ในคุณสมบัติต่อไปนี้ ซึ่งได้มาโดยตรงจากนิยามของผลคูณภายในx , yและzเป็นเวกเตอร์ใดๆ และaและbเป็นสเกลาร์ใดๆ

• ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle x,\mathbf {0} \rangle =0.}$^{[หมายเหตุ 3 ]}
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$เป็นค่าจริงและไม่เป็นลบ^{[หมายเหตุ 4 ]}
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x=\mathbf {0} .}$^{[หมายเหตุ 5 ]}
• ${\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle }$นั่นคือความเป็นเชิงเส้นคู่ควบ (สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่ 2) ซึ่งหมายความว่าผลคูณภายในเป็นรูปแบบเซสควิลิเนียร์
• ${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\ชื่อผู้ดำเนินการ {Re} (\langle x,y\rangle )+\langle y,y\rangle ,}$ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {Re} }$แสดงถึงส่วนจริงของอาร์กิวเมนต์

เกิน${\displaystyle \mathbb {R} }$สมมาตรแบบสังยุคลดรูปเป็นสมมาตร และความเป็นกึ่งเชิงเส้นลดรูปเป็นความเป็นเชิงเส้นคู่ดังนั้น ผลคูณภายในบนปริภูมิเวกเตอร์จริงจึงเป็นรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตรบวกแน่นอน การกระจาย ทวินามของกำลังสองกลายเป็น $${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

มีการใช้สัญลักษณ์หลายแบบสำหรับผลคูณภายใน ซึ่งรวมถึง ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$, ${\displaystyle \left(\cdot ,\cdot \right)}$, ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$และ ${\displaystyle \left(\cdot |\cdot \right)}$รวมถึงผลคูณดอทตามปกติด้วย

นักเขียนบางท่าน โดยเฉพาะในสาขาฟิสิกส์และพีชคณิตเมทริกซ์นิยมกำหนดนิยามของผลคูณภายในและรูปแบบเซสควิลิเนียร์โดยให้ความเชิงเส้นอยู่ในอาร์กิวเมนต์ตัวที่สองมากกว่าตัวแรก ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ตัวแรกจะกลายเป็นเชิงเส้นคู่ควบ แทนที่จะเป็นตัวที่สอง สัญกรณ์ Bra–ketในกลศาสตร์ควอนตัมก็ใช้สัญกรณ์ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยเช่นกัน${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$, ที่ไหน${\displaystyle \langle x|y\rangle$ :=\left(y,x\right)} .

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของปริภูมิผลคูณภายใน ได้แก่${\displaystyle \mathbb {R} }$และ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ตัวเลขที่แท้จริง${\displaystyle \mathbb {R} }$เป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือ${\displaystyle \mathbb {R} }$ซึ่งกลายเป็นปริภูมิผลคูณภายในที่มีผลคูณภายในเป็นการคูณทางคณิตศาสตร์: $${\displaystyle \langle x,y\rangle$$ :=xy\quad {\text{ สำหรับ }}x,y\in \mathbb {R} .}

จำนวนเชิงซ้อน​${\displaystyle \mathbb {C} }$เป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือ${\displaystyle \mathbb {C} }$ซึ่งกลายเป็นพื้นที่ผลคูณภายในที่มีผลคูณภายใน $${\displaystyle \langle x,y\rangle$$ :=x{\overline {y}}\quad {\text{ สำหรับ }}x,y\in \mathbb {C} .} แตกต่างจากจำนวนจริง การกำหนดค่า${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$ไม่ได้กำหนดผลคูณภายในที่ซับซ้อนบน${\displaystyle \mathbb {C} .}$

โดยทั่วไปแล้ว ความจริง${\displaystyle n}$-ช่องว่าง${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ผลคูณดอทเป็นปริภูมิผลคูณภายใน ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของปริภูมิเวกเตอร์แบบยุคลิด $${\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\operatorname {T} }y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}$$ ที่ไหน${\displaystyle x^{\operatorname {T} }}$คือการสลับตำแหน่งของ${\displaystyle x.}$

ฟังก์ชัน${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle$ :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } เป็นผลคูณภายในบน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ก็ต่อเมื่อมี เมทริกซ์ สมมาตรบวกแน่นอนอยู่${\displaystyle \mathbf {M} }$โดยที่${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$ถ้า${\displaystyle \mathbf {M} }$แล้วเมทริกซ์เอกลักษณ์ล่ะ?${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$คือผลคูณดอท ยกตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle n=2}$และ${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}}$เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน (ซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ...)${\displaystyle \det \mathbf {M} =ad-b^{2}>0}$และองค์ประกอบแนวทแยงมุมหนึ่งหรือทั้งสองเป็นค่าบวก) แล้วสำหรับกรณีใดๆ${\displaystyle x:=\left[x_{1},x_{2}\right]^{\operatorname {T} },y:=\left[y_{1},y_{2}\right]^{\operatorname {T} }\in \mathbb {R} ^{2},}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle$$ :=x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y=\left[x_{1},x_{2}\right]{\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}=ax_{1}y_{1}+bx_{1}y_{2}+bx_{2}y_{1}+dx_{2}y_{2}.} ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ผลคูณภายในทุกตัวบน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$อยู่ในรูปแบบนี้ (โดยที่${\displaystyle b\in \mathbb {R} ,a>0}$และ${\displaystyle d>0}$ทำให้พึงพอใจ${\displaystyle ad>b^{2}}$)

