พื้นฐานของเรขาคณิตคือการศึกษาเรขาคณิตในฐานะระบบสัจพจน์มีสัจพจน์หลายชุดที่ก่อให้เกิดเรขาคณิตแบบยุคลิดหรือเรขาคณิตแบบไม่ยุคลิด สัจพจน์เหล่านี้เป็นพื้นฐานสำคัญในการศึกษาและมีความสำคัญทางประวัติศาสตร์ แต่ก็มีเรขาคณิตสมัยใหม่จำนวนมากที่ไม่ใช่แบบยุคลิดซึ่งสามารถศึกษาได้จากมุมมองนี้ คำว่าเรขาคณิตเชิงสัจพจน์สามารถนำไปใช้กับเรขาคณิตใดๆ ที่พัฒนามาจากระบบสัจพจน์ แต่โดยทั่วไปมักใช้ในความหมายของเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ศึกษาจากมุมมองนี้ ความสมบูรณ์และความเป็นอิสระของระบบสัจพจน์ทั่วไปเป็นข้อพิจารณาทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ แต่ยังมีประเด็นที่เกี่ยวข้องกับการสอนเรขาคณิตที่เข้ามาเกี่ยวข้องด้วย

ระบบสัจพจน์ซึ่งอิงตามวิธีการของกรีกโบราณเป็นคำอธิบายอย่างเป็นทางการของวิธีการสร้างความจริงทางคณิตศาสตร์ที่มาจากชุดสมมติฐานที่กำหนดไว้ แม้ว่าจะสามารถนำไปใช้กับคณิตศาสตร์สาขาใดก็ได้ แต่เรขาคณิตเป็นสาขาของคณิตศาสตร์พื้นฐานที่วิธีการนี้ได้รับการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางและประสบความสำเร็จมากที่สุด^{[ 1 ]}

ระบบสัจพจน์มีองค์ประกอบหลายอย่าง^{[ 2 ]}

1. แนวคิดพื้นฐาน (คำที่ไม่ได้รับการนิยาม) คือแนวคิดที่พื้นฐานที่สุด โดยทั่วไปแล้วจะรวมถึงวัตถุและความสัมพันธ์ ในเรขาคณิต วัตถุคือสิ่งต่างๆ เช่นจุดเส้นและระนาบในขณะที่ความสัมพันธ์พื้นฐานคือความสัมพันธ์ของการตกกระทบ – การที่วัตถุหนึ่งมาพบหรือเชื่อมต่อกับอีก วัตถุ หนึ่ง คำเหล่านี้เองก็ไม่ได้รับการนิยามฮิลเบิร์ตเคยกล่าวไว้ว่า แทนที่จะพูดถึงจุด เส้น และระนาบ เราอาจพูดถึงโต๊ะ เก้าอี้ และแก้วเบียร์ก็ได้ ^{[ 3 ]}ประเด็นของเขาคือ คำพื้นฐานเป็นเพียงเปลือกที่ว่างเปล่า เป็นตัวแทน หากคุณต้องการ และไม่มีคุณสมบัติที่แท้จริง
2. สัจพจน์ (หรือสมมติฐาน) คือข้อความเกี่ยวกับรูปทรงพื้นฐานเหล่านี้ ตัวอย่างเช่นจุดสองจุดใดๆ จะอยู่บนเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้น (กล่าวคือ สำหรับจุดสองจุดใดๆ จะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ผ่านทั้งสองจุด) สัจพจน์นั้นถือว่าจริงอยู่แล้ว ไม่ได้พิสูจน์ สัจพจน์เป็นองค์ประกอบพื้นฐานของแนวคิดทางเรขาคณิต เนื่องจากระบุคุณสมบัติของรูปทรงพื้นฐานเหล่านั้น
3. กฎแห่งตรรกศาสตร์
4. ทฤษฎีบท^{[ 4 ]}เป็นผลตามตรรกะของสัจพจน์ นั่นคือ ข้อความที่สามารถได้รับจากสัจพจน์โดยใช้กฎของตรรกะแบบนิรนัย

การตีความระบบสัจพจน์คือวิธีเฉพาะในการให้ความหมายที่เป็นรูปธรรมแก่สัจพจน์พื้นฐานของระบบนั้น หากการเชื่อมโยงความหมายนี้ทำให้สัจพจน์ของระบบเป็นข้อความที่เป็นจริง การตีความนั้นจะเรียกว่าแบบจำลองของระบบ^{[ 5 ]}ในแบบจำลอง ทฤษฎีบททั้งหมดของระบบจะเป็นข้อความที่เป็นจริงโดยอัตโนมัติ

ในการพูดคุยเกี่ยวกับระบบสัจพจน์ มักจะเน้นไปที่คุณสมบัติหลายประการ: ^{[ 6 ]}

• กล่าวได้ว่าสัจพจน์ของระบบสัจพจน์นั้นมีความสอดคล้องกันหากไม่สามารถอนุมานความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ จากสัจพจน์เหล่านั้นได้ ยกเว้นในระบบที่ง่ายที่สุด ความสอดคล้องกันเป็นคุณสมบัติที่ยากต่อการพิสูจน์ในระบบสัจพจน์ ในทางกลับกัน หาก มี แบบจำลองสำหรับระบบสัจพจน์นั้น ความขัดแย้งใดๆ ที่สามารถอนุมานได้ในระบบก็สามารถอนุมานได้ในแบบจำลองเช่นกัน และระบบสัจพจน์นั้นก็จะมีความสอดคล้องกันเช่นเดียวกับระบบใดๆ ที่แบบจำลองนั้นเป็นส่วนหนึ่ง คุณสมบัตินี้ (การมีแบบจำลอง) เรียกว่าความสอดคล้องกันเชิงสัมพัทธ์หรือ ความสอดคล้องกัน ของแบบจำลอง
• สัจพจน์หนึ่งเรียกว่าเป็นอิสระถ้าไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้จากสัจพจน์อื่นๆ ในระบบสัจพจน์นั้น ระบบสัจพจน์จะเรียกว่าเป็นอิสระ ถ้าสัจพจน์แต่ละข้อในระบบนั้นเป็นอิสระ ถ้าข้อความที่เป็นจริงเป็นผลลัพธ์เชิงตรรกะของระบบสัจพจน์แล้ว ข้อความนั้นจะเป็นข้อความที่เป็นจริงในทุกแบบจำลองของระบบนั้น การพิสูจน์ว่าสัจพจน์หนึ่งเป็นอิสระจากสัจพจน์ที่เหลือในระบบนั้น เพียงพอที่จะหาแบบจำลองสองแบบของสัจพจน์ที่เหลือ ซึ่งสัจพจน์นั้นเป็นข้อความที่เป็นจริงในแบบจำลองหนึ่งและเป็นข้อความที่เป็นเท็จในอีกแบบจำลองหนึ่ง ความเป็นอิสระไม่ใช่คุณสมบัติที่พึงปรารถนาเสมอไปจากมุมมองทางการศึกษา
• ระบบสัจพจน์จะเรียกว่าสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อทุกข้อความที่สามารถแสดงได้ในรูปของระบบนั้น สามารถพิสูจน์ได้ หรือมีข้อความปฏิเสธที่พิสูจน์ได้ อีกวิธีหนึ่งในการกล่าวถึงเรื่องนี้คือ ไม่มีข้อความอิสระใด ๆ ที่สามารถเพิ่มเข้าไปในระบบสัจพจน์ที่สมบูรณ์ได้ ซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ของระบบนั้น
• ระบบสัจพจน์เรียกว่าเป็นระบบเชิงหมวดหมู่หากแบบจำลองสองแบบใดๆ ของระบบนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิก (โดยพื้นฐานแล้ว มีเพียงแบบจำลองเดียวสำหรับระบบนั้น) ระบบเชิงหมวดหมู่จำเป็นต้องสมบูรณ์ แต่ความสมบูรณ์ไม่ได้หมายความถึงความเป็นเชิงหมวดหมู่ ในบางสถานการณ์ ความเป็นเชิงหมวดหมู่ไม่ใช่คุณสมบัติที่พึงปรารถนา เนื่องจากระบบสัจพจน์เชิงหมวดหมู่ไม่สามารถสรุปเป็นกรณีทั่วไปได้ ตัวอย่างเช่น คุณค่าของระบบสัจพจน์สำหรับทฤษฎีกลุ่มคือมันไม่ใช่ระบบเชิงหมวดหมู่ ดังนั้นการพิสูจน์ผลลัพธ์ในทฤษฎีกลุ่มหมายความว่าผลลัพธ์นั้นใช้ได้กับแบบจำลองต่างๆ ทั้งหมดของทฤษฎีกลุ่ม และไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ผลลัพธ์ซ้ำในแต่ละแบบจำลองที่ไม่เป็นไอโซมอร์ฟิก

เรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นระบบทางคณิตศาสตร์ที่เชื่อกันว่าเป็นผลงานของยูคลิดนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกแห่งอเล็กซานเดรีย ซึ่งเขาได้อธิบายไว้ (แม้จะไม่เข้มงวดตามมาตรฐานสมัยใหม่) ในตำราเรขาคณิต ของเขาที่ ชื่อว่า Elementsวิธีการของยูคลิดประกอบด้วยการสมมติสัจพจน์ จำนวนเล็กน้อยที่เข้าใจได้ง่าย และการอนุมานข้อเสนอ ( ทฤษฎีบท ) อื่นๆ อีกมากมายจากสัจพจน์เหล่านี้ แม้ว่าผลลัพธ์หลายอย่างของยูคลิดจะได้รับการกล่าวถึงโดยนักคณิตศาสตร์รุ่นก่อนๆ มาแล้ว^{[ 7 ]} ยูคลิดเป็นคนแรกที่แสดงให้เห็นว่า ข้อเสนอเหล่านี้สามารถเข้ากับระบบการ อนุมานและตรรกะที่ครอบคลุมได้อย่างไร ^{[ 8 ]} Elements เริ่มต้นด้วยเรขาคณิตระนาบ ซึ่งยังคงสอนกันในโรงเรียนมัธยม ในฐานะ ระบบสัจพจน์แรกและตัวอย่างแรกของการพิสูจน์อย่างเป็นทางการจากนั้นก็กล่าวถึงเรขาคณิตสามมิติ เนื้อหา ส่วนใหญ่ของElementsกล่าวถึงผลลัพธ์ของสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าพีชคณิตและทฤษฎีจำนวนซึ่งอธิบายด้วยภาษาเรขาคณิต^{[ 7 ]}

เป็นเวลากว่าสองพันปีแล้วที่คำว่า "ยูคลิด" ไม่จำเป็น เพราะไม่มีการคิดค้นเรขาคณิตแบบอื่นขึ้นมา สัจพจน์ของยูคลิดดูเหมือนจะชัดเจนโดยสัญชาตญาณ (ยกเว้นสัจพจน์เส้นขนาน ) ดังนั้นทฤษฎีบทใดๆ ที่พิสูจน์ได้จากสัจพจน์เหล่านั้นจึงถือว่าถูกต้องในแง่สัมบูรณ์ ซึ่งมักจะเป็นความหมายเชิงอภิปรัชญา อย่างไรก็ตาม ในปัจจุบันมีการค้นพบเรขาคณิตอื่นๆ ที่ไม่ใช่ยูคลิดอีกมากมาย โดยเรขาคณิตแบบแรกๆ ถูกค้นพบในช่วงต้นศตวรรษที่ 19

ตำรา Elementsของยูคลิดเป็นตำราคณิตศาสตร์และเรขาคณิต ที่ประกอบด้วยหนังสือ 13 เล่ม เขียนโดยยูคลิดนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก โบราณ ใน เมืองอเล็ก ซานเดรียราว 300 ปีก่อนคริสตกาล เป็นการรวบรวมคำจำกัดความ สัจพจน์ ( สัจพจน์ ) ข้อเสนอ ( ทฤษฎีบทและการสร้าง ) และการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ของข้อเสนอ หนังสือทั้งสิบสามเล่มครอบคลุมเรขาคณิตแบบยูคลิด และ ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นแบบกรีกโบราณยกเว้นOn the Moving Sphere ของ ออโตลิคัสแล้ว Elements เป็นหนึ่งในตำราคณิตศาสตร์กรีกที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังคงหลงเหลืออยู่^{[ 9 ]}และเป็นตำราคณิตศาสตร์ เชิงสัจพจน์แบบนิรนัยที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังคง หลงเหลือ อยู่ พิสูจน์แล้ว ว่า มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาตรรกศาสตร์และวิทยาศาสตร์ สมัยใหม่

หนังสือElementsของยูคลิดได้รับการกล่าวถึงว่าเป็นตำราเรียนที่ประสบความสำเร็จมากที่สุด^{[ 10 ] [ 11 ]}และมีอิทธิพล มากที่สุด ^{[ 12 ]} เท่าที่เคยเขียนมา โดยได้รับการพิมพ์ครั้งแรกใน เมืองเวนิสในปี 1482 นับเป็นหนึ่งในงานคณิตศาสตร์ยุคแรกๆ ที่ได้รับการพิมพ์หลังจากมีการประดิษฐ์แท่นพิมพ์และคาร์ล เบนจามิน บอยเออร์ ได้ประมาณการว่า มีจำนวนการพิมพ์มากเป็นอันดับสองรองจากพระคัมภีร์^{[ 12 ]}โดยมีจำนวนมากกว่าหนึ่งพันฉบับ^{[ 13 ]}เป็นเวลาหลายศตวรรษที่เมื่อวิชา คณิตศาสตร์ พื้นฐาน (quadrivium)ถูกรวมอยู่ในหลักสูตรของนักศึกษามหาวิทยาลัยทุกคน ความรู้เกี่ยวกับElements ของยูคลิดอย่างน้อยบางส่วน จึงเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับนักศึกษาทุกคน จนกระทั่งศตวรรษที่ 20 ซึ่งเนื้อหาของหนังสือเล่มนี้ได้รับการสอนอย่างแพร่หลายผ่านตำราเรียนอื่นๆ จึงเลิกถือว่าหนังสือเล่มนี้เป็นสิ่งที่ผู้มีการศึกษาทุกคนเคยอ่าน^{[ 14 ]}

หนังสือElementsส่วนใหญ่เป็นการจัดระบบความรู้ทางเรขาคณิตที่มีอยู่ก่อนหน้านี้ เชื่อกันว่าความเหนือกว่าของหนังสือ Elements เมื่อเทียบกับวิธีการก่อนหน้านี้ได้รับการยอมรับ ส่งผลให้ไม่มีความสนใจในการอนุรักษ์วิธีการก่อนหน้านี้ และปัจจุบันวิธีการเหล่านั้นเกือบทั้งหมดสูญหายไปแล้ว

หนังสือเล่มที่ 1–4 และ 6 กล่าวถึงเรขาคณิตระนาบ มีการพิสูจน์ผลลัพธ์มากมายเกี่ยวกับรูปทรงระนาบ เช่นถ้าสามเหลี่ยมมีมุมเท่ากันสองมุม ด้านที่รองรับมุมทั้งสองนั้นจะเท่ากันมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส^{[ 15 ]}

หนังสือเล่มที่ 5 และ 7-10 กล่าวถึงทฤษฎีจำนวน โดยใช้เรขาคณิตในการพิจารณาจำนวนผ่านการแสดงแทนด้วยส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวต่างกัน มีการแนะนำแนวคิดต่างๆ เช่นจำนวนเฉพาะจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะและมีการพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะมีเป็นอนันต์

หนังสือเล่มที่ 11-13 เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตทรงสามมิติ ตัวอย่างที่สำคัญคือ อัตราส่วน 1:3 ระหว่างปริมาตรของกรวยและทรงกระบอกที่มีความสูงและฐานเท่ากัน

ในช่วงต้นของหนังสือเล่มแรกของElementsยูคลิดได้ให้สpostulates (axioms) ห้าข้อสำหรับเรขาคณิตระนาบ โดยระบุในแง่ของการสร้าง (ตามที่แปลโดย Thomas Heath): ^{[ 16 ]}

ขอตั้งสมมติฐานดังต่อไปนี้:

1. การลากเส้นตรงจากจุด ใดจุดหนึ่ง ไปยังจุดใดจุดหนึ่ง
2. เพื่อต่อขยายเส้นตรงที่มีความยาวจำกัดอย่างต่อเนื่องเป็นเส้นตรง
3. เพื่ออธิบายวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางและรัศมีใดๆ
4. มุมฉากทุกมุมมีขนาดเท่ากัน
5. [ สัจพจน์เส้นขนาน :] ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกับเส้นตรงสองเส้น แล้วมุมภายในด้านเดียวกันมีค่าน้อยกว่าสองมุมฉาก เส้นตรงทั้งสองนั้น ถ้าลากต่อไปเรื่อยๆ จะมาบรรจบกันที่ด้านที่มีมุมภายในมีค่าน้อยกว่าสองมุมฉาก

แม้ว่าคำกล่าวของยูคลิดเกี่ยวกับสัจพจน์จะยืนยันอย่างชัดเจนเพียงการมีอยู่ของโครงสร้างเหล่านั้น แต่ก็ยังถือว่าโครงสร้างเหล่านั้นก่อให้เกิดวัตถุที่ไม่ซ้ำกันอีกด้วย

ความสำเร็จของหนังสือElementsนั้นเกิดจากการนำเสนอความรู้ทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ที่มีอยู่สำหรับยูคลิดอย่างเป็นระบบและมีเหตุผล เนื้อหาส่วนใหญ่ไม่ได้เป็นผลงานดั้งเดิมของเขา แม้ว่าบทพิสูจน์หลายบทจะถูกกล่าวอ้างว่าเป็นของเขา การพัฒนาอย่างเป็นระบบของยูคลิดในเรื่องนี้ ตั้งแต่ชุดสัจพจน์เล็กๆ ไปจนถึงผลลัพธ์ที่ลึกซึ้ง และความสอดคล้องของแนวทางของเขาตลอดทั้งหนังสือElementsทำให้หนังสือเล่มนี้ถูกใช้เป็นตำราเรียนมาประมาณ 2,000 ปี Elements ยังคงมีอิทธิพลต่อหนังสือเรขาคณิตสมัยใหม่ ยิ่งไปกว่านั้น แนวทางเชิงสัจพจน์และบทพิสูจน์ที่เข้มงวดของ Elementsยังคงเป็นรากฐานสำคัญของคณิตศาสตร์

มาตรฐานความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ได้เปลี่ยนแปลงไปนับตั้งแต่ยูคลิดเขียนหนังสือElements [ ^{17 ] ทัศนคติ}และมุมมองสมัยใหม่ที่มีต่อระบบสัจพจน์อาจทำให้ดูเหมือนว่ายูคลิดมีความไม่รอบคอบหรือประมาทเลินเล่อในการเข้าถึงเรื่องนี้ แต่เป็นเพียงภาพลวงตาทางประวัติศาสตร์เท่านั้น มีเพียงหลังจากที่รากฐานได้รับการตรวจสอบอย่างละเอียดถี่ถ้วนเพื่อตอบสนองต่อการนำเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิดมาใช้เท่านั้นที่สิ่งที่เรารู้สึกว่าเป็นข้อบกพร่อง ในปัจจุบัน เริ่มปรากฏขึ้น นักคณิตศาสตร์และนักประวัติศาสตร์WW Rouse Ball ได้นำคำวิจารณ์เหล่านี้มาพิจารณาในมุมมองใหม่ โดยกล่าวว่า "ข้อเท็จจริงที่ว่า [ Elements ] เป็นตำราเรียนทั่วไปในเรื่องนี้มาเป็นเวลาสองพันปี ทำให้เกิดข้อสันนิษฐานที่แข็งแกร่งว่ามันเหมาะสมสำหรับวัตถุประสงค์นั้น" ^{[ 18 ]}

ประเด็นสำคัญบางประการเกี่ยวกับการนำเสนอของยูคลิดมีดังนี้:

• การขาดการรับรู้แนวคิดของคำศัพท์พื้นฐานวัตถุ และแนวคิดที่ต้องไม่กำหนดไว้ในการพัฒนาระบบสัจพจน์^{[ 19 ]}
• การใช้การซ้อนทับในการพิสูจน์บางอย่างโดยไม่มีการให้เหตุผลเชิงสัจพจน์ของวิธีการนี้^{[ 20 ]}
• ขาดแนวคิดเรื่องความต่อเนื่อง ซึ่งจำเป็นต่อการพิสูจน์การมีอยู่ของจุดและเส้นบางจุดที่ยูคลิดสร้างขึ้น^{[ 20 ]}
• ขาดความชัดเจนว่าเส้นตรงเป็นอนันต์หรือไร้ขอบเขตในสมมติฐานข้อที่สอง^{[ 21 ]}
• ขาดแนวคิดเรื่องความเป็นระหว่างกลางที่ใช้เพื่อแยกแยะระหว่างด้านในและด้านนอกของรูปทรงต่างๆ^{[ 22 ]}

รายการสัจพจน์ของยูคลิดในElementsไม่ได้ครอบคลุมทั้งหมด แต่เป็นตัวแทนของหลักการที่ดูเหมือนสำคัญที่สุด การพิสูจน์ของเขามักจะอ้างถึงแนวคิดสัจพจน์ที่ไม่ได้นำเสนอในรายการสัจพจน์ของเขาตั้งแต่แรก^{[ 23 ]}เขาไม่ได้หลงทางและพิสูจน์สิ่งที่ผิดพลาดเพราะเหตุนี้ เนื่องจากเขาใช้สมมติฐานโดยนัยซึ่งความถูกต้องดูเหมือนจะได้รับการพิสูจน์โดยแผนภาพที่มาพร้อมกับการพิสูจน์ของเขา นักคณิตศาสตร์รุ่นหลังได้รวมสมมติฐานสัจพจน์โดยนัยของยูคลิดไว้ในรายการสัจพจน์ที่เป็นทางการ จึงทำให้รายการนั้นขยายออกไปอย่างมาก^{[ 24 ]}

ตัวอย่างเช่น ในการสร้างครั้งแรกของหนังสือเล่มที่ 1 ยูคลิดใช้สมมติฐานที่ยังไม่ได้ตั้งสมมติฐานหรือพิสูจน์: ว่าวงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ระยะรัศมีของวงกลมทั้งสองจะตัดกันที่สองจุด^{[ 25 ]}ต่อมา ในการสร้างครั้งที่สี่ เขาใช้การซ้อนทับ (การเลื่อนสามเหลี่ยมซ้อนกัน) เพื่อพิสูจน์ว่าถ้าด้านสองด้านและมุมของด้านทั้งสองเท่ากันแล้วสามเหลี่ยมทั้งสองจะเท่ากันทุกประการ ในระหว่างการพิจารณาเหล่านี้ เขาใช้คุณสมบัติบางอย่างของการซ้อนทับ แต่คุณสมบัติเหล่านี้ไม่ได้อธิบายไว้อย่างชัดเจนในตำรา หากการซ้อนทับถือเป็นวิธีการพิสูจน์ทางเรขาคณิตที่ถูกต้อง เรขาคณิตทั้งหมดก็จะเต็มไปด้วยการพิสูจน์แบบนี้ ตัวอย่างเช่น ข้อเสนอ I.1 ถึง I.3 สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายโดยใช้การซ้อนทับ^{[ 26 ]}

เพื่อแก้ไขปัญหาเหล่านี้ในงานของยูคลิด ผู้เขียนรุ่นหลังจึงพยายามเติมเต็มช่องว่างในงานนำเสนอของยูคลิด ซึ่งความพยายามที่โดดเด่นที่สุดคือผลงานของดี. ฮิลเบิร์ต หรือจัดระบบสัจพจน์โดยใช้แนวคิดที่แตกต่างกันดังที่จี.ดี. เบิร์คฮอฟฟ์ได้ทำไว้

นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันMoritz Pasch (1843–1930) เป็นคนแรกที่ประสบความสำเร็จในการวางรากฐานเรขาคณิตแบบยุคลิดบนพื้นฐานสัจพจน์ที่มั่นคง^{[ 27 ]}ในหนังสือVorlesungen über neuere Geometrieที่ตีพิมพ์ในปี 1882 Pasch ได้วางรากฐานของวิธีการสัจพจน์สมัยใหม่ เขาเป็นผู้ริเริ่มแนวคิดของแนวคิดพื้นฐาน (ซึ่งเขาเรียกว่าKernbegriffe ) และร่วมกับสัจพจน์ ( Kernsätzen ) เขาสร้างระบบที่เป็นทางการซึ่งปราศจากอิทธิพลจากสัญชาตญาณใดๆ ตามที่ Pasch กล่าว สถานที่เดียวที่สัญชาตญาณควรมีบทบาทคือการตัดสินใจว่าแนวคิดพื้นฐานและสัจพจน์ควรเป็นอย่างไร ดังนั้นสำหรับ Pasch จุดเป็นแนวคิดพื้นฐาน แต่เส้น (เส้นตรง) ไม่ใช่ เนื่องจากเรามีสัญชาตญาณที่ดีเกี่ยวกับจุด แต่ไม่มีใครเคยเห็นหรือมีประสบการณ์กับเส้นตรงที่ไม่มีที่สิ้นสุด แนวคิดพื้นฐานที่ Pasch นำมาใช้แทนนั้นคือส่วนของเส้นตรง

ปาสช์สังเกตว่า การเรียงลำดับจุดบนเส้นตรง (หรือเทียบเท่ากับคุณสมบัติการบรรจุของส่วนของเส้นตรง) ไม่ได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้องโดยสัจพจน์ของยูคลิด ดังนั้นทฤษฎีบทของปาสช์ ที่กล่าวว่า ถ้าความสัมพันธ์การบรรจุของส่วนของเส้นตรงสองอย่างเป็นจริง ความสัมพันธ์ที่สามก็จะเป็นจริงด้วย จึงไม่สามารถพิสูจน์ได้จากสัจพจน์ของยูคลิด สัจพจน์ของปาสช์ที่เกี่ยวข้องนั้นเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติการตัดกันของเส้นตรงและรูปสามเหลี่ยม

งานของ Pasch เกี่ยวกับพื้นฐานได้กำหนดมาตรฐานความเข้มงวด ไม่เพียงแต่ในเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในบริบทที่กว้างขึ้นของคณิตศาสตร์ด้วย แนวคิดที่ก้าวล้ำของเขาในปัจจุบันเป็นเรื่องธรรมดาจนยากที่จะจำได้ว่ามีผู้ริเริ่มเพียงคนเดียว งานของ Pasch มีอิทธิพลโดยตรงต่อนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ อีกมากมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง D. Hilbert และนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีGiuseppe Peano (1858–1932) งานของ Peano ในปี 1889 เกี่ยวกับเรขาคณิต ซึ่งส่วนใหญ่เป็นการแปลบทความของ Pasch เป็นสัญลักษณ์ตรรกะเชิงสัญลักษณ์ (ซึ่ง Peano เป็นผู้คิดค้น) ใช้แนวคิดพื้นฐานของจุดและความอยู่ระหว่าง [ ^{28 ] Peano}ทำลายความผูกพันเชิงประจักษ์ในการเลือกแนวคิดพื้นฐานและสัจพจน์ที่ Pasch ต้องการ สำหรับ Peano ระบบทั้งหมดเป็นแบบทางการล้วนๆ แยกออกจากข้อมูลเชิงประจักษ์ใดๆ^{[ 29 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีMario Pieri (1860–1913) ใช้แนวทางที่แตกต่างออกไปและพิจารณาระบบที่มีเพียงสองแนวคิดพื้นฐาน คือจุดและการเคลื่อนที่^{[ 30 ]} Pasch ใช้แนวคิดพื้นฐานสี่อย่าง และ Peano ลดเหลือสามอย่าง แต่ทั้งสองแนวทางนี้อาศัยแนวคิดเรื่องความอยู่ระหว่างกลาง ซึ่ง Pieri ได้แทนที่ด้วยการกำหนดการเคลื่อนที่ ของเขา ในปี 1905 Pieri ได้นำเสนอการวิเคราะห์เชิงสัจพจน์ครั้งแรกของเรขาคณิตเชิงโปรเจกที ฟ เชิงซ้อน ซึ่งไม่ได้เริ่มต้นด้วยการสร้างเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟ จริง

Pieri เป็นสมาชิกของกลุ่มนักเรขาคณิตและนักตรรกศาสตร์ชาวอิตาลีที่ Peano รวบรวมไว้รอบตัวเขาในเมืองตูริน กลุ่มผู้ช่วย เพื่อนร่วมงานรุ่นน้อง และคนอื่นๆ เหล่านี้อุทิศตนเพื่อดำเนินโครงการเรขาคณิตเชิงตรรกศาสตร์ของ Peano ในการวางรากฐานของเรขาคณิตบนพื้นฐานสัจพจน์ที่มั่นคงโดยอาศัยสัญลักษณ์เชิงตรรกศาสตร์ของ Peano นอกจาก Pieri แล้วBurali-Forti , PadoaและFanoก็อยู่ในกลุ่มนี้ด้วย ในปี 1900 มีการประชุมนานาชาติสองครั้งติดต่อกันในปารีส ได้แก่การประชุมนานาชาติ ว่าด้วยปรัชญา และการประชุมนานาชาติว่าด้วยนักคณิตศาสตร์ ครั้งที่สอง กลุ่มนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีกลุ่มนี้มีบทบาทอย่างมากในการประชุมเหล่านี้ โดยผลักดันวาระสัจพจน์ของพวกเขา^{[ 31 ]} Padoa ได้กล่าวสุนทรพจน์ที่ได้รับการยกย่องเป็นอย่างดี และ Peano ในช่วงถามตอบหลังจากสุนทรพจน์ที่มีชื่อเสียงของDavid Hilbert เกี่ยวกับ ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข ได้กล่าวว่าเพื่อนร่วมงานของเขาได้แก้ปัญหาข้อที่สองของ Hilbert แล้ว

ที่มหาวิทยาลัยเกิตติงเงนในช่วงภาคเรียนฤดูหนาวปี 1898–1899 เดวิด ฮิลเบิร์ต (1862–1943) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้มีชื่อเสียง ได้บรรยายหลักสูตรเกี่ยวกับพื้นฐานของเรขาคณิต ตามคำขอของเฟลิกซ์ ไคลน์ศาสตราจารย์ฮิลเบิร์ตได้รับมอบหมายให้เขียนบันทึกการบรรยายสำหรับหลักสูตรนี้ให้ทันพิธีเปิดอนุสาวรีย์ซีเอฟ เกาส์และวิลเฮล์ม เวเบอร์ ในช่วงฤดูร้อนปี 1899 ที่จะจัดขึ้นที่มหาวิทยาลัย บันทึกการบรรยายที่เรียบเรียงใหม่นี้ได้รับการตีพิมพ์ในเดือนมิถุนายน 1899 ภายใต้ชื่อGrundlagen der Geometrie (พื้นฐานของเรขาคณิต) หนังสือเล่มนี้มีอิทธิพลอย่างมากในทันที ตามที่อีฟส์ (1963 , หน้า 384–5) กล่าวไว้ว่า:

ด้วยการพัฒนาชุดสมมติฐานสำหรับเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ไม่แตกต่างไปจากแนวคิดของยุคลิดมากนัก และด้วยการใช้สัญลักษณ์ให้น้อยที่สุด ฮิลเบิร์ตประสบความสำเร็จในการโน้มน้าวใจนักคณิตศาสตร์ได้มากกว่าที่ปาสช์และเปอาโนเคยทำ ในเรื่องธรรมชาติของเรขาคณิตที่เป็นเพียงสมมติฐานและการอนุมาน แต่ผลงานของฮิลเบิร์ตมีอิทธิพลมากกว่านั้นมาก เพราะด้วยอำนาจทางคณิตศาสตร์อันยิ่งใหญ่ของผู้เขียน ผลงานของเขาได้วางรากฐานวิธีการตั้งสมมติฐานอย่างมั่นคง ไม่เพียงแต่ในสาขาเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ เกือบทุกสาขาด้วย แรงกระตุ้นต่อการพัฒนาพื้นฐานของคณิตศาสตร์ที่หนังสือเล่มเล็กของฮิลเบิร์ตมอบให้นั้นยากที่จะประเมินค่าได้ เนื่องจากขาดสัญลักษณ์แปลกๆ เหมือนในงานของปาสช์และเปอาโน งานของฮิลเบิร์ตจึงสามารถอ่านได้โดยนักเรียนเรขาคณิตระดับมัธยมปลายที่ฉลาดทุกคน

เป็นการยากที่จะระบุสัจพจน์ที่ฮิลเบิร์ตใช้โดยไม่กล่าวถึงประวัติการตีพิมพ์ของGrundlagenเนื่องจากฮิลเบิร์ตได้เปลี่ยนแปลงและแก้ไขสัจพจน์เหล่านั้นหลายครั้ง เอกสารต้นฉบับได้รับการตีพิมพ์เป็นภาษาฝรั่งเศสในเวลาไม่นาน โดยฮิลเบิร์ตได้เพิ่ม V.2 ซึ่งเป็นสัจพจน์เกี่ยวกับความสมบูรณ์ มีการแปลเป็นภาษาอังกฤษโดยได้รับอนุญาตจากฮิลเบิร์ตโดย EJ Townsend และได้รับลิขสิทธิ์ในปี 1902 ^{[ 32 ]}การแปลนี้ได้รวมการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นในการแปลภาษาฝรั่งเศส ดังนั้นจึงถือว่าเป็นการแปลฉบับที่ 2 ฮิลเบิร์ตยังคงทำการเปลี่ยนแปลงในข้อความและมีการตีพิมพ์หลายฉบับในภาษาเยอรมัน ฉบับที่ 7 เป็นฉบับสุดท้ายที่ตีพิมพ์ในระหว่างที่ฮิลเบิร์ตยังมีชีวิตอยู่ มีการตีพิมพ์ฉบับใหม่ตามมาหลังจากฉบับที่ 7 แต่ข้อความหลักโดยพื้นฐานแล้วไม่ได้ถูกแก้ไข การแก้ไขในฉบับเหล่านี้เกิดขึ้นในภาคผนวกและส่วนเสริม การเปลี่ยนแปลงในข้อความมีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับต้นฉบับ และมีการว่าจ้างให้แปลเป็นภาษาอังกฤษฉบับใหม่โดยสำนักพิมพ์ Open Court Publishers ซึ่งเป็นผู้ตีพิมพ์ฉบับแปลของ Townsend ดังนั้น ฉบับภาษาอังกฤษที่ 2 จึงได้รับการแปลโดย Leo Unger จากฉบับภาษาเยอรมันที่ 10 ในปี 1971 ^{[ 33 ]}การแปลนี้ได้รวมการแก้ไขและการขยายความจากฉบับภาษาเยอรมันฉบับหลังๆ ของPaul Bernaysไว้ด้วย ความแตกต่างระหว่างการแปลภาษาอังกฤษทั้งสองฉบับไม่ได้เกิดจาก Hilbert เพียงอย่างเดียว แต่ยังเกิดจากทางเลือกที่แตกต่างกันของผู้แปลทั้งสองคนด้วย สิ่งที่จะกล่าวต่อไปนี้จะอิงตามการแปลของ Unger

ระบบสัจพจน์ของฮิลเบิร์ตสร้างขึ้นจากแนวคิดพื้นฐาน หกประการ ได้แก่จุดเส้นระนาบความอยู่ระหว่าง การอยู่ บน (การบรรจุ)และความสอดคล้องกัน

จุด เส้น และระนาบทั้งหมดในสัจพจน์ต่อไปนี้ล้วนแตกต่างกัน เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

I. อุบัติการณ์

1. สำหรับจุดAและB ทุกจุด จะมีเส้นตรงaที่ผ่านทั้งสองจุดนั้น เราเขียนว่าAB = aหรือBA = aนอกจากคำว่า “ผ่าน” แล้ว เราอาจใช้รูปแบบการแสดงออกอื่นๆ ก็ได้ เช่น “ Aอยู่บนa ”, “ Aเป็นจุดหนึ่งของa ”, “ aผ่านAและผ่านB ”, “ aเชื่อมAกับB ” เป็นต้น ถ้าAอยู่บนaและในขณะเดียวกันก็อยู่บนเส้นตรงbด้วย เราจะใช้การแสดงออกว่า “เส้นตรงaและbมีจุดAร่วมกัน” เป็นต้น
2. สำหรับจุดสองจุดใดๆ จะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดทั้งสองนั้น ดังนั้น ถ้าAB = aและAC = aโดยที่B ≠ Cแล้วBC = aด้วย
3. มีจุดอย่างน้อยสองจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และมีจุดอย่างน้อยสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
4. สำหรับจุดสามจุดA , B , Cทุกๆ จุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะมีระนาบ α ที่บรรจุจุดทั้งสามนั้นไว้ และสำหรับทุกระนาบ จะมีจุดหนึ่งที่อยู่บนระนาบนั้น เราเขียนว่าABC = αเรายังใช้สำนวนว่า “ A , B , Cอยู่ในระนาบ α” หรือ “A, B, C เป็นจุดของระนาบ α” เป็นต้น
5. สำหรับจุดสามจุดA , B , C ทุก จุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะมีระนาบเพียงระนาบเดียวเท่านั้นที่บรรจุจุดทั้งสามนั้นไว้
6. ถ้าจุดAและBบนเส้นตรงaอยู่ในระนาบ α แล้ว ทุกจุดบนเส้น ตรง aก็จะอยู่ในระนาบ α ด้วย ในกรณีนี้ เราจะกล่าวว่า “เส้นตรงaอยู่ในระนาบ α” เป็นต้น
7. ถ้าระนาบ α และ β สองระนาบมีจุดAร่วมกันแล้ว ระนาบทั้งสองจะมีจุดBร่วมกัน อย่างน้อยอีกหนึ่งจุด
8. มีจุดอย่างน้อยสี่จุดที่ไม่วางอยู่บนระนาบเดียวกัน

II. ลำดับ

1. ถ้าจุดBอยู่ระหว่างจุดAและCแล้วจุด Bก็อยู่ระหว่างจุด CและA ด้วย และมีเส้นตรงที่ลากผ่านจุดA, B, Cที่ แตกต่างกัน
2. ถ้าAและCเป็นจุดสองจุดบนเส้นตรงเดียวกัน จะต้องมีจุด B อย่างน้อยหนึ่งจุดที่อยู่ระหว่างAและC
3. ในบรรดาจุดสามจุดใดๆ ที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะมีจุดเพียงจุดเดียวเท่านั้นที่อยู่ระหว่างจุดอีกสองจุดนั้น
4. สัจพจน์ของปาสช์ : ให้A , B , Cเป็นจุดสามจุดที่ไม่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และให้aเป็นเส้นตรงที่อยู่ในระนาบABCและไม่ผ่านจุดA , B , C ใดๆ ถ้าเส้นตรงaผ่านจุดใดจุดหนึ่งบนส่วนของเส้นตรงAB เส้นตรง a ก็จะผ่านจุดใดจุดหนึ่งบนส่วนของเส้นตรงBCหรือจุดใดจุดหนึ่งบนส่วนของเส้นตรงACด้วย

III. ความสอดคล้อง

1. ถ้าAและBเป็นจุดสองจุดบนเส้นตรงaและถ้าA′เป็นจุดบนเส้นตรง a′ เดียวกันหรือเส้นตรงa′ อื่น แล้ว บนด้านใดด้านหนึ่งของA′บนเส้นตรงa′เราสามารถหาจุดB′ ได้เสมอ เพื่อให้ส่วนของเส้นตรงABเท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรงA′B′เราแสดงความสัมพันธ์นี้โดยเขียนAB ≅ A′B ′ส่วนของเส้นตรงทุกส่วนเท่ากันทุกประการกับตัวเอง นั่นคือ เราจะมีAB ≅ ABเสมอเราสามารถกล่าวถึงสัจพจน์ข้างต้นโดยย่อได้ว่า ส่วนของเส้นตรงทุกส่วนสามารถวางลงบนด้านใดด้านหนึ่งของจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรงใดเส้นตรงหนึ่งได้อย่างน้อยหนึ่งวิธี
2. ถ้าส่วนของเส้นตรงABเท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรงA′B′และกับส่วนของเส้นตรงA″B″แล้ว ส่วนของเส้นตรงA′B′ก็จะเท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรงA″B″ด้วย กล่าวคือ ถ้าAB ≅ A′B′และAB ≅ A″B″แล้วA′B′ ≅ A″B ″
3. ให้ABและBCเป็นส่วนของเส้นตรงa สองส่วน ซึ่งไม่มีจุดร่วมกันนอกจากจุดBและนอกจากนี้ ให้A′B′และB′C′เป็นส่วนของเส้นตรง a′ เดียวกันหรือเส้นตรงอื่นa′ซึ่งก็ไม่มีจุดร่วมกันนอกจากจุดB′เช่นกัน ถ้าAB ≅ A′B′และBC ≅ B′C′ แล้ว เราจะได้ว่าAC ≅ A′C ′
4. ให้มุม ∠ ( h , k ) กำหนดไว้ในระนาบ α และให้เส้นตรงa′กำหนดไว้ในระนาบ α′ สมมติด้วยว่า ในระนาบ α′ มีการกำหนด ด้านที่แน่นอนของเส้นตรง a′ ไว้ ให้ h′เป็นรังสีของเส้นตรงa′ที่ลากจากจุดO′ บนเส้นตรงนี้ ดังนั้น ในระนาบ α′ จะมีรังสี k′เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่ทำให้มุม ∠ ( h , k ) หรือ ∠ ( k , h ) เท่ากับมุม ∠ ( h′ , k′ ) และในขณะเดียวกัน จุดภายในทั้งหมดของมุม ∠ ( h′ , k′ ) อยู่บนด้านที่กำหนดของa′เราแสดงความสัมพันธ์นี้โดยใช้สัญลักษณ์ ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ )
5. ถ้ามุม ∠ ( h , k ) เท่ากับมุม ∠ ( h′ , k′ ) และมุม ∠ ( h″ , k″ ) แล้ว มุม ∠ ( h′ , k′ ) จะเท่ากับมุม ∠ ( h″ , k″ ) ด้วย กล่าวคือ ถ้า ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k ′ ) และ ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ″ , k ″ )

IV. ความคล้ายคลึงกัน

1. (สัจพจน์ของยูคลิด): ^{[ 34 ]}ให้aเป็นเส้นตรงใดๆ และA เป็นจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงนั้น จะมีเส้นตรงในระนาบที่กำหนดโดยaและA ไม่เกินหนึ่งเส้นเท่านั้น ที่ผ่านAและไม่ตัดกับa

ว. ความต่อเนื่อง

1. สัจพจน์ของอาร์คิมิดีส : ถ้าABและCDเป็นส่วนของเส้นตรงใดๆ แล้วจะมีจำนวนn อยู่จำนวนหนึ่ง ซึ่ง ส่วนของเส้นตรง CD จำนวน nส่วนที่ต่อเนื่องจากAตามแนวรังสีจากAผ่านBจะผ่านเลยจุดBไป
2. สัจพจน์ความสมบูรณ์ของเส้นตรงการขยายเซตของจุดบนเส้นตรงพร้อมลำดับและความสัมพันธ์การเท่ากันทุกประการที่จะรักษาความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างองค์ประกอบดั้งเดิม ตลอดจนคุณสมบัติพื้นฐานของลำดับและการเท่ากันทุกประการของเส้นตรงซึ่งเป็นผลมาจากสัจพจน์ข้อ I–III และข้อ V-1 นั้นเป็นไปไม่ได้

เมื่อหนังสือวิจัยฉบับปี 1899 ได้รับการแปลเป็นภาษาฝรั่งเศส ฮิลเบิร์ตได้เพิ่มเติมว่า:

V.2 สัจพจน์แห่งความสมบูรณ์สำหรับระบบของจุด เส้นตรง และระนาบนั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะเพิ่มองค์ประกอบอื่น ๆ ในลักษณะที่ระบบที่ได้รับการขยายทั่วไปนี้จะก่อให้เกิดเรขาคณิตใหม่ที่สอดคล้องกับสัจพจน์ทั้งห้ากลุ่ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง องค์ประกอบของเรขาคณิตก่อให้เกิดระบบที่ไม่สามารถขยายได้ หากเราถือว่าสัจพจน์ทั้งห้ากลุ่มนั้นถูกต้อง

สัจพจน์นี้ไม่จำเป็นสำหรับการพัฒนาเรขาคณิตแบบยุคลิด แต่จำเป็นสำหรับการสร้างการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจำนวนจริงและจุดบนเส้นตรง^{[ 35 ]}นี่เป็นส่วนประกอบสำคัญในการพิสูจน์ความสอดคล้องของระบบสัจพจน์ของฮิลเบิร์ต

ใน Grundlagenฉบับที่ 7 สัจพจน์นี้ได้ถูกแทนที่ด้วยสัจพจน์ความสมบูรณ์ของเส้นที่กล่าวไว้ข้างต้น และสัจพจน์เก่า V.2 ได้กลายเป็นทฤษฎีบทที่ 32

นอกจากนี้ ในเอกสารวิจัยฉบับปี 1899 (และปรากฏในฉบับแปลของทาวน์เซนด์) ยังมีข้อมูลดังต่อไปนี้:

II.4. จุดสี่จุดใดๆA , B , C , Dบนเส้นตรง สามารถกำหนดชื่อได้เสมอ โดยที่Bจะอยู่ระหว่างAและCและอยู่ระหว่างAและDและนอกจากนี้Cจะอยู่ระหว่างAและDและอยู่ระหว่างBและDด้วย

อย่างไรก็ตามEH MooreและRL Mooreได้พิสูจน์โดยอิสระว่าสัจพจน์นี้ซ้ำซ้อน และคนแรกได้ตีพิมพ์ผลลัพธ์นี้ในบทความที่ปรากฏในTransactions of the American Mathematical Societyในปี 1902 ^{[ 36 ]} Hilbert ได้ย้ายสัจพจน์ไปยังทฤษฎีบทที่ 5 และกำหนดหมายเลขสัจพจน์ใหม่ตามนั้น (สัจพจน์เดิม II-5 (สัจพจน์ของ Pasch) กลายเป็น II-4)

แม้จะไม่มากเท่ากับการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ แต่หลักการพื้นฐานส่วนใหญ่ที่เหลือก็ได้รับการแก้ไขทั้งในด้านรูปแบบและ/หรือหน้าที่ตลอดเจ็ดฉบับแรกเช่นกัน

นอกเหนือจากการสร้างชุดสัจพจน์ที่น่าพอใจแล้ว ฮิลเบิร์ตยังพิสูจน์ความสอดคล้องของระบบของเขากับทฤษฎีจำนวนจริงโดยการสร้างแบบจำลองของระบบสัจพจน์ของเขาจากจำนวนจริง เขาพิสูจน์ความเป็นอิสระของสัจพจน์บางข้อโดยการสร้างแบบจำลองของเรขาคณิตที่สอดคล้องกับสัจพจน์ทั้งหมด ยกเว้นสัจพจน์ที่กำลังพิจารณาอยู่ ดังนั้นจึงมีตัวอย่างของเรขาคณิตที่สอดคล้องกับสัจพจน์ทั้งหมด ยกเว้นสัจพจน์อาร์คิมีเดียน V.1 (เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน) เรขาคณิตที่สอดคล้องกับสัจพจน์ทั้งหมด ยกเว้นสัจพจน์เส้นขนาน IV.1 (เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด) และอื่นๆ อีกมากมาย ด้วยเทคนิคเดียวกันนี้ เขายังแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทที่สำคัญบางข้อขึ้นอยู่กับสัจพจน์บางข้อและเป็นอิสระจากสัจพจน์อื่นๆ แบบจำลองบางแบบของเขามีความซับซ้อนมาก และนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ พยายามที่จะทำให้มันง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น แบบจำลองของฮิลเบิร์ตสำหรับการแสดงความเป็นอิสระของทฤษฎีบทเดซาร์กส์ จากสัจพจน์บางข้อ ในที่สุดก็ทำให้เรย์ มอลตันค้นพบ ระนาบมอลตันที่ไม่ใช่แบบเดซาร์กส์การสืบสวนของฮิลเบิร์ตเหล่านี้ถือเป็นการเริ่มต้นการศึกษาเรขาคณิตนามธรรมสมัยใหม่ในศตวรรษที่ 20 ^{[ 37 ]}

ในปี พ.ศ. 2475 GD Birkhoffได้สร้างชุดสัจพจน์ สี่ข้อ ของเรขาคณิตยุคลิด^ซึ่งบางครั้งเรียกว่าสัจพจน์ของ Birkhoff [ ^{38 ]}สัจพจน์เหล่านี้ล้วนมีพื้นฐานมาจากเรขาคณิต พื้นฐาน ที่สามารถตรวจสอบได้ด้วยการทดลองโดยใช้ไม้บรรทัดและไม้โปรแทรกเตอร์ Birkhoff เป็นคนแรกที่สร้างรากฐานของเรขาคณิตบนระบบจำนวนจริง ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงอย่างสิ้นเชิงจากแนวทางสังเคราะห์ของ Hilbert ^{[ 39 ]}ข้อสมมติฐานที่ทรงพลังนี้เองที่ทำให้ระบบนี้มีสัจพจน์จำนวนน้อย

Birkhoff ใช้คำศัพท์ที่ไม่นิยามสี่คำ ได้แก่จุด เส้น ระยะทาง และมุมข้อสมมติของเขาคือ : ^{[ 40 ]}

สัจพจน์ที่ 1: สัจพจน์ของการวัดเส้นตรงจุดA , B , ... บนเส้นตรงใดๆ สามารถจับคู่แบบ 1:1 กับจำนวนจริงxได้ โดยที่ | x _B  − x _A | = d( A, B ) สำหรับทุกจุด Aและ  B 

สัจพจน์ข้อที่ 2: สัจพจน์จุด-เส้นตรงมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวℓที่ลากผ่านจุดสองจุดที่แตกต่างกันPและ  Q ใด ๆ

สัจพจน์ที่ 3: สัจพจน์เกี่ยวกับการวัดมุมรังสี { ℓ, m, n , ...} ที่ผ่านจุดO ใดๆ สามารถจับคู่แบบ 1:1 กับจำนวนจริงa  (mod 2π )ได้ โดยที่ถ้าAและBเป็นจุด (ไม่เท่ากับO ) บนℓและmตามลำดับ ผลต่างa _m  −  a _ℓ  (mod 2π) ของจำนวนที่เกี่ยวข้องกับเส้นตรงℓและmคือAOBยิ่งไปกว่านั้น ถ้าจุดBบนmเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องบนเส้นตรงrที่ไม่มีจุดยอดOจำนวนa _mก็จะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องเช่นกัน ${\displaystyle \angle }$

สัจพจน์ที่ 4: สัจพจน์แห่งความคล้ายคลึงกันถ้าในสามเหลี่ยมสองรูปABCและA'B'C' และสำหรับค่าคงที่k  > 0 บางค่า d ( A', B' ) =  kd ( A, B ), d ( A', C'  ) =  kd ( A, C ) และB'A'C'   = ± BACแล้วd ( B', C'  ) =  kd ( B, C ), C'B'A'   = ± CBAและA'C'B'   = ± ACB${\displaystyle \angle }$${\displaystyle \angle }$${\displaystyle \angle }$ ${\displaystyle \angle }$${\displaystyle \angle }$${\displaystyle \angle }$

การสอนเรขาคณิตแบบยุคลิดจากมุมมองเชิงสัจพจน์ในระดับมัธยมปลายนั้นเป็นเรื่องที่ถกเถียงกันมาโดยตลอด มีความพยายามหลายครั้งที่จะทำเช่นนั้น แต่ก็ไม่ได้ประสบความสำเร็จทั้งหมด ในปี ค.ศ. 1904 จอร์จ บรูซ ฮัลสเตดได้ตีพิมพ์ตำราเรขาคณิตระดับมัธยมปลายโดยอิงจากชุดสัจพจน์ของฮิลเบิร์ต^{[ 41 ]}คำวิจารณ์เชิงตรรกะของตำราเล่มนี้ทำให้มีการแก้ไขเพิ่มเติมในฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง^{[ 42 ]}เพื่อเป็นการตอบสนองต่อการปล่อยดาวเทียมสปุตนิก ของรัสเซีย มีการเรียกร้องในสหรัฐอเมริกาให้ปรับปรุงหลักสูตรคณิตศาสตร์ในโรงเรียน จากความพยายามนี้จึงเกิด โครงการ คณิตศาสตร์ใหม่ในทศวรรษ ค.ศ. 1960 ขึ้นมา ด้วยพื้นฐานนี้ บุคคลและกลุ่มต่างๆ จำนวนมากจึงเริ่มจัดทำเนื้อหาตำราเรียนสำหรับชั้นเรียนเรขาคณิตโดยอิงจากแนวทางเชิงสัจพจน์

Saunders Mac Lane (1909–2005) นักคณิตศาสตร์^{[ 43 ]}ได้เขียนบทความในปี 1959 ซึ่งเขาเสนอชุดสัจพจน์สำหรับเรขาคณิตแบบยุคลิดในลักษณะเดียวกับที่ Birkhoff ใช้ โดยใช้ฟังก์ชันระยะทางเพื่อเชื่อมโยงจำนวนจริงกับส่วนของเส้นตรง^{[ 44 ]}นี่ไม่ใช่ความพยายามครั้งแรกที่จะใช้ระบบของ Birkhoff เป็นพื้นฐานสำหรับการเรียนการสอนในระดับโรงเรียน อันที่จริง Birkhoff และ Ralph Beatley ได้เขียนตำราเรียนระดับมัธยมปลายในปี 1940 ^{[ 45 ]}ซึ่งพัฒนาเรขาคณิตแบบยุคลิดจากสัจพจน์ห้าข้อและความสามารถในการวัดส่วนของเส้นตรงและมุม อย่างไรก็ตาม เพื่อให้การเรียนการสอนเหมาะสมกับกลุ่มนักเรียนมัธยมปลาย ข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์และตรรกะบางอย่างจึงถูกละเลยหรือกล่าวถึงอย่างคลุมเครือ^{[ 42 ]}

ในระบบของ Mac Lane มีแนวคิดพื้นฐาน สี่อย่าง (คำที่ยังไม่ได้นิยาม): จุดระยะทางเส้นและการวัดมุม นอกจากนี้ยังมีสัจพจน์ 14 ข้อ โดยสี่ ข้อให้คุณสมบัติของฟังก์ชันระยะทาง สี่ข้ออธิบายคุณสมบัติของเส้น สี่ข้อกล่าวถึงมุม (ซึ่งเป็นมุมทิศทางในการวิเคราะห์นี้) สัจพจน์ความคล้ายคลึง (โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับของ Birkhoff) และสัจพจน์ความต่อเนื่องซึ่งสามารถใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท Crossbarและบทกลับของมันได้^{[ 46 ]}จำนวนสัจพจน์ที่เพิ่มขึ้นมีข้อดีทางการสอนคือทำให้การพิสูจน์ในช่วงแรกๆ ของการพัฒนาติดตามได้ง่ายขึ้น และการใช้เมตริกที่คุ้นเคยช่วยให้ก้าวหน้าอย่างรวดเร็วผ่านเนื้อหาพื้นฐานเพื่อให้สามารถเข้าถึงแง่มุมที่ "น่าสนใจ" มากขึ้นของหัวข้อได้เร็วขึ้น

ในทศวรรษ 1960 กลุ่มศึกษาคณิตศาสตร์ในโรงเรียน (School Mathematics Study Groupหรือ SMSG) ได้นำเสนอชุดสัจพจน์ใหม่สำหรับเรขาคณิตแบบยุคลิด ซึ่งเหมาะสมสำหรับหลักสูตรเรขาคณิตระดับมัธยมปลายของอเมริกา โดยเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตร คณิตศาสตร์ใหม่ชุดสัจพจน์นี้เป็นไปตามแบบจำลองของ Birkhoff ที่ใช้จำนวนจริงเพื่อเข้าถึงพื้นฐานทางเรขาคณิตได้อย่างรวดเร็ว อย่างไรก็ตาม ในขณะที่ Birkhoff พยายามลดจำนวนสัจพจน์ที่ใช้ให้น้อยที่สุด และผู้เขียนส่วนใหญ่กังวลเกี่ยวกับความเป็นอิสระของสัจพจน์ในการอธิบายของพวกเขา แต่รายการสัจพจน์ของ SMSG นั้นจงใจทำให้มีขนาดใหญ่และซ้ำซ้อนด้วยเหตุผลทางการสอน^{[ 47 ]} SMSG ผลิตข้อความที่พิมพ์ด้วยเครื่องโรเนโอโดยใช้สัจพจน์เหล่านี้เท่านั้น^{[ 48 ]}แต่Edwin E. Moiseสมาชิกของ SMSG ได้เขียนตำราเรียนระดับมัธยมปลายโดยอิงจากระบบนี้^{[ 49 ]}และตำราเรียนระดับวิทยาลัยMoise (1974)โดยตัดส่วนที่ซ้ำซ้อนออกและปรับเปลี่ยนสัจพจน์บางส่วนเพื่อให้เหมาะกับกลุ่มผู้เรียนที่มีความรู้มากขึ้น^{[ 50 ]}

มีคำศัพท์ที่ไม่นิยามแปดคำ ได้แก่จุดเส้นระนาบอยู่บนการวัดมุมระยะทางพื้นที่และปริมาตร สัจพจน์ 22 ข้อ ของ ระบบนี้ได้รับชื่อเฉพาะเพื่อความสะดวกในการอ้างอิง ในบรรดา สัจพจน์เหล่านี้ ได้แก่ สัจพจน์ไม้บรรทัด สัจพจน์การวางไม้บรรทัด สัจพจน์การแยกระนาบ สัจพจน์การบวกมุมสัจพจน์ด้าน-มุม-ด้าน (SAS) สัจพจน์เส้นขนาน (ในรูปแบบของ Playfair ) และหลักการของ Cavalieri ^{[ 51 ]}

แม้ว่าหลักสูตร คณิตศาสตร์ใหม่ส่วนใหญ่จะถูกปรับเปลี่ยนหรือยกเลิกไปอย่างมาก แต่ส่วนของเรขาคณิตยังคงค่อนข้างคงที่ในสหรัฐอเมริกา ตำราเรียนระดับมัธยมปลายของอเมริกาสมัยใหม่ใช้ระบบสัจพจน์ที่คล้ายคลึงกับของ SMSG มาก ตัวอย่างเช่น ตำราที่จัดทำโดยโครงการคณิตศาสตร์โรงเรียนของมหาวิทยาลัยชิคาโก (UCSMP) ใช้ระบบที่นอกจากจะมีการปรับปรุงภาษาบ้างแล้ว ยังแตกต่างจากระบบ SMSG ส่วนใหญ่ตรงที่รวม แนวคิด การแปลง บางอย่างไว้ ภายใต้ "สัจพจน์การสะท้อน" ^{[ 47 ]}

มีเพียงสามคำที่ไม่นิยามไว้ ได้แก่จุดเส้นและระนาบมี "ส postulates" แปดข้อ แต่ส่วนใหญ่มีหลายส่วน (ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าข้อสมมติในระบบนี้) เมื่อนับส่วนเหล่านี้แล้ว จะมีสัจพจน์ 32 ข้อในระบบนี้ ในบรรดา postulates เหล่านั้น สามารถพบได้postulate จุด-เส้น-ระนาบ postulate อสมการสามเหลี่ยม postulate สำหรับระยะทาง การวัดมุม มุมที่สอดคล้องกัน พื้นที่และปริมาตร และ postulate การสะท้อน postulate การสะท้อนถูกใช้แทน postulate SAS ของระบบ SMSG ^{[ 52 ]}

Oswald Veblen (1880 – 1960) ได้นำเสนอระบบสัจพจน์ใหม่ในปี 1904 เมื่อเขาแทนที่แนวคิดของ "ความอยู่ระหว่าง" ตามที่ Hilbert และ Pasch ใช้ ด้วยแนวคิดพื้นฐานใหม่คือลำดับ ซึ่งทำให้คำศัพท์พื้นฐานหลายคำที่ Hilbert ใช้กลายเป็นสิ่ง ที่มีนิยาม ลดจำนวนแนวคิดพื้นฐานเหลือเพียงสองอย่าง คือจุดและลำดับ^{[ 37 ]}

ตลอดหลายปีที่ผ่านมา มีการเสนอระบบสัจพจน์อื่นๆ อีกมากมายสำหรับเรขาคณิตแบบยุคลิด การเปรียบเทียบระบบเหล่านี้สามารถพบได้ในเอกสารวิจัยปี 1927 โดย Henry George Forder ^{[ 53 ]} Forder ยังได้นำเสนอวิธีการของเขาเองโดยการรวมสัจพจน์จากระบบต่างๆ เข้าด้วยกัน โดยอิงจากแนวคิดพื้นฐานสองประการคือจุดและลำดับนอกจากนี้ เขายังนำเสนอวิธีการเชิงนามธรรมมากขึ้นสำหรับระบบหนึ่งของ Pieri (จากปี 1909) โดยอิงจากแนวคิดพื้นฐานคือจุดและความสอดคล้อง^{[ 42 ]}

เริ่มต้นจาก Peano มีความสนใจร่วมกันในหมู่นักตรรกศาสตร์เกี่ยวกับการวางรากฐานเชิงสัจพจน์ของเรขาคณิตแบบยุคลิด สิ่งนี้สามารถเห็นได้บางส่วนจากสัญลักษณ์ที่ใช้ในการอธิบายสัจพจน์ Pieri อ้างว่าแม้ว่าเขาจะเขียนด้วยภาษาเรขาคณิตแบบดั้งเดิม แต่เขาก็คิดในแง่ของสัญลักษณ์เชิงตรรกะที่ Peano นำเสนอเสมอ และใช้รูปแบบนั้นเพื่อดูวิธีการพิสูจน์สิ่งต่างๆ ตัวอย่างทั่วไปของสัญลักษณ์ประเภทนี้สามารถพบได้ในงานของEV Huntington (1874 – 1952) ซึ่งในปี 1913 ^{[ 54 ]}ได้สร้างการจัดการเชิงสัจพจน์ของเรขาคณิตแบบยุคลิดสามมิติโดยอิงจากแนวคิดพื้นฐานของทรงกลมและการรวม (ทรงกลมหนึ่งอยู่ภายในอีกทรงกลมหนึ่ง) ^{[ 42 ]}นอกเหนือจากสัญลักษณ์แล้ว ยังมีความสนใจในโครงสร้างเชิงตรรกะของทฤษฎีเรขาคณิตAlfred Tarskiพิสูจน์ว่าส่วนหนึ่งของเรขาคณิต ซึ่งเขาเรียกว่า เรขาคณิต พื้นฐานเป็นทฤษฎีเชิงตรรกะลำดับที่หนึ่ง (ดูสัจพจน์ของ Tarski )

การนำเสนอข้อความสมัยใหม่เกี่ยวกับพื้นฐานเชิงสัจพจน์ของเรขาคณิตยุคลิดเป็นไปตามรูปแบบของ HG Forder และGilbert de B. Robinson ^{[ 55 ]}ซึ่งผสมผสานสัจพจน์จากระบบต่างๆ เข้าด้วยกันเพื่อสร้างการเน้นที่แตกต่างกันVenema (2006)เป็นตัวอย่างสมัยใหม่ของแนวทางนี้

เมื่อพิจารณาถึงบทบาทที่คณิตศาสตร์มีต่อวิทยาศาสตร์และนัยยะของความรู้ทางวิทยาศาสตร์ที่มีต่อความเชื่อทั้งหมดของเรา การเปลี่ยนแปลงปฏิวัติในความเข้าใจของมนุษย์เกี่ยวกับธรรมชาติของคณิตศาสตร์ย่อมหมายถึงการเปลี่ยนแปลงปฏิวัติในความเข้าใจของเขาเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ หลักปรัชญา ความเชื่อทางศาสนาและจริยธรรม และในความเป็นจริง สาขาวิชาทางปัญญาทั้งหมด^{[ 56 ]}

ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่สิบเก้า การปฏิวัติได้เกิดขึ้นในสาขาเรขาคณิต ซึ่งมีความสำคัญทางวิทยาศาสตร์เทียบเท่ากับการปฏิวัติโคเปอร์นิคัสในดาราศาสตร์ และมีความลึกซึ้งทางปรัชญาเทียบเท่ากับทฤษฎีวิวัฒนาการของดาร์วินในแง่ของผลกระทบต่อวิธีคิดของเรา นี่เป็นผลมาจากการค้นพบเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด^{[ 57 ]}เป็นเวลากว่าสองพันปี เริ่มตั้งแต่สมัยของยุคลิด ข้อสมมติที่วางรากฐานของเรขาคณิตถือเป็นความจริงที่ชัดเจนเกี่ยวกับพื้นที่ทางกายภาพ นักเรขาคณิตคิดว่าพวกเขากำลังอนุมานความจริงอื่น ๆ ที่คลุมเครือกว่าจากข้อสมมติเหล่านั้น โดยไม่มีความเป็นไปได้ที่จะเกิดข้อผิดพลาด มุมมองนี้ไม่สามารถยอมรับได้อีกต่อไปเมื่อมีการพัฒนาเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ขณะนี้มีระบบเรขาคณิตสองระบบที่ไม่เข้ากัน (และมีเพิ่มขึ้นในภายหลัง) ที่สอดคล้องกันและเข้ากันได้กับโลกทางกายภาพที่สังเกตได้ “นับจากจุดนี้เป็นต้นไป การอภิปรายทั้งหมดเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตและพื้นที่ทางกายภาพได้ดำเนินไปในเงื่อนไขที่แตกต่างออกไปอย่างสิ้นเชิง” ( Moise 1974 , หน้า 388)

เพื่อให้ได้เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดจะต้องแทนที่สัจพจน์เส้นขนาน (หรือสิ่งที่เทียบเท่า) ด้วยการปฏิเสธ ของมัน การปฏิเสธสัจพจน์ของ Playfairเนื่องจากเป็นประโยคประกอบ (... มีอยู่เพียงหนึ่งเดียว ...) สามารถทำได้สองวิธี คือ จะมีเส้นมากกว่าหนึ่งเส้นที่ผ่านจุดขนานกับเส้นที่กำหนด หรือจะไม่มีเส้นใดที่ผ่านจุดขนานกับเส้นที่กำหนด ในกรณีแรก การแทนที่สัจพจน์เส้นขนาน (หรือสิ่งที่เทียบเท่า) ด้วยประโยค "ในระนาบหนึ่ง เมื่อกำหนดจุด P และเส้นℓที่ไม่ผ่าน P จะมีเส้นสองเส้นที่ผ่าน P ซึ่งไม่ตัดกับℓ " และคงสัจพจน์อื่นๆ ไว้ทั้งหมด จะได้เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก [ ^{58 ] กรณี}ที่สองนั้นจัดการได้ยากกว่า การแทนที่สัจพจน์เส้นขนานด้วยประโยค "ในระนาบหนึ่ง เมื่อกำหนดจุด P และเส้นℓที่ไม่ผ่าน P เส้นทั้งหมดที่ผ่าน P จะตัดกับℓ " ไม่ได้ให้ชุดสัจพจน์ที่สอดคล้องกัน สิ่งนี้เป็นไปตามเพราะเส้นขนานมีอยู่ในเรขาคณิตสัมบูรณ์^{[ 59 ]}แต่ข้อความนี้จะบอกว่าไม่มีเส้นขนาน ปัญหานี้เป็นที่รู้จัก (ในรูปแบบที่แตกต่างกัน) โดย Khayyam, Saccheri และ Lambert และเป็นพื้นฐานสำหรับการปฏิเสธสิ่งที่เรียกว่า "กรณีมุมป้าน" เพื่อให้ได้ชุดสัจพจน์ที่สอดคล้องกันซึ่งรวมถึงสัจพจน์เกี่ยวกับการไม่มีเส้นขนาน สัจพจน์อื่นๆ บางส่วนจะต้องได้รับการปรับแต่ง การปรับเปลี่ยนที่ต้องทำขึ้นอยู่กับระบบสัจพจน์ที่ใช้ การปรับแต่งเหล่านี้จะมีผลในการแก้ไขสัจพจน์ข้อที่สองของยูคลิดจากข้อความที่ว่าส่วนของเส้นตรงสามารถขยายได้ไม่สิ้นสุดไปเป็นข้อความที่ว่าเส้นตรงไม่มีขอบเขตเรขาคณิตวงรีของRiemannปรากฏเป็นเรขาคณิตที่เป็นธรรมชาติที่สุดที่สอดคล้องกับสัจพจน์นี้

เกาส์เป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่า "เรขาคณิตนอกยุคลิด" ^{[ 60 ]}เขาหมายถึงงานของเขาเองที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์ ซึ่งปัจจุบันเราเรียกว่าเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกผู้เขียนหลายคนยังคงถือว่า "เรขาคณิตนอกยุคลิด" และ "เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก" เป็นคำพ้องความหมาย ในปี พ.ศ. 2414 เฟลิกซ์ ไคลน์โดยการปรับใช้เมตริกที่อาร์เธอร์ เคย์ลีย์ กล่าวถึง ในปี พ.ศ. 2495 สามารถนำคุณสมบัติของเมตริกมาใช้ในบริบทเชิงโปรเจคทีฟได้ และด้วยเหตุนี้จึงสามารถรวมการจัดการเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก เรขาคณิตยุคลิด และเรขาคณิตวงรีไว้ภายใต้ร่มของเรขาคณิตเชิงโปรเจคทีฟได้^{[ 61 ]}ไคลน์เป็นผู้รับผิดชอบคำว่า "ไฮเปอร์โบลิก" และ "วงรี" (ในระบบของเขา เขาเรียกเรขาคณิตแบบยุคลิดว่า "พาราโบลิก" ซึ่งเป็นคำที่ไม่ผ่านการทดสอบของกาลเวลาและปัจจุบันใช้กันเฉพาะในบางสาขาวิชาเท่านั้น) อิทธิพลของเขาทำให้มีการใช้คำว่า "เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด" กันอย่างแพร่หลาย ซึ่งหมายถึงเรขาคณิตแบบ "ไฮเปอร์โบลิก" หรือ "วงรี"

มีนักคณิตศาสตร์บางคนที่ต้องการขยายรายการเรขาคณิตที่ควรเรียกว่า "ไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิด" ในรูปแบบต่างๆ ในสาขาวิชาอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ซึ่งอิทธิพลของไคลน์ไม่แข็งแกร่งนัก คำว่า "ไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิด" มักถูกตีความว่าไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิด

เป็นเวลากว่าสองพันปีแล้วที่มีความพยายามมากมายในการพิสูจน์สัจพจน์เส้นขนานโดยใช้สัจพจน์สี่ข้อแรกของยูคลิด เหตุผลที่เป็นไปได้ที่การพิสูจน์ดังกล่าวเป็นที่ต้องการอย่างมากก็คือ สัจพจน์เส้นขนานนั้นไม่ชัดเจนในตัวเอง ต่างจากสัจพจน์สี่ข้อแรก หากลำดับของสัจพจน์ที่ระบุไว้ใน Elements มีความสำคัญ ก็จะบ่งชี้ว่ายูคลิดรวมสัจพจน์นี้ไว้ก็ต่อเมื่อเขารู้ว่าเขาไม่สามารถพิสูจน์หรือดำเนินการต่อไปได้หากไม่มีมัน^{[ 62 ]}มีความพยายามมากมายในการพิสูจน์สัจพจน์ข้อที่ห้าจากสัจพจน์อีกสี่ข้อ ซึ่งหลายข้อได้รับการยอมรับว่าเป็นการพิสูจน์เป็นเวลานานจนกระทั่งพบข้อผิดพลาด ข้อผิดพลาดมักจะเป็นการสมมติคุณสมบัติที่ 'ชัดเจน' บางอย่างซึ่งปรากฏว่าเทียบเท่ากับสัจพจน์ข้อที่ห้า ในที่สุดก็ตระหนักว่าสัจพจน์นี้อาจพิสูจน์ไม่ได้จากสัจพจน์อีกสี่ข้อ ตามที่Trudeau (1987 , หน้า 154) ความคิดเห็นเกี่ยวกับสัจพจน์เส้นขนาน (สัจพจน์ข้อที่ 5) นี้ปรากฏอยู่ในสิ่งพิมพ์:

ดูเหมือนว่าบุคคลแรกที่ทำเช่นนั้นคือ GS Klügel (1739–1812) นักศึกษาปริญญาเอกที่มหาวิทยาลัย Gottingen โดยได้รับการสนับสนุนจากอาจารย์ของเขา AG Kästner ในวิทยานิพนธ์ปี 1763 ของ Klügel เรื่องConatuum praecipuorum theoriam parallelarum demonstrandi recensio (บทวิจารณ์ความพยายามที่โด่งดังที่สุดในการพิสูจน์ทฤษฎีเส้นขนาน) ในงานนี้ Klügel ตรวจสอบความพยายาม 28 ครั้งในการพิสูจน์สมมติฐานข้อที่ 5 (รวมถึงของ Saccheri) พบว่าทั้งหมดมีข้อบกพร่อง และเสนอความคิดเห็นว่าสมมติฐานข้อที่ 5 นั้นพิสูจน์ไม่ได้และได้รับการสนับสนุนโดยการตัดสินใจจากประสาทสัมผัสของเราเท่านั้น

ต้นศตวรรษที่ 19 ในที่สุดก็ได้เห็นขั้นตอนสำคัญในการสร้างเรขาคณิตนอกยุคยูคลิด ประมาณปี 1813 คาร์ล ฟรีดริช เกาส์และโดยอิสระจากกันประมาณปี 1818 เฟอร์ดินานด์ คาร์ล ชไวคาร์ท ศาสตราจารย์ด้านกฎหมายชาว เยอรมัน ^{[ 63 ]}ได้พัฒนาแนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิตนอกยุคยูคลิด แต่ทั้งคู่ไม่ได้ตีพิมพ์ผลงานใดๆ จากนั้นประมาณปี 1830 นักคณิตศาสตร์ชาวฮังการียาโนส โบลยาอีและนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียนิโคไล อิวาโนวิช โลบาเชฟสกีได้ตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับสิ่งที่เราเรียกว่าเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ในปัจจุบันแยกกัน ดังนั้น เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกจึงถูกเรียกว่าเรขาคณิตโบลยาอี-โลบาเชฟสกี เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ทั้งสองเป็นผู้ประพันธ์พื้นฐานของเรขาคณิตนอกยุคยูคลิดโดยอิสระจากกันเกาส์กล่าวกับบิดาของโบลยาอี เมื่อได้เห็นผลงานของโบลยาอีผู้น้องว่าเขาได้พัฒนาเรขาคณิตดังกล่าวเมื่อหลายปีก่อน^{[ 64 ]}แม้ว่าเขาจะไม่ได้ตีพิมพ์ก็ตาม ในขณะที่ Lobachevsky สร้างเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดโดยการปฏิเสธสัจพจน์เส้นขนาน Bolyai ได้พัฒนาเรขาคณิตที่ทั้งเรขาคณิตแบบยุคลิดและเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิกเป็นไปได้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์k Bolyai จบงานของเขาโดยกล่าวว่าไม่สามารถตัดสินได้ด้วยเหตุผลทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวว่าเรขาคณิตของจักรวาลทางกายภาพเป็นแบบยุคลิดหรือไม่ใช่แบบยุคลิด นี่เป็นงานสำหรับวิทยาศาสตร์กายภาพความเป็นอิสระของสัจพจน์เส้นขนานจากสัจพจน์อื่นๆ ของยุคลิดได้รับการพิสูจน์ในที่สุดโดยEugenio Beltramiในปี 1868 ^{[ 65 ]}

การพยายามพิสูจน์สัจพจน์เส้นขนานต่างๆ ทำให้เกิดรายการทฤษฎีบทจำนวนมากที่เทียบเท่ากับสัจพจน์เส้นขนาน ความเทียบเท่าในที่นี้หมายความว่า ในกรณีที่มีสัจพจน์อื่นๆ ของเรขาคณิต ทฤษฎีบทเหล่านี้แต่ละข้อสามารถถือว่าเป็นจริงได้ และสามารถพิสูจน์สัจพจน์เส้นขนานได้จากชุดสัจพจน์ที่เปลี่ยนแปลงไปนี้ ซึ่งไม่เหมือนกับความเทียบเท่าเชิงตรรกะ [ ^{66 ] ใน}ชุดสัจพจน์ที่แตกต่างกันสำหรับเรขาคณิตแบบยุคลิด สัจพจน์ใดๆ เหล่านี้สามารถแทนที่สัจพจน์เส้นขนานแบบยุคลิดได้^{[ 67 ]}รายการบางส่วนต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงทฤษฎีบทบางส่วนที่มีความสำคัญทางประวัติศาสตร์^{[ 68 ]}

1. เส้นตรงขนานกันจะอยู่ห่างกันเป็นระยะเท่ากัน (โพไซโดนิออส, ศตวรรษที่ 1 ก่อนคริสต์ศักราช)
2. จุดทุกจุดที่อยู่ห่างจากเส้นตรงที่กำหนดให้เท่ากัน และอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของเส้นตรงนั้น จะประกอบกันเป็นเส้นตรง (คริสตอฟ คลาวิอุส, 1574)
3. สัจพจน์ของเพลย์แฟร์ : ในระนาบหนึ่ง จะมีเส้นตรงอย่างมากที่สุดเพียงเส้นเดียวที่สามารถลากขนานกับเส้นตรงอื่นได้ โดยกำหนดให้เส้นตรงหนึ่งผ่านจุดภายนอก (โพรคลัส ศตวรรษที่ 5 แต่ได้รับความนิยมโดยจอห์น เพลย์แฟร์ ปลายศตวรรษที่ 18)
4. ผลรวมของมุมในทุกสามเหลี่ยมเท่ากับ 180° (เจโรลาโม ซัคเครี, 1733; อาเดรียน-มารี เลอฌองเดร, ต้นศตวรรษที่ 19)
5. มีรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งที่มีผลรวมของมุมทั้งสี่เท่ากับ 180 องศา (เกโรลาโม ซัคเครี, 1733; อาเดรียน-มารี เลอฌองเดร, ต้นศตวรรษที่ 19)
6. มีสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกันแต่ไม่เท่ากันทุกประการ (เจโรลาโม ซัคเครี, 1733)
7. ทุกสามเหลี่ยมสามารถล้อมรอบได้ (เอเดรียน-มารี เลอฌองเดร, ฟาร์คัส โบลยาอี, ต้นศตวรรษที่ 19)
8. ถ้ามุมสามมุมของรูปสี่เหลี่ยมเป็นมุมฉากมุมที่สี่ก็จะเป็นมุมฉากด้วย (อเล็กซิส-โคลด แคลโรต์, 1741; โยฮันน์ ไฮน์ริช แลมเบิร์ต, 1766)
9. มีรูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งซึ่งทุกมุมเป็นมุมฉาก (เกราลาโม ซัคเครี, 1733)
10. สัจพจน์ของวอลลิส : บนเส้นตรงจำกัดที่กำหนดให้ สามารถสร้างสามเหลี่ยมที่คล้ายกับสามเหลี่ยมที่กำหนดให้เสมอ (จอห์น วอลลิส, 1663; ลาซาร์-นิโคลัส-มาร์เกอริต การ์โนต์, 1803; อาเดรียน-มารี เลอฌองเดร, 1824)
11. ไม่มีขีดจำกัดสูงสุดสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม (คาร์ล ฟรีดริช เกาส์, 1799)
12. มุมยอดของรูปสี่เหลี่ยม Saccheriคือ 90° (เจราลาโม ซัคเครี, 1733)
13. สัจพจน์ของ โพรคลัส : ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น ซึ่งทั้งสองเส้นขนานนั้นอยู่บนระนาบเดียวกันกับเส้นตรงเดิมแล้ว เส้นตรงนั้นก็จะตัดกับอีกเส้นหนึ่งด้วย (โพรคลัส, ศตวรรษที่ 5)

เรขาคณิตสัมบูรณ์คือเรขาคณิตที่อิงตามระบบสัจพจน์ซึ่งประกอบด้วยสัจพจน์ทั้งหมดที่ให้เรขาคณิตแบบยุคลิดยกเว้นสัจพจน์เส้นขนานหรือทางเลือกอื่นใด^{[ 69 ]}คำนี้ได้รับการแนะนำโดยJános Bolyaiในปี พ.ศ. 2375 ^{[ 70 ] บาง}ครั้งเรียกว่าเรขาคณิตที่เป็นกลาง [ ^{71 ]}เนื่องจากเป็นกลางเมื่อเทียบกับสัจพจน์เส้นขนาน

ในElementsของ Euclidข้อเสนอ 28 ข้อแรกและข้อเสนอ I.31 หลีกเลี่ยงการใช้สัจพจน์เส้นขนาน ดังนั้นจึงเป็นทฤษฎีบทที่ถูกต้องในเรขาคณิตสัมบูรณ์^{[ 72 ]} ข้อเสนอ I.31 พิสูจน์การมีอยู่ของเส้นขนาน (โดยการสร้าง) นอกจากนี้ ยัง สามารถพิสูจน์ ทฤษฎีบท Saccheri–Legendreซึ่งระบุว่าผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมมีค่าไม่เกิน 180° ได้ อีกด้วย

ทฤษฎีบทของเรขาคณิตสัมบูรณ์ใช้ได้ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกเช่นเดียวกับในเรขาคณิตยุคลิด^{[ 73 ]}

เรขาคณิตสัมบูรณ์ไม่สอดคล้องกับเรขาคณิตวงรี : ในเรขาคณิตวงรีไม่มีเส้นขนานเลย แต่ในเรขาคณิตสัมบูรณ์มีเส้นขนานอยู่ นอกจากนี้ ในเรขาคณิตวงรี ผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมใดๆ จะมากกว่า 180 องศา

ตามหลักตรรกะแล้ว สัจพจน์ไม่ได้ก่อให้เกิดทฤษฎีที่สมบูรณ์เนื่องจากสามารถเพิ่มสัจพจน์อิสระเพิ่มเติมได้โดยไม่ทำให้ระบบสัจพจน์ไม่สอดคล้องกัน สามารถขยายเรขาคณิตสัมบูรณ์ได้โดยการเพิ่มสัจพจน์ที่แตกต่างกันเกี่ยวกับความขนานและได้ระบบสัจพจน์ที่ไม่เข้ากันแต่สอดคล้องกัน ซึ่งก่อให้เกิดเรขาคณิตแบบยุคลิดและเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิก ดังนั้นทุกทฤษฎีบทของเรขาคณิตสัมบูรณ์จึงเป็นทฤษฎีบทของเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิกและเรขาคณิตแบบยุคลิด อย่างไรก็ตาม ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง นอกจากนี้ เรขาคณิตสัมบูรณ์ไม่ใช่ทฤษฎีเชิงหมวดหมู่เนื่องจากมีแบบจำลองที่ไม่สมมาตร^{[ 74 ]}

ในแนวทางเชิงสัจพจน์ของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก (เรียกอีกอย่างว่าเรขาคณิตแบบโลบาเชฟสกีหรือเรขาคณิตแบบโบลยาอิ-โลบาเชฟสกี) จะมีการเพิ่มสัจพจน์อีกหนึ่งข้อลงในสัจพจน์ที่ให้เรขาคณิตสัมบูรณ์สัจพจน์ใหม่นี้คือสัจพจน์ขนานของโลบาเชฟสกี (เรียกอีกอย่างว่าสัจพจน์ลักษณะเฉพาะของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ): ^{[ 75 ]}

เมื่อผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงที่กำหนด จะมีเส้นตรงอย่างน้อยสองเส้น (ในระนาบที่กำหนดโดยจุดและเส้นตรงนี้) ที่ไม่ตัดกับเส้นตรงที่กำหนด

เมื่อเพิ่มส่วนนี้เข้าไปแล้ว ระบบสัจพจน์จึงสมบูรณ์แล้ว

แม้ว่าสัจพจน์ใหม่จะยืนยันการมีอยู่ของเส้นตรงเพียงสองเส้น แต่ก็สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายว่ามีเส้นตรงจำนวนอนันต์ที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งไม่ตัดกับเส้นตรงที่กำหนด เนื่องจากมีจำนวนมากเช่นนี้ จึงต้องระมัดระวังในการใช้คำศัพท์ในบริบทนี้ เพราะคำว่า " เส้นขนาน"ไม่ได้มีความหมายเฉพาะเจาะจงเหมือนในเรขาคณิตแบบยุคลิดอีกต่อไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้Pเป็นจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงที่กำหนดให้PAเป็นเส้นตั้งฉากที่ลากจากPไปยัง(ตัดกันที่จุดA ) เส้นตรงที่ผ่านPแบ่งออกเป็นสองประเภท คือ เส้นที่ตัดกันและเส้นที่ไม่ตัดกัน สัจพจน์ลักษณะเฉพาะของเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิกกล่าวว่ามีเส้นตรงประเภทหลังอย่างน้อยสองเส้น ในบรรดาเส้นตรงที่ไม่ตัดกันจะมี (อยู่แต่ละด้านของPA ) เส้นตรงที่ทำมุมน้อยที่สุดกับPAบางครั้งเส้นตรงเหล่านี้เรียกว่า เส้น แรกที่ผ่านPซึ่งไม่ตัดกันและเรียกชื่อต่างๆ กัน เช่น เส้น ลิมิต เส้นกำกับหรือเส้นขนาน (เมื่อใช้คำหลังนี้ เส้นเหล่านี้คือเส้นขนาน เพียงเส้น เดียว ) เส้นอื่นๆ ทั้งหมดที่ลากผ่านจุดPแล้วไม่ตัดกันเรียกว่าเส้น ไม่ตัดกันหรือ เส้นขนาน ยิ่งยวด${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$

เนื่องจากเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและเรขาคณิตยุคลิดต่างก็สร้างขึ้นบนสัจพจน์ของเรขาคณิตสัมบูรณ์ ดังนั้นจึงมีคุณสมบัติและข้อเสนอหลายอย่างที่เหมือนกัน อย่างไรก็ตาม ผลที่ตามมาจากการแทนที่สัจพจน์เส้นขนานของเรขาคณิตยุคลิดด้วยสัจพจน์ลักษณะเฉพาะของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกนั้นอาจรุนแรงมาก ตัวอย่างเช่น:

