ในพีชคณิตสากลวาไรตี้ของพีชคณิตหรือชั้นสมการคือชั้น ของ โครงสร้างพีชคณิตทั้งหมดที่มีลายเซ็น ที่กำหนดให้ ซึ่งสอดคล้องกับชุดเอกลักษณ์ ที่กำหนดให้ ตัวอย่างเช่นกลุ่มต่างๆ ก่อให้เกิด วาไรตี้ของพีชคณิต เช่นเดียวกับกลุ่มอาเบเลียนวงแหวนโมโนอิดเป็นต้น ตามทฤษฎีบทของเบิร์คฮอฟฟ์ชั้นของโครงสร้างพีชคณิตที่มีลายเซ็นเดียวกันจะเป็นวาไรตี้ก็ต่อเมื่อมันปิดภายใต้การหาภาพโฮโมมอร์ฟิกพีชคณิตย่อยและผลคูณ (โดยตรง)ในบริบทของทฤษฎีหมวดหมู่วาไรตี้ของพีชคณิตพร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมของมันก่อให้เกิดหมวดหมู่ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าหมวดหมู่พีชคณิตจำกัด

โคแวริเอตี (Covariety)คือกลุ่มของโครงสร้างโคอัลจีบราอิก ทั้งหมด ที่มีลายเซ็นที่กำหนดให้

ไม่ควรสับสนระหว่างพีชคณิตหลากหลายรูปแบบกับพีชคณิตเชิงความ หลากหลาย ซึ่งหมายถึงเซตของคำตอบของระบบสมการพหุนาม ทั้งสองอย่างแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิงในเชิงรูปแบบ และทฤษฎีของทั้งสองอย่างก็มีส่วนคล้ายคลึงกันน้อยมาก

คำว่า "ความหลากหลายของพีชคณิต" หมายถึงพีชคณิตในความหมายทั่วไปของพีชคณิตสากลนอกจากนี้ยังมีพีชคณิตในความหมายที่เฉพาะเจาะจงกว่า นั่นคือพีชคณิตบนฟิลด์ กล่าว คือ ปริภูมิ เวกเตอร์ที่มาพร้อมกับการคูณเชิง เส้นคู่

ในบริบทนี้ ลายเซ็นคือเซตที่มีองค์ประกอบเรียกว่าการดำเนินการโดยแต่ละการดำเนินการจะถูกกำหนดหมายเลขธรรมชาติ (0, 1, 2, ...) เรียกว่าจำนวนการดำเนินการ (arity ) เมื่อกำหนดลายเซ็นσและเซตV ที่มี องค์ประกอบเรียกว่าตัวแปรคำ คือ ต้นไม้รากจำกัดซึ่งแต่ละโหนดจะถูกกำกับด้วยตัวแปรหรือการดำเนินการ โดยที่ทุกโหนดที่กำกับด้วยตัวแปรจะไม่มีกิ่งแยกออกจากราก และทุกโหนดที่กำกับด้วยการดำเนินการoจะมีกิ่งแยกออกจากรากเท่ากับจำนวนการดำเนินการของoกฎสมการคือคู่ของคำดังกล่าว สัจพจน์ที่ประกอบด้วยคำvและwเขียนได้ว่า v = w

ทฤษฎี ประกอบด้วยลายเซ็น เซตของตัวแปร และเซตของกฎสมการ ทฤษฎีใด ๆ ก็ตามให้ พีชคณิตหลากหลายประเภทดังต่อไปนี้ เมื่อกำหนดทฤษฎีTแล้ว พีชคณิตของTประกอบด้วยเซตAพร้อมกับสำหรับแต่ละการดำเนินการoของTที่มีอาร์ริตีnฟังก์ชันo _A  : A ⁿ → Aโดยที่สำหรับแต่ละสัจพจน์v = wและการกำหนดค่าขององค์ประกอบของAให้กับตัวแปรในสัจพจน์นั้น สมการที่กำหนดโดยการใช้การดำเนินการกับองค์ประกอบของAตามที่ระบุโดยต้นไม้ที่กำหนดvและw จะ เป็นจริง ชั้นของพีชคณิตของทฤษฎีT ที่กำหนดให้ เรียกว่าพีชคณิต หลากหลายประเภท

