คำว่า " ความน่าจะเป็น " ถูกนำมาใช้ในหลากหลายวิธีนับตั้งแต่ถูกนำมาใช้ครั้งแรกในการศึกษาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับเกมเสี่ยงโชคความน่าจะเป็นวัดแนวโน้มที่แท้จริงทางกายภาพของการเกิดเหตุการณ์บางอย่าง หรือเป็นการวัดความเชื่อมั่นอย่างแรงกล้าของบุคคลว่าเหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้น หรือเป็นการผสมผสานทั้งสององค์ประกอบนี้เข้าด้วยกัน? ในการตอบคำถามเหล่านี้ นักคณิตศาสตร์จะตีความค่าความน่าจะเป็นของทฤษฎีความน่าจะเป็น

มีการตีความความน่าจะเป็นสองประเภทใหญ่ๆ[ 1 ^{] [ a ] ​​[ 2 ]ซึ่งสามารถ}เรียกว่าความน่าจะเป็น "ทางกายภาพ" และความน่าจะเป็น "เชิงประจักษ์" ความน่าจะเป็นทางกายภาพ ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าความน่าจะเป็นเชิงวัตถุหรือความถี่เกี่ยวข้องกับระบบทางกายภาพแบบสุ่ม เช่น วงล้อรูเล็ต การทอยลูกเต๋า และอะตอมกัมมันตรังสี ในระบบดังกล่าว เหตุการณ์ประเภทหนึ่ง (เช่น ลูกเต๋าออกเลขหก) มีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นในอัตราคงที่ หรือ "ความถี่สัมพัทธ์" ในการทดลองที่ยาวนาน ความน่าจะเป็นทางกายภาพจะอธิบาย หรือถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายความถี่ที่คงที่เหล่านี้ ทฤษฎีความน่าจะเป็นทางกายภาพหลักสองประเภท ได้แก่ ทฤษฎี ความถี่ (เช่นของ Venn ^{[ 3 ]} , Reichenbach ^{[ 4 ]}และ von Mises ^{[ 5 ]} ) และ ทฤษฎี แนวโน้ม (เช่นของ Popper, Miller, Giere และ Fetzer) ^{[ 6 ]}

ความน่าจะเป็นเชิงหลักฐาน หรือที่เรียกว่าความน่าจะเป็นแบบเบย์เซียนสามารถกำหนดให้กับข้อความใดๆ ก็ได้ แม้ว่าจะไม่มีกระบวนการสุ่มเข้ามาเกี่ยวข้องก็ตาม เพื่อเป็นวิธีแสดงถึงความน่าเชื่อถือเชิงเหตุผลหรืออัตวิสัย หรือระดับที่ข้อความนั้นได้รับการสนับสนุนจากหลักฐานที่มีอยู่ โดยทั่วไปแล้ว ความน่าจะเป็นเชิงหลักฐานถือเป็นระดับความเชื่อเชิงเหตุผล ซึ่งกำหนดในแง่ของแนวโน้มที่จะเสี่ยงโชคด้วยอัตราต่อรองที่แน่นอน การตีความเชิงหลักฐานหลักสี่ประการ ได้แก่ การตีความแบบคลาสสิก (เช่น ของ Laplace) ^{[ 7 ]}การตีความเชิงอัตวิสัย ( de Finetti ^{[ 8 ]}และ Savage ^{[ 9 ]} ) การตีความเชิงญาณวิทยาหรือเชิงอุปนัย ( Ramsey [ ^{10 ]} Cox ^{[ 11 ]} ) และการ ตีความเชิงตรรกะ ( Keynes ^{[ 12 ]}และCarnap ^{[ 13 ] )}นอกจากนี้ยังมีการตีความเชิงประจักษ์ของความน่าจะเป็นที่ครอบคลุมกลุ่มต่างๆ ซึ่งมักถูกเรียกว่า 'ระหว่างบุคคล' (เสนอโดยGillies ^{[ 14 ]}และ Rowbottom ^{[ 6 ]} )

การตีความความน่าจะเป็นบางอย่างเกี่ยวข้องกับแนวทางการอนุมานทางสถิติรวมถึงทฤษฎีการประมาณค่าและการทดสอบสมมติฐานตัวอย่างเช่น การตีความเชิงฟิสิกส์นั้นถูกนำมาใช้โดยผู้ที่ยึดถือวิธีการทางสถิติแบบ "ความถี่" เช่นโรนัลด์ ฟิชเชอร์ เจอร์ซี เนย์แมนและอีโกน เพียร์สัน นักสถิติจากสำนักเบย์เซียนซึ่งเป็นฝ่ายตรงข้ามมักยอมรับการตีความความถี่เมื่อมันสมเหตุสมผล (แม้ว่าจะไม่ใช่ในฐานะคำนิยาม) แต่มีความเห็นไม่ตรงกันมากนักเกี่ยวกับความน่าจะเป็นเชิงฟิสิกส์ นักสถิติแบบเบย์เซียนพิจารณาว่าการคำนวณความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์นั้นทั้งถูกต้องและจำเป็นในทางสถิติ อย่างไรก็ตาม บทความนี้มุ่งเน้นไปที่การตีความความน่าจะเป็นมากกว่าทฤษฎีการอนุมานทางสถิติ

