ในทางคณิตศาสตร์เอกลักษณ์คือความเท่าเทียมกันที่เชื่อมโยงนิพจน์ทางคณิตศาสตร์A  กับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์  Bโดยที่AและB (ซึ่งอาจมีตัวแปร บางตัว ) จะให้ค่าเดียวกันสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรภายในขอบเขตของการพิจารณาที่ กำหนด ^{[ 1 ] [ 2 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่งA  =  Bเป็นเอกลักษณ์ถ้าAและB กำหนด ฟังก์ชันเดียวกันและเอกลักษณ์คือความเท่าเทียมกันระหว่างฟังก์ชันที่กำหนดต่างกัน ตัวอย่างเช่น และเป็นเอกลักษณ์^{[ 3 ]}บางครั้งเอกลักษณ์จะแสดงด้วยสัญลักษณ์ขีดสามขีด≡แทน=ซึ่งเป็นเครื่องหมายเท่ากับ [ ^{4 ] ใน}ทางรูปธรรม เอกลักษณ์คือความเท่าเทียม กันที่มีปริมาณสากล${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$

เอกลักษณ์บางอย่าง เช่นและเป็นพื้นฐานของพีชคณิต [ ^{5 ]}ในขณะที่เอกลักษณ์อื่นๆ เช่นและมีประโยชน์ในการทำให้การแสดงออกทางพีชคณิต ง่ายขึ้น และในการขยายการแสดงออกเหล่า^{นั้น[ 6 ]}${\displaystyle a+0=a}$${\displaystyle a+(-a)=0}$${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)}$

ในทางเรขาคณิตเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันบางอย่างของ มุมหนึ่งมุมขึ้นไป[ ^{7 ] เอกลักษณ์}เหล่านี้แตกต่างจากเอกลักษณ์สามเหลี่ยมซึ่งเป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับทั้งมุมและความยาวด้านของสามเหลี่ยมบทความนี้จะกล่าวถึงเฉพาะเอกลักษณ์ตรีโกณมิติเท่านั้น

เอกลักษณ์เหล่านี้มีประโยชน์เมื่อใดก็ตามที่ต้องการลดรูปนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ การประยุกต์ใช้ที่สำคัญอีกอย่างหนึ่งคือการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่ใช่ตรีโกณมิติ: เทคนิคทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับการใช้กฎการแทนที่ด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ ก่อน จากนั้นจึงลดรูปปริพันธ์ที่ได้ด้วยเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

หนึ่งในตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติคือสมการซึ่งเป็นจริงสำหรับค่าจริง ทั้งหมดของ ในทางกลับกัน สมการ ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \cos \theta =1}$

สมการนี้ เป็นจริงเฉพาะกับค่าบางค่าของเท่านั้น ไม่ใช่ทุกค่า ตัวอย่างเช่น สมการนี้เป็นจริงเมื่อแต่เป็นเท็จเมื่อ ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta =0,}$${\displaystyle \theta =2}$

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติอีกกลุ่มหนึ่งเกี่ยวข้องกับสูตรการบวก/ลบ (เช่น เอกลักษณ์มุมสองเท่าสูตรการบวกสำหรับ) ซึ่งสามารถใช้เพื่อแยกนิพจน์ของมุมขนาดใหญ่ให้เป็นนิพจน์ที่มีส่วนประกอบขนาดเล็กกว่าได้ ${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$${\displaystyle \tan(x+y)}$

เอกลักษณ์ต่อไปนี้ใช้ได้กับ เลขชี้กำลัง จำนวนเต็ม ทุกตัว โดยมีเงื่อนไขว่าฐานต้องไม่ใช่ศูนย์:

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}$

^{การยกกำลังไม่เหมือนการบวกและการ คูณ}เพราะการยกกำลังไม่มีคุณสมบัติการสลับที่ ตัวอย่างเช่น2 + 3 = 3 + 2 = 5และ2 · 3 = 3 · 2 = 6แต่2³ = 8ในขณะที่^3² = 9

นอกจากนี้ การยกกำลังก็ไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่เหมือนกับการบวกและการคูณตัวอย่างเช่น(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9และ(2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24แต่ 2³ ^ยกกำลัง 4 คือ 8⁴ ⁽หรือ 4,096) ในขณะที่ 2 ยกกำลัง 3⁴ ^คือ 2⁸¹ ⁽หรือ 2,417,851,639,229,258,349,412,352) เมื่อไม่มีวงเล็บเขียนไว้ ตามธรรมเนียมแล้วลำดับจะเป็นจากบนลงล่าง ไม่ใช่จากล่างขึ้นบน

${\displaystyle b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},}$   ในทางตรงกันข้าม   ${\displaystyle (b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.}$