กำหนดให้พีชคณิตสองชุดของทฤษฎีTเช่นAและBโฮโมมอร์ฟิซึมคือฟังก์ชันf  : A → Bซึ่งทำให้

${\displaystyle f(o_{A}(a_{1},\dots ,a_{n}))=o_{B}(f(a_{1}),\dots ,f(a_{n}))}$

สำหรับทุกการดำเนินการoที่มีอาร์ริตีnทฤษฎีใดๆ ก็ตามจะให้หมวดหมู่ที่วัตถุเป็นพีชคณิตของทฤษฎีนั้น และมอร์ฟิซึมเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม

คลาสของเซมิกรุป ทั้งหมด ก่อให้เกิดพีชคณิตหลากหลายรูปแบบที่มีลายเซ็น (2) หมายความว่าเซมิกรุปมีการดำเนินการไบนารีเดียว สมการนิยามที่เพียงพอคือกฎการเชื่อมโยง:

${\displaystyle x(yz)=(xy)z.}$

กลุ่มคลาสนี้ก่อให้เกิดพีชคณิตหลากหลายรูปแบบที่มีเครื่องหมาย (2,0,1) โดยมีสามการดำเนินการหลักคือการคูณ (ไบนารี) เอกลักษณ์ (เลขฐานศูนย์ ค่าคงที่) และการผกผัน (เลขฐานหนึ่ง) ตามลำดับ สัจพจน์ที่คุ้นเคยเกี่ยวกับความสัมพันธ์ เอกลักษณ์ และการผกผัน ก่อให้เกิดชุดเอกลักษณ์ที่เหมาะสมชุดหนึ่ง:

${\displaystyle x(yz)=(xy)z}$

${\displaystyle 1x=x1=x}$

${\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1.}$

กลุ่มของริงยังก่อให้เกิดพีชคณิตหลากหลายรูปแบบ ลายเซ็นในที่นี้คือ (2,2,0,0,1) (การดำเนินการทวิภาคสองครั้ง ค่าคงที่สองตัว และการดำเนินการเอกภาคหนึ่งครั้ง)

ถ้าเรากำหนดวงแหวนR ที่เฉพาะเจาะจง เราสามารถพิจารณาคลาสของโมดูลRด้านซ้ายได้ ในการแสดงการคูณสเกลาร์กับสมาชิกจากRเราต้องการการดำเนินการเอกภาคหนึ่งตัวสำหรับแต่ละสมาชิกของRถ้าวงแหวนเป็นอนันต์ เราจะมีการดำเนินการมากมายนับไม่ถ้วน ซึ่งเป็นไปตามนิยามของโครงสร้างพีชคณิตในพีชคณิตสากล จากนั้นเราก็จะต้องมีเอกลักษณ์มากมายนับไม่ถ้วนเพื่อแสดงสัจพจน์ของโมดูล ซึ่งเป็นไปตามนิยามของวาไรตี้ของพีชคณิต ดังนั้น โมดูล R ด้านซ้าย จึงเป็นวาไรตี้ของพีชคณิต

ฟิลด์เหล่านี้ไม่ได้ก่อให้เกิดพีชคณิตหลากหลายรูปแบบ ข้อกำหนดที่ว่าองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดจะต้องสามารถผกผันได้นั้น ไม่สามารถแสดงออกมาในรูปเอกลักษณ์ที่ทุกคนยอมรับได้ (ดูด้านล่าง)

เซมิกรุปแบบตัดทอนไม่ได้ก่อให้เกิดพีชคณิตหลากหลายรูปแบบ เนื่องจากคุณสมบัติการตัดทอนไม่ใช่สมการ แต่เป็นการบ่งชี้ที่ไม่เทียบเท่ากับชุดสมการใดๆ อย่างไรก็ตาม เซมิกรุปเหล่านี้ก่อให้เกิดความ หลากหลายเสมือนเนื่องจากข้อความบ่งชี้ที่กำหนดคุณสมบัติการตัดทอนเป็นตัวอย่างของเอกลักษณ์เสมือน

