ทฤษฎีบทรีมันน์-รอคเป็นทฤษฎีบทสำคัญในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวิเคราะห์เชิงซ้อนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสำหรับการคำนวณมิติของปริภูมิของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกที่มีศูนย์ที่กำหนดไว้และขั้ว ที่อนุญาต ทฤษฎีบท นี้เชื่อมโยงวิเคราะห์เชิงซ้อนของพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัด ที่เชื่อมต่อกันกับ จีนัส เชิงโทโพโลยีล้วนๆ gของพื้นผิวในลักษณะที่สามารถนำไปใช้ในบริบทเชิงพีชคณิตล้วนๆ ได้

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกในชื่ออสมการของรีมันน์ (Riemann's inequality)โดยรีมันน์ (Riemann) ในปี 1857 ต่อมาทฤษฎีบทนี้ได้พัฒนาจนสมบูรณ์สำหรับพื้นผิวรีมันน์ (Riemann surfaces) หลังจากผลงานของกุสตาฟ รอช  ( Gustav Roch ) นักศึกษาของรีมันน์ ซึ่งมีชีวิตอยู่ไม่นาน ใน ปี 1865ต่อมาได้มีการขยายทฤษฎีบทนี้ไปยังเส้นโค้งพีชคณิต (algebraic curves)ไปยังวาไรตี้ที่มีมิติสูงกว่า (higher-dimensional varieties ) และอื่น ๆ อีกมากมาย

พื้นผิวรีมันน์ (Riemann surface) คือปริภูมิเชิงทอพอ โลยี ที่สมมูลกันในระดับท้องถิ่นกับเซตเปิดย่อยของเซตจำนวนเชิงซ้อนนอกจากนี้แผนที่การเปลี่ยนผ่านระหว่างเซตเปิดย่อยเหล่านี้จะต้องเป็นแบบโฮโลมอร์ฟิก (holomorphic ) เงื่อนไขหลังนี้ทำให้สามารถถ่ายทอดแนวคิดและวิธีการของการวิเคราะห์เชิงซ้อนที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกและเมโรเมอร์ฟิกไปยังพื้นผิวได้ สำหรับวัตถุประสงค์ของทฤษฎีบทรีมันน์-รอช (Riemann–Roch theorem) พื้นผิวจะถือว่าเป็น พื้นผิว กระชับ (compact surface ) เสมอ โดยทั่วไปแล้ว จีนัส ( genus)ของพื้นผิวรีมันน์คือจำนวนของแฮนเดิล(handle ) ตัวอย่างเช่น จีนัสของพื้นผิวรีมันน์ที่แสดงทางด้านขวาคือสาม กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น จีนัสถูกกำหนดให้เป็นครึ่งหนึ่งของจำนวนเบตติ (Betti number ) ตัวแรก นั่นคือ ครึ่งหนึ่งของมิติ -dimension ของกลุ่มโฮโมโลยีเอกพจน์กลุ่มแรกที่มีสัมประสิทธิ์ เชิงซ้อน จีนัสใช้ใน การจำแนกพื้นผิวรีมันน์กระชับจนถึงระดับโฮมูลมอร์ ฟิซึม นั่นคือ พื้นผิวสองพื้นผิวดังกล่าวจะเป็นโฮมูลมอร์ฟิก กันก็ต่อเมื่อ จีนัสของ ทั้งสองพื้นผิวเท่ากัน ดังนั้น เจนัสจึงเป็นตัวแปรทางโทโพโลยีที่สำคัญของพื้นผิวรีมันน์ ในทางกลับกันทฤษฎีของฮอดจ์แสดงให้เห็นว่าเจนัสสอดคล้องกับมิติของปริภูมิของรูปแบบวันโฮโลมอร์ฟิกบนดังนั้นเจนัสจึงเข้ารหัสข้อมูลเชิงวิเคราะห์เชิงซ้อนเกี่ยวกับพื้นผิวรีมันน์ด้วย^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle H_{1}(X,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$

ตัวหาร คือ สมาชิกของหมู่เอเบเลียนอิสระบนจุดต่างๆ บนพื้นผิว หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวหาร คือ ผลรวมเชิงเส้นจำกัดของจุดต่างๆ บนพื้นผิวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ${\displaystyle D}$

ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกใดๆจะก่อให้เกิดตัวหารซึ่งกำหนดโดยสัญลักษณ์ ดังต่อไปนี้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle (f)}$

${\displaystyle (f):=\sum _{z_{\nu }\in R(f)}s_{\nu }z_{\nu }}$

โดยที่คือเซตของศูนย์และขั้วทั้งหมดของและกำหนดโดย ${\displaystyle R(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{\nu }}$

${\displaystyle s_{\nu }:={\begin{cases}a&{\text{if }}z_{\nu }{\text{ is a zero of order }}a\\-a&{\text{if }}z_{\nu }{\text{ is a pole of order }}a\end{cases}}}$.