• รูปสี่เหลี่ยมแลมเบิร์ตคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฉากสามมุม มุมที่สี่ของรูปสี่เหลี่ยมแลมเบิร์ตจะเป็นมุมแหลมหากเรขาคณิตเป็นแบบไฮเปอร์โบลิก และจะเป็นมุมฉากหากเรขาคณิตเป็นแบบยูคลิด ยิ่งไปกว่านั้นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถมีอยู่ได้ (ซึ่งเป็นข้อความที่เทียบเท่ากับสัจพจน์เส้นขนาน) เฉพาะในเรขาคณิตแบบยูคลิดเท่านั้น
• รูปสี่เหลี่ยมซัคเคอรี่ (Saccheri quadrilateral)คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน และตั้งฉากกับด้านหนึ่งที่เรียกว่าด้านฐานมุมอีกสองมุมของรูปสี่เหลี่ยมซัคเคอรี่เรียกว่ามุมยอดและมีขนาดเท่ากัน มุมยอดของรูปสี่เหลี่ยมซัคเคอรี่จะเป็นมุมแหลมถ้าเรขาคณิตเป็นแบบไฮเปอร์โบลิก และจะเป็นมุมฉากถ้าเรขาคณิตเป็นแบบยูคลิด
• ผลรวมของขนาดมุมของสามเหลี่ยมใดๆ จะมีค่าน้อยกว่า 180° ถ้าเป็นเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิก และจะมีค่าเท่ากับ 180° ถ้าเป็นเรขาคณิตแบบยูคลิด ค่า ความบกพร่องของสามเหลี่ยมคือค่าตัวเลข (180° – ผลรวมของขนาดมุมของสามเหลี่ยม) ผลลัพธ์นี้อาจกล่าวได้อีกแบบว่า ค่าความบกพร่องของสามเหลี่ยมในเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิกมีค่าเป็นบวก และค่าความบกพร่องของสามเหลี่ยมในเรขาคณิตแบบยูคลิดมีค่าเป็นศูนย์
• ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมีขอบเขตจำกัด ในขณะที่ในเรขาคณิตยูคลิดนั้น สามารถมีรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ขนาดใหญ่ได้ตามอำเภอใจ
• ในเรขาคณิตแบบยุคลิด กลุ่มของจุดที่อยู่ด้านเดียวกันและอยู่ห่างจากเส้นตรงที่กำหนดให้เท่ากัน จะก่อตัวเป็นเส้นตรง แต่ในเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิกจะไม่เป็นเช่นนั้น (แต่จะก่อตัวเป็นไฮเปอร์ไซเคิล )

ผู้สนับสนุนตำแหน่งที่ว่าเรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นเรขาคณิต "ที่แท้จริง" เพียงหนึ่งเดียวได้รับความล้มเหลวเมื่อEugenio Beltramiได้ให้การพิสูจน์เชิงนามธรรมของความสอดคล้องกัน ของเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิกและแบบยุคลิดสำหรับมิติใดๆ ในบันทึกที่ตีพิมพ์ในปี 1868 เรื่อง "ทฤษฎีพื้นฐานของปริภูมิที่มีความโค้งคงที่" ^{[ 76 ]} เขาทำสำเร็จโดยการแนะนำแบบจำลองเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดหลายแบบ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ แบบจำลอง Beltrami – Klein แบบจำลองดิสก์ Poincaréและแบบจำลองระนาบครึ่ง Poincaréพร้อมกับการแปลงที่เชื่อมโยงแบบจำลองเหล่านั้น สำหรับแบบจำลองระนาบครึ่ง Beltrami ได้อ้างถึงบันทึกของLiouvilleในตำราของMongeเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ Beltrami ยังแสดงให้เห็นว่า เรขาคณิตแบบยุคลิด nมิติเกิดขึ้นบนทรงกลมของปริภูมิไฮเปอร์โบ ลิก ( n  + 1) มิติ ดังนั้นความสัมพันธ์เชิงตรรกะระหว่างความสอดคล้องกันของเรขาคณิตแบบยุคลิดและแบบที่ไม่ใช่แบบยุคลิดจึงสมมาตร

อีกวิธีหนึ่งในการปรับเปลี่ยนสัจพจน์เส้นขนานของยุคลิดคือ การสมมติว่าไม่มีเส้นขนานในระนาบ ซึ่งแตกต่างจากกรณีของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกที่เราเพียงแค่เพิ่มสัจพจน์ใหม่หนึ่งข้อ เราไม่สามารถได้ระบบที่สอดคล้องกันโดยการเพิ่มข้อความนี้เป็นสัจพจน์ใหม่ให้กับสัจพจน์ของเรขาคณิตสัมบูรณ์เนื่องจากเส้นขนานนั้นพิสูจน์ได้ว่ามีอยู่จริงในเรขาคณิตสัมบูรณ์ ดังนั้นสัจพจน์อื่นๆ จึงต้องมีการเปลี่ยนแปลง

เริ่มต้นด้วยสัจพจน์ของฮิลเบิร์ตการเปลี่ยนแปลงที่จำเป็นเกี่ยวข้องกับการลบสัจพจน์ลำดับสี่ข้อของฮิลเบิร์ตออก และแทนที่ด้วยสัจพจน์การแยกเจ็ดข้อนี้ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ที่ไม่นิยามใหม่^{[ 77 ]}

มีความสัมพันธ์ที่ไม่กำหนด ( ดั้งเดิม ) ระหว่างจุดสี่จุดA , B , CและDซึ่งแสดงด้วย ( A , C | B , D ) และอ่านว่า " AและCแยกBและD ออกจากกัน " ^{[ 78 ]}ซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์เหล่านี้:

1. ถ้า ( A , B | C , D ) แล้วจุดA , B , CและDจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันและแตกต่างกัน
2. ถ้า ( A , B | C , D ) แล้ว ( C , D | A , B ) และ ( B , A | D , C )
3. ถ้า ( A , B | C , D ) แล้วไม่ใช่ ( A , C | B , D )
4. ถ้าจุดA , B , CและDอยู่บนเส้นตรงเดียวกันและแตกต่างกัน แล้ว ( A , B | C , D ) หรือ ( A , C | B , D ) หรือ ( A , D | B , C )
5. ถ้าจุดA , BและCอยู่บนเส้นตรงเดียวกันและแตกต่างกัน จะมีจุดD อยู่จุดหนึ่ง ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข ( A , B | C , D )
6. สำหรับจุดA , B , C , DและE ที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน 5 จุดที่แตกต่างกัน ถ้า ( A , B | D , E ) แล้ว ( A , B | C , D ) หรือ ( A , B | C , E ) ก็ได้
7. มุมมองที่แตกต่างกันช่วยรักษาความแยกจากกัน

เนื่องจากแนวคิดเรื่อง "ความอยู่ระหว่าง" ของฮิลเบิร์ตถูกลบออกไป เงื่อนไขที่เคยกำหนดโดยใช้แนวคิดนั้นจึงจำเป็นต้องได้รับการกำหนดใหม่^{[ 79 ]}ดังนั้น ส่วนของเส้นตรงABที่กำหนดเป็นจุดAและBและจุดทั้งหมดระหว่างAและBในเรขาคณิตสัมบูรณ์ จำเป็นต้องได้รับการกำหนดใหม่ ส่วนของเส้นตรงในเรขาคณิตใหม่นี้ถูกกำหนดโดยจุดสามจุดที่อยู่บนเส้นเดียวกันA , BและCและประกอบด้วยจุดทั้งสามนั้นและจุดทั้งหมดที่ไม่ได้แยกจากBโดยAและCนอกจากนี้ยังมีผลที่ตามมาอีก เนื่องจากจุดสองจุดไม่สามารถกำหนดส่วนของเส้นตรงได้อย่างเฉพาะเจาะจง จุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกันจึงไม่สามารถกำหนดสามเหลี่ยมได้อย่างเฉพาะเจาะจง และนิยามของสามเหลี่ยมจะต้องได้รับการกำหนดใหม่

เมื่อแนวคิดเหล่านี้ได้รับการกำหนดใหม่แล้ว สัจพจน์อื่นๆ ของเรขาคณิตสัมบูรณ์ (การตกกระทบ การเท่ากันทุกประการ และความต่อเนื่อง) ก็จะมีความหมายและคงอยู่เช่นเดิม เมื่อรวมกับสัจพจน์ใหม่เกี่ยวกับการไม่มีเส้นขนาน เราก็จะได้ระบบสัจพจน์ที่สอดคล้องกันซึ่งนำไปสู่เรขาคณิตรูปแบบใหม่ เรขาคณิตที่ได้นี้เรียกว่าเรขาคณิตวงรี (ระนาบ )

แม้ว่าเรขาคณิตเชิงวงรีจะไม่ใช่ส่วนขยายของเรขาคณิตสัมบูรณ์ (เช่นเดียวกับเรขาคณิตแบบยุคลิดและเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิก) แต่ก็มีความ "สมมาตร" บางอย่างในข้อเสนอของเรขาคณิตทั้งสามแบบ ซึ่งสะท้อนถึงความเชื่อมโยงที่ลึกซึ้งกว่าที่เฟลิกซ์ ไคลน์ได้สังเกตเห็น ข้อเสนอบางส่วนที่แสดงคุณสมบัตินี้ ได้แก่:

• มุมที่สี่ของรูปสี่เหลี่ยมแลมเบิร์ตเป็นมุมป้านในเรขาคณิตวงรี
• มุมยอดของรูปสี่เหลี่ยมซัคเคอรี่เป็นมุมป้านในเรขาคณิตวงรี
• ผลรวมของขนาดของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ จะมากกว่า 180° ถ้าเรขาคณิตเป็นรูปวงรี นั่นคือข้อบกพร่องของสามเหลี่ยมเป็นค่าลบ^{[ 80 ]}
• ใน เรขาคณิตเชิงวงรี เส้นตรงทุกเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนดให้จะมาบรรจบกันที่จุดร่วมจุดหนึ่ง เรียกว่าขั้วของเส้นตรง ในเรขาคณิตเชิงไฮเปอร์โบลิก เส้นตรงเหล่านี้จะไม่ตัดกัน ในขณะที่ในเรขาคณิตเชิงยุคลิด เส้นตรงเหล่านี้จะขนานกัน

ผลลัพธ์อื่นๆ เช่นทฤษฎีบทมุมภายนอกเน้นย้ำให้เห็นถึงความแตกต่างระหว่างเรขาคณิตวงรีและเรขาคณิตที่เป็นส่วนขยายของเรขาคณิตสัมบูรณ์อย่างชัดเจน

เรขาคณิตสัมบูรณ์เป็นส่วนขยายของเรขาคณิตเชิงลำดับดังนั้นทฤษฎีบททั้งหมดในเรขาคณิตเชิงลำดับจึงใช้ได้ในเรขาคณิตสัมบูรณ์ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง เรขาคณิตสัมบูรณ์ถือว่าสัจพจน์สี่ข้อแรกของยูคลิด (หรือสิ่งที่เทียบเท่า) ซึ่งแตกต่างจากเรขาคณิตเชิงเส้นตรงที่ไม่ถือว่าสัจพจน์ข้อที่สามและสี่ของยูคลิด เรขาคณิตเชิงลำดับเป็นพื้นฐานร่วมกันของทั้งเรขาคณิตสัมบูรณ์และเรขาคณิตเชิงเส้นตรง^{[ 81 ]}

• ไม่ต้องระบุพิกัด
• เรขาคณิตสังเคราะห์

• โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; โรเบิร์ตสัน, เอ็ดมันด์ เอฟ. , "โมริตซ์ ปาสช์" , คลังเอกสารประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ส
• A. Seidenberg (2008), Pasch, Moritz , พจนานุกรมชีวประวัติทางวิทยาศาสตร์ฉบับสมบูรณ์, สืบค้นเมื่อ 25 สิงหาคม 2013
• มอริตซ์ ปาสช์จากโครงการลำดับวงศ์ตระกูลทางคณิตศาสตร์
• โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; โรเบิร์ตสัน, เอ็ดมันด์ เอฟ. , "จูเซปเป เปอาโน" , คลังเอกสารประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ส
• Hubert Kennedy (2002), บทความสิบสองเรื่องเกี่ยวกับ Giuseppe Peano (PDF) , ซานฟรานซิสโก: Peremptory Publications , สืบค้นเมื่อ8 เมษายน 2012รวมบทความเกี่ยวกับชีวิตและคณิตศาสตร์ของเปอาโน (ช่วงทศวรรษ 1960 ถึง 1980)
• จูเซปเป เปอาโนจากโครงการลำดับวงศ์ตระกูลทางคณิตศาสตร์
• โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; โรเบิร์ตสัน, เอ็ดมันด์ เอฟ. , "มาริโอ ปิเอรี" , คลังเอกสารประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ส
• ฮิวเบิร์ต เคนเนดี, เพียรี, มาริโอ , พจนานุกรมชีวประวัติทางวิทยาศาสตร์ฉบับสมบูรณ์, สืบค้นเมื่อ 26 สิงหาคม 2556
• หลักการพื้นฐานของ SMSG