ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีหมวดหมู่พีชคณิตF ขยายแนวคิดของโครงสร้างพีชคณิตการเขียนกฎพีชคณิตใหม่ในรูปของมอร์ฟิซึม จะขจัดการอ้างอิงถึงองค์ประกอบที่มีปริมาณออกจากสัจพจน์ ทั้งหมดและกฎพีชคณิตเหล่านี้สามารถเชื่อมโยงเข้าด้วยกันได้ในรูปของฟังก์ชัน เดี่ยว Fซึ่งก็คือ ลายเซ็น

F -algebra ยังสามารถใช้เพื่อแทนโครงสร้างข้อมูลที่ใช้ในการเขียนโปรแกรมเช่นรายการและต้นไม้ได้ อีกด้วย

แนวคิดหลักที่เกี่ยวข้องคือ พีชคณิต F เริ่มต้น ซึ่งอาจใช้เพื่อรวบรวมหลักการอุปนัย และโคพีชคณิตFโครงสร้างคู่ขนาน

ถ้าเป็นหมวดหมู่และเป็นเอนโดฟังก์ชันของแล้วพีชคณิตคือทูเปิลโดยที่เป็นวัตถุของและเป็น มอ ร์ฟิซึม วัตถุนี้เรียกว่าตัวพาของพีชคณิต เมื่อบริบทอนุญาต พีชคณิตมักจะถูกอ้างถึงโดยใช้ตัวพาเพียงอย่างเดียวแทนที่จะใช้ทูเปิล ${\displaystyle C}$${\displaystyle F:C\rightarrow C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (A,\alpha )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle C}$${\displaystyle F(A)\rightarrow A}$${\displaystyle A}$

โฮโมมอร์ฟิซึมจากพีชคณิต-algebra ไปยังพีชคณิต -algebra คือ-morphism ที่เป็นไปตามแผนภาพการสลับที่ ต่อไปนี้ : ${\displaystyle F}$${\displaystyle (A,\alpha )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (B,\beta )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f:A\rightarrow B}$${\displaystyle f\circ \alpha =\beta \circ F(f)}$

เมื่อมีมอร์ฟิซึมเหล่านี้แล้ว พีชคณิต-algebras จึงประกอบกันเป็นหมวดหมู่ ${\displaystyle F}$

โครงสร้างคู่ขนานคือ-coalgebras ซึ่งเป็นวัตถุร่วมกับมอร์ฟิซึม ${\displaystyle F}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle \alpha ^{*}:A^{*}\rightarrow F(A^{*})}$

ตามหลักคลาสสิกกลุ่มคือเซตที่มีกฎของกลุ่ม โดยที่ ซึ่งสอดคล้อง กับสัจพจน์สามข้อ ได้แก่ การมีอยู่ของสมาชิกเอกลักษณ์ การมีอยู่ของสมาชิกผกผันสำหรับแต่ละสมาชิกในกลุ่ม และคุณสมบัติการสลับที่ ${\displaystyle G}$${\displaystyle m:G\times G\rightarrow G}$${\displaystyle m(x,y)=x\cdot y}$

เพื่อให้เข้าใจเรื่องนี้ในกรอบเชิงหมวดหมู่ ก่อนอื่นให้กำหนดเอกลักษณ์และตัวผกผันเป็นฟังก์ชัน (มอร์ฟิซึมของเซต) โดยที่และโดยที่แทนเซตที่มีสมาชิกหนึ่งตัวซึ่งทำให้สามารถระบุสมาชิกด้วยมอร์ฟิซึมได้ ${\displaystyle G}$${\displaystyle e:1\rightarrow G}$${\displaystyle e(*)=1}$${\displaystyle i:G\rightarrow G}$${\displaystyle i(x)=x^{-1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1=\left\{*\right\}}$${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle 1\rightarrow G}$

ดังนั้นจึงสามารถเขียนสัจพจน์ของกลุ่มในรูปของฟังก์ชันได้ (โปรดสังเกตว่าไม่มีตัวบ่งปริมาณเชิงมีอยู่):

• ${\displaystyle \forall x\in G,\forall y\in G,\forall z\in G,m(m(x,y),z)=m(x,m(y,z))}$,
• ${\displaystyle \forall x\in G,m(e(*),x)=m(x,e(*))=x}$,
• ${\displaystyle \forall x\in G,m(i(x),x)=m(x,i(x))=e(*)}$.