เซตดังกล่าวเป็นที่ทราบกันว่าเป็นเซตจำกัด ซึ่งเป็นผลมาจากการเป็นเซตกระชับและความจริงที่ว่าศูนย์ของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก (ที่ไม่ใช่ศูนย์) ไม่มีจุดสะสมดังนั้น จึงนิยามได้ดี ตัวหารใดๆ ในรูปแบบนี้เรียกว่าตัวหารหลักตัวหารสองตัวที่แตกต่างกันด้วยตัวหารหลักเรียกว่า ตัวหาร ที่สมมูลกันเชิงเส้นตัวหารของเมโรเมอร์ฟิก1-ฟอร์มก็ถูกนิยามในทำนองเดียวกัน ตัวหารของเมโรเมอร์ฟิก 1-ฟอร์มทั่วโลกเรียกว่าตัวหารแคนอนิก (โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์) เมโรเมอร์ฟิก 1-ฟอร์มสองรูปแบบใดๆ จะให้ตัวหารที่สมมูลกันเชิงเส้น ดังนั้นตัวหารแคนอนิกจึงถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันจนถึงความสมมูลเชิงเส้น (ดังนั้นจึงเรียกว่า "ตัวหารแคนอนิก") ${\displaystyle R(f)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (f)}$${\displaystyle K}$

สัญลักษณ์นี้แสดงถึงดีกรี (บางครั้งเรียกว่าดัชนี) ของตัวหาร กล่าวคือ ผลรวมของสัมประสิทธิ์ที่ปรากฏในสามารถแสดงได้ว่าตัวหารของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกทั่วโลกจะมีดีกรีเป็น 0 เสมอ ดังนั้นดีกรีของตัวหารจึงขึ้นอยู่กับชั้นสมมูล เชิงเส้นของ มัน เท่านั้น${\displaystyle \deg(D)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

ตัวเลขดังกล่าวเป็นปริมาณที่เราสนใจเป็นหลัก นั่นคือมิติ (เหนือ) ของปริภูมิเวกเตอร์ของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนพื้นผิว โดยที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของ มีค่าไม่เป็นลบ โดยสัญชาตญาณ เราสามารถคิดว่านี่คือฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกทั้งหมดที่มีขั้วที่ทุกจุดไม่แย่ไปกว่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันใน; ถ้าสัมประสิทธิ์ในที่เป็นลบ เราจะต้องมีศูนย์ที่มีความซ้ำซ้อนอย่างน้อยเท่ากับค่าที่ จุดนั้น – ถ้าสัมประสิทธิ์ในเป็นบวก ขั้วจะมีค่ามากที่สุดเท่ากับค่าที่จุดนั้น ปริภูมิเวกเตอร์สำหรับตัวหารที่สมมูลเชิงเส้นจะสมมาตรกันโดยธรรมชาติผ่านการคูณกับฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกทั่วโลก (ซึ่งกำหนดไว้อย่างดีจนถึงค่าสเกลาร์) ${\displaystyle \ell (D)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle h}$${\displaystyle (h)+D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle z}$${\displaystyle h}$${\displaystyle z}$${\displaystyle D}$${\displaystyle h}$

ทฤษฎีบท Riemann–Roch สำหรับพื้นผิว Riemann ขนาดกะทัดรัดที่มีจีนัสและสถานะ ตัวหารแบบแคนอนิก${\displaystyle g}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)-g+1}$.

โดยทั่วไป ตัวเลขดังกล่าวเป็นตัวเลขที่น่าสนใจ ในขณะที่ถือว่าเป็นเงื่อนไขการแก้ไข (เรียกอีกอย่างว่าดัชนีความเฉพาะเจาะจง^{[ 2 ] [ 3 ]} ) ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงอาจสรุปได้คร่าวๆ ว่า ${\displaystyle \ell (D)}$${\displaystyle \ell (K-D)}$

มิติ − การแก้ไข = ระดับ − สกุล + 1

เนื่องจากเป็นมิติของปริภูมิเวกเตอร์ พจน์แก้ไขจึงมีค่าไม่เป็นลบเสมอ ดังนั้น ${\displaystyle \ell (K-D)}$

${\displaystyle \ell (D)\geq \deg(D)-g+1}$.