คำศัพท์ในหัวข้อนี้ค่อนข้างสับสน ส่วนหนึ่งเป็นเพราะความน่าจะเป็นถูกศึกษาในหลากหลายสาขาวิชาการ คำว่า "frequentist" นั้นซับซ้อนเป็นพิเศษ สำหรับนักปรัชญา มันหมายถึงทฤษฎีความน่าจะเป็นทางกายภาพเฉพาะทฤษฎีหนึ่ง ซึ่งถูกละทิ้งไปแล้วไม่มากก็น้อย ในทางกลับกัน สำหรับนักวิทยาศาสตร์ " ความน่าจะเป็นแบบ frequentist " ก็เป็นเพียงอีกชื่อหนึ่งของความน่าจะเป็นทางกายภาพ (หรือแบบวัตถุประสงค์) ผู้ที่สนับสนุนการอนุมานแบบเบย์เซียนมองว่า " สถิติแบบ frequentist " เป็นแนวทางในการอนุมานทางสถิติที่อิงกับการตีความความถี่ของความน่าจะเป็น โดยปกติจะอาศัยกฎของจำนวนมากและมีลักษณะเฉพาะด้วยสิ่งที่เรียกว่า 'การทดสอบนัยสำคัญของสมมติฐานว่าง' (Null Hypothesis Significance Testing: NHST) นอกจากนี้ คำว่า "วัตถุประสงค์" เมื่อนำมาใช้กับความน่าจะเป็น บางครั้งก็หมายความตรงกับที่ "ทางกายภาพ" หมายถึงในที่นี้ แต่ก็ยังใช้กับความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์ที่ถูกกำหนดโดยข้อจำกัดเชิงเหตุผล เช่น ความน่าจะเป็นเชิงตรรกะและความน่าจะเป็นเชิงญาณวิทยา

เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าสถิติขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง แต่ในเรื่องที่ว่าความน่าจะเป็นคืออะไรและมีความเชื่อมโยงกับสถิติอย่างไรนั้น แทบจะไม่เคยมีการโต้แย้งและการสื่อสารที่ผิดพลาดอย่างสิ้นเชิงเช่นนี้มาก่อนนับตั้งแต่เหตุการณ์หอคอยบาเบล ไม่ต้องสงสัยเลยว่าความไม่เห็นด้วยส่วนใหญ่เป็นเพียงเรื่องของคำศัพท์และจะหายไปหากมีการวิเคราะห์อย่างเฉียบคมเพียงพอ

ปรัชญาของความน่าจะเป็นนำเสนอปัญหาหลักๆ ในเรื่องของญาณวิทยาและความสัมพันธ์ที่ไม่ราบรื่นระหว่าง แนวคิด ทางคณิตศาสตร์กับภาษาทั่วไปที่ผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ใช้ ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาการศึกษาที่ได้รับการยอมรับในคณิตศาสตร์ มีต้นกำเนิดมาจากการติดต่อสื่อสารเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของเกมเสี่ยงโชคระหว่างBlaise PascalและPierre de Fermatในศตวรรษที่ 17 ^{[ 15 ]}และได้รับการทำให้เป็นทางการและกำหนดเป็นสัจพจน์ในฐานะสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์โดยAndrey Kolmogorovในศตวรรษที่ 20 ในรูปแบบสัจพจน์ ข้อความทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นมีความเชื่อมั่นทางญาณวิทยาแบบเดียวกันภายในปรัชญาของคณิตศาสตร์เช่นเดียวกับข้อความทางคณิตศาสตร์อื่นๆ^{[ 16 ] [ 17 ]}

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์มีต้นกำเนิดมาจากการสังเกตพฤติกรรมของอุปกรณ์เกม เช่นไพ่และลูกเต๋าซึ่งได้รับการออกแบบมาโดยเฉพาะเพื่อนำองค์ประกอบแบบสุ่มและเท่าเทียมกันเข้ามา ในทางคณิตศาสตร์แล้ว สิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งที่ไม่เปลี่ยนแปลงนี่ไม่ใช่เพียงวิธีเดียวที่ใช้ข้อความเชิงความน่าจะเป็นในภาษาพูดทั่วไปของมนุษย์: เมื่อผู้คนพูดว่า " ฝนน่าจะตก " โดยทั่วไปแล้วพวกเขาไม่ได้หมายความว่าผลลัพธ์ของฝนหรือไม่ตกเป็นปัจจัยสุ่มที่โอกาสในขณะนั้นเอื้ออำนวย แต่ข้อความดังกล่าวอาจเข้าใจได้ดีกว่าว่าเป็นการแสดงความคาดหวังเรื่องฝนด้วยความมั่นใจระดับหนึ่ง ในทำนองเดียวกัน เมื่อเขียนว่า "คำอธิบายที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุด" ของชื่อเมืองลัดโลว์ รัฐแมสซาชูเซตส์ "คือตั้งชื่อตามโรเจอร์ ลัดโลว์ " สิ่งที่หมายถึงในที่นี้ไม่ใช่ว่าโรเจอร์ ลัดโลว์ได้รับความโปรดปรานจากปัจจัยสุ่ม แต่หมายความว่านี่คือคำอธิบายที่น่าเชื่อถือที่สุดจากหลักฐาน ซึ่งยอมรับคำอธิบายอื่น ๆ ที่มีความเป็นไปได้น้อยกว่า

