การโยนเหรียญการทาย หัว หรือก้อยคือการใช้นิ้วโป้งดีดเหรียญ ขึ้น ไปในอากาศ แล้วตรวจสอบว่าด้านใดปรากฏเมื่อเหรียญตกลงมา เพื่อสุ่มเลือกจากสองทางเลือก เป็นรูปแบบหนึ่งของการสุ่มเลือกที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองอย่างโดยธรรมชาติ เมื่อใช้ในลักษณะนี้ เหรียญจึงทำหน้าที่เสมือน ล็ อ ตไบนารี

ชาวโรมันรู้จักการโยนเหรียญในชื่อnavia aut caput ("เรือหรือหัว") เนื่องจากเหรียญบางเหรียญมีรูปเรืออยู่ด้านหนึ่งและรูปหัวจักรพรรดิอยู่ด้านอีกด้านหนึ่ง^{[ 2 ]} ในอังกฤษ เรียกสิ่งนี้ว่าcross and pile [ ^{2 ] [ 3 ] "} pile" หมายถึงด้านหลัง ซึ่งเป็นการใช้ที่สืบย้อนไปถึงยุคกลาง^{[ 4 ]}ในฝรั่งเศส คำนี้กลับกัน: pile ou face ภาษา ดัตช์มีkop of munt (หัวหรือเหรียญ) ภาษาสเปนcara o cruz (หน้าหรือกากบาท) ภาษาเยอรมันKopf oder Zahl (หัวหรือตัวเลข) ภาษาโปรตุเกสcara ou coroa (หน้าหรือมงกุฎ) ภาษาโปแลนด์rzut monetą (การโยนเหรียญ) หรือ (ไม่ค่อยพบ) orzeł czy reszka (นกอินทรีหรือส่วนที่เหลือ เช่นเงินทอน ) และในภาษาเช็กhod mincí (การโยนเหรียญ) ^{[ 5 ]}

ในการโยนเหรียญ เหรียญจะถูกโยนขึ้นไปในอากาศเพื่อให้หมุนขอบไปมาจำนวนครั้งที่ไม่สามารถคาดเดาได้ ก่อนเริ่มโยนหรือขณะที่เหรียญลอยอยู่ในอากาศ ผู้ที่สนใจจะประกาศว่า "หัว" หรือ "ก้อย" เพื่อระบุว่าตนเองเลือกด้านใดของเหรียญ อีกฝ่ายจะได้รับมอบหมายด้านตรงข้าม ขึ้นอยู่กับธรรมเนียมปฏิบัติ อาจมีการจับเหรียญ จับแล้วพลิกกลับ หรือปล่อยให้ตกลงพื้น เมื่อเหรียญหยุดนิ่ง การโยนเหรียญก็สิ้นสุดลง และฝ่ายที่ประกาศถูกต้องหรือได้รับมอบหมายด้านที่หงายขึ้นจะถูกประกาศว่าเป็นผู้ชนะ

เป็นไปได้ที่เหรียญจะตกลงบนด้านข้าง โดยปกติแล้วจะตกลงไปชนกับวัตถุ (เช่น รองเท้า) หรือติดอยู่กับพื้น และบางครั้งอาจตกลงบนพื้นผิวเรียบก็ได้ แบบจำลองทางคอมพิวเตอร์ชี้ให้เห็นว่าโอกาสที่เหรียญจะตกลงบนขอบและค้างอยู่อย่างนั้นอยู่ที่ประมาณ 1 ใน 6,000 สำหรับเหรียญนิกเกิลของอเมริกา^{[ 6 ]}ความหนาของเหรียญที่ยุติธรรม โดยคำนึงถึงความเป็นไปได้ที่เหรียญจะตกลงบนด้านที่สามเป็นตัวเลือกที่สาม ได้รับการศึกษาทั้งในเชิงทดลองและในกลศาสตร์เชิงสถิติ อัตราส่วนของความหนาของเหรียญต่อเส้นผ่านศูนย์กลางนั้นคาดว่าจะอยู่ระหว่าง 0.577 ถึง 0.866 ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

เหรียญอาจเป็นประเภทใดก็ได้ตราบใดที่มีสองด้านที่แตกต่างกัน เหรียญขนาดใหญ่มักได้รับความนิยมมากกว่าเหรียญขนาดเล็ก การโยนเหรียญที่มีชื่อเสียงบางรายการ เช่น ในการแข่งขันคริกเก็ตชิงแชมป์โลกและซูเปอร์โบว์ล จะใช้เหรียญที่ระลึกที่ทำขึ้นเป็นพิเศษ^{[ 10 ] [ 11 ]}