สิ่งนี้เรียกว่าอสมการของรีมันน์ส่วนของคำกล่าวของรอชคือการอธิบายความแตกต่างที่เป็นไปได้ระหว่างด้านของอสมการ บนพื้นผิวรีมันน์ทั่วไปที่มีจีนัสมีดีกรีโดยไม่ขึ้นอยู่กับรูปแบบเมโรเมอร์ฟิกที่เลือกใช้เพื่อแทนตัวหาร สิ่งนี้เป็นผลมาจากการแทนค่าในทฤษฎีบท โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตราบใดที่มีดีกรีอย่างน้อยพจน์แก้ไขจะเป็น 0 ดังนั้น ${\displaystyle g}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 2g-2}$${\displaystyle D=K}$${\displaystyle D}$${\displaystyle 2g-1}$

${\displaystyle \ell (D)=\deg(D)-g+1}$.

ต่อไปนี้จะยกตัวอย่างทฤษฎีบทนี้สำหรับพื้นผิวที่มีจีนัสต่ำ นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีบทอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดอีกหลายทฤษฎี ได้แก่ การกำหนดสูตรที่เทียบเท่ากันของทฤษฎีบทนี้โดยใช้มัด เส้นตรงและการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทนี้ไปยังเส้นโค้งพีชคณิต

ทฤษฎีบทนี้จะได้รับการอธิบายโดยการเลือกจุดหนึ่งบนพื้นผิวที่กล่าวถึง และพิจารณาลำดับของตัวเลข ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \ell (n\cdot P),n\geq 0}$

กล่าวคือ มิติของปริภูมิของฟังก์ชันที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกทุกที่ยกเว้นที่ซึ่งฟังก์ชันนั้นสามารถมีขั้วที่มีอันดับไม่เกินสำหรับ ฟังก์ชัน จึงต้องเป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ กล่าว คือ เป็นโฮโลมอร์ฟิกบนพื้นผิวทั้งหมดตามทฤษฎีบทของ Liouvilleฟังก์ชันดังกล่าวจะต้องเป็นค่าคงที่ ดังนั้นโดยทั่วไป ลำดับเป็นลำดับที่เพิ่มขึ้น ${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ell (0)=1}$${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$

ทรงกลมรีมันน์ (หรือเรียกว่าเส้นตรงเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ ) เป็น ทรงกลม ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายดังนั้นโฮโมโลยีเอกฐานแรกของมันจึงเป็นศูนย์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งจีนัสของมันเป็นศูนย์ ทรงกลมนี้สามารถถูกคลุมด้วยสำเนาสองชุดของโดยมีแผนที่การเปลี่ยนผ่านกำหนดโดย ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto {\frac {1}{z}}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$.

ดังนั้น รูปแบบบนสำเนาหนึ่งของ จึงขยายไปสู่รูปแบบเมโรเมอร์ฟิกบนทรงกลมรีมันน์: มันมีขั้วคู่ที่อนันต์ เนื่องจาก ${\displaystyle \omega =dz}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}\,dz}$

ดังนั้น ตัวหารมาตรฐานของมันคือ(โดยที่คือจุดที่อนันต์) ${\displaystyle K:=\operatorname {div} (\omega )=-2P}$${\displaystyle P}$

ดังนั้น ทฤษฎีบทจึงกล่าวว่าลำดับมีดังนี้ ${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$

1, 2, 3, ...

ลำดับนี้สามารถอ่านได้จากทฤษฎีเศษส่วนย่อยเช่นกัน ในทางกลับกัน หากลำดับนี้เริ่มต้นแบบนี้ แสดงว่าต้องเป็นศูนย์ ${\displaystyle g}$

กรณีถัดไปคือพื้นผิวรีมันน์ที่มีจีนัสเช่นโทรัสโดยที่ คือ แลตทิซสองมิติ(กลุ่มที่สมมาตรกับ) จีนัสของมันคือหนึ่ง: กลุ่มโฮโมโลจีเอกฐานแรกของมันถูกสร้างขึ้นอย่างอิสระโดยลูปสองลูป ดังแสดงในภาพประกอบทางด้านขวา พิกัดเชิงซ้อนมาตรฐานบนให้ฟอร์มหนึ่งบนที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกทุกที่ กล่าวคือ ไม่มีขั้วเลย ดังนั้นตัวหารของจึงเป็นศูนย์ ${\displaystyle g=1}$${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \omega =dz}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \omega }$

บนพื้นผิวนี้ ลำดับนี้คือ

1, 1, 2, 3, 4, 5 ... ;