โทมัส เบย์สพยายามสร้างตรรกะที่สามารถจัดการกับระดับความเชื่อมั่นที่แตกต่างกันได้ ดังนั้นความน่าจะเป็นแบบเบย์สจึงเป็นความพยายามที่จะปรับเปลี่ยนการนำเสนอข้อความเชิงความน่าจะเป็นให้เป็นการแสดงออกถึงระดับความเชื่อมั่นที่ผู้คนมีต่อความเชื่อที่แสดงออกมา

แม้ว่าในตอนแรกแรงจูงใจของทฤษฎีความน่าจะเป็นจะค่อนข้างธรรมดา แต่ในปัจจุบันอิทธิพลและการใช้งานของมันนั้นกว้างขวาง ตั้งแต่การแพทย์ที่อิงหลักฐาน ไปจนถึงซิกซิกมาการพิสูจน์ที่ตรวจสอบได้ด้วยทฤษฎีความน่าจะเป็น และขอบเขตของทฤษฎีสตริง

ความพยายามครั้งแรกในการใช้ความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ในสาขาความน่าจะเป็น ซึ่งได้รับการสนับสนุนโดยPierre-Simon Laplaceปัจจุบันเรียกว่านิยามคลาสสิกพัฒนามาจากการศึกษาเกมเสี่ยงโชค (เช่น การทอยลูกเต๋า ) โดยระบุว่าความน่าจะเป็นจะถูกแบ่งเท่าๆ กันระหว่างผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยมีเงื่อนไขว่าผลลัพธ์เหล่านี้มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน^{[ 1 ]} (3.1)

ทฤษฎีความน่าจะเป็นประกอบด้วยการลดเหตุการณ์ประเภทเดียวกันทั้งหมดให้เหลือจำนวนกรณีที่เป็นไปได้เท่าๆ กัน กล่าวคือ เหลือเพียงกรณีที่เราอาจไม่แน่ใจเท่าๆ กันเกี่ยวกับความเป็นไปได้ของมัน และการหาจำนวนกรณีที่เอื้อต่อเหตุการณ์ที่เราต้องการหาความน่าจะเป็น อัตราส่วนของจำนวนนี้ต่อจำนวนกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือค่าที่ใช้วัดความน่าจะเป็น ซึ่งก็คือเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นจำนวนกรณีที่เอื้ออำนวย และตัวส่วนเป็นจำนวนกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด

สามารถแสดงในเชิงคณิตศาสตร์ได้ดังนี้: ถ้าการทดลองแบบสุ่มสามารถให้ ผลลัพธ์ Nที่ไม่ซ้ำซ้อนกันและมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน และถ้าN _Aจากผลลัพธ์เหล่านี้ส่งผลให้เกิดเหตุการณ์Aความน่าจะเป็นของAจะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle P(A)={N_{A} \over N}.}$

นิยามแบบคลาสสิกมีข้อจำกัดที่ชัดเจนสองประการ^{[ 18 ]}ประการแรก นิยามนี้ใช้ได้เฉพาะกับสถานการณ์ที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงจำนวน 'จำกัด' เท่านั้น แต่การทดลองสุ่มที่สำคัญบางอย่าง เช่นการโยนเหรียญจนกว่าจะออกหัว ทำให้เกิดผลลัพธ์เป็น ชุด อนันต์และประการที่สอง นิยามนี้ต้องการการกำหนดล่วงหน้าว่าผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากันโดยไม่ตกอยู่ในกับดักของการให้เหตุผลแบบวนซ้ำโดยอาศัยแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็น (ในการใช้คำศัพท์ "เราอาจไม่แน่ใจเท่ากัน" ลาปลาซได้สมมติโดยสิ่งที่เรียกว่า " หลักการของเหตุผลที่ไม่เพียงพอ " ว่าผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากันหากไม่มีเหตุผลที่ทราบที่จะสมมติเป็นอย่างอื่น ซึ่งไม่มีเหตุผลที่ชัดเจน^{[ 19 ] [ 20 ]} )

