แต่ผู้เขียนจะเขียนไว้อย่างชัดเจนเพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น ${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \pm \infty }$

นอกจากนี้ ยังสามารถกำหนดแนวคิดของ "การมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์" ในค่าของ ได้อีกด้วย${\displaystyle f}$$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty .}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สิ่งนี้สามารถนิยามได้ในแง่ของส่วนกลับ: $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}{\frac {1}{f(x)}}=0.}$$

หรืออาจให้คำจำกัดความโดยตรงได้ดังนี้: สำหรับจำนวนจริงใดๆจะมีค่าอยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้สำหรับค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชันลำดับยังสามารถมีลิมิตอนันต์ได้ด้วย กล่าวคือ เมื่อลำดับจะเป็นอนันต์${\displaystyle M>0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$${\displaystyle |f(x)|>M}$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow \infty }$

นิยามโดยตรงนี้ขยายไปสู่ลิมิตอนันต์ด้านเดียวได้ง่ายกว่า ในขณะที่นักคณิตศาสตร์พูดถึงฟังก์ชันที่เข้าใกล้ลิมิต "จากด้านบน" หรือ "จากด้านล่าง" แต่ก็ไม่มีสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ มาตรฐาน สำหรับกรณีนี้เหมือนกับที่มีสำหรับลิมิตด้านเดียว

ในการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน (ซึ่งเกี่ยวข้องกับการขยายระบบจำนวนไฮเปอร์เรียล ) ลิมิตของลำดับ สามารถแสดงได้เป็นส่วนมาตรฐานของค่าของการขยายตามธรรมชาติของลำดับที่ดัชนีไฮเปอร์ธรรมชาติ อนันต์ n = Hดังนั้น โดยที่ ฟังก์ชันส่วนมาตรฐาน "st" จะปัดเศษจำนวนไฮเปอร์เรียลจำกัดแต่ละจำนวนให้เป็นจำนวนจริงที่ใกล้ที่สุด (ความแตกต่างระหว่างพวกมันมีค่าเล็กน้อยมาก ) สิ่งนี้ทำให้เป็นรูปธรรมตามสัญชาตญาณตามธรรมชาติที่ว่า สำหรับค่าดัชนีที่ "มาก" พจน์ในลำดับจะ "ใกล้มาก" กับค่าลิมิตของลำดับ ในทางกลับกัน ส่วนมาตรฐานของไฮเปอร์เรียลที่แสดงในการสร้างกำลังพิเศษโดยลำดับโคชีก็คือลิมิตของลำดับนั้นนั่นเอง ในแง่นี้ การหาลิมิตและการหาส่วนมาตรฐานจึงเป็นกระบวนการที่เทียบเท่ากัน ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle a_{H}}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\operatorname {st} (a_{H}).}$$${\displaystyle a=[a_{n}]}$${\displaystyle (a_{n})}$$${\displaystyle \operatorname {st} (a)=\lim _{n\to \infty }a_{n}.}$$

ให้เป็นลำดับในปริภูมิเชิงทอพอโลยีเพื่อความชัดเจนอาจคิดว่า เป็นแต่นิยามนี้ใช้ได้ทั่วไปมากกว่าเซตลิมิตคือ เซตของจุด เช่น ถ้ามีลำดับย่อย ลู่เข้า โดยที่แล้วจะอยู่ในเซตลิมิต ในบริบทนี้บางครั้งเรียกว่า จุดลิมิต ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k>0}}$${\displaystyle a_{n_{k}}\rightarrow a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

การนำแนวคิดนี้ไปใช้คือการอธิบาย "พฤติกรรมระยะยาว" ของลำดับการแกว่ง ตัวอย่างเช่น พิจารณาลำดับโดยเริ่มจาก n=1 พจน์แรกๆ ของลำดับนี้คือสามารถตรวจสอบได้ว่าลำดับนี้เป็นการแกว่ง ดังนั้นจึงไม่มีลิมิต แต่มีจุดลิมิต${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$${\displaystyle -1,+1,-1,+1,\cdots }$${\displaystyle \{-1,+1\}}$