จากนั้นสามารถแสดงสิ่งนี้ด้วยแผนภาพการสลับตำแหน่งได้ดังนี้: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

ตอนนี้ใช้โคโปรดักต์ ( การรวมกันที่ไม่ซ้ำกันของเซต) เพื่อเชื่อมมอร์ฟิซึมทั้งสามเข้าด้วยกันเป็นหนึ่งเดียว: ตาม ${\displaystyle \alpha =e+i+m}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\alpha :{1}+G+G\times G&\to &G,\\*&\mapsto &1,\\x&\mapsto &x^{-1},\\(x,y)&\mapsto &x\cdot y.\end{matrix}}}$

ดังนั้น กลุ่มหนึ่งจึงเป็นพีชคณิต-algebra โดยที่เป็นฟังก์ชันอย่างไรก็ตาม ข้อความกลับกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไปพีชคณิต -algebra บางตัวที่เป็นฟังก์ชันอาจไม่ใช่กลุ่ม ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(G)=1+G+G\times G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(G)=1+G+G\times G}$

โครงสร้างข้างต้นใช้เพื่อกำหนดวัตถุกลุ่มบนหมวดหมู่ใดๆ ที่มีผลคูณจำกัดและวัตถุปลายทาง เมื่อหมวดหมู่นั้นยอมรับผลคูณ ร่วมจำกัด วัตถุกลุ่มจะเป็นพีชคณิต -algebra ตัวอย่างเช่น กลุ่มจำกัดเป็นพีชคณิต -algebra ในหมวดหมู่ของเซตจำกัดและกลุ่ม Lieเป็นพีชคณิต -algebra ในหมวดหมู่ของแมนิโฟลด์เรียบที่มีแผนที่เรียบ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

เมื่อก้าวไปอีกขั้นจากพีชคณิตสากลโครงสร้างพีชคณิตส่วนใหญ่เป็น พีชคณิต Fตัวอย่างเช่นกลุ่มอาเบเลียนเป็น พีชคณิต Fสำหรับฟังก์ชันF ( G ) = 1 + G + G × Gเช่นเดียวกับกลุ่ม โดยมีสัจพจน์เพิ่มเติมสำหรับการสลับที่: m ∘ t = mโดยที่t ( x , y ) = ( y , x ) คือทรานสโพสบน G x G

โมโนอิดคือพีชคณิตF ที่มีลายเซ็น F ( M ) = 1 + M × MในทำนองเดียวกันเซมิกรุปคือพีชคณิตF ที่มีลายเซ็น F ( S ) = S × S

ริงโดเมนและฟิลด์ล้วนเป็น พีชคณิต Fที่มีลายเซ็นซึ่งประกอบด้วยกฎสองข้อ +,•: R × R → R, เอกลักษณ์การบวก 0: 1 → R , เอกลักษณ์การคูณ 1: 1 → Rและตัวผกผันการบวกสำหรับแต่ละองค์ประกอบ -: R → R เนื่องจากฟังก์ชันทั้งหมดเหล่านี้มี โคโดเมน เดียวกันคือ Rจึงสามารถรวมเข้าเป็นฟังก์ชันลายเซ็นเดียวได้คือ 1 + 1 + R + R × R + R × R → Rโดยมีสัจพจน์เพื่อแสดงความสัมพันธ์การกระจายและอื่นๆ ทำให้ริงเป็น พีชคณิต Fบนหมวดหมู่ของเซตที่มีลายเซ็น 1 + 1 + R + R × R + R × R

อีกทางเลือกหนึ่ง เราสามารถพิจารณาฟังก์ชันF ( R ) = 1 + R × Rในหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนในบริบทนั้น การคูณเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม หมายความว่าm ( x + y , z ) = m ( x , z ) + m ( y , z ) และm ( x , y + z ) = m ( x , y ) + m ( x , z ) ซึ่งเป็นเงื่อนไขการกระจายตัวอย่างแม่นยำ ดังนั้น วงแหวนจึงเป็น พีชคณิต Fที่มีลายเซ็น 1 + R × Rเหนือหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์สองข้อ (การสมาคมและเอกลักษณ์สำหรับการคูณ)

เมื่อเราพิจารณาถึงปริภูมิเวกเตอร์และโมดูลฟังก์ชันลายเซ็นจะรวมการคูณสเกลาร์k × E → Eและลายเซ็นF ( E ) = 1 + E + k × Eจะถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยkบนหมวดหมู่ของฟิลด์หรือริง

พีชคณิตเหนือฟิลด์สามารถมองได้ว่าเป็นพีชคณิตF ที่มีลายเซ็น 1 + 1 + A + A × A + A × A + k × Aเหนือหมวดหมู่ของเซต ที่มีลายเซ็น 1 + A × Aเหนือหมวดหมู่ของโมดูล (โมดูลที่มีการคูณภายใน) และที่มีลายเซ็นk × Aเหนือหมวดหมู่ของริง (ริงที่มีการคูณด้วยสเกลาร์) เมื่อพีชคณิตเหล่านั้นมีคุณสมบัติการสลับที่และเอกภาพ

โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดไม่ได้เป็นF -algebra เสมอไป ตัวอย่างเช่นposet Pอาจถูกกำหนดในเชิงหมวดหมู่ด้วยมอร์ฟิซึมs : P × P → Ω บนตัวจำแนกวัตถุย่อย (Ω = {0,1} ในหมวดหมู่ของเซต และs ( x , y )=1 เฉพาะเมื่อx ≤ y เท่านั้น ) สัจพจน์ที่จำกัดมอร์ฟิซึมsให้กำหนด poset สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปของมอร์ฟิซึม อย่างไรก็ตาม เนื่องจากโคโดเมนของsคือ Ω ไม่ใช่Pดังนั้นจึงไม่ใช่F -algebra

อย่างไรก็ตามแลตทิซซึ่งเป็นลำดับบางส่วนที่ทุกๆ สององค์ประกอบมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด และโดยเฉพาะอย่างยิ่งลำดับทั้งหมดเป็น พีชคณิต Fเนื่องจากสามารถนิยามได้อย่างเทียบเท่ากันในแง่ของการดำเนินการทางพีชคณิต: x ∨ y = inf( x , y ) และx ∧ y = sup( x , y ) โดยอยู่ภายใต้สัจพจน์บางประการ (การสลับที่ การเชื่อมโยง การดูดซับ และการเอกลักษณ์) ดังนั้น แลตทิซจึงเป็น พีชคณิต Fที่มีลายเซ็นP x P + P x Pมักกล่าวกันว่าทฤษฎีแลตทิซดึงเอาทั้งทฤษฎีลำดับและพีชคณิตสากลมาใช้

พิจารณาฟังก์ชันที่ส่งเซตไปยังโดยที่แทนหมวดหมู่ของเซต แทน ผลคูณร่วมปกติที่กำหนดโดยการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันและคือวัตถุปลายทาง (เช่น เซต เอกฐาน ใดๆ ) ดังนั้น เซต ของจำนวนธรรมชาติพร้อมกับฟังก์ชันซึ่งเป็นผลคูณร่วมของฟังก์ชันและจึงเป็นพีชคณิต F${\displaystyle F:\mathrm {\bf {Set}} \to \mathrm {\bf {Set}} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle 1+X}$${\displaystyle \mathrm {\bf {Set}} }$${\displaystyle +}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle [\mathrm {zero} ,\mathrm {succ} ]:1+\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathrm {zero} :1\mapsto 0}$${\displaystyle \mathrm {succ} :n\mapsto n+1}$

ถ้าหมวดหมู่ของ พีชคณิต Fสำหรับเอนโดฟังก์ชันF ที่กำหนด มีวัตถุเริ่มต้นจะเรียกว่าพีชคณิตเริ่มต้นพีชคณิตในตัวอย่างข้างต้นเป็นพีชคณิตเริ่มต้นโครงสร้างข้อมูลจำกัด ต่างๆ ที่ใช้ในการเขียนโปรแกรมเช่นรายการและต้นไม้สามารถหาได้จากพีชคณิตเริ่มต้นของเอนโดฟังก์ชันเฉพาะ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,[\mathrm {zero} ,\mathrm {succ} ])}$

ประเภทที่กำหนดโดยใช้โครงสร้างจุดคงที่น้อยที่สุด ที่มีฟังก์ชัน Fสามารถถือได้ว่าเป็น พีชคณิต F เริ่มต้น โดยมีเงื่อนไขว่าความเป็นพารามิเตอร์เป็นไปตามประเภท^{[ 3 ]}

ดูเพิ่มเติมที่พีชคณิต สากล

ใน ทาง คู่ขนานความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันมีอยู่ระหว่างแนวคิดของจุดคงที่ที่ใหญ่ที่สุดและเทอร์มินัลF -coalgebra สิ่งเหล่านี้สามารถใช้เพื่ออนุญาตให้ วัตถุอนันต์ ที่อาจเกิดขึ้นได้ในขณะที่ยังคงรักษาคุณสมบัติการทำให้เป็นมาตรฐานที่แข็งแกร่ง [ ^{3 ]}ใน ภาษาการเขียนโปรแกรม Charity ที่ทำให้เป็นมาตรฐานอย่างแข็งแกร่ง (กล่าวคือแต่ละโปรแกรมสิ้นสุดลงในภาษานี้) ^{ประเภท} ข้อมูลแบบ เหนี่ยวนำร่วมสามารถใช้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจ ทำให้สามารถกำหนด โครงสร้าง การค้นหาเพื่อนำฟังก์ชัน"ที่แข็งแกร่ง" เช่น ฟังก์ชัน Ackermannไป ใช้ได้ ^{[ 4 ]}

• พีชคณิตสำหรับโมนาด
• ประเภทข้อมูลพีชคณิต
• การเปลี่ยนแปลงรูปร่าง
• ไดอัลเจบรา

• Categorical programming with inductive and coinductive types (Archived 2020-11-30 at the Wayback Machine) by Varmo Vene
• Philip Wadler: Recursive types for free! (Archived 2020-11-30 at the Wayback Machine) University of Glasgow, June 1990. Draft.
• Algebra and coalgebra (Archived 2019-04-27 at the Wayback Machine) from CLiki
• B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, Archived 2021-02-12 at the Wayback Machine
• Understanding F-Algebras (Archived 2020-08-04 at the Wayback Machine) by Bartosz Milewski