นักสถิติความถี่ตั้งสมมติฐานว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์นั้นเมื่อเวลาผ่านไป^{[ 1 ]} , (3.4) กล่าวคือ ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดขึ้นหลังจากทำซ้ำกระบวนการจำนวนมากภายใต้เงื่อนไขที่คล้ายคลึงกัน ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าความน่าจะเป็นแบบสุ่ม เหตุการณ์ต่างๆ ถือว่าอยู่ภายใต้การควบคุมของ ปรากฏการณ์ทางกายภาพ แบบสุ่มซึ่งอาจเป็นปรากฏการณ์ที่สามารถคาดการณ์ได้ในทางทฤษฎีด้วยข้อมูลที่เพียงพอ (ดูลัทธิกำหนด ) หรือปรากฏการณ์ที่ไม่สามารถคาดการณ์ได้อย่างแท้จริง ตัวอย่างของประเภทแรก ได้แก่ การโยนลูกเต๋าหรือการหมุน วงล้อ รูเล็ตตัวอย่างของประเภทที่สองคือการสลายตัวของกัมมันตรังสีในกรณีของการโยนเหรียญที่ยุติธรรม นักสถิติความถี่กล่าวว่าความน่าจะเป็นที่จะได้หัวคือ 1/2 ไม่ใช่เพราะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากันสองอย่าง แต่เพราะชุดการทดลองจำนวนมากที่ทำซ้ำแสดงให้เห็นว่าความถี่เชิงประจักษ์ลู่เข้าสู่ค่าจำกัด 1/2 เมื่อจำนวนการทดลองเข้าสู่ค่าอนันต์

ถ้าเรากำหนดให้ แทนจำนวนครั้งที่เหตุการณ์เกิดขึ้นในการทดลอง แล้วถ้าเรากล่าวว่า ${\displaystyle \textstyle n_{a}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{n_{a} \over n}=p}$${\displaystyle \textstyle P({\mathcal {A}})=p}$

มุมมองความถี่มีปัญหาของตัวเอง แน่นอนว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะทำการทดลองแบบสุ่มซ้ำเป็นอนันต์เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่ถ้าทำการทดลองซ้ำเพียงจำนวนจำกัด ความถี่สัมพัทธ์ที่แตกต่างกันจะปรากฏขึ้นในชุดการทดลองที่แตกต่างกัน หากความถี่สัมพัทธ์เหล่านี้ใช้ในการกำหนดความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นจะแตกต่างกันเล็กน้อยทุกครั้งที่วัด แต่ความน่าจะเป็นที่แท้จริงควรจะเหมือนกันทุกครั้ง หากเรายอมรับความจริงที่ว่าเราสามารถวัดความน่าจะเป็นได้โดยมีข้อผิดพลาดในการวัดอยู่บ้าง เราก็ยังคงมีปัญหาอยู่ดี เพราะข้อผิดพลาดในการวัดสามารถแสดงได้ในรูปของความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นแนวคิดที่เราพยายามจะกำหนด สิ่งนี้ทำให้แม้แต่คำจำกัดความของความถี่ก็เป็นวงกลม ดูตัวอย่างเช่น “ โอกาสที่จะเกิดแผ่นดินไหวคืออะไร? ” ^{[ 21 ]}

นักทฤษฎีอัตวิสัย หรือที่รู้จักกันในชื่อเบย์เซียนหรือผู้ติดตามทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงญาณวิทยา ให้สถานะเชิงอัตวิสัยแก่แนวคิดเรื่องความน่าจะเป็น โดยมองว่าเป็นมาตรวัด 'ระดับความเชื่ออย่างมีเหตุผล' ของแต่ละบุคคลในการประเมินความไม่แน่นอนของสถานการณ์ใดสถานการณ์หนึ่ง ความน่า จะเป็นเชิงญาณวิทยาหรือเชิงอัตวิสัยบางครั้งเรียกว่าความเชื่อมั่น (credence ) ตรงข้ามกับคำว่าโอกาส (chance ) สำหรับความน่าจะเป็นเชิงแนวโน้ม (propensity probability)

ตัวอย่างของความน่าจะเป็นเชิงญาณวิทยา ได้แก่ การกำหนดความน่าจะเป็นให้กับข้อเสนอที่ว่ากฎทางฟิสิกส์ที่เสนอนั้นเป็นจริง หรือการพิจารณาว่ามีความเป็นไปได้มากน้อยเพียงใดที่ผู้ต้องสงสัยจะก่ออาชญากรรม โดยพิจารณาจากหลักฐานที่นำเสนอ

การใช้ความน่าจะเป็นแบบเบย์เซียนก่อให้เกิดการถกเถียงทางปรัชญาว่าสามารถให้เหตุผล ที่ถูกต้อง สำหรับการเชื่อ ได้หรือ ไม่ นักเบย์เซียนชี้ไปที่งานของRamsey ^{[ 10 ]} (หน้า 182) และde Finetti ^{[ 8 ]} (หน้า 103) เพื่อพิสูจน์ว่าความเชื่อส่วนบุคคลต้องปฏิบัติตามกฎของความน่าจะเป็นจึงจะมีความสอดคล้อง (มีเหตุผล) ^{[ 22 ]}