การโยนเหรียญสามทางก็เป็นไปได้เช่นกัน โดยใช้กระบวนการที่แตกต่างออกไป ซึ่งสามารถทำได้ทั้งเพื่อเลือกหนึ่งหรือสองในสาม การเลือกสองในสาม จะต้องโยนเหรียญสามเหรียญ และถ้าเหรียญสองเหรียญออกเหมือนกันและอีกเหรียญออกต่างกัน เหรียญที่ออกต่างกันจะแพ้ (ตกรอบ) เหลือผู้เล่นสองคน การเลือกหนึ่งในสาม จะใช้วิธีกลับกัน (เหรียญที่ออกต่างออกไปจะเป็นผู้ชนะ ) หรือใช้วิธีโยนเหรียญสองทางแบบปกติระหว่างผู้เล่นสองคนที่เหลือ การโยนเหรียญสามทางมีโอกาสสำเร็จ 75% ในแต่ละครั้งที่ลอง (ถ้าเหรียญทั้งหมดออกหัวหรือทั้งหมดออกก้อย ซึ่งแต่ละอย่างเกิดขึ้น 1/8 ของเวลา เนื่องจากโอกาสคือ 0.5 x 0.5 x 0.5 การโยนจะทำซ้ำจนกว่าผลลัพธ์จะแตกต่างกัน) และไม่จำเป็นต้องประกาศว่า "หัว" หรือ "ก้อย" ตัวอย่างที่รู้จักกันดีของการโยนเหรียญสามทาง (เลือกสองในสาม) ได้รับการนำเสนอในFriday Night Lights (เดิมเป็นหนังสือต่อมาเป็นภาพยนตร์และซีรีส์โทรทัศน์ ) ซึ่ง ทีมฟุตบอล ระดับมัธยมปลายสามทีมในเท็กซัสใช้การโยนเหรียญสามทาง^{[ 12 ] [ 13 ]}มรดกของการโยนเหรียญในปี 1988 นั้นส่งผลให้ลดการใช้การโยนเหรียญเพื่อตัดสินผลเสมอในกีฬาของเท็กซัส โดยเปลี่ยนมาใช้ระบบคะแนนแทนเพื่อลดความถี่ของการเสมอกัน

"หัวก้อย" หรือ "หัวหรือก้อย" เป็นเกมเสี่ยงโชคแบบไม่เป็นทางการที่ใช้การโยนเหรียญซ้ำๆ เหมาะสำหรับคนกลุ่มใหญ่ที่นั่งอยู่ โดยทั่วไปจะเป็นงานสังสรรค์หรือกิจกรรมสำหรับเด็ก เริ่มแรกผู้เล่นทุกคนจะยืนอยู่ ก่อนการโยนเหรียญแต่ละครั้ง ผู้เล่นที่ยังยืนอยู่ทุกคนจะวางมือไว้บนศีรษะเพื่อระบุว่า "หัว" หรือวางไว้บนสะโพกหรือก้นเพื่อระบุว่า "ก้อย" เมื่อประกาศผลการโยนเหรียญแล้ว ผู้ที่ทายผิดจะนั่งลง กระบวนการนี้จะทำซ้ำจนกว่าผู้เล่นคนสุดท้ายที่ยังยืนอยู่จะเป็นผู้ชนะ บ่อยครั้งที่ผู้เล่นไม่กี่คนที่เหลืออยู่จะถูกเรียกไปที่โต๊ะผู้ประกาศเพื่อชมจุดไคลแม็กซ์ มีรูปแบบที่คัดออกได้เร็วกว่าโดยใช้เหรียญสองเหรียญและผู้เล่นวางมือแต่ละข้างแยกกัน^{[ 14 ]}

การโยนเหรียญเป็นวิธีที่ง่ายและเป็นกลางในการยุติข้อพิพาทหรือตัดสินใจระหว่างตัวเลือกสองหรือมากกว่านั้น ใน การวิเคราะห์ เชิงทฤษฎีเกมการโยนเหรียญให้โอกาสที่เท่าเทียมกันแก่ทั้งสองฝ่ายที่เกี่ยวข้อง ใช้ความพยายามเพียงเล็กน้อย และป้องกันไม่ให้ข้อพิพาทบานปลายกลายเป็นความขัดแย้ง มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในกีฬาและเกม อื่นๆ เพื่อตัดสินปัจจัยที่ไม่แน่นอน เช่น ทีมจะเล่นจากฝั่งใดของสนาม หรือฝ่ายใดจะโจมตีหรือป้องกันก่อน การตัดสินใจเหล่านี้อาจเอื้อประโยชน์ให้ฝ่ายใดฝ่ายหนึ่ง หรืออาจเป็นกลางก็ได้ ปัจจัยต่างๆ เช่น ทิศทาง ลมตำแหน่งของดวงอาทิตย์ และสภาพอื่นๆ อาจส่งผลต่อการตัดสินใจ ในกีฬาประเภททีม กัปตันทีมมักจะเป็นผู้ตัดสินใจ ในขณะที่กรรมการหรือผู้ตัดสินมักจะดูแลการดำเนินการดังกล่าว ในบางสถานการณ์ อาจใช้วิธีการแข่งขันแทนการโยนเหรียญ เช่น ในบาสเกตบอล จะใช้การ กระโดดแย่งบอลในขณะที่การดวลลูกก็มีบทบาทคล้ายกันในฮอกกี้น้ำแข็ง

