ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในทฤษฎีหมวดหมู่โคอัลเจบราคือโครงสร้างที่กำหนดตามฟังก์ชันโดยมีคุณสมบัติเฉพาะตามที่กำหนดไว้ด้านล่าง สำหรับทั้งอัลเจบราและโคอัลเจบราฟังก์ชัน^{[ 1 ] [ 2 ]}เป็นวิธีที่สะดวกและทั่วไปในการจัดระเบียบลายเซ็นสิ่งนี้มีการประยุกต์ใช้ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ตัวอย่างของโคอัลเจบรา ได้แก่การประเมินแบบเลซี่โครงสร้างข้อมูลอนันต์เช่นสตรีมและระบบการเปลี่ยนสถานะ ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle F}$-coalgebras เป็นคู่ตรงข้ามกับ-algebrasเช่นเดียวกับที่คลาสของalgebras ทั้งหมด สำหรับ signature และทฤษฎีสมการที่กำหนดนั้นก่อให้เกิดvarietyคลาสของ-coalgebras ทั้งหมดที่สอดคล้องกับทฤษฎีสมการที่กำหนดก็ก่อให้เกิด covariety เช่นกัน โดยที่ signature กำหนดโดย ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

อนุญาต

${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {C}}}$

เป็นเอนโดฟังก์ชันบนหมวดหมู่- โคอัลเจบราเป็นวัตถุของพร้อมกับมอร์ฟิซึม${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \alpha :A\longrightarrow FA}$

ของ ซึ่งมักเขียนว่า ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle (A,\alpha )}$

โฮโมมอร์ฟิซึมของ-coalgebra จาก -coalgebra หนึ่งไปยัง -coalgebra อื่นคือ มอร์ฟิซึม ${\displaystyle F}$${\displaystyle (A,\alpha )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (B,\beta )}$

${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$

ในลักษณะที่ว่า ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle Ff\circ \alpha =\beta \circ f}$.

ดังนั้น-coalgebra สำหรับฟังก์ชันF ที่กำหนดให้ จึงประกอบกันเป็นหมวดหมู่ ${\displaystyle F}$

พิจารณาเอนโดฟังก์ชันที่ส่งเซตไปยังการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกับเซตที่มีสมาชิกเดียวโคอัลจีบราของเอนโดฟังก์ชันนี้กำหนดโดย โดยที่คือสิ่งที่เรียกว่าจำนวนโคเนเชอรัล ซึ่งประกอบด้วยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและอนันต์ และฟังก์ชันกำหนดโดยสำหรับและในความเป็นจริงคือโคอัลจีบราปลายทางของเอนโดฟังก์ชันนี้ ${\displaystyle X\mapsto X\sqcup \{*\}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }$${\displaystyle \{\ast \}}$${\displaystyle ({\overline {\mathbb {N} }},\alpha )}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {N} }}=\{0,1,2,\ldots \}\sqcup \{\infty \}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha (0)=\ast }$${\displaystyle \alpha (n)=n-1}$${\displaystyle n=1,2,\ldots }$${\displaystyle \alpha (\infty )=\infty }$${\displaystyle ({\overline {\mathbb {N} }},\alpha )}$

โดยทั่วไปแล้ว ให้กำหนดเซตและพิจารณาฟังก์ชันที่ส่งค่าไปยังเซต จากนั้น-coalgebra คือ สตรีมจำกัดหรืออนันต์เหนือตัวอักษรโดยที่คือเซตของสถานะ และคือฟังก์ชันการเปลี่ยนสถานะ การใช้ฟังก์ชันการเปลี่ยนสถานะกับสถานะหนึ่งอาจให้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองอย่าง คือ สมาชิกของพร้อมกับสถานะถัดไปของสตรีม หรือสมาชิกของเซตเอกซ์เลนตันเป็น "สถานะสุดท้าย" แยกต่างหาก ซึ่งบ่งชี้ว่าไม่มีค่าใด ๆ ในสตรีมอีกต่อไป ${\displaystyle A}$${\displaystyle F:\mathbf {ชุด} \longrightarrow \mathbf {ชุด} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X\times A)\cup \{1\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \alpha :X\longrightarrow (X\times A)\cup \{1\}=FX}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{1\}}$

ในการใช้งานจริงหลายๆ กรณี ฟังก์ชันการเปลี่ยนสถานะของวัตถุโคอัลจีบราดังกล่าวอาจอยู่ในรูปแบบซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้อย่างง่ายดายออกเป็นชุดของ "ตัวเลือก" "ผู้สังเกตการณ์" และ "วิธีการ" กรณีพิเศษที่น่าสนใจในทางปฏิบัติ ได้แก่ ผู้สังเกตการณ์ที่ให้ค่าคุณลักษณะ และวิธีการเปลี่ยนแปลงในรูปแบบที่รับพารามิเตอร์เพิ่มเติมและให้สถานะ การแยกส่วนนี้เป็นแบบคู่ขนานกับการแยกส่วนของอัลจีบราเริ่มต้นออกเป็นผลรวมของ 'ตัวสร้าง' ${\displaystyle X\rightarrow f_{1}\times f_{2}\times \ldots \times f_{n}}$${\displaystyle X\rightarrow f_{1},\,X\rightarrow f_{2}\,\ldots \,X\rightarrow f_{n}}$${\displaystyle X\rightarrow X^{A_{1}\times \ldots \times A_{n}}}$${\displaystyle F}$

ให้Pเป็น โครงสร้าง เซตกำลังบนหมวดหมู่ของเซตซึ่งถือว่าเป็นฟังก์ชันโคแวเรียนต์ โคอัลจีบราของPมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซตที่มีความสัมพันธ์ทวิภาคทีนี้กำหนดเซตอีกเซตหนึ่งAจากนั้นโคอัลจีบราสำหรับเอนโดฟังก์ชันP ( A ×(-)) มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับระบบการเปลี่ยนผ่านที่มีป้ายกำกับและโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างโคอัลจีบราจะสอดคล้องกับการจำลอง แบบฟังก์ชัน ระหว่างระบบการเปลี่ยนผ่านที่มีป้ายกำกับ

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์โคอัลเจบราได้ปรากฏขึ้นเป็นวิธีการที่สะดวกและเหมาะสมในการระบุพฤติกรรมของระบบและโครงสร้างข้อมูลที่อาจเป็นอนันต์ เช่น คลาสในการเขียนโปรแกรมเชิงวัตถุสตรีมและระบบการเปลี่ยนสถานะในขณะที่การระบุแบบพีชคณิตเกี่ยวข้องกับพฤติกรรมเชิงฟังก์ชัน โดยทั่วไปจะใช้ชนิดข้อมูลแบบอุปนัยที่สร้างขึ้นโดยตัวสร้าง โคอัลเจบราจะเกี่ยวข้องกับพฤติกรรมที่จำลองโดยชนิดกระบวนการแบบอุปนัยร่วมที่สังเกตได้โดยตัวเลือก ในลักษณะเดียวกับทฤษฎีออโตมาตา โคอัลเจบราสุดท้ายมีบทบาทสำคัญในที่นี้ซึ่งเป็นเซตที่สมบูรณ์ของพฤติกรรมที่อาจเป็นอนันต์ เช่น สตรีม ตรรกะที่เป็นธรรมชาติในการแสดงคุณสมบัติของระบบดังกล่าวคือตรรกะโมด อลโค อั ลเจบรา

• พีชคณิตเบื้องต้น
• การเหนี่ยวนำร่วม
• โคอัลเจบรา

• CALCO 2009: การประชุมว่าด้วยพีชคณิตและโคพีชคณิตในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์
• แคลโค 2011