หลักฐานทำให้เกิดข้อสงสัยว่ามนุษย์แต่ละคนมักใช้ความเชื่อที่สอดคล้องกัน^{[ 23 ] [ 24 ]}ซึ่งบ่งชี้ว่าพวกเขามักจะไม่ยึดมั่นในความน่าจะเป็นแบบเบย์เซียน

การใช้ความน่าจะเป็นแบบเบย์เซียนเกี่ยวข้องกับการระบุความน่าจะเป็นล่วงหน้าซึ่งอาจได้มาจากการพิจารณาว่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่ต้องการนั้นมากกว่าหรือน้อยกว่าความน่าจะเป็นอ้างอิงที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองโถหรือการทดลองทางความคิด หรือ ไม่ ประเด็นก็คือ สำหรับปัญหาที่กำหนด การทดลองทางความคิดหลายแบบอาจนำมาใช้ได้ และการเลือกใช้แบบใดแบบหนึ่งนั้นบางครั้งก็ขึ้นอยู่กับการตัดสินใจ: ผู้คนต่างกันอาจกำหนดความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่แตกต่างกัน ซึ่งเรียกว่าปัญหาชั้นอ้างอิง " ปัญหาพระอาทิตย์ขึ้น " เป็นตัวอย่างหนึ่ง

นักทฤษฎีความโน้มเอียงคิดว่าความน่าจะเป็นเป็นความโน้มเอียงทางกายภาพ หรือความโน้มเอียง หรือแนวโน้มของสถานการณ์ทางกายภาพประเภทหนึ่งที่จะก่อให้เกิดผลลัพธ์ประเภทใดประเภทหนึ่ง หรือก่อให้เกิดความถี่สัมพัทธ์ในระยะยาวของผลลัพธ์ดังกล่าว^{[ 25 ]}ความน่าจะเป็นเชิงวัตถุประเภทนี้บางครั้งเรียกว่า 'โอกาส'

ความโน้มเอียงหรือโอกาสไม่ใช่ความถี่สัมพัทธ์ แต่เป็นสาเหตุที่ถูกกล่าวอ้างของความถี่สัมพัทธ์ที่สังเกตได้ซึ่งคงที่ ความโน้มเอียงถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายว่าเหตุใดการทำซ้ำการทดลองบางประเภทจะสร้างผลลัพธ์ประเภทที่กำหนดในอัตราคงที่ ซึ่งเรียกว่าความโน้มเอียงหรือโอกาส นักสถิติความถี่ไม่สามารถใช้วิธีนี้ได้ เนื่องจากความถี่สัมพัทธ์ไม่มีอยู่สำหรับการโยนเหรียญเพียงครั้งเดียว แต่มีอยู่เฉพาะสำหรับกลุ่มหรือชุดขนาดใหญ่เท่านั้น (ดู "กรณีเดียวเป็นไปได้" ในตารางด้านบน) ^{[ 2 ]}ในทางตรงกันข้าม นักสถิติความโน้มเอียงสามารถใช้กฎของจำนวนมากเพื่ออธิบายพฤติกรรมของความถี่ในระยะยาวได้ กฎนี้ ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจากสัจพจน์ของความน่าจะเป็น กล่าวว่า ถ้า (ตัวอย่างเช่น) โยนเหรียญซ้ำๆ หลายครั้ง ในลักษณะที่ความน่าจะเป็นที่จะออกหัวเท่ากันในแต่ละครั้ง และผลลัพธ์เป็นอิสระต่อกันในเชิงความน่าจะเป็นแล้ว ความถี่สัมพัทธ์ของการออกหัวจะใกล้เคียงกับความน่าจะเป็นที่จะออกหัวในแต่ละครั้ง กฎนี้อนุญาตให้ความถี่ที่เสถียรในระยะยาวเป็นผลมาจากการที่ ความน่าจะเป็น ในแต่ละกรณี ไม่เปลี่ยนแปลง นอกจากจะอธิบายถึงการเกิดขึ้นของความถี่สัมพัทธ์ที่เสถียรแล้ว แนวคิดเรื่องความโน้มเอียงยังได้รับแรงบันดาลใจจากความปรารถนาที่จะทำความเข้าใจการกำหนดความน่าจะเป็นในแต่ละกรณีในกลศาสตร์ควอนตัม เช่น ความน่าจะเป็นของการสลายตัว ของ อะตอมเฉพาะในเวลาใดเวลาหนึ่ง

ความท้าทายหลักที่ทฤษฎีความโน้มเอียงเผชิญอยู่คือ การระบุให้ชัดเจนว่าความโน้มเอียงหมายถึงอะไร (และแน่นอนว่า ต้องแสดงให้เห็นว่าความโน้มเอียงที่นิยามไว้นั้นมีคุณสมบัติที่ต้องการ) ในปัจจุบัน น่าเสียดายที่ไม่มีทฤษฎีใดที่เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปที่สามารถตอบโจทย์ความท้าทายนี้ได้

ทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบความโน้มเอียงได้รับการเสนอโดยCharles Sanders Peirce [ ^{26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] ทฤษฎี}ความโน้มเอียงในภายหลังได้รับการเสนอโดยนักปรัชญาKarl Popperซึ่งมีความคุ้นเคยกับงานเขียนของ C. S. Peirce เพียงเล็กน้อยเท่านั้น^{[ 26 ] [ 27 ]} Popper ตั้งข้อสังเกตว่าผลลัพธ์ของการทดลองทางกายภาพเกิดจากชุดของ "เงื่อนไขการสร้าง" บางอย่าง เมื่อเราทำการทดลองซ้ำ ดังคำกล่าวที่ว่า เรากำลังทำการทดลองอีกครั้งด้วยชุดของเงื่อนไขการสร้างที่คล้ายคลึงกัน (ไม่มากก็น้อย) การกล่าวว่าชุดของเงื่อนไขการสร้างมีความโน้มเอียงpในการสร้างผลลัพธ์Eหมายความว่าเงื่อนไขที่แน่นอนเหล่านั้น หากทำซ้ำไปเรื่อยๆ จะสร้างลำดับผลลัพธ์ที่Eเกิดขึ้นด้วยความถี่สัมพัทธ์ที่จำกัดpสำหรับ Popper แล้ว การทดลองแบบกำหนดได้จะมีความโน้มเอียง 0 หรือ 1 สำหรับแต่ละผลลัพธ์ เนื่องจากเงื่อนไขการสร้างเหล่านั้นจะมีผลลัพธ์เดียวกันในแต่ละครั้งของการทดลอง กล่าวอีกนัยหนึ่ง แนวโน้มที่ไม่ใช่ค่าพื้นฐาน (ค่าที่แตกต่างจาก 0 และ 1) จะมีอยู่เฉพาะในการทดลองที่ไม่ใช่แบบกำหนดได้อย่างแท้จริงเท่านั้น

นักปรัชญาคนอื่นๆ อีกหลายคน รวมถึงเดวิด มิลเลอร์และโดนัลด์ เอ. กิลลีส์ได้เสนอทฤษฎีความโน้มเอียงที่คล้ายคลึงกับของปอปเปอร์อยู่บ้าง

นักทฤษฎีความโน้มเอียงคนอื่นๆ (เช่น Ronald Giere ^{[ 30 ]} ) ไม่ได้กำหนดความโน้มเอียงอย่างชัดเจนเลย แต่กลับมองว่าความโน้มเอียงถูกกำหนดโดยบทบาททางทฤษฎีที่มันมีในวิทยาศาสตร์ พวกเขาโต้แย้งว่า ตัวอย่างเช่น ปริมาณทางกายภาพ เช่นประจุไฟฟ้าไม่สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนเช่นกัน ในแง่ของสิ่งพื้นฐานกว่า แต่กำหนดได้เฉพาะในแง่ของสิ่งที่มันทำ (เช่น การดึงดูดและการผลักประจุไฟฟ้าอื่นๆ) ในทำนองเดียวกัน ความโน้มเอียงก็คือสิ่งใดก็ตามที่เติมเต็มบทบาทต่างๆ ที่ความน่าจะเป็นทางกายภาพมีในวิทยาศาสตร์

ความน่าจะเป็นทางกายภาพมีบทบาทอย่างไรในวิทยาศาสตร์? คุณสมบัติของมันคืออะไร? คุณสมบัติสำคัญประการหนึ่งของความน่าจะเป็นคือ เมื่อทราบแล้ว มันจะจำกัดความเชื่อที่มีเหตุผลให้มีค่าตัวเลขเดียวกันเดวิด ลูอิสเรียกสิ่งนี้ว่าหลักการสำคัญ^{[ 1 ]} (3.3 & 3.5) ซึ่งเป็นคำที่นักปรัชญาส่วนใหญ่นำมาใช้ ตัวอย่างเช่น สมมติว่าคุณแน่ใจว่าเหรียญที่มีความเอนเอียงเป็นพิเศษมีแนวโน้ม 0.32 ที่จะออกหัวทุกครั้งที่โยน ดังนั้นราคาที่ถูกต้องสำหรับการพนันที่จ่าย 1 ดอลลาร์หากเหรียญออกหัว และไม่จ่ายอะไรเลยในกรณีอื่นคือเท่าใด? ตามหลักการสำคัญ ราคาที่ยุติธรรมคือ 32 เซนต์

เป็นที่ทราบกันดีว่าบางครั้งคำว่า "ความน่าจะเป็น" ถูกใช้ในบริบทที่ไม่เกี่ยวข้องกับความสุ่มทางกายภาพเลย ตัวอย่างเช่น ข้ออ้างที่ว่าการสูญพันธุ์ของไดโนเสาร์น่าจะเกิดจากอุกกาบาตขนาดใหญ่พุ่งชนโลก คำกล่าวเช่น "สมมติฐาน H น่าจะเป็นจริง" ได้รับการตีความว่าหลักฐานเชิงประจักษ์ (เช่น E) ที่มีอยู่ในปัจจุบันสนับสนุน H ในระดับสูง ระดับการสนับสนุน H โดย E นี้เรียกว่าความน่าจะเป็นเชิงตรรกะ ความน่า จะเป็นเชิง ญาณวิทยา หรือ ความน่าจะ เป็นเชิงอุปมานของ H เมื่อกำหนดให้ E