การโยนเหรียญใช้เพื่อตัดสินว่าทีมจะเล่นที่ฝั่งใดของสนาม และ/หรือทีมใดจะได้ใช้ลูกบอลก่อน หรือคำถามที่คล้ายกันในการแข่งขันฟุตบอลอเมริกันฟุตบอลออสเตรเลียนฟุตบอลวอลเลย์บอลและกีฬาอื่นๆ ที่ต้องมีการตัดสินใจเช่นนี้ ในสหรัฐอเมริกา มีการใช้เหรียญที่ผลิตขึ้นเป็นพิเศษในการโยนเหรียญใน การแข่งขัน ของเนชั่นแนลฟุตบอลลีก (NFL ) จากนั้นเหรียญจะถูกส่งไปยังหอเกียรติยศโปรฟุตบอล (Pro Football Hall of Fame ) และเหรียญอื่นๆ ในชุดพิเศษที่ผลิตในเวลาเดียวกันจะถูกขายให้กับนักสะสม ลีกอเมริกันฟุตบอล XFL ดั้งเดิม ซึ่งมีอายุสั้น พยายามหลีกเลี่ยงการโยนเหรียญโดยใช้ รูปแบบ "การแย่งลูกบอลเปิด เกม " ซึ่งผู้เล่นหนึ่งคนจากแต่ละทีมพยายามแย่งลูกบอลที่หลุดมือ ทีมที่มีผู้เล่นแย่งลูกบอลได้ก่อนจะได้เลือกก่อน เนื่องจากอัตราการบาดเจ็บสูงในเหตุการณ์เหล่านี้ จึงไม่ได้รับความนิยมในลีกฟุตบอลใดๆ (มีการนำรูปแบบที่ดัดแปลงมาใช้ในX-League Indoor Footballซึ่งผู้เล่นแต่ละคนไล่ตามลูกบอลของตนเอง) และการโยนเหรียญยังคงเป็นวิธีการที่เลือกใช้ในอเมริกันฟุตบอล (ลีกXFLที่กลับมาเปิดทำการอีกครั้งในปี 2020ได้ยกเลิกการโยนเหรียญทั้งหมด และอนุญาตให้ทีมตัดสินใจเรื่องนั้นเองโดยพิจารณาจากความได้เปรียบในการเล่นในบ้าน )

ใน การแข่งขัน ฟุตบอลทีมที่ชนะการโยนเหรียญจะเป็นผู้เลือกฝั่งที่จะบุกในครึ่งแรก โดยทีมฝ่ายตรงข้ามจะเป็นผู้เริ่มเตะในครึ่งแรก สำหรับครึ่งหลัง ทีมจะสลับฝั่งกัน และทีมที่ชนะการโยนเหรียญจะเป็นผู้เริ่มเตะ การโยนเหรียญยังใช้เพื่อตัดสินว่าทีมใดมีสิทธิ์เลือกยิงก่อนหรือหลังในการดวลจุดโทษ ก่อนที่จะมีการนำ การดวลจุดโทษ มาใช้ ในช่วงต้นทศวรรษ 1970 การโยนเหรียญบางครั้งก็จำเป็นต้องใช้เพื่อตัดสินผลการแข่งขันที่เสมอกันซึ่ง ไม่สามารถ เล่นใหม่ได้ ตัวอย่างที่โด่งดังที่สุดคือเกมรอบรองชนะเลิศของการแข่งขันชิงแชมป์ยุโรปปี 1968ระหว่างอิตาลีและสหภาพโซเวียตซึ่งจบลงด้วยผล 0-0 หลังช่วงต่อเวลาพิเศษ อิตาลีชนะและได้เป็นแชมป์ยุโรปในที่สุด^{[ 15 ]}