รูปแบบทั่วไปของผลคูณภายในบน${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$เรียกว่ารูปแบบเฮอร์มิเชียนและกำหนดโดย $${\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}$$ ที่ไหน${\displaystyle M}$เป็น เมทริกซ์เฮอ ร์มิเชียนบวกแน่นอน ใดๆ และ${\displaystyle y^{\dagger }}$คือการสลับตำแหน่งและผันแปรของ${\displaystyle y.}$ในกรณีจริง ผลลัพธ์นี้จะสอดคล้องกับผลคูณดอทของผลลัพธ์จากการปรับขนาดเวกเตอร์สองตัวที่มีทิศทางต่างกัน โดยมีตัวประกอบการปรับขนาด เป็นบวก และทิศทางการปรับขนาดตั้งฉากกัน มันคือ ผล รวมถ่วงน้ำหนักของผลคูณดอทที่มีน้ำหนักเป็นบวก—โดยคำนึงถึงการแปลงเชิงตั้งฉากด้วย

บทความเกี่ยวกับปริภูมิฮิลเบิร์ตมีตัวอย่างปริภูมิผลคูณภายในหลายตัวอย่าง ซึ่งเมตริกที่เกิดจากผลคูณภายในจะให้ปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์ตัวอย่างของปริภูมิผลคูณภายในที่ให้เมตริกที่ไม่สมบูรณ์คือปริภูมิ${\displaystyle C([a,b])}$ของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนต่อเนื่อง${\displaystyle f}$และ${\displaystyle g}$ในช่วงเวลา${\displaystyle [a,b].}$ผลคูณภายในคือ $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}$$ พื้นที่นี้ยังไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น พิจารณาช่วง[ −1, 1 ]ซึ่งเป็นลำดับของฟังก์ชัน "ขั้นบันได" ต่อเนื่อง${\displaystyle \{f_{k}\}_{k},}$กำหนดโดย: $${\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}$$

ลำดับนี้เป็นลำดับโคชีสำหรับค่ามาตรฐานที่เกิดจากผลคูณภายในก่อนหน้า ซึ่งไม่ลู่เข้าสู่ฟังก์ชันต่อเนื่อง

สำหรับตัวแปรสุ่ม จริง${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y,}$มูลค่าที่คาดหวังของผลิตภัณฑ์ของพวกเขา $${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathbb {E} [XY]}$$ เป็นผลคูณภายใน^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}ในกรณีนี้${\displaystyle \langle X,X\rangle =0}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \mathbb {P} [X=0]=1}$(นั่นคือ${\displaystyle X=0}$เกือบแน่นอน ) โดยที่${\displaystyle \mathbb {P} }$แสดงถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ นิยามของค่าคาดหวังในรูปผลคูณภายในนี้สามารถขยายไปใช้กับเวกเตอร์สุ่มได้เช่นกัน

ผลคูณภายในสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเชิงซ้อนที่มีขนาดเท่ากันคือผลคูณภายในของฟรอเบนิอุส${\displaystyle \langle A,B\rangle$ :=\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)} . เนื่องจากร่องรอยและการสลับตำแหน่งเป็นเชิงเส้น และการสังยุคอยู่บนเมทริกซ์ที่สอง จึงเป็นตัวดำเนินการเซสควิลิเนียร์ นอกจากนี้เรายังได้รับสมมาตรเฮอร์มิเชียนโดย $${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)={\overline {\operatorname {tr} \left(BA^{\dagger }\right)}}={\overline {\left\langle B,A\right\rangle }}}$$ สุดท้ายนี้ เนื่องจากสำหรับ${\displaystyle A}$ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle \langle A,A\rangle =\sum _{ij}\left|A_{ij}\right|^{2}>0}$เราจึงได้ว่า ผลคูณภายในของฟรอเบนิอุสก็เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนเช่นกัน และผลคูณภายในทั่วไปก็เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนด้วย