แนวคิดนี้ใช้ในระบบพลวัตเพื่อศึกษาลิมิตของวิถีโคจร โดยกำหนดให้วิถีโคจรเป็นฟังก์ชันจุดนั้น จะถูกมอง ว่าเป็น "ตำแหน่ง" ของวิถีโคจร ณ "เวลา" เซตลิมิตของวิถีโคจรถูกกำหนดดังนี้ สำหรับลำดับของเวลาที่เพิ่มขึ้นใดๆจะมีลำดับของตำแหน่งที่สอดคล้องกันถ้าเป็นเซตลิมิตของลำดับสำหรับลำดับของเวลาที่เพิ่มขึ้นใดๆ แล้ว ก็เป็นเซตลิมิตของวิถีโคจร ด้วย${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \rightarrow X}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \{t_{n}\}}$${\displaystyle \{x_{n}\}=\{\gamma (t_{n})\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{x_{n}\}}$${\displaystyle x}$

ในทางเทคนิค นี่คือเซตลิมิต เซตลิมิตที่สอดคล้องกันสำหรับลำดับของเวลาที่ลดลงเรียกว่าเซตลิมิต ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \alpha }$

ตัวอย่างที่แสดงให้เห็นได้คือวิถีวงกลม: .วิถีนี้ไม่มีขีดจำกัดที่เฉพาะเจาะจง แต่สำหรับแต่ละจุดเป็นจุดขีดจำกัด ซึ่งกำหนดโดยลำดับของเวลา.แต่จุดขีดจำกัดไม่จำเป็นต้องเกิดขึ้นบนวิถี วิถีนี้ยังมีวงกลมหน่วยเป็นเซตขีดจำกัด ด้วย${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(t),\sin(t))}$${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$${\displaystyle (\cos(\theta ),\sin(\theta ))}$${\displaystyle t_{n}=\theta +2\pi n}$${\displaystyle \gamma (t)=t/(1+t)(\cos(t),\sin(t))}$

ขีดจำกัดถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดแนวคิดสำคัญหลายประการในการวิเคราะห์

การแสดงออกที่น่าสนใจอย่างหนึ่งซึ่งกำหนดเป็นทางการเป็นลิมิตของลำดับคือผลรวมของอนุกรมอนันต์เหล่านี้คือ "ผลรวมอนันต์" ของจำนวนจริง โดยทั่วไปเขียนเป็น ซึ่งกำหนดผ่านลิมิตดังนี้: ^{[ 11 ]}เมื่อกำหนดลำดับของจำนวนจริงลำดับของผลรวมย่อยจะถูกกำหนดโดย ถ้าลิมิตของลำดับมีอยู่ ค่าของนิพจน์จะถูกกำหนดให้เป็นลิมิต มิฉะนั้น อนุกรมจะเรียกว่าลู่เข้า $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$$${\displaystyle \{a_{n}\}}$$${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.}$$${\displaystyle \{s_{n}\}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

ตัวอย่างคลาสสิกคือปัญหา บาเซิลซึ่งแล้ว${\displaystyle a_{n}=1/n^{2}}$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

อย่างไรก็ตาม ในขณะที่ลำดับมีแนวคิดเรื่องการลู่เข้าเพียงหนึ่งเดียว แต่สำหรับอนุกรมนั้นมีแนวคิดเรื่องการลู่เข้าที่แตกต่างกันออกไป นี่เป็นเพราะนิพจน์ดังกล่าวไม่ได้แยกแยะความแตกต่างระหว่างลำดับต่างๆ ของลำดับในขณะที่คุณสมบัติการลู่เข้าของลำดับผลรวมย่อยอาจขึ้นอยู่กับลำดับของลำดับนั้น ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$