ในกีฬาคริก เก็ต การโยนเหรียญมักมีความสำคัญ เพราะการตัดสินใจว่าจะตีลูกก่อนหรือโยนลูกก่อนนั้นสามารถส่งผลต่อผลลัพธ์ของเกมได้ ปัจจัยต่างๆ เช่น สภาพสนาม สภาพอากาศ และช่วงเวลาของวัน จะถูกนำมาพิจารณาโดยกัปตันทีมที่ชนะการโยนเหรียญ

ในทำนองเดียวกัน ในกีฬาเทนนิสในการแข่งขันระดับมืออาชีพจะใช้การโยนเหรียญเพื่อตัดสินว่าผู้เล่นคนใดจะได้เสิร์ฟก่อน ผู้เล่นที่ชนะการโยนเหรียญจะเป็นผู้ตัดสินใจว่าจะเสิร์ฟก่อนหรือรับลูก ในขณะที่ผู้แพ้การโยนเหรียญจะเป็นผู้ตัดสินใจว่าผู้เล่นแต่ละคนจะเริ่มเล่นที่ฝั่งใดของสนามก่อน

ในการดวลกันบางครั้งมีการใช้การโยนเหรียญเพื่อตัดสินว่าฝ่ายใดมีดวงอาทิตย์อยู่ด้านหลัง^{[ 16 ]} ในกีฬาอื่นๆ ผลการโยนเหรียญมีความสำคัญน้อยกว่าและเป็นเพียงวิธีเลือกอย่างยุติธรรมระหว่างสองตัวเลือกที่เท่าเทียมกันมากหรือน้อย

ลีกฟุตบอลแห่งชาติ (NFL) ก็มีการโยนเหรียญเพื่อตัดสินกรณีที่ทีมมีคะแนนเท่ากันในการแย่งชิงสิทธิ์เข้ารอบเพลย์ออฟและการจัดอันดับเช่นกัน แต่กฎกติกาทำให้การโยนเหรียญ ซึ่งเป็นการสุ่มมากกว่าการแข่งขัน มีโอกาสเกิดขึ้นน้อยมาก ขั้นตอนที่คล้ายกันนี้ใช้ในการตัดสินกรณีที่ทีมมีคะแนนเท่ากันในการคัดเลือกตัวผู้เล่น NFLการโยนเหรียญในกรณีเหล่านี้พบได้บ่อยกว่า เนื่องจากขั้นตอนการตัดสินกรณีที่ทีมมีคะแนนเท่ากันในการคัดเลือกตัวผู้เล่นนั้นซับซ้อนน้อยกว่าขั้นตอนการจัดอันดับในรอบเพลย์ออฟมาก

เมเจอร์ลีกเบสบอลเคยจัดการโยนเหรียญหลายครั้งในช่วงเดือนสุดท้ายของฤดูกาลปกติเพื่อกำหนดทีมเหย้าสำหรับ เกม เพลย์ออฟนัดเดียวที่อาจต้องเพิ่มเข้าไปในฤดูกาลปกติ กรณีส่วนใหญ่เหล่านี้ไม่ได้เกิดขึ้น ตั้งแต่ฤดูกาล 2009วิธีการกำหนดความได้เปรียบในบ้านได้ถูกเปลี่ยนแปลง^{[ 17 ]}

กติกาของ สหพันธ์กีฬาฟันดาบนานาชาติ (Fédération Internationale d'Escrime)ใช้การโยนเหรียญเพื่อตัดสินผู้ชนะใน การแข่งขัน ฟันดาบ บางประเภท ที่เสมอกันหลังจากช่วงต่อเวลาพิเศษ " ซัดเดนเดธ " หนึ่งนาที อย่างไรก็ตาม ในการแข่งขันระดับนานาชาติส่วนใหญ่ ปัจจุบันการตัดสินจะใช้ระบบอิเล็กทรอนิกส์โดยอุปกรณ์ให้คะแนนแทน

ในสหรัฐอเมริกาAsa LovejoyและFrancis W. Pettygroveซึ่งต่างก็เป็นเจ้าของสิทธิ์ในที่ดินซึ่งต่อมาจะกลายเป็นเมืองพอร์ตแลนด์ รัฐโอเรกอนต้องการตั้งชื่อเมืองใหม่ตามชื่อบ้านเกิดของพวกเขาคือบอสตัน รัฐแมสซาชู เซตส์ และพอร์ตแลนด์ รัฐเมนตามลำดับ Pettygrove ชนะด้วยการโยนเหรียญ ซึ่งเหรียญนี้ได้รับการเก็บรักษาไว้ในชื่อเหรียญพอร์ตแลนด์เพนนี^{[ 18 ]}

บางครั้งนักวิทยาศาสตร์ใช้การโยนเหรียญเพื่อกำหนดลำดับการปรากฏชื่อของพวกเขาในรายชื่อผู้เขียนบทความวิชาการ^{[ 19 ]}