และนี่คือลักษณะเฉพาะของกรณีนี้อันที่จริง สำหรับ , , ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น สำหรับที่มี, ระดับของจะเป็นลบอย่างเคร่งครัด ดังนั้นพจน์แก้ไขจึงเป็น 0 ลำดับของมิติยังสามารถหาได้จากทฤษฎีของฟังก์ชันเชิงวงรี ${\displaystyle g=1}$${\displaystyle D=0}$${\displaystyle \ell (K-D)=\ell (0)=1}$${\displaystyle D=n\cdot P}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle K-D}$

สำหรับ กรณีนี้ ลำดับที่กล่าวถึงข้างต้นคือ ${\displaystyle g=2}$

1, 1, ?, 2, 3, ... .

จากนี้แสดงให้เห็นว่าพจน์ ? ที่มีดีกรี 2 จะเป็น 1 หรือ 2 ขึ้นอยู่กับจุดนั้น สามารถพิสูจน์ได้ว่าในเส้นโค้งที่มีจีนัส 2 ใดๆ จะมีจุดอยู่หกจุดพอดีที่มีลำดับเป็น 1, 1, 2, 2, ... และจุดที่เหลือจะมีลำดับทั่วไปเป็น 1, 1, 1, 2, ... โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นโค้งที่มีจีนัส 2 เป็นเส้นโค้งไฮเปอร์อิลิปติกเพราะเป็นจริงเสมอว่าที่จุดอย่างมากที่สุด ลำดับจะเริ่มต้นด้วยหนึ่ง และมีจุดจำนวนจำกัดที่มีลำดับอื่นๆ (ดูจุดไวเออร์สตรัส ) ${\displaystyle g>2}$${\displaystyle g+1}$

โดยใช้ความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดระหว่างตัวหารและบันเดิลเส้นโฮโลมอร์ฟิกบนพื้นผิวรีมันน์ ทฤษฎีบทนี้สามารถกล่าวได้ในอีกรูปแบบหนึ่งที่เทียบเท่ากัน: ให้Lเป็นบันเดิลเส้นโฮโลมอร์ฟิกบนXให้แทนปริภูมิของส่วนตัดโฮโลมอร์ฟิกของLปริภูมินี้จะมีมิติจำกัด มิติของมันจะแทนด้วยให้KแทนบันเดิลแคนอนิกบนXแล้วทฤษฎีบทรีมันน์-รอชกล่าวว่า ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$${\displaystyle h^{0}(X,L)}$

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g}$.

ทฤษฎีบทในส่วนก่อนหน้านี้เป็นกรณีพิเศษเมื่อL เป็นกลุ่มจุด

ทฤษฎีบทนี้สามารถนำมาใช้แสดงว่ามีส่วนตัดโฮโลมอร์ฟิกที่เป็นอิสระเชิงเส้นg ส่วนของ Kหรือหนึ่งฟอร์มบนXดังต่อไปนี้ โดยให้Lเป็นบันเดิลที่ไม่สำคัญเนื่องจากฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกเพียงอย่างเดียวบนXคือค่าคงที่ ดีกรีของLเป็นศูนย์ และ L เป็นบันเดิลที่ไม่สำคัญ ดังนั้น ${\displaystyle h^{0}(X,L)=1}$${\displaystyle L^{-1}}$

${\displaystyle 1-h^{0}(X,K)=1-g}$.

ดังนั้น จึงพิสูจน์ได้ว่ามีโฮโลมอร์ฟิกวันฟอร์ม อยู่ g ตัว${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$

เนื่องจากบันเดิลแคนอนิกมีการใช้ทฤษฎีบทรีมันน์-รอชกับ จะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle K}$${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$${\displaystyle L=K}$

${\displaystyle h^{0}(X,K)-h^{0}(X,K^{-1}\otimes K)=\deg(K)+1-g}$

ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle g-1=\deg(K)+1-g}$

ดังนั้นระดับของบันเดิลแคนอนิกคือ. ${\displaystyle \deg(K)=2g-2}$

ทุกองค์ประกอบในสูตรข้างต้นของทฤษฎีบท Riemann–Roch สำหรับตัวหารบนพื้นผิว Riemann มีสิ่งที่เทียบเคียงได้ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสิ่งที่เทียบเคียงได้กับพื้นผิว Riemann คือเส้นโค้งเชิงพีชคณิตที่ไม่เอกฐานCบนฟิลด์kความแตกต่างในคำศัพท์ (เส้นโค้งเทียบกับพื้นผิว) เกิดจากมิติของพื้นผิว Riemann ในฐานะแมนิโฟลด์ จริง คือสอง แต่ในฐานะแมนิโฟลด์เชิงซ้อน คือหนึ่ง ความกะทัดรัดของพื้นผิว Riemann สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่าเส้นโค้งเชิงพีชคณิตนั้นสมบูรณ์ซึ่งเทียบเท่ากับการเป็นเส้นโค้งเชิงโปรเจ กทีฟ บนฟิลด์ทั่วไปkไม่มีแนวคิดที่ดีเกี่ยวกับเอกฐาน (โค)โฮโมโลยี สิ่งที่เรียกว่าจีนัสทางเรขาคณิตถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle g(C):=\dim _{k}\Gamma (C,\Omega _{C}^{1})}$