เมื่อกำหนดคลาสของโครงสร้างพีชคณิตที่มีลายเซ็นเดียวกัน เราสามารถกำหนดแนวคิดของโฮโมมอร์ฟิซึมซับอัลเจบราและผลคูณได้การ์เร็ตต์ เบิร์คฮอฟฟ์พิสูจน์ว่าคลาสของโครงสร้างพีชคณิตที่มีลายเซ็นเดียวกันเป็นวาไรตี้ก็ต่อเมื่อมันปิดภายใต้การรับภาพโฮโมมอร์ฟิก ซับอัลเจบรา และผลคูณใดๆ^{[ 1 ]}นี่เป็นผลลัพธ์ที่มีความสำคัญพื้นฐานต่อพีชคณิตสากลและเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทวาไรตี้ของเบิร์คฮอฟฟ์หรือทฤษฎีบทHSP H , SและPหมายถึงการดำเนินการของโฮโมมอร์ฟิซึม ซับอัลเจบรา และผลคูณ ตามลำดับ

ทิศทางหนึ่งของความสมมูลที่กล่าวถึงข้างต้น กล่าวคือ กลุ่มของพีชคณิตที่สอดคล้องกับชุดเอกลักษณ์บางอย่างจะต้องปิดภายใต้การดำเนินการ HSP นั้น เป็นผลโดยตรงจากนิยาม ส่วนการพิสูจน์ในทางกลับกัน —กลุ่มของพีชคณิตที่ปิดภายใต้การดำเนินการ HSP จะต้องเป็นพีชคณิตเชิงสมการ—นั้นยากกว่า

โดยใช้แนวทางง่ายๆ ของทฤษฎีบทของ Birkhoff เราสามารถตรวจสอบข้ออ้างข้างต้นได้ เช่น ข้ออ้างที่ว่าสัจพจน์ของฟิลด์ไม่สามารถแสดงได้ด้วยชุดเอกลักษณ์ใดๆ ที่เป็นไปได้: ผลคูณของฟิลด์ไม่ใช่ฟิลด์ ดังนั้นฟิลด์จึงไม่ก่อให้เกิดวาไรตี้

ซับวาไรตี้ของวาไรตี้ของพีชคณิตVคือซับคลาสของVที่มีลายเซ็นเดียวกันกับVและตัวมันเองก็เป็นวาไรตี้ กล่าวคือ ถูกกำหนดโดยเซตของเอกลักษณ์

โปรดสังเกตว่า แม้ว่าทุกกลุ่มจะกลายเป็นเซมิกรุปเมื่อละเว้นเอกลักษณ์ที่เป็นค่าคงที่ (และ/หรือละเว้นการดำเนินการผกผัน) แต่คลาสของกลุ่มนั้นไม่ก่อให้เกิดซับวาไรตีของวาไรตีของเซมิกรุป เนื่องจากลายเซ็นแตกต่างกัน ในทำนองเดียวกัน คลาสของเซมิกรุปที่เป็นกลุ่มก็ไม่เป็นซับวาไรตีของวาไรตีของเซมิกรุปเช่นกัน คลาสของโมโนอิดที่เป็นกลุ่มนั้นประกอบด้วยและไม่ประกอบด้วยซับอัลเจบรา (หรือที่แม่นยำกว่านั้นคือซับโมโนอิด) ของมัน ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle }$${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle }$

อย่างไรก็ตาม กลุ่มอาเบเลียนเป็นซับวาไรตีของวาไรตีของกลุ่ม เนื่องจากประกอบด้วยกลุ่มที่สอดคล้องกับxy = yxโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดไม่ก่อให้เกิดซับวาไรตี เนื่องจากตามทฤษฎีบทของเบิร์คฮอฟฟ์ พวกมันไม่ก่อให้เกิดวาไรตี เพราะผลคูณใดๆ ของกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดนั้นไม่ใช่ผลคูณที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด

เมื่อพิจารณาวาไรตี้Vและโฮโมมอร์ฟิซึมของมันเป็นหมวดหมู่ วาไรตี้ย่อยUของVจะเป็นหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ของVซึ่งหมายความว่าสำหรับวัตถุใดๆa , bในUโฮโมมอร์ฟิซึมจากaไปbในUจะเหมือนกับโฮโมมอร์ฟิซึมจากa ไป b ใน V ทุก ประการ

สมมติว่าVเป็นวาไรตี้ของพีชคณิตที่ไม่ใช่แบบธรรมดา กล่าวคือVประกอบด้วยพีชคณิตที่มีสมาชิกมากกว่าหนึ่งตัว เราสามารถแสดงได้ว่าสำหรับทุกเซตSวาไรตี้Vประกอบด้วยพีชคณิตอิสระ F _Sบน Sซึ่งหมายความว่ามีแผนที่เซตแบบหนึ่งต่อหนึ่งi  : S → F _Sที่สอดคล้องกับคุณสมบัติสากล ต่อไปนี้ : เมื่อกำหนดพีชคณิตA ใดๆ ในVและแผนที่k  : S → A ใดๆ จะมีโฮโมมอร์ฟิ ซึม V ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว f  : F _S → Aเช่นนั้นf ∘ i = k

นี่เป็นการขยายแนวคิดเรื่องกลุ่มอิสระกลุ่มอาเบเลียนอิสระพีชคณิตอิสระโมดูลอิสระฯลฯ ผลที่ตามมาคือ พีชคณิตทุกตัวในวาไรตี้จะเป็นภาพโฮโมมอร์ฟิกของพีชคณิตอิสระ

นอกจากวาไรตี้แล้ว นักทฤษฎีหมวดหมู่ยังใช้กรอบการทำงานอีกสองกรอบที่เทียบเท่ากันในแง่ของชนิดของพีชคณิตที่พวกเขาอธิบาย ได้แก่โมนาด จำกัด และทฤษฎีลอว์เวียร์เราสามารถเปลี่ยนจากวาไรตี้ไปเป็นโมนาดจำกัดได้ดังนี้ หมวดหมู่ที่มีพีชคณิตวาไรตี้บางประเภทเป็นวัตถุและโฮโมมอร์ฟิซึมเป็นมอร์ฟิซึม เรียกว่าหมวดหมู่พีชคณิตจำกัดสำหรับหมวดหมู่พีชคณิตจำกัดV ใดๆ ฟังก์ชันลืมG  : V → Setมีตัวผกผันซ้ายF  : Set → Vซึ่งก็คือฟังก์ชันที่กำหนดพีชคณิตอิสระบนเซตนั้นให้กับแต่ละเซต การเชื่อมโยงนี้เป็นแบบโมนาดิกหมายความว่าหมวดหมู่Vเทียบเท่ากับหมวดหมู่ Eilenberg–Moore Set ^TสำหรับโมนาดT = GFยิ่งไปกว่านั้น โมนาดTเป็นแบบจำกัด หมายความว่ามันสลับที่ได้กับ โคลิมิตแบบ กรอง

โมนาดT  : Set → Setจึงเพียงพอที่จะกู้คืนหมวดหมู่พีชคณิตจำกัดได้ อันที่จริง หมวดหมู่พีชคณิตจำกัดก็คือหมวดหมู่ที่เทียบเท่ากับหมวดหมู่ Eilenberg-Moore ของโมนาดจำกัดนั่นเอง ซึ่งทั้งสองอย่างนี้ก็เทียบเท่ากับหมวดหมู่ของพีชคณิตในทฤษฎี Lawvere ด้วยเช่นกัน