นอกจากประโยชน์ในทางปฏิบัติในวงการกีฬาแล้ว การโยนเหรียญยังเป็นสัญลักษณ์ของหลักการประชาธิปไตยเรื่องโอกาสที่เท่าเทียมกัน เมื่อสองฝ่ายเผชิญทางตัน การโยนเหรียญแสดงถึงความมุ่งมั่นที่จะรักษาความเป็นกลางและความเต็มใจที่จะยอมรับผลลัพธ์ ไม่ว่ามันจะดูไม่เป็นธรรมเพียงใดก็ตาม การยอมรับร่วมกันว่าโอกาสคือผู้ตัดสินขั้นสุดท้ายนี้ สามารถส่งเสริมความร่วมมือและการแก้ไขความขัดแย้งในด้านต่างๆ ของชีวิตนอกเหนือจากกีฬา รวมถึงการเจรจาทางธุรกิจและความขัดแย้งระหว่างบุคคล

ฝ่ายที่ทายด้านที่หงายขึ้นเมื่อเหรียญตกจะเป็นผู้ชนะ

ความจำเป็นตามแบบอย่างในการชนะในการพลิกสถานะคู่ได้กระตุ้นให้เกิดวิธีการโกงเพื่อปรับปรุงหรือรับประกันการชนะในเหตุการณ์ที่ดูเหมือนสุ่ม^{[ 20 ]}

ในเดือนธันวาคม พ.ศ. 2549 เครือข่ายโทรทัศน์ของออสเตรเลียSevenและTenซึ่งร่วมกันออกอากาศการแข่งขัน AFL ฤดูกาล 2550ได้ตัดสินว่าใครจะเป็นผู้ออกอากาศรอบชิงชนะเลิศด้วยการโยนเหรียญ เครือข่าย Ten เป็นฝ่ายชนะ^{[ 21 ]}

ในบางเขตอำนาจศาล การโยนเหรียญจะใช้ตัดสินระหว่างผู้สมัครสองคนที่ได้รับคะแนนเสียงเท่ากันในการเลือกตั้งหรือระหว่างสองบริษัทที่เสนอราคาเท่ากันสำหรับโครงการหนึ่งๆ ตัวอย่างเช่น การโยนเหรียญตัดสิน การประกวดราคา ของเมืองโตรอนโตในปี 2546 สำหรับการทาสีเส้นบนถนนในเมืองระยะทาง 1,605 กิโลเมตร โดยมีราคาเสนอทั้งหมด 3 ราคา คือ 161,110.00 ดอลลาร์ (100.3800623 ดอลลาร์ต่อกิโลเมตร), 146,584.65 ดอลลาร์ (91.33 ดอลลาร์ต่อกิโลเมตร) และ 111,242.55 ดอลลาร์ (69.31 ดอลลาร์ต่อกิโลเมตร) ซึ่งเป็นราคาที่เท่ากันสองราคา

“ การจับฉลาก ” เป็นหนึ่งในวิธีการที่จะตัดสินผู้ชนะในการเลือกตั้งในกรณีที่คะแนนเสียงเท่ากัน การโยนเหรียญถือเป็นรูปแบบที่ยอมรับได้ ผู้สมัครแต่ละคนจะได้รับโอกาสโยนเหรียญ 5 ครั้ง ผู้สมัครที่ได้ “หัว” มากที่สุดจะเป็นผู้ชนะ การเลือกตั้งนายกเทศมนตรีเมืองซานเตโอโดโร จังหวัดโอเรียนทัลมินโดโร ประจำ ปี 2013 ตัดสินด้วยการโยนเหรียญ โดยมีการประกาศผู้ชนะหลังจากรอบที่สองเมื่อผู้สมัครทั้งสองมีคะแนนเสียงเท่ากันในรอบแรก^{[ 22 ]}

ในสหราชอาณาจักร หากการเลือกตั้งระดับท้องถิ่นหรือระดับชาติมีผลเสมอกัน โดยที่ผู้สมัครได้รับคะแนนเสียงเท่ากัน ผู้ชนะสามารถตัดสินได้โดยการจับฉลาก การโยนเหรียญ หรือการจั่วไพ่ใบสูงในสำรับไพ่^{[ 23 ] [ 24 ]}