กล่าวคือ มิติของปริภูมิของรูปแบบหนึ่งที่กำหนดทั่วโลก (พีชคณิต) (ดูอนุพันธ์ของ Kähler ) สุดท้าย ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนพื้นผิวรีมันน์จะถูกแทนในระดับท้องถิ่นด้วยเศษส่วนของฟังก์ชันโฮโลเมอร์ฟิก ดังนั้นจึงถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันตรรกยะซึ่งเป็นเศษส่วนของฟังก์ชันปกติ ในระดับท้องถิ่น ดังนั้น เมื่อเขียนสำหรับมิติ (เหนือk ) ของปริภูมิของฟังก์ชันตรรกยะบนเส้นโค้งซึ่งขั้วที่ทุกจุดไม่แย่ไปกว่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันในDสูตรเดียวกันกับข้างต้นจึงใช้ได้: ${\displaystyle \ell (D)}$

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)-g+1}$.

โดยที่Cเป็นเส้นโค้งพีชคณิตเชิงโปรเจกทีฟที่ไม่เอกฐานเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตkในความเป็นจริง สูตรเดียวกันนี้ใช้ได้กับเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์ใดๆ ยกเว้นว่าดีกรีของตัวหารจำเป็นต้องคำนึงถึงความซ้ำซ้อนที่มาจากส่วนขยายที่เป็นไปได้ของฟิลด์ฐานและฟิลด์เศษเหลือของจุดที่รองรับตัวหาร^{[ 4 ]}สุดท้าย สำหรับเส้นโค้งที่เหมาะสมเหนือวงแหวนอาร์ทิเนียน ลักษณะออยเลอร์ของบันเดิลเส้นที่เกี่ยวข้องกับตัวหารจะได้รับจากดีกรีของตัวหาร (ที่กำหนดไว้อย่างเหมาะสม) บวกกับลักษณะออยเลอร์ของชีฟโครงสร้าง^{[ 5 ]}${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

ข้อสมมติเรื่องความเรียบในทฤษฎีบทสามารถผ่อนคลายได้เช่นกัน: สำหรับเส้นโค้ง (เชิงโปรเจกทีฟ) บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ซึ่งวงแหวนเฉพาะที่ทั้งหมดเป็นวงแหวนโกเรนสไตน์ข้อความเดียวกันกับข้างต้นยังคงใช้ได้ โดยมีเงื่อนไขว่าจีนัสทางเรขาคณิตที่กำหนดไว้ข้างต้นถูกแทนที่ด้วยจีนัสทางเลขคณิตg _aซึ่งกำหนดไว้ดังนี้

${\displaystyle g_{a}:=\dim _{k}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$[ ^{6 ]​}

(สำหรับเส้นโค้งเรียบ จีนัสทางเรขาคณิตจะสอดคล้องกับจีนัสทางเลขคณิต) ทฤษฎีบทนี้ยังขยายไปถึงเส้นโค้งเอกฐานทั่วไป (และวาไรตี้มิติสูงกว่า) ^{[ 7 ]}

ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งของ Riemann–Roch คือสูตรสำหรับการคำนวณพหุนามฮิลเบิร์ตของบันเดิลเส้นบนเส้นโค้ง หากบันเดิลเส้นเป็นแบบแอมเพิล พหุนามฮิลเบิร์ตจะให้ดีกรีแรกซึ่งให้การฝังตัวในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ตัวอย่างเช่น ชีฟแคนอนิกมีดีกรีซึ่งให้บันเดิลเส้นแบบแอมเพิลสำหรับจีนัส[ ^{8 ] ถ้า}เรากำหนดสูตร Riemann–Roch จะเป็นดังนี้ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$${\displaystyle \omega _{C}}$${\displaystyle 2g-2}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle \omega _{C}(n)=\omega _{C}^{\otimes n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}(n))&=\deg(\omega _{C}^{\otimes n})-g+1\\&=n(2g-2)-g+1\\&=2ng-2n-g+1\\&=(2n-1)(g-1)\end{aligned}}}$

ให้ค่าดีกรีของพหุนามฮิลเบิร์ตของ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \omega _{C}}$

${\displaystyle H_{\omega _{C}}(t)=2(g-1)t-g+1}$.