อนุกรมที่ลู่เข้าสำหรับทุกการเรียงลำดับเรียกว่าอนุกรมลู่เข้าอย่างไม่มีเงื่อนไขสามารถพิสูจน์ได้ว่าเทียบเท่ากับการลู่เข้าสัมบูรณ์ซึ่งนิยามไว้ดังนี้ อนุกรมจะลู่เข้าสัมบูรณ์ก็ต่อเมื่อนิยามไว้อย่างดี และยิ่งไปกว่านั้น การเรียงลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดให้ค่าเดียวกัน ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$

มิฉะนั้น อนุกรมจะลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจสำหรับอนุกรมที่ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขคือทฤษฎีบทอนุกรมรีมันน์ : ขึ้นอยู่กับลำดับ ผลรวมย่อยสามารถทำให้ลู่เข้าสู่จำนวนจริงใดๆ ก็ได้ เช่นเดียวกับ${\displaystyle \pm \infty }$

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีผลรวมของอนุกรมที่มีประโยชน์อย่างหนึ่งคือสำหรับอนุกรมกำลังซึ่งเป็นผลรวมของอนุกรมในรูปแบบ โดยมักจะมองว่า เป็นจำนวนเชิงซ้อน และจำเป็นต้องมีแนวคิดที่เหมาะสมเกี่ยวกับการลู่เข้าของลำดับเชิงซ้อน เซตของค่าของที่ทำให้ผลรวมของอนุกรมลู่เข้าคือวงกลม โดยมีรัศมีที่เรียกว่ารัศมีของการลู่เข้า $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

นิยามของความต่อเนื่อง ณ จุดใดจุดหนึ่งนั้นกำหนดโดยลิมิต

นิยามของลิมิตข้างต้นเป็นจริงแม้ว่า ก็ตาม อัน ที่ จริงฟังก์ชันfไม่จำเป็นต้องถูกกำหนดที่จุด c ด้วยซ้ำ อย่างไรก็ตาม ถ้าถูกกำหนดและ เท่ากับ แล้วฟังก์ชันนั้นจะถือว่าต่อเนื่องที่จุดนั้น${\displaystyle f(c)\neq L}$${\displaystyle f(c)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle c}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันจะต่อเนื่องที่ถ้าเมื่อหรือในแง่ของลำดับ เมื่อใดก็ตามที่แล้ว${\displaystyle c}$${\displaystyle f(x)\rightarrow f(c)}$${\displaystyle x\rightarrow c}$${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow f(c)}$

ตัวอย่างของลิมิตที่ไม่สามารถหาค่าได้ นั้น แสดงไว้ด้านล่าง ${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$

พิจารณาฟังก์ชัน

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}.}$$

ดังนั้นf (1)จึงไม่ถูกกำหนด (ดูรูปแบบที่ไม่แน่นอน ) แต่เมื่อxเคลื่อนเข้าใกล้ 1 มากขึ้นเรื่อยๆf ( x )ก็จะเข้าใกล้ 2 มากขึ้นตามไปด้วย: ^{[ 12 ]}

ดังนั้นf ( x )สามารถทำให้เข้าใกล้ลิมิตของ 2 ได้อย่างไม่จำกัด เพียงแค่ทำให้xเข้าใกล้1มากพอ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.}$$

สามารถคำนวณได้ด้วยวิธีพีชคณิตเช่นกัน เนื่องจากสำหรับจำนวนจริงทุกจำนวนx ≠ 1 ${\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$

เนื่องจากx + 1มีความต่อเนื่องในxที่ 1 เราจึงสามารถแทนค่า 1 ลงในxได้ ซึ่งนำไปสู่สมการ $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.}$$

นอกจากลิมิตที่ค่าจำกัดแล้ว ฟังก์ชันยังสามารถมีลิมิตที่ค่าอนันต์ได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชัน ที่: $${\displaystyle f(x)={\frac {2x-1}{x}}}$$

• f (100) = 1.9900
• f (1000) = 1.9990
• f (10000) = 1.9999

เมื่อxมีค่ามาก ๆ ค่าของf ( x )จะเข้าใกล้2และค่าของf ( x )สามารถทำให้เข้าใกล้2 ได้มาก เท่าที่ต้องการ โดยการทำให้xมีค่ามากพอ ดังนั้นในกรณีนี้ ลิมิตของf ( x )เมื่อxเข้าใกล้อินฟินิตี้คือ2หรือในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์คือ$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.}$$

ฟังก์ชันประเภทหนึ่งที่สำคัญเมื่อพิจารณาลิมิตคือฟังก์ชันต่อเนื่องฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันที่รักษาคุณสมบัติของลิมิตกล่าวคือ ถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแล้ว เมื่อใดก็ตามที่ในโดเมนของลิมิตจะมีอยู่ และยิ่งไปกว่านั้น ยังเท่ากับ อีกด้วย${\displaystyle f}$${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(a_{n})}$${\displaystyle f(a)}$

ในบริบททั่วไปของปริภูมิเชิงทอพอโลยี บทพิสูจน์โดยย่อมีดังต่อไปนี้:

ให้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีและโดยนิยาม สำหรับแต่ละเซตเปิดในภาพผกผันจะเป็นเซตเปิดใน${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle X}$

สมมติว่าเป็นลำดับที่มีลิมิตอยู่ในแล้วเป็นลำดับในและเป็นจุดใดจุดหนึ่ง ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(a_{n})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(a)}$

เลือกย่านใกล้เคียงของแล้วเป็นเซตเปิด (โดยความต่อเนื่องของ) ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งประกอบด้วยและดังนั้น จึงเป็นย่านใกล้เคียงของเนื่องจากการลู่เข้าของไปยังจึงมีอยู่เช่นนั้นสำหรับเราจะได้${\displaystyle V}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle a_{n}\in f^{-1}(V)}$

จากนั้น เมื่อนำไปใช้กับทั้งสองข้าง จะได้ว่า สำหรับค่าเดียวกันสำหรับแต่ละค่าเราจะได้เดิมทีเป็นบริเวณใกล้เคียงแบบสุ่มของดังนั้นนี่เป็นการสรุปการพิสูจน์ ${\displaystyle f}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle f(a_{n})\in V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(a_{n})\rightarrow f(a)}$

ในการวิเคราะห์เชิงจริง สำหรับกรณี ที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นของฟังก์ชันค่าจริงที่กำหนดบนเซตย่อยนั่นคือฟังก์ชันต่อเนื่องอาจถูกนิยามได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องที่ทุกจุดในโดเมนของมัน ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f:E\rightarrow \mathbb {R} }$

ในทางทอพอโลยีลิมิตถูกใช้เพื่อกำหนดจุดลิมิตของเซตย่อยในปริภูมิทอพอโลยี ซึ่งในทางกลับกันก็ให้ลักษณะเฉพาะที่มีประโยชน์ของเซตปิด

ในปริภูมิเชิงทอพอโลยีพิจารณาเซตย่อยจุดหนึ่งเรียกว่าจุดลิมิต ถ้ามีลำดับในเช่นนั้น${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle S\setminus \{a\}}$${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$

เหตุผลที่กำหนดให้ อยู่ในมากกว่าแค่ นั้นแสดงให้เห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้ สมมติให้และแล้วและดังนั้น จึงเป็นลิมิตของลำดับคงที่แต่ไม่ใช่จุดลิมิตของ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle S\setminus \{a\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle S=[0,1]\cup \{2\}}$${\displaystyle 2\in S}$${\displaystyle 2,2,\cdots }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle S}$

เซตปิด ซึ่งนิยามว่าเป็นส่วนเติมเต็มของเซตเปิด คือ เซตใดๆที่ประกอบด้วยจุดลิมิตทั้งหมดของเซตเปิดนั้น ${\displaystyle C}$