ในสหรัฐอเมริกาเมื่อมีการเพิ่มรัฐใหม่เข้าสู่สหภาพ การโยนเหรียญจะกำหนดชั้นของวุฒิสมาชิก (เช่น รอบการเลือกตั้งที่วาระของวุฒิสมาชิกแต่ละคนของรัฐใหม่จะหมดลง) ในวุฒิสภาสหรัฐ^{[ 25 ]}นอกจากนี้ รัฐจำนวนหนึ่งยังกำหนดให้มีการ "จับฉลาก" ในกรณีที่การเลือกตั้งจบลงด้วยคะแนนเสียงเท่ากัน และโดยปกติจะตัดสินโดยการโยนเหรียญหรือการจับชื่อจากหมวก การเลือกตั้งในปี 2017 สำหรับเขตที่ 94 ของสภาผู้แทนราษฎรเวอร์จิเนียส่งผลให้คะแนนเสียงเท่ากันระหว่างเดวิด แยนซีย์ ผู้ดำรงตำแหน่งจากพรรครีพับ ลิกัน และเชลลี ซิมมอนด์ส ผู้ท้าชิงจากพรรคเดโมแครต โดยได้คะแนนเสียงเท่ากันที่ 11,608 คะแนน ตามกฎหมายของรัฐ การเลือกตั้งจะต้องตัดสินโดยการจับชื่อจากชาม แม้ว่าการโยนเหรียญก็เป็นตัวเลือกที่ยอมรับได้เช่นกัน ประธานคณะกรรมการการเลือกตั้งจับได้กระป๋องฟิล์มที่มีชื่อของแยนซีย์ และเขาได้รับการประกาศให้เป็นผู้ชนะ^{[ 26 ]}นอกจากนี้ ผลลัพธ์ของการจับฉลากยังกำหนดการควบคุมสภาทั้งหมด เนื่องจากพรรครีพับลิกันชนะ 50 ที่นั่งจาก 99 ที่นั่งที่เหลือ และพรรคเดโมแครตชนะ 49 ที่นั่ง หาก Yancey ชนะ จะทำให้พรรครีพับลิกันมีคะแนนนำเพิ่มขึ้นเป็น 51–49 ในขณะที่หาก Simmonds ชนะ จะทำให้เกิดการเสมอกันที่ 50–50 เนื่องจากไม่มีบทบัญญัติสำหรับการตัดสินกรณีคะแนนเสียงเท่ากันในสภาโดยรวม ดังนั้นจึงจะบังคับให้เกิดข้อตกลงแบ่งอำนาจระหว่างสองพรรค^{[ 27 ]}

ผลลัพธ์ของการโยนเหรียญได้รับการศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์และอดีตนักมายากลPersi Diaconisและผู้ร่วมงานของเขา พวกเขาได้แสดงให้เห็นว่าเครื่องโยนเหรียญเชิงกลซึ่งให้เงื่อนไขเริ่มต้นเดียวกันสำหรับการโยนแต่ละครั้งมีผลลัพธ์ที่คาดเดาได้สูง โดยที่พื้นที่เฟสค่อนข้างสม่ำเสมอ ยิ่งไปกว่านั้น ในการโยนเหรียญด้วยมือ ผู้คนจะสร้างอคติเล็กน้อย – "การโยนเหรียญมีความยุติธรรมถึงทศนิยมสองตำแหน่ง แต่ไม่ยุติธรรมถึงสามตำแหน่ง นั่นคือ การโยนเหรียญทั่วไปแสดงอคติเช่น 0.495 หรือ 0.503" ^{[ 28 ]}

ในการศึกษาการโยนเหรียญ เพื่อสังเกตความเร็วในการหมุนของการโยนเหรียญ Diaconis ใช้ไฟแฟลชและเหรียญที่มีด้านหนึ่งทาสีดำ อีกด้านทาสีขาว เพื่อให้เมื่อความเร็วของแสงแฟลชเท่ากับอัตราการหมุนของเหรียญ จะปรากฏให้เห็นด้านเดียวกันเสมอ วิธีนี้พิสูจน์แล้วว่าใช้ยาก และอัตราการหมุนจะคำนวณได้แม่นยำกว่าโดยการผูกด้ายเข้ากับเหรียญ เพื่อให้ด้ายพันรอบเหรียญ – หลังจากการโยนเหรียญแล้ว สามารถนับจำนวนรอบการหมุนได้โดยการคลายด้ายออก จากนั้นคำนวณอัตราการหมุนเป็นจำนวนครั้งที่โยนหารด้วยเวลาในอากาศ^{[ 28 ]}