เนื่องจากมีการใช้ชีฟไตรแคนอนิกเพื่อฝังเส้นโค้ง พหุนามฮิลเบิร์ต ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$

${\displaystyle H_{C}(t)=H_{\omega _{C}^{\otimes 3}}(t)}$

โดยทั่วไปจะพิจารณาพหุนามนี้ขณะสร้างแผนผังฮิลเบิร์ตของเส้นโค้ง (และปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งพีชคณิต ) พหุนามนี้คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{C}(t)&=(6t-1)(g-1)\\&=6(g-1)t+(1-g)\end{aligned}}}$

และเรียกว่าพหุนามฮิลเบิร์ตของเส้นโค้งจีนัส g

เมื่อวิเคราะห์สมการนี้เพิ่มเติม ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์มีดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}^{\otimes n})&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\omega _{C}\otimes \left(\omega _{C}^{\otimes n}\right)^{\vee }\right)\\&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)\end{aligned}}}$

เนื่องจาก${\displaystyle \deg(\omega _{C}^{\otimes n})=n(2g-2)}$

${\displaystyle h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)=0}$.

เนื่องจากดีกรีของมันเป็นลบสำหรับทุก ๆซึ่งหมายความว่ามันไม่มีส่วนทั่วโลก จึงมีการฝังตัวลงในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟบางส่วนจากส่วนทั่วโลกของ โดยเฉพาะอย่างยิ่งให้การฝังตัวลงในโดยที่เนื่องจากสิ่งนี้มีประโยชน์ในการสร้างปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งพีชคณิตเนื่องจากสามารถใช้เป็นปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเพื่อสร้างโครงร่างฮิลเบิร์ตด้วยพหุนามฮิลเบิร์ต^{[ 9 ]}${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes n}}$${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}\cong \mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 3}))}$${\displaystyle N=5g-5-1=5g-6}$${\displaystyle h^{0}(\omega _{C}^{\otimes 3})=6g-6-g+1}$${\displaystyle H_{C}(t)}$

เส้นโค้งพีชคณิตระนาบที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งมีดีกรีdจะมีจุดเอกฐาน ( d  − 1)( d  − 2)/2 −  gจุด เมื่อนับอย่างถูกต้อง ดังนั้น หากเส้นโค้งมีจุดเอกฐานที่แตกต่างกัน ( d  − 1)( d  − 2)/2 จุด เส้นโค้งนั้นจะเป็นเส้นโค้งตรรกยะและด้วยเหตุนี้จึงยอมรับการกำหนดพารามิเตอร์แบบตรรกยะได้

สูตรRiemann–Hurwitzที่เกี่ยวข้องกับแผนที่ (แบบแตกแขนง) ระหว่างพื้นผิว Riemann หรือเส้นโค้งพีชคณิต เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบท Riemann–Roch

ทฤษฎีบทของคลิฟฟอร์ดเกี่ยวกับตัวหารพิเศษเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทรีมันน์-รอชเช่นกัน โดยระบุว่าสำหรับตัวหารพิเศษ (เช่น ที่) ที่สอดคล้องกับอสมการต่อไปนี้จะเป็นจริง: ^{[ 10 ]}${\displaystyle \ell (K-D)>0}$${\displaystyle \ell (D)>0}$

${\displaystyle \ell (D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1}$.

ข้อความสำหรับเส้นโค้งพีชคณิตสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทคู่ของ Serreจำนวนเต็มคือมิติของปริภูมิของส่วนตัดทั่วโลกของบันเดิลเส้นที่เกี่ยวข้องกับD ( ดูตัวหารของ Cartier ) ในแง่ของโคฮอโมโลยีของชีฟเราจึงมีและในทำนองเดียวกันแต่ทฤษฎีบทคู่ของ Serre สำหรับวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟที่ไม่เอกฐานในกรณีเฉพาะของเส้นโค้งระบุว่าเป็นไอโซมอร์ฟิกกับคู่ด้านซ้ายมือจึงเท่ากับลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของตัวหารDเมื่อD = 0 เราพบว่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์สำหรับชีฟโครงสร้างคือตามคำนิยาม เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับตัวหารทั่วไป เราสามารถดำเนินการโดยการเพิ่มจุดทีละจุดลงในตัวหารและตรวจสอบให้แน่ใจว่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์แปลงไปตามด้านขวามือ ${\displaystyle \ell (D)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$${\displaystyle \ell (D)=\mathrm {dim} H^{0}(X,{\mathcal {L}}(D))}$${\displaystyle \ell ({\mathcal {K}}_{X}-D)=\dim H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$${\displaystyle H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}}(D))^{\vee }}$${\displaystyle 1-g}$

ทฤษฎีบทสำหรับพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดสามารถอนุมานได้จากเวอร์ชันพีชคณิตโดยใช้ทฤษฎีบทของโชว์และ หลักการ GAGA : ในความเป็นจริง พื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดทุกพื้นผิวถูกกำหนดโดยสมการพีชคณิตในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนบางอย่าง (ทฤษฎีบทของโชว์กล่าวว่าส่วนย่อยเชิงวิเคราะห์แบบปิดใดๆ ของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟถูกกำหนดโดยสมการพีชคณิต และหลักการ GAGA กล่าวว่าโคฮอโมโลยีชีฟของวาไรตีพีชคณิตนั้นเหมือนกับโคฮอโมโลยีชีฟของวาไรตีเชิงวิเคราะห์ที่กำหนดโดยสมการเดียวกัน)

เราอาจหลีกเลี่ยงการใช้ทฤษฎีบทของ Chow ได้โดยการโต้แย้งในลักษณะเดียวกันกับการพิสูจน์ในกรณีของเส้นโค้งพีชคณิต แต่แทนที่ด้วยชีฟของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกhโดยที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของตัวหารเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ ในที่นี้ ข้อเท็จจริงที่ว่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เปลี่ยนแปลงไปตามที่ต้องการเมื่อเพิ่มจุดให้กับตัวหารนั้น สามารถอ่านได้จากลำดับที่แน่นอนยาวซึ่งเกิดจากลำดับที่แน่นอนสั้น ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}}$${\displaystyle (h)+D}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{D}\to {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}\to 0}$

โดยที่ชีฟตึกระฟ้าอยู่ที่Pและแผนที่ส่งคืนสัมประสิทธิ์ลอเรนต์ที่ th โดยที่^{[ 11 ]}${\displaystyle \mathbb {C} _{P}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}}$${\displaystyle -k-1}$${\displaystyle k=D(P)}$

ทฤษฎีบท Riemann–Roch ทางเลขคณิตฉบับหนึ่งกล่าวว่า ถ้าkเป็นฟิลด์ทั่วโลกและfเป็นฟังก์ชันที่ยอมรับได้อย่างเหมาะสมของideleของkแล้ว สำหรับทุกidele aจะมีสูตรการรวมแบบ Poisson ดังนี้ :

${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in k}{\hat {f}}(x/a)=\sum _{x\in k}f(ax)}$.

ในกรณีพิเศษเมื่อkเป็นฟิลด์ฟังก์ชันของเส้นโค้งพีชคณิตเหนือฟิลด์จำกัด และfเป็นอักขระใดๆ ที่ไม่มีนัยสำคัญบนkสิ่งนี้จะกู้คืนทฤษฎีบท Riemann–Roch ทางเรขาคณิต^{[ 12 ]}

ทฤษฎีบทรีมันน์-รอคทางเลขคณิตเวอร์ชันอื่นๆ ใช้ทฤษฎีของอาราเคโลฟเพื่อให้คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทรีมันน์-รอคแบบดั้งเดิมอย่างแม่นยำยิ่งขึ้น

ทฤษฎีบทRiemann–Roch สำหรับเส้นโค้งได้รับการพิสูจน์สำหรับพื้นผิว Riemann โดย Riemann และ Roch ในช่วงปี 1850 และสำหรับเส้นโค้งพีชคณิตโดยFriedrich Karl Schmidtในปี 1931 ขณะที่เขากำลังทำงานเกี่ยวกับฟิลด์สมบูรณ์ที่มีลักษณะเฉพาะจำกัด ตาม ที่Peter Roquetteกล่าวไว้^{[ 13 ]}

ความสำเร็จหลักประการแรกของ FK Schmidt คือการค้นพบว่าทฤษฎีบทคลาสสิกของ Riemann–Roch บนพื้นผิว Riemann ขนาดกะทัดรัดสามารถถ่ายทอดไปยังฟิลด์ฟังก์ชันที่มีฟิลด์ฐานจำกัดได้ อันที่จริง การพิสูจน์ทฤษฎีบท Riemann–Roch ของเขานั้นใช้ได้กับฟิลด์ฐานสมบูรณ์แบบใดๆ ก็ได้ ไม่จำเป็นต้องจำกัดจำนวน