สูตรสำคัญหลายสูตร ซึ่งบางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์ลอการิทึมหรือกฎลอการิทึมเชื่อมโยงลอการิทึมเข้าด้วยกัน: ^[ก]

ลอการิทึมของผลคูณคือผลรวมของลอการิทึมของจำนวนที่ถูกคูณกัน ลอการิทึมของอัตราส่วนของจำนวนสองจำนวนคือผลต่างของลอการิทึม ลอการิทึมของ กำลังที่ pของจำนวนใดๆ คือpคูณด้วยลอการิทึมของจำนวนนั้นเอง ลอการิทึมของ รากที่ pคือลอการิทึมของจำนวนนั้นหารด้วยpตารางต่อไปนี้แสดงเอกลักษณ์เหล่านี้พร้อมตัวอย่าง เอกลักษณ์แต่ละข้อสามารถพิสูจน์ได้หลังจากแทนค่านิยามของลอการิทึม และ/หรือในด้านซ้ายมือ ${\displaystyle x=b^{\log _{b}x},}$${\displaystyle y=b^{\log _{b}y},}$

	สูตร	ตัวอย่าง
ผลิตภัณฑ์	${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$	${\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5}$
ผลหาร	${\displaystyle \log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	${\displaystyle \log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4}$
พลัง	${\displaystyle \log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)}$	${\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6}$
ราก	${\displaystyle \log _{b}\!{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}}$	${\displaystyle \log _{10}\!{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}$

สามารถคำนวณค่าลอการิทึม log _b ( x ) ได้จากค่าลอการิทึมของ xและbเทียบกับฐานk ใดๆ โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.}$

เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ทั่วไปจะคำนวณลอการิทึมฐาน 10 และe [ ^{8 ] ลอการิทึม}เทียบกับฐานb ใดๆ สามารถกำหนดได้โดยใช้ลอการิทึมทั้งสองนี้โดยใช้สูตรก่อนหน้านี้:

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.}$

กำหนดให้จำนวนxและลอการิทึมของ x คือ log _b ( x ) ไปยังฐานที่ไม่ทราบค่าbโดยฐานจะกำหนดโดย:

${\displaystyle b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.}$

ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกเป็นไปตามเอกลักษณ์หลายอย่าง ซึ่งทั้งหมดมีรูปแบบคล้ายกับเอกลักษณ์ตรีโกณมิติอันที่จริงกฎของออสบอร์น^{[ 9 ]}ระบุว่าสามารถแปลงเอกลักษณ์ตรีโกณมิติใดๆ ให้เป็นเอกลักษณ์ไฮเปอร์โบลิกได้โดยการขยายให้สมบูรณ์ในรูปของกำลังจำนวนเต็มของไซน์และโคไซน์ เปลี่ยนไซน์เป็น sinh และโคไซน์เป็น cosh และสลับเครื่องหมายของทุกพจน์ที่มีผลคูณของ จำนวน คู่ของไซน์ไฮเปอร์โบลิก^{[ 10 ]}

ฟังก์ชันกูเดอร์มันน์ ให้ความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกและฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิ ก โดยไม่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน

ตามหลักการแล้ว เอกลักษณ์คือสูตร ที่ มีตัวบ่งปริมาณสากลที่ เป็นจริง ในรูปแบบโดยที่sและtเป็นพจน์ที่ไม่มีตัวแปรอิสระ อื่นใด นอกจากคำนำหน้าตัวบ่งปริมาณมักจะถูกละไว้โดยปริยาย เมื่อระบุว่าสูตรนั้นเป็นเอกลักษณ์ ตัวอย่างเช่นสัจพจน์ของโมโนอิดมักจะให้มาในรูปสูตร ${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{n}:s=t,}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}.}$${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle \forall x,y,z:x*(y*z)=(x*y)*z,\quad \forall x:x*1=x,\quad \forall x:1*x=x,}$

หรือกล่าวโดยย่อ

${\displaystyle x*(y*z)=(x*y)*z,\qquad x*1=x,\qquad 1*x=x.}$

ดังนั้น สูตรเหล่านี้จึงเป็นเอกลักษณ์ในโมโนอิดทุกตัว เช่นเดียวกับความเท่าเทียมกันใดๆ สูตรที่ไม่มีตัวบ่งปริมาณมักเรียกว่าสมการ กล่าว อีกนัยหนึ่ง เอกลักษณ์คือสมการที่เป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปร^{[ 11 ] [ 12 ]}

• เอกลักษณ์ทางการบัญชี
• รายชื่อเอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
• กฎ (คณิตศาสตร์)

• สารานุกรมสมการ ออนไลน์ สารานุกรมเอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ (ฉบับเก็บถาวร)
• ชุดเอกลักษณ์ทางพีชคณิตถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 1 ตุลาคม 2011 ที่Wayback Machine