อนุพันธ์ถูกนิยามอย่างเป็นทางการว่าเป็นลิมิต ในขอบเขตของการวิเคราะห์เชิงจริงอนุพันธ์ถูกนิยามขึ้นครั้งแรกสำหรับฟังก์ชันจริงที่นิยามบนเซตย่อยอนุพันธ์ที่ จุด ถูกนิยามดังนี้ ถ้าลิมิตของ เมื่อมีอยู่จริง อนุพันธ์ที่จุด ก็คือลิมิตนั้น ${\displaystyle f}$${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in E}$$${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$${\displaystyle h\rightarrow 0}$${\displaystyle x}$

ในทำนองเดียวกัน มันคือขีดจำกัด ณวันที่ ${\displaystyle y\rightarrow x}$$${\displaystyle {\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}.}$$

ถ้าอนุพันธ์มีอยู่จริง มักจะใช้สัญลักษณ์แทน${\displaystyle f'(x)}$

สำหรับลำดับของจำนวนจริง สามารถพิสูจน์คุณสมบัติได้หลายประการ^{[ 11 ]}สมมติว่าและเป็นลำดับสองลำดับที่ลู่เข้าสู่และตามลำดับ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \{b_{n}\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

• ผลรวมของลิมิตเท่ากับลิมิตของผลรวม$${\displaystyle a_{n}+b_{n}\rightarrow a+b.}$$
• ผลคูณของลิมิตเท่ากับลิมิตของผลคูณ$${\displaystyle a_{n}\cdot b_{n}\rightarrow a\cdot b.}$$
• ส่วนกลับของลิมิตเท่ากับลิมิตของส่วนกลับ (ตราบใดที่)${\displaystyle a\neq 0}$$${\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}\rightarrow {\frac {1}{a}}.}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันนี้มีความต่อเนื่องรอบค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ ${\displaystyle f(x)=1/x}$${\displaystyle x}$

คุณสมบัติของลำดับลู่เข้าของจำนวนจริงคือลำดับเหล่านั้นเป็นลำดับโคชี [ ^{11 ] นิยาม}ของลำดับโคชีคือสำหรับจำนวนจริงทุกจำนวนจะมีค่าที่ทำให้เมื่อใดก็ตามที่ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m,n>N}$$${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon .}$$

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับความคลาดเคลื่อนที่เล็กน้อยมาก ๆก็สามารถหาช่วงที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางได้ซึ่งในที่สุดลำดับนั้นจะอยู่ภายในช่วงนั้น ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

ลำดับโคชีมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับลำดับลู่เข้า ในความเป็นจริง สำหรับลำดับของจำนวนจริง ลำดับโคชีและลำดับลู่เข้าจะเทียบเท่ากัน กล่าวคือ ลำดับโคชีใดๆ ก็เป็นลำดับลู่เข้าได้

ในปริภูมิเมตริกทั่วไป ลำดับลู่เข้ายังคงเป็นลำดับโคชีอยู่ แต่ข้อความกลับไม่เป็นจริง กล่าวคือ ไม่ใช่ทุกลำดับโคชีจะลู่เข้าในปริภูมิเมตริกทั่วไปตัวอย่างค้าน คลาสสิก คือจำนวนตรรกยะ , , ที่มีระยะทางปกติ ลำดับของการประมาณค่าทศนิยมของ, ที่ตัดทศนิยมตำแหน่งที่th เป็นลำดับโคชี แต่ไม่ลู่เข้าใน ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ปริภูมิเมตริก สมบูรณ์ คือ ปริภูมิเมตริกที่ลำดับโคชีทุกตัวลู่เข้า กล่าวคือ ลำดับโคชีเทียบเท่ากับลำดับลู่เข้า

เหตุผลหนึ่งที่ทำให้ลำดับโคชี "ใช้งานง่ายกว่า" ลำดับลู่เข้า คือ ลำดับโคชีเป็นคุณสมบัติของลำดับนั้นเอง ในขณะที่ลำดับลู่เข้าไม่เพียงแต่ต้องการลำดับเท่านั้นแต่ยังต้องการลิมิตของลำดับนั้นด้วย ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle a}$