มันเป็นพื้นฐานในแง่ที่ว่าทฤษฎีเส้นโค้งที่ตามมาพยายามปรับปรุงข้อมูลที่ได้จากมัน (ตัวอย่างเช่นในทฤษฎี Brill–Noether )

มีทฤษฎีบทในมิติที่สูงกว่า (สำหรับแนวคิดที่เหมาะสมของตัวหารหรือมัดเส้น ) การกำหนดสูตรทั่วไปของทฤษฎีบทนี้ขึ้นอยู่กับการแบ่งทฤษฎีบทออกเป็นสองส่วน ส่วนหนึ่ง ซึ่งในปัจจุบันเรียกว่า ทฤษฎีบทคู่ของ เซอเร (Serre duality ) ตีความเทอมนี้ว่าเป็นมิติของ กลุ่ม โคฮอโมโลยีชีฟ แรก ด้วยมิติของกลุ่มโคฮอโมโลยีศูนย์ หรือปริภูมิของส่วนตัด ด้านซ้ายของทฤษฎีบทจะกลายเป็นลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ (Euler characteristic ) และด้านขวาจะเป็นการคำนวณลักษณะเฉพาะนั้นในรูปของดีกรีที่แก้ไขตามโทโพโลยีของพื้นผิวรีมันน์ (Riemann surface) ${\displaystyle \ell (K-D)}$${\displaystyle \ell (D)}$

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต มิติสอง นักเรขาคณิตจากสำนักอิตาลีได้ค้นพบสูตรดังกล่าว และ มีการพิสูจน์ ทฤษฎีบทรีมันน์-รอคสำหรับพื้นผิว (มีหลายเวอร์ชัน โดยเวอร์ชันแรกอาจเป็นผลงานของแม็กซ์ เนอเธอร์ )

ทฤษฎีบทHirzebruch–Riemann–Roch ซึ่งเป็นการวางนัย ทั่วไปในมิติn นั้นถูกค้นพบและพิสูจน์โดยFriedrich Hirzebruchในฐานะการประยุกต์ใช้ชั้นลักษณะเฉพาะในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตเขาได้รับอิทธิพลอย่างมากจากงานของKunihiko Kodairaในเวลาเดียวกันนั้นJean-Pierre Serreก็ได้ให้รูปแบบทั่วไปของทฤษฎีทวิภาวะของ Serre ดังที่เราทราบกันในปัจจุบัน

อเล็กซานเดอร์ โกรเทนดิคได้พิสูจน์การสรุปผลที่กว้างขวางในปี 1957 ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทโกรเทนดิค-รีมันน์-รอค งานของเขาตีความทฤษฎีบทรีมันน์-รอคใหม่ ไม่ใช่ในฐานะทฤษฎีบทเกี่ยวกับวาไรตี้ แต่เกี่ยวกับมอร์ฟิซึมระหว่างวาไรตี้สองชนิด รายละเอียดของการพิสูจน์ได้รับการตีพิมพ์โดยอาร์มานด์ โบเรลและฌอง-ปิแอร์ แซร์ในปี 1958 ^{[ 14 ]}ต่อมา โกรเทนดิคและผู้ร่วมงานของเขาได้ทำให้การพิสูจน์ง่ายขึ้นและสรุปผลโดยทั่วไป^{[ 15 ]}

ในที่สุดก็มีการค้นพบรูปแบบทั่วไปในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตด้วยเช่นกัน การพัฒนาเหล่านี้ส่วนใหญ่เกิดขึ้นระหว่างปี 1950 ถึง 1960 หลังจากนั้นทฤษฎีบทดัชนีของ Atiyah–Singerก็เปิดเส้นทางใหม่สู่การวางนัยทั่วไป ส่งผลให้ลักษณะเฉพาะของออยเลอ ร์ของ ชีฟที่สอดคล้องกัน สามารถคำนวณได้อย่างเหมาะสม สำหรับพจน์เพียงพจน์เดียวภายในผลรวมสลับ จำเป็นต้องใช้ ข้อโต้แย้งเพิ่มเติม เช่นทฤษฎีบทการหายไป

• ทฤษฎีอาราเคโลฟ
• ทฤษฎีบท Grothendieck–Riemann–Roch
• ทฤษฎีบทเฮียร์เซบรูค–รีมันน์–โรช
• สูตร Riemann–Roch ของคาวาซากิ
• พหุนามฮิลเบิร์ต
• ค่าสัมบูรณ์ของเส้นโค้งพีชคณิต