ความแตกต่างระหว่างการตีความเหล่านี้ค่อนข้างเล็กน้อย และอาจดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญ ประเด็นหลักประการหนึ่งของการไม่เห็นด้วยอยู่ที่ความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นและความเชื่อ ความน่าจะเป็นเชิงตรรกะถูกมองว่า (ตัวอย่างเช่นในตำราว่าด้วยความน่าจะ เป็น ของKeynes ^{[ 12 ]} ) เป็นความสัมพันธ์เชิงตรรกะที่เป็นกลางระหว่างข้อเสนอ (หรือประโยค) ดังนั้นจึงไม่ขึ้นอยู่กับความเชื่อแต่อย่างใด พวกมันเป็นระดับของการอนุมาน (บางส่วน) หรือระดับของผลลัพธ์เชิงตรรกะไม่ใช่ระดับของความเชื่อ (อย่างไรก็ตาม พวกมันกำหนดระดับความเชื่อที่เหมาะสม ดังที่จะกล่าวถึงต่อไป) ในทางกลับกัน Frank P. Ramseyสงสัยเกี่ยวกับการมีอยู่ของความสัมพันธ์เชิงตรรกะที่เป็นกลางดังกล่าว และโต้แย้งว่าความน่าจะเป็น (เชิงประจักษ์) คือ "ตรรกะของความเชื่อบางส่วน" ^{[ 10 ]} (หน้า 157) กล่าวอีกนัยหนึ่ง แรมซีย์ถือว่าความน่าจะเป็นเชิงญาณวิทยาเป็น เพียง ระดับของความเชื่อที่มีเหตุผล มากกว่าที่จะเป็นความสัมพันธ์เชิงตรรกะที่จำกัดระดับของความเชื่อที่มีเหตุผล

อีกประเด็นหนึ่งที่ถกเถียงกันคือความเป็นเอกลักษณ์ของความน่าจะเป็นเชิงหลักฐาน เมื่อเทียบกับสถานะความรู้ที่กำหนดไว้ ตัวอย่างเช่น รูดอล์ฟ คาร์แนปเชื่อว่าหลักการทางตรรกะจะกำหนดความน่าจะเป็นเชิงตรรกะที่ไม่ซ้ำกันสำหรับข้อความใดๆ เสมอ เมื่อเทียบกับชุดหลักฐานใดๆ ในทางตรงกันข้าม แรมซีย์คิดว่า แม้ว่าระดับความเชื่อจะอยู่ภายใต้ข้อจำกัดเชิงเหตุผลบางประการ (เช่น แต่ไม่จำกัดเพียง สัจพจน์ของความน่าจะเป็น) แต่ข้อจำกัดเหล่านี้มักไม่ได้กำหนดค่าที่ไม่ซ้ำกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ คนที่มีเหตุผลอาจมีความแตกต่างกันบ้างในระดับความเชื่อของพวกเขา แม้ว่าพวกเขาทั้งหมดจะมีข้อมูลเดียวกันก็ตาม

แนวคิดทางเลือกเกี่ยวกับความน่าจะเป็นเน้นบทบาทของการทำนาย – การทำนายการสังเกตในอนาคตบนพื้นฐานของการสังเกตในอดีต ไม่ใช่จากพารามิเตอร์ที่ไม่สามารถสังเกตได้ ในรูปแบบที่ทันสมัยนั้น ส่วนใหญ่จะอยู่ในแนวทางแบบเบย์เซียน นี่เป็นหน้าที่หลักของความน่าจะเป็นก่อนศตวรรษที่ 20 ^{[ 31 ]}แต่กลับไม่ได้รับความนิยมเท่ากับแนวทางแบบพารามิเตอร์ ซึ่งจำลองปรากฏการณ์เป็นระบบทางกายภาพที่ถูกสังเกตโดยมีข้อผิดพลาด เช่น ในกลศาสตร์ ดาราศาสตร์

แนวทางการทำนายสมัยใหม่ได้รับการบุกเบิกโดยBruno de Finettiโดยมีแนวคิดหลักคือการแลกเปลี่ยนได้กล่าวคือ การสังเกตในอนาคตควรมีพฤติกรรมเหมือนกับการสังเกตในอดีต^{[ 31 ]}มุมมองนี้ได้รับความสนใจจากโลกที่ใช้ภาษาอังกฤษจากการแปลหนังสือของ de Finetti ในปี 1974 ^{[ 31 ]}และตั้งแต่นั้นมาก็ได้รับการเสนอโดยนักสถิติเช่นSeymour Geisser

คณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นสามารถพัฒนาได้บนพื้นฐานของสัจพจน์โดยสมบูรณ์ ซึ่งเป็นอิสระจากการตีความใดๆ โปรดดูบทความเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นและสัจพจน์ของความน่าจะเป็นสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

• ความน่าจะเป็นของการครอบคลุม
• ความถี่ (สถิติ)
• ความน่าจะเป็นเชิงลบ
• ปรัชญาคณิตศาสตร์
• ปรัชญาสถิติ
• ความน่าจะเป็นแบบพิกนิสติก
• แอมพลิจูดความน่าจะเป็น (กลศาสตร์ควอนตัม)
• ปัญหาพระอาทิตย์ขึ้น
• ญาณวิทยาแบบเบย์เซียน

• โคเฮน, แอล. (1989). บทนำสู่ปรัชญาของการเหนี่ยวนำและความน่าจะเป็น . อ็อกซ์ฟอร์ด นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์แคลเรนดอน มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0198750789.
• อีเกิล, แอนโทนี (2011). ปรัชญาของความน่าจะเป็น: บทอ่านร่วมสมัย . เอบิงดอน, อ็อกซอน นิวยอร์ก: รูทเลดจ์. ISBN 978-0415483872.
• กิลลีส์, โดนัลด์ (2000). ทฤษฎีเชิงปรัชญาของความน่าจะเป็น . ลอนดอน นิวยอร์ก: รูทเลดจ์. ISBN 978-0415182768.หนังสือเล่มนี้เป็นงานวิจัยเชิงลึกที่ครอบคลุมการตีความหลักทั้งสี่แบบในปัจจุบัน ได้แก่ การตีความเชิงตรรกะ การตีความเชิงอัตวิสัย การตีความเชิงความถี่ และการตีความเชิงแนวโน้ม นอกจากนี้ยังเสนอการตีความเชิงระหว่างบุคคลแบบใหม่ด้วย
• แฮคกิ้ง, เอียน (2006). การกำเนิดของความน่าจะเป็น: การศึกษาเชิงปรัชญาเกี่ยวกับแนวคิดยุคแรกเกี่ยวกับความน่าจะเป็น การเหนี่ยวนำ และการอนุมานทางสถิติเคมบริดจ์ นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-0521685573.
• Paul Humphreys , บรรณาธิการ (1994) Patrick Suppes : นักปรัชญาวิทยาศาสตร์ , Synthese Library, Springer-Verlag.
  • เล่ม 1: ความน่าจะเป็นและเหตุและผลเชิงความน่าจะเป็น
  • เล่ม 2: ปรัชญาฟิสิกส์ โครงสร้างทฤษฎีและการวัด และทฤษฎีการกระทำ
• Jackson, Frank และ Robert Pargetter (1982) "ความน่าจะเป็นทางกายภาพในฐานะแนวโน้ม" Noûs 16(4): 567–583
• Khrennikov, Andrei (2009) การตีความความน่าจะเป็น (ฉบับที่ 2) เบอร์ลิน นิวยอร์ก: วอลเตอร์ เดอ กรอยเตอร์ไอเอสบีเอ็น 978-3110207484.ครอบคลุมแบบจำลองความน่าจะเป็นที่ไม่ใช่แบบ Kolmogorov เป็นส่วนใหญ่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วนที่เกี่ยวข้องกับฟิสิกส์ควอนตัม
• ลูอิส, เดวิด (1983). เอกสารทางปรัชญา . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0195036466.
• Plato, Jan von (1994). การสร้างความน่าจะเป็นสมัยใหม่: คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และปรัชญาในมุมมองทางประวัติศาสตร์เคมบริดจ์ อังกฤษ นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-0521597357.
• โรว์บอตทอม, ดาร์เรล (2015). ความน่าจะเป็น . เคมบริดจ์: โพลิตี. ISBN 978-0745652573.หนังสือเล่มนี้เป็นการแนะนำการตีความความน่าจะเป็นที่เข้าใจง่าย ครอบคลุมการตีความหลักๆ ทั้งหมด และเสนอการตีความระดับกลุ่ม (หรือ 'ระหว่างบุคคล') รูปแบบใหม่ นอกจากนี้ยังครอบคลุมถึงข้อผิดพลาดและการประยุกต์ใช้การตีความในสังคมศาสตร์และวิทยาศาสตร์ธรรมชาติด้วย
• Skyrms, Brian (2000). ทางเลือกและโอกาส: บทนำสู่ตรรกศาสตร์เชิงอุปนัยออสเตรเลีย เบลมอนต์ รัฐแคลิฟอร์เนีย: Wadsworth/Thomson Learning. ISBN 978-0534557379.

• Zalta, Edward N. (บรรณาธิการ). "การตีความความน่าจะเป็น" . สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด . ISSN  1095-5054 . OCLC  429049174 .
• การตีความความน่าจะเป็นในโครงการปรัชญาออนโทโลยีแห่งรัฐอินเดียนา
• การตีความความน่าจะเป็นที่PhilPapers