บนปริภูมิผลคูณภายใน หรือโดยทั่วไปแล้วคือปริภูมิเวกเตอร์ที่มีรูปแบบไม่เสื่อม (ดังนั้นจึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึม)${\displaystyle V\to V^{*}}$เวกเตอร์สามารถแปลงเป็นโคเวกเตอร์ (ในพิกัด ผ่านการสลับแถวและคอลัมน์) ได้ เพื่อให้สามารถหาผลคูณภายในและผลคูณภายนอกของเวกเตอร์สองตัวได้ ไม่ใช่แค่เพียงเวกเตอร์และโคเวกเตอร์เท่านั้น

พื้นที่ผลคูณภายในทุกพื้นที่ก่อให้เกิดบรรทัดฐานเรียกว่า บรรทัดฐานนั้นเองบรรทัดฐานมาตรฐานซึ่งกำหนดโดย $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$ ด้วยเกณฑ์นี้ พื้นที่ผลคูณภายในทุกพื้นที่จึงกลายเป็นพื้นที่เวกเตอร์ที่มีเกณฑ์

ดังนั้น คุณสมบัติทั่วไปทั้งหมดของปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐานจึงใช้ได้กับปริภูมิผลคูณภายใน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ความเป็นเนื้อเดียวกันอย่างสมบูรณ์

$${\displaystyle \|ax\|=|a|\,\|x\|}$$ สำหรับทุกๆ${\displaystyle x\in V}$และ${\displaystyle a\in F}$ (ผลลัพธ์นี้มาจาก)${\displaystyle \langle ax,ax\rangle =a{\overline {a}}\langle x,x\rangle }$)

อสมการสามเหลี่ยม

$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$ สำหรับ${\displaystyle x,y\in V.}$ คุณสมบัติทั้งสองนี้แสดงให้เห็นว่ามีบรรทัดฐานอยู่จริง

อสมการโคชี-ชวาร์ซ

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}$$ สำหรับทุกๆ${\displaystyle x,y\in V,}$ ด้วยความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$ สำหรับทุกๆ${\displaystyle x,y\in V.}$ กฎของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการกำหนดค่ามาตรฐานโดยใช้ผลคูณภายใน

เอกลักษณ์ของการแบ่งขั้ว

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$$ สำหรับทุกๆ${\displaystyle x,y\in V.}$ ผลคูณภายในสามารถดึงกลับมาได้จากค่ามาตรฐานโดยใช้เอกลักษณ์การโพลาไรเซชัน เนื่องจากส่วนจินตนาการของมันคือส่วนจริงของ${\displaystyle \langle x,iy\rangle .}$

ความไม่เท่าเทียมกันของปโตเลมี

$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|}$$ สำหรับทุกๆ${\displaystyle x,y,z\in V.}$ อสมการของปโตเลมีเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเซมินอร์มที่จะเป็นนอร์มที่กำหนดโดยผลคูณภายใน^{[ 11 ]}

ความตั้งฉาก

เวกเตอร์สองตัว${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$กล่าวกันว่าตั้งฉากมักเขียนว่า${\displaystyle x\perp y,}$ถ้าผลคูณภายในของพวกมันเป็นศูนย์ นั่นคือ ถ้า${\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}$ เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ...${\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}$สำหรับค่าสเกลาร์ทั้งหมด${\displaystyle s,}$^{[ 12 ]}และเฉพาะเมื่อฟังก์ชันค่าจริงเท่านั้น${\displaystyle f(s):=\|x+sy\|^{2}-\|x\|^{2}}$มีค่าไม่เป็นลบ (นี่เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้า${\displaystyle y\neq 0}$จากนั้นสเกลาร์${\displaystyle s_{0}=-{\tfrac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}}$ลดให้น้อยที่สุด${\displaystyle f}$ด้วยคุณค่า${\displaystyle f\left(s_{0}\right)=-{\tfrac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}},}$ซึ่งมักจะไม่ใช่ค่าบวก) สำหรับพื้นที่ผลคูณภายในที่ซับซ้อน${\displaystyle H,}$ตัวดำเนินการเชิงเส้น${\displaystyle T:V\to V}$เหมือนกันทุกประการ${\displaystyle 0}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x\perp Tx}$สำหรับทุกๆ${\displaystyle x\in V.}$^{[ 12 ]}โดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้ไม่เป็นจริงสำหรับปริภูมิผลคูณภายในจริง เนื่องจากเป็นผลสืบเนื่องมาจากสมมาตรคู่ควบที่แตกต่างจากสมมาตรสำหรับผลคูณภายในเชิงซ้อน ตัวอย่างค้านในปริภูมิผลคูณภายในจริงคือ${\displaystyle T}$การหมุน 90° ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ซึ่งแปลงเวกเตอร์ทุกตัวให้เป็นเวกเตอร์ตั้งฉาก แต่ไม่เหมือนกันทุกประการ${\displaystyle 0}$.