นอกเหนือจากว่าลำดับนั้นลู่เข้าสู่ค่าลิมิต หรือไม่แล้ว ยังสามารถอธิบายได้ว่าลำดับนั้นลู่เข้าสู่ค่าลิมิตเร็วแค่ไหน วิธีหนึ่งในการวัดปริมาณนี้คือการใช้ลำดับการลู่เข้าของลำดับ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle a}$

นิยามอย่างเป็นทางการของลำดับการลู่เข้าสามารถกล่าวได้ดังนี้ สมมติว่าเป็นลำดับของจำนวนจริงที่ลู่เข้าด้วยลิมิตนอกจากนี้สำหรับทุกถ้ามีค่าคงที่บวกและอยู่จริง โดยที่ แล้วกล่าวได้ว่าลู่เข้าสู่ด้วยลำดับการลู่เข้าค่าคงที่ เรียกว่า ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนเชิงอะซิมโทติก ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{n}\neq a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\left|a_{n+1}-a\right|}{\left|a_{n}-a\right|^{\alpha }}}=\lambda }$$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \lambda }$

ลำดับการลู่เข้าถูกนำมาใช้ในสาขาการวิเคราะห์เชิงตัวเลข เช่น ในการวิเคราะห์ข้อผิดพลาด

ลิมิตอาจคำนวณได้ยาก มีนิพจน์ลิมิตบางนิพจน์ที่โมดูลัสของการลู่เข้าไม่สามารถตัดสินได้ในทฤษฎีการเรียกซ้ำ บทพิสูจน์ ลิมิตแสดงให้เห็นว่าสามารถเข้ารหัสปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินได้โดยใช้ลิมิต^{[ 13 ]}

มีทฤษฎีบทหรือการทดสอบหลายอย่างที่บ่งชี้ว่าลิมิตมีอยู่หรือไม่ การทดสอบเหล่านี้เรียกว่าการทดสอบการลู่เข้าตัวอย่างเช่นการทดสอบอัตราส่วนและทฤษฎีบทการบีบอัดอย่างไรก็ตาม การทดสอบเหล่านี้อาจไม่ได้บอกวิธีการคำนวณลิมิต

• การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติก : วิธีการอธิบายพฤติกรรมที่จำกัด
  • สัญกรณ์บิ๊กโอ (Big O notation ): ใช้เพื่ออธิบายพฤติกรรมลิมิตของฟังก์ชันเมื่อตัวแปรมีแนวโน้มเข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่งหรืออนันต์
• ลิมิตแบบบานาค (Banach limit)ที่กำหนดบนปริภูมิบานาค (Banach space) ซึ่งขยายขอบเขตของลิมิตทั่วไป${\displaystyle \ell ^{\infty }}$
• การลู่เข้าของตัวแปรสุ่ม
• เมทริกซ์ลู่เข้า
• ข้อจำกัดในทฤษฎีหมวดหมู่
  • ขีดจำกัดโดยตรง
  • ขีดจำกัดผกผัน
• ลิมิตของฟังก์ชัน
  • ลิมิตด้านเดียว : ลิมิตใดลิมิตหนึ่งของฟังก์ชันของตัวแปรจริงxเมื่อxเข้าใกล้จุดใดจุดหนึ่งจากด้านบนหรือด้านล่าง
  • รายการข้อจำกัด : รายการข้อจำกัดสำหรับฟังก์ชันทั่วไป
  • ทฤษฎีบทการบีบอัด (Squeeze theorem) : หาลิมิตของฟังก์ชันโดยการเปรียบเทียบกับฟังก์ชันอื่นอีกสองฟังก์ชัน
• จำกัดด้านบนและจำกัดด้านล่าง
• รูปแบบการบรรจบกัน
  • ดัชนีพร้อมคำอธิบาย

เว็บไซต์วิกิบุ๊กแคลคูลัสมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: ลิมิต