ยิ่งไปกว่านั้น การวิเคราะห์เชิงทฤษฎีเกี่ยวกับฟิสิกส์ของการโยนเหรียญทำนายว่าเหรียญที่ถูกจับได้จะมีแนวโน้มที่จะถูกจับในลักษณะเดียวกับที่ถูกโยน โดยมีความน่าจะเป็นประมาณ 0.51 ^{[ 29 ]}แม้ว่าความพยายามในปี 2009 ที่จะตรวจสอบสิ่งนี้ในเชิงทดลองที่เบิร์กลีย์ด้วยการโยน 40,000 ครั้งจะให้ผลลัพธ์ที่ไม่ชัดเจน^{[ 30 ]}การศึกษาที่ใหญ่กว่ามากในปี 2023 ของมหาวิทยาลัยอัมสเตอร์ดัม (ซึ่งได้รับรางวัล Ig Nobel Prize ในปี 2024 ^{[ 31 ]} ) ได้ทำการโยน 350,757 ครั้ง พบว่ามีค่าเฉลี่ยความเอนเอียงไปทางด้านเดียวกันที่ 50.8% แต่แตกต่างกันไปในแต่ละบุคคล^{[ 32 ] [ 33 ]}

เนื่องจากภาพบนเหรียญจริงทั้งสองด้านทำจากโลหะนูน การโยนเหรียญจึงมีแนวโน้มที่จะเอนเอียงไปทางด้านใดด้านหนึ่งเล็กน้อย หากปล่อยให้เหรียญกลิ้งไปบนขอบด้านใดด้านหนึ่งเมื่อตกกระทบพื้น การหมุนเหรียญมีโอกาสที่จะเอนเอียงมากกว่าการโยนเหรียญมาก

นักมายากลบนเวทีและนักพนัน เมื่อฝึกฝนมาอย่างดี จะสามารถเพิ่มอคติในการหงายด้านเดียวกันขึ้นได้อย่างมาก ในขณะที่ยังคงโยนเหรียญซึ่งมองเห็นได้ไม่แตกต่างจากการโยนปกติ^{[ 28 ]}นักมายากลจะตัดขอบเหรียญเพื่อให้เมื่อหมุนบนพื้นผิว เหรียญมักจะตกลงบนด้านใดด้านหนึ่งโดยเฉพาะ

สัญชาตญาณของมนุษย์เกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขมักจะแย่มาก (ดูข้อผิดพลาดของนักพนัน ) และอาจก่อให้เกิดข้อสังเกตที่ดูเหมือนน่าประหลาดใจได้ ตัวอย่างเช่น หากการโยนเหรียญที่ต่อเนื่องกันถูกบันทึกเป็นสตริงของ "H" และ "T" แล้วสำหรับการทดลองโยนเหรียญใดๆ ก็ตาม มีโอกาสเป็นสองเท่าที่ชุดตัวเลข TTH จะเกิดขึ้นก่อน THT มากกว่าที่จะเกิดขึ้นหลังจากนั้น มีโอกาสเป็นสามเท่าที่ "THH จะเกิดขึ้นก่อน HHT" มากกว่าที่ "THH จะเกิดขึ้นหลังจาก HHT" ^{[ 35 ]}ดูเกมของเพนนีย์ด้วย

การอธิบายเชิงคณิตศาสตร์ของสถิติการโยนเหรียญนั้น อธิบายได้ด้วยกระบวนการเบอร์นูลลี โดย การโยนเหรียญหนึ่งครั้งถือเป็นการทดลองแบบเบอร์นูลลีในการศึกษาสถิติ การโยนเหรียญมีบทบาทเป็นตัวอย่างเบื้องต้นของความซับซ้อนของสถิติ หัวข้อที่กล่าวถึงกันทั่วไปในตำราเรียนคือการตรวจสอบว่าเหรียญนั้นยุติธรรมหรือไม่

ไม่มีวิธีใดที่น่าเชื่อถือในการใช้การโยนเหรียญเพื่อตัดสินข้อพิพาทระหว่างสองฝ่าย หากทั้งสองฝ่ายไม่สามารถมองเห็นเหรียญได้ เช่น ผ่านทางโทรศัพท์ ฝ่ายที่โยนเหรียญอาจโกหกเกี่ยวกับผลลัพธ์ของการโยนได้ง่าย ในด้านโทรคมนาคมและการเข้ารหัสลับสามารถใช้อัลกอริธึมต่อไปนี้ได้:

1. อลิซและบ็อบต่างเลือกคำสุ่มคนละคำโดยไม่ให้ใครเห็น เช่นbubblejetและknockbackตามลำดับ
2. อลิซตัดสินใจในใจว่าจะเลือก "ก้อย" ในการโยนเหรียญ
3. บ็อบส่งคำที่เขาเลือกให้กับอลิknockbackซ
4. อลิซคำนวณแฮชเข้ารหัสลับของสตริงที่ประกอบด้วยคำสองคำที่เลือกไว้และการโทร (เช่นbubblejet knockback tails) และส่งแฮชนั้น (เช่น3fe97d8e6456a1dce4508d00251345e3) ไปให้บ็อบ
5. บ็อบทำการโยนเหรียญจริง ๆ และประกาศผลว่าได้หัวหรือก้อยให้แก่อลิซฟัง
6. อลิซเปิดเผยว่าสตริงที่เธอแฮชนั้นbubblejet knockback tailsประกอบด้วยคำพูดของทั้งสองคนและเสียงเรียกของtails
7. บ็อบยืนยันด้วยตัวเองว่านั่น3fe97d8e6456a1dce4508d00251345e3คือแฮชของbubblejet knockback tails
8. ตอนนี้ทั้งสองฝ่ายสามารถตรวจสอบได้ว่าการที่อลิซตะโกนว่า "ก้อย" ตรงกับการที่บ็อบตะโกนว่าเหรียญออกหรือไม่

บ็อบ ด้วยการใส่คำสุ่มของตัวเอง ทำให้มั่นใจได้ว่าอลิซไม่สามารถคำนวณภาพคู่ "ก้อย/สตริงสุ่ม" หรือ "หัว/สตริงสุ่ม" สำหรับคำสุ่มสองคำที่แตกต่างกันได้ นอกจากนี้ บ็อบยังไม่สามารถย้อนกลับค่าแฮชของอลิซเพื่อดูว่าผลลัพธ์ที่เธอเลือกคืออะไรก่อนที่จะโยนเหรียญ และไม่สามารถโกหกเกี่ยวกับผลลัพธ์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ เนื่องจากเขาไม่ทราบคำสุ่มของอลิซในขั้นตอนนั้น

เกมลอตเตอรี่Big Wednesday ของนิวซีแลนด์ ใช้การโยนเหรียญ หากผู้เล่นทายถูกทั้งหกหมายเลข การโยนเหรียญจะ เป็นตัวตัดสินว่าพวกเขาจะได้รับรางวัลแจ็กพอตเงินสด (อย่างน้อย 25,000 ดอลลาร์นิวซีแลนด์) หรือแจ็กพอตที่ใหญ่กว่าพร้อมของรางวัลสุดหรู (อย่างน้อย 2 ล้านดอลลาร์นิวซีแลนด์ พร้อมมูลค่าของรางวัลสุดหรู) การโยนเหรียญยังใช้ในการตัดสินรางวัลของผู้ชนะในรอบ Second Chance ด้วย

เทคนิคหนึ่งที่เชื่อกันว่าเป็นของซิกมุนด์ ฟรอยด์เพื่อช่วยในการตัดสินใจที่ยากลำบาก คือการโยนเหรียญ ไม่ใช่เพื่อตัดสินการตัดสินใจ แต่เพื่อชี้แจงความรู้สึกของผู้ตัดสินใจ เขาอธิบายว่า: "ฉันไม่ได้บอกว่าคุณควรทำตามสิ่งที่เหรียญบอกคุณอย่างงมงาย สิ่งที่ฉันต้องการให้คุณทำคือจดบันทึกสิ่งที่เหรียญบ่งบอก จากนั้นพิจารณาปฏิกิริยาของคุณเอง ถามตัวเองว่า: ฉันพอใจไหม? ฉันผิดหวังไหม? นั่นจะช่วยให้คุณรับรู้ว่าคุณรู้สึกอย่างไรเกี่ยวกับเรื่องนั้นอย่างแท้จริง ลึกๆ แล้ว ด้วยพื้นฐานนั้น คุณก็จะพร้อมที่จะตัดสินใจและมาถึงการตัดสินใจที่ถูกต้อง" ^{[ 36 ]}

หนังสือGrooks ปี เอต ไฮน์กวีชาวเดนมาร์กที่ตีพิมพ์ ในปี 1966 มีบทกวีชื่อ "เคล็ดลับทางจิตวิทยา" ซึ่งมีเนื้อหาคล้ายคลึงกัน:

เมื่อใดก็ตามที่คุณต้องตัดสินใจ และคุณลังเลเพราะไม่มี ทางเลือก วิธีที่ดีที่สุดในการแก้ปัญหานั้น คุณจะพบว่า คือการหมุนเหรียญ ไม่ใช่เพื่อให้โชคชะตาตัดสินเรื่องนั้น ในขณะที่คุณยืนอยู่เฉยๆ อย่างเศร้า สร้อย แต่ในขณะที่เหรียญลอยขึ้นไปในอากาศ คุณก็จะรู้ทันทีว่าคุณหวังอะไร

• เหรียญยุติธรรม
• พลิกกลับ
• เป่า ยิง ฉุบ
• สองคน

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับการโยนเหรียญในวิกิมีเดียคอมมอนส์