การทำงานกับโมนาดช่วยให้สามารถสรุปได้ดังนี้ กล่าวได้ว่าหมวดหมู่หนึ่งเป็นหมวดหมู่เชิงพีชคณิตถ้าหมวดหมู่นั้นเป็นโมนาดเหนือเซตนี่เป็นแนวคิดที่ทั่วไปกว่า "หมวดหมู่เชิงพีชคณิตแบบจำกัด" เพราะมันยอมรับหมวดหมู่เช่นCABA (พีชคณิตบูลีนอะตอมสมบูรณ์) และCSLat (เซมิแลตทิซสมบูรณ์) ซึ่งลายเซ็นประกอบด้วยการดำเนินการอนันต์ ในสองกรณีนี้ ลายเซ็นมีขนาดใหญ่ หมายความว่ามันไม่ได้ก่อตัวเป็นเซต แต่เป็นคลาสที่แท้จริง เพราะการดำเนินการของมันมีจำนวนสมาชิกไม่จำกัด หมวดหมู่เชิงพีชคณิตของซิกมาพีชคณิตก็มีการดำเนินการอนันต์เช่นกัน แต่จำนวนสมาชิกของมันสามารถนับได้ ดังนั้นลายเซ็นของมันจึงมีขนาดเล็ก (ก่อตัวเป็นเซต)

หมวดหมู่พีชคณิตจำกัดทุกหมวดหมู่เป็น หมวดหมู่ที่สามารถนำเสนอได้ ใน ระดับท้องถิ่น

เนื่องจากวาไรตี้ปิดภายใต้ผลคูณโดยตรงใดๆ วาไรตี้ที่ไม่ใช่วาไรตี้ธรรมดาทั้งหมดจึงประกอบด้วยพีชคณิตอนันต์ มีความพยายามที่จะพัฒนาทฤษฎีวาไรตี้ในรูปแบบจำกัด ซึ่งนำไปสู่แนวคิดเรื่องวาไรตี้ของเซมิกรุปจำกัด ตัวอย่างเช่น วาไรตี้ประเภทนี้ใช้เฉพาะผลคูณแบบจำกัดเท่านั้น อย่างไรก็ตาม มันใช้เอกลักษณ์ประเภททั่วไปมากกว่า

โดยทั่วไปแล้ว pseudovariety จะถูกกำหนดให้เป็นคลาสของพีชคณิตที่มีลายเซ็นที่กำหนด ปิดภายใต้การรับภาพโฮโมมอร์ฟิก พีชคณิตย่อย และผลคูณโดยตรงแบบจำกัด ไม่ใช่ว่าผู้เขียนทุกคนจะถือว่าพีชคณิตทั้งหมดของ pseudovariety เป็นแบบจำกัด หากเป็นเช่นนั้น บางครั้งเราจะพูดถึงvariety ของพีชคณิตแบบจำกัดสำหรับ pseudovariety ไม่มีทฤษฎีบทของ Birkhoff ที่เทียบเท่ากับแบบจำกัดทั่วไป แต่ในหลายกรณี การนำแนวคิดที่ซับซ้อนกว่าของสมการมาใช้ทำให้สามารถได้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกัน^{[ 2 ]}กล่าวคือ คลาสของ monoid แบบจำกัดเป็น variety ของ monoid แบบจำกัดก็ต่อเมื่อสามารถกำหนดได้ด้วยเซตของเอกลักษณ์profinite ^{[ 3 ]}

กลุ่มย่อยเสมือน (Pseudovarieties) มีความสำคัญอย่างยิ่งในการศึกษาเซมิกรุป จำกัด และด้วยเหตุนี้จึงมีความสำคัญในทฤษฎีภาษาเชิงรูปธรรมทฤษฎีบทของไอเลนเบิร์กซึ่งมักเรียกกันว่า ทฤษฎีบทความหลากหลาย ( Variety theorem ) อธิบายถึงความสอดคล้องตามธรรมชาติระหว่างความหลากหลายของภาษาปกติและกลุ่มย่อยเสมือนของเซมิกรุปจำกัด

• ความกึ่งหลากหลาย

ลองค้นหาคำว่า "variety"ใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี