ในเรขาคณิตทฤษฎีบทที่ว่ามุมตรงข้ามด้านเท่ากันของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เท่า กันนั้นเรียกว่าpons asinorum ( / ˈ p ɒ n z ˌ æ s ɪ ˈ n ɔːr ə m / PONZ ass-ih- NOR -əm ) ซึ่งเป็นภาษา ละตินแปลว่า "สะพานลา " หรือเรียกให้เข้าใจง่ายขึ้นว่าทฤษฎีบทสามเหลี่ยมหน้าจั่วทฤษฎีบทนี้ปรากฏเป็นข้อเสนอที่ 5 ของหนังสือเล่มที่ 1 ในElementsของยูคลิด [ ^{1 ] บท}กลับ ของทฤษฎีบท นี้ก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ ถ้ามุมสองมุมของสามเหลี่ยมเท่ากัน ด้านตรงข้ามมุมทั้งสองนั้นก็เท่ากันด้วย

Pons asinorumยังใช้ในเชิงเปรียบเทียบสำหรับปัญหาหรือความท้าทายที่ทำหน้าที่เป็นการทดสอบการคิดเชิงวิพากษ์โดยอ้างถึงความสามารถของ "สะพานลา" ในการแยกแยะผู้ให้เหตุผลที่มีความสามารถและไม่มีความสามารถ การใช้งานครั้งแรกที่ทราบในบริบทนี้คือในปี 1645 ^{[ 2 ]}

มีคำอธิบายทั่วไปสองประการสำหรับชื่อpons asinorumซึ่งคำอธิบายที่ง่ายที่สุดคือแผนภาพที่ใช้มีลักษณะคล้ายสะพาน ทางกายภาพ แต่คำอธิบายที่เป็นที่นิยมมากกว่าคือมันเป็นการทดสอบจริงครั้งแรกในองค์ประกอบของสติปัญญาของผู้อ่านและทำหน้าที่เป็น "สะพาน" ไปสู่ข้อเสนอที่ยากขึ้นที่ตามมา^{[ 3 ]}

คำศัพท์ในยุคกลางอีกคำหนึ่งสำหรับทฤษฎีบทสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือElefugaซึ่งตามที่Roger Bacon กล่าว ไว้ มาจากภาษากรีกelegia "ความทุกข์ยาก" และภาษาละตินfuga "การหลบหนี" นั่นคือ "การหลบหนีของผู้ทุกข์ยาก" แม้ว่ารากศัพท์นี้จะน่าสงสัย แต่ก็สะท้อนให้เห็นใน การใช้คำว่า "flemyng of wreches" ของ Chaucerสำหรับทฤษฎีบทนี้^{[ 4 ]}

ชื่อDulcarnonถูกตั้งให้กับข้อเสนอที่ 47 ของหนังสือเล่มที่ 1 ของยูคลิด ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในชื่อทฤษฎีบทพีทาโกเรียนโดยมาจากคำภาษาอาหรับDhū'l-Qarnayn ذُو ٱلْقَرْنَيْنซึ่งหมายถึง "เจ้าของเขา 2 อัน" เนื่องจากแผนภาพของทฤษฎีบทแสดงให้เห็นสี่เหลี่ยมเล็กๆ สองอันคล้ายเขาอยู่ด้านบนของรูป คำนี้ยังถูกใช้เป็นคำอุปมาสำหรับภาวะกลืนไม่เข้าคายไม่ออกอีกด้วย^{[ 4 ​​]}ชื่อpons asinorumเองก็ถูกนำมาใช้กับทฤษฎีบทพีทาโกเรียนในบางครั้งเช่นกัน^{[ 5 ]}

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์เคยเสนอแนะว่าการเข้าใจเอกลักษณ์ของออยเลอร์ อาจมีบทบาทที่คล้ายคลึงกัน โดยถือเป็นเกณฑ์มาตรฐานที่บ่งชี้ว่าบุคคลใดสามารถเป็น นักคณิตศาสตร์ชั้นหนึ่งได้^{[ 6 ]}

คำกล่าวของยูคลิดเกี่ยวกับจุดสมดุล (pons asinorum)นั้นรวมถึงข้อสรุปที่สองที่ว่า ถ้าด้านที่เท่ากันของสามเหลี่ยมถูกต่อออกไปด้านล่างฐาน มุมระหว่างส่วนที่ต่อออกไปกับฐานก็จะเท่ากันด้วยการพิสูจน์ ของยูคลิด เกี่ยวข้องกับการลากเส้นเสริมไปยังส่วนที่ต่อออกไปเหล่านั้น แต่ดังที่โพรคลัส ผู้แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับยูคลิดชี้ให้เห็น ยูคลิดไม่เคยใช้ข้อสรุปที่สองนี้ และการพิสูจน์ของเขาสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้บ้างโดยการลากเส้นเสริมไปยังด้านของสามเหลี่ยมแทน ส่วนที่เหลือของการพิสูจน์ก็ดำเนินไปในลักษณะเดียวกันไม่มากก็น้อย

มีการคาดเดาและถกเถียงกันมากมายว่าทำไมยูคลิดจึงเพิ่มข้อสรุปที่สองลงในทฤษฎีบท เนื่องจากทำให้การพิสูจน์ซับซ้อนขึ้น คำอธิบายที่เป็นไปได้ข้อหนึ่งที่โพรคลัสให้ไว้คือ ข้อสรุปที่สองสามารถใช้ในการคัดค้านที่เป็นไปได้ต่อการพิสูจน์ข้อเสนอในภายหลังที่ยูคลิดไม่ได้ครอบคลุมทุกกรณี^{[ 7 ]}การพิสูจน์อาศัยสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าด้าน-มุม-ด้าน (SAS) อย่างมาก ซึ่งเป็นข้อเสนอก่อนหน้าในElementsที่กล่าวว่า เมื่อมีสามเหลี่ยมสองรูปซึ่งด้านที่สอดคล้องกันสองคู่และมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสองนั้นเท่ากันทุกประการสามเหลี่ยมทั้งสองรูปก็จะเท่ากันทุก ประการ

การพิสูจน์ของยูคลิดที่ดัดแปลงโดยโพรคลัสมีขั้นตอนดังนี้: ^{[ 8 ]}ให้⁠ ⁠${\displaystyle \triangle ABC}$เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้านเท่ากัน⁠ ⁠${\displaystyle AB\cong AC}$เลือกจุด⁠ ⁠${\displaystyle D}$ ใดๆ บนด้าน⁠ ⁠${\displaystyle AB}$แล้วสร้างจุด⁠ ⁠${\displaystyle E}$บน⁠ ⁠${\displaystyle AC}$เพื่อสร้างส่วนของเส้นตรงที่เท่ากัน⁠ ⁠${\displaystyle AD\cong AE}$ลากส่วนของเส้นตรงเสริม⁠ ⁠${\displaystyle BE}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle DC}$ , และ⁠ ⁠${\displaystyle DE}$โดยด้าน-มุม-ด้าน รูปสามเหลี่ยม⁠ ⁠${\displaystyle \triangle BAE\cong \triangle CAD}$ดังนั้น⁠ ⁠${\displaystyle \angle ABE\cong \angle ACD}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \angle ADC\cong \angle AEB}$ , และ⁠ ⁠${\displaystyle BE\cong CD}$โดยการลบส่วนของเส้นตรงที่เท่ากัน⁠ ⁠${\displaystyle BD\cong CE}$ . สิ่งนี้ทำให้เกิดสามเหลี่ยมด้านเท่าอีกคู่หนึ่ง⁠ ⁠${\displaystyle \triangle DBE\cong \triangle ECD}$โดยใช้หลักการด้าน-มุม-ด้านอีกครั้ง ดังนั้น⁠ ⁠${\displaystyle \angle BDE\cong \angle CED}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \angle BED\cong \angle CDE}$โดยการลบมุมที่เท่ากัน⁠ ⁠${\displaystyle \angle BDC\cong \angle CEB}$สุดท้าย⁠ ⁠${\displaystyle \triangle BDC\cong \triangle CEB}$โดยใช้หลักการด้าน-มุม-ด้านครั้งที่สาม ดังนั้น⁠ ⁠${\displaystyle \angle CBD\cong \angle BCE}$ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

โพรคลัสได้เสนอการพิสูจน์ที่สั้นกว่ามาก ซึ่งเชื่อกันว่าเป็นผลงานของปัปปัสแห่งอเล็กซานเดรียวิธีนี้ไม่เพียงแต่จะง่ายกว่าเท่านั้น แต่ยังไม่จำเป็นต้องมีการสร้างเพิ่มเติมใดๆ เลย วิธีการพิสูจน์คือการใช้ด้าน-มุม-ด้านกับสามเหลี่ยมและภาพสะท้อนของมัน ผู้เขียนสมัยใหม่หลายคนเลียนแบบวิธีการพิสูจน์ที่ให้ไว้สำหรับข้อเสนอก่อนหน้านี้ โดยอธิบายว่าเป็นการหยิบสามเหลี่ยมขึ้นมา พลิกมัน และวางมันลงบนตัวมันเอง^{[ 9 ] [ 10 ]} วิธีนี้ถูกล้อเลียนโดยชาร์ลส์ ดอดจ์สันในหนังสือ Euclid and his Modern Rivalsโดยเรียกมันว่า " วัวไอริช " เพราะเห็นได้ชัดว่ามันต้องการให้สามเหลี่ยมอยู่ในสองที่พร้อมกัน^{[ 11 ]}

การพิสูจน์มีดังนี้: ^{[ 12 ]}ให้ABCเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีABและACเป็นด้านเท่ากัน พิจารณาสามเหลี่ยมABCและACBโดยที่ACBถือเป็นสามเหลี่ยมที่สองที่มีจุดยอดA , CและBซึ่งสอดคล้องกับA , BและCในสามเหลี่ยมเดิม ตามลำดับ เท่ากับตัวมันเองAB  =  ACและAC  =  ABดังนั้นโดยหลักด้าน-มุม-ด้าน สามเหลี่ยมABCและACBจึงเท่ากันทุกประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง^{[ 13 ]}${\displaystyle \angle A}$${\displaystyle \angle B=\angle C}$

วิธีการมาตรฐานในตำราเรียนคือการสร้างเส้นแบ่งครึ่งมุมที่จุดA ^{[ 14 ]}วิธีนี้ง่ายกว่าการพิสูจน์ของยูคลิด แต่ยูคลิดไม่ได้นำเสนอการสร้างเส้นแบ่งครึ่งมุมจนกระทั่งถึงข้อเสนอที่ 9 ดังนั้นลำดับการนำเสนอข้อเสนอของยูคลิดจะต้องเปลี่ยนแปลงเพื่อหลีกเลี่ยงความเป็นไปได้ของการให้เหตุผลแบบวนซ้ำ

การพิสูจน์ดำเนินไปดังนี้: ^{[ 15 ]}เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ ให้สามเหลี่ยมเป็นABCโดยที่AB  =  ACสร้างเส้นแบ่งครึ่งมุมของและขยายออกไปให้ตัดกับBCที่X AB  =  ACและAXเท่ากับตัวมันเอง ยิ่งไปกว่านั้นดังนั้น เมื่อใช้หลักการด้าน-มุม-ด้าน สามเหลี่ยมBAXและสามเหลี่ยมCAX จึงเท่ากัน ทุกประการ ผลที่ตามมาคือ มุมที่BและCเท่ากัน ${\displaystyle \angle BAC}$${\displaystyle \angle BAX=\angle CAX}$

Legendreใช้โครงสร้างที่คล้ายกันในÉléments de géométrieแต่ใช้Xเป็นจุดกึ่งกลางของBC ^{[ 16} ] การพิสูจน์คล้ายกัน แต่ ต้องใช้ ด้าน-ด้าน-ด้าน แทนด้าน-มุม-ด้าน และ ^ยูคลิดไม่ได้ให้ด้าน-ด้าน-ด้านจนกระทั่งภายหลังใน Elements

ทฤษฎีบทสามเหลี่ยมหน้าจั่วใช้ได้ในปริภูมิผลคูณภายในเหนือ จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนในปริภูมิดังกล่าว เมื่อกำหนดเวกเตอร์x , yและzทฤษฎีบทกล่าวว่าถ้าและแล้ว^{[ 17 ]}${\displaystyle x+y+z=0}$${\displaystyle \|x\|=\|y\|,}$${\displaystyle \|xz\|=\|yz\|.}$

เนื่องจากθ คือมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง ข้อสรุปของทฤษฎีบทในรูปแบบปริภูมิผลคูณภายในนี้จึงเทียบเท่ากับข้อความเกี่ยวกับการเท่ากันของ มุม${\displaystyle \|xz\|^{2}=\|x\|^{2}-2x\cdot z+\|z\|^{2}}$${\displaystyle x\cdot z=\|x\|\|z\|\cos \theta ,}$

การใช้pons asinorumเป็นอุปมาอุปไมยสำหรับการทดสอบการคิดเชิงวิพากษ์ ได้แก่:

• Philobiblon ของ Richard Aungervilleในศตวรรษที่ 14 มีข้อความว่า "Quot Euclidis discipulos retrojecit Elefuga quasi scopulos eminens et abruptus, qui nullo scalarum suffragio scandi posset! Durus, inquiunt, est his sermo; quis potest eum audire?" ซึ่งเป็นการเปรียบเทียบทฤษฎีบทกับหน้าผาสูงชันที่ไม่มีบันไดใดช่วยได้ ปรับขนาดและถามว่าจะต้องเปลี่ยนเรขาคณิตไปกี่เส้น^{[ 4 ]}
• คำว่าpons asinorumในความหมายทั้งในฐานะสะพานและการทดสอบ ถูกใช้เป็นคำอุปมาเพื่อค้นหาพจน์กลาง^ของตรรกะ [ ^{4 ]}
• โทมัส แคมป์เบลล์กวีในศตวรรษที่ 18 ได้เขียนบทกวีตลกชื่อ "Pons asinorum" ซึ่งชั้นเรียนเรขาคณิตได้โจมตีทฤษฎีบทนี้ราวกับกองทหารบุกโจมตีป้อมปราการ การต่อสู้ครั้งนี้ก็มีผู้บาดเจ็บล้มตายเช่นกัน^{[ 18 ]}
• นักเศรษฐศาสตร์John Stuart Millเรียกกฎค่าเช่าของ Ricardo ว่าpons asinorumของเศรษฐศาสตร์^{[ 19 ]}
• เทคนิคทางวรรณกรรมที่เรียกว่า aasinsilta ในภาษาฟินแลนด์ และåsnebrygga ในภาษาสวีเดนคือการใช้การเชื่อมโยงที่อ่อนแอหรือแม้แต่ดูจงใจสร้างขึ้นระหว่างสองประเด็นหรือหัวข้อ ซึ่งเกือบจะเป็นการ เชื่อมโยง ที่ไม่สมเหตุสมผล แต่ก็ไม่ใช่เสียทีเดียว ใช้เป็นสะพานเชื่อมระหว่างประเด็นเหล่านั้นอย่างไม่เป็นธรรมชาติ ในงานเขียนที่จริงจัง ถือว่าเป็นข้อผิดพลาดทางสไตล์ เนื่องจากควรจัดอยู่ใน รูปแบบการเขียน แบบกระแสสำนึก (stream of consciousness ) หรือcauserieตัวอย่างทั่วไป ได้แก่ การจบส่วนหนึ่งด้วยการบอกว่าส่วนต่อไปเกี่ยวกับอะไร โดยไม่เสียเวลาอธิบายว่าทำไมหัวข้อเหล่านั้นจึงเกี่ยวข้องกัน การขยายความกล่าวถึงแบบผ่านๆ ให้กลายเป็นรายละเอียด หรือการหาความเชื่อมโยงที่ดูจงใจสร้างขึ้นระหว่างหัวข้อ (เช่น "เราซื้อไวน์แดงมา พูดถึงของเหลวสีแดง พรุ่งนี้เป็นวันผู้บริจาคโลหิตโลก")
• ในภาษาดัตช์ คำว่า ezelsbruggetje ('สะพานลาเล็ก ๆ') เป็นคำที่ใช้แทนคำช่วยจำเช่นเดียวกับคำว่าEselsbrücke ในภาษาเยอรมัน
• ในภาษาเช็ก คำว่า oslí můstekมีความหมายสองอย่าง คือ อาจหมายถึงความเชื่อมโยงที่สร้างขึ้นระหว่างสองหัวข้อ หรืออาจเป็นวิธีช่วยจำก็ได้

ตำนานคณิตศาสตร์ที่แพร่หลายอ้างว่า โปรแกรม ปัญญาประดิษฐ์ค้นพบการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในรูปแบบดั้งเดิมและสง่างามกว่าเดิม^{[ 20 ] [ 21 ]}ในความเป็นจริงมาร์วิน มินสกีเล่าว่าเขาค้นพบการพิสูจน์ของปัปปัส อีกครั้ง (ซึ่งเขาไม่เคยรู้มาก่อน) โดยการจำลองสิ่งที่ผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทเชิงกลอาจทำ^{[ 22 ] [ 10 ]}

ค้นหาคำว่า pons asinorumใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

Wikisourceภาษาอังกฤษมีข้อความต้นฉบับที่เกี่ยวข้องกับบทความนี้:

ข้อเสนอที่ 5 จากตำราองค์ประกอบของยูคลิด

• Pons asinorum ที่PlanetMath
• การนำเสนอเรื่อง องค์ประกอบของยูคลิดโดย ดี.อี. จอยซ์