ส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉาก

ส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของเซตย่อย${\displaystyle C\subseteq V}$คือชุด${\displaystyle C^{\bot }}$ของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับองค์ประกอบทั้งหมดของCกล่าวคือ $${\displaystyle C^{\bot }:=\{\,y\in V:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\}.}$$ ชุดนี้${\displaystyle C^{\bot }}$เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดของเสมอ${\displaystyle V}$และถ้าหากมีการปิดตัวลง${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C}$ของ${\displaystyle C}$ใน${\displaystyle V}$ถ้าเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์แล้ว${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}$

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ถ้า${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$ถ้าตั้งฉากกันแล้ว $${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$$ สามารถพิสูจน์ได้โดยการแสดงค่ากำลังสองของบรรทัดฐานในรูปของผลคูณภายใน โดยใช้คุณสมบัติการบวกเพื่อขยายด้านขวามือของสมการ ชื่อทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาจากความหมายเชิงเรขาคณิตในเรขาคณิตแบบยุคลิด

ตัวตนของปาร์เซวัล

การพิสูจน์โดยการอุปมานจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสให้ผลลัพธ์ดังนี้: ถ้า${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$หากตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ แล้ว $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$$

มุม

เมื่อไร${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ถ้า เป็นจำนวนจริง อสมการโคชี-ชวาร์ซจะบ่งชี้ว่า${\textstyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1],}$และด้วยเหตุนี้ $${\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}$$ เป็นจำนวนจริง สิ่งนี้ช่วยให้สามารถกำหนดมุม (ที่ไม่กำหนดทิศทาง) ของเวกเตอร์สองตัวในนิยามสมัยใหม่ของเรขาคณิตแบบยุคลิดในแง่ของพีชคณิตเชิงเส้นได้นอกจากนี้ยังใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลภายใต้ชื่อ " ความคล้ายคลึงโคไซน์ " สำหรับการเปรียบเทียบเวกเตอร์ข้อมูลสองตัว ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า${\displaystyle \langle x,y\rangle }$เป็นค่าลบ มุม${\displaystyle \angle (x,y)}$มีค่ามากกว่า 90 องศา คุณสมบัตินี้มักใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์ (เช่น ในการตัดด้านหลัง ) เพื่อวิเคราะห์ทิศทางโดยไม่ต้องคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สมมติว่า${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$เป็นผลคูณภายในบน${\displaystyle V}$(ดังนั้นจึงเป็นแอนติลิเนียร์ในอาร์กิวเมนต์ที่สอง) เอกลักษณ์โพลาไรเซชันแสดงให้เห็นว่าส่วนจริงของผลคูณภายในคือ $${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

ถ้า${\displaystyle V}$ถ้าเป็นปริมาณเวกเตอร์จริง $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$$ และส่วนจินตนาการ (เรียกอีกอย่างว่าส่วนเชิงซ้อน ) ของ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$เสมอ${\displaystyle 0.}$

สำหรับส่วนที่เหลือของหัวข้อนี้ ให้ถือว่า${\displaystyle V}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนเอกลักษณ์การโพลาไรเซชันสำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนแสดงให้เห็นว่า $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$$

แผนที่ที่กำหนดโดย${\displaystyle \langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle }$สำหรับทุกคน${\displaystyle x,y\in V}$สอดคล้องกับสัจพจน์ของผลคูณภายใน ยกเว้นว่ามันเป็นแอนติลิเนียร์ในอาร์กิวเมนต์แรกแทนที่จะเป็นอาร์กิวเมนต์ที่สอง ส่วนจริงของทั้งสอง${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$และ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$เท่ากับ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$แต่ผลิตภัณฑ์ภายในมีความแตกต่างกันในส่วนประกอบที่ซับซ้อน: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$$

ความเท่าเทียมกันสุดท้ายนั้นคล้ายกับสูตรที่แสดงฟังก์ชันเชิงเส้นในรูปของส่วนจริงของมัน

สูตรเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าผลคูณภายในเชิงซ้อนทุกตัวถูกกำหนดโดยส่วนจริงอย่างสมบูรณ์ ยิ่งไปกว่านั้น ส่วนจริงนี้ยังกำหนดผลคูณภายในบน${\displaystyle V,}$ถือว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง ดังนั้นจึงมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างผลคูณภายในเชิงซ้อนในปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน${\displaystyle V,}$และผลิตภัณฑ์ภายในที่แท้จริงบน${\displaystyle V.}$

ตัวอย่างเช่น สมมติว่า${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$สำหรับจำนวนเต็มบางจำนวน${\displaystyle n>0.}$เมื่อไร${\displaystyle V}$ถือว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงในแบบปกติ (หมายความว่ามันถูกระบุว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง)${\displaystyle 2n-}$ปริภูมิเวกเตอร์จริงมิติ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$กับแต่ละคน${\displaystyle \left(a_{1}+ib_{1},\ldots ,a_{n}+ib_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$ระบุด้วย${\displaystyle \left(a_{1},b_{1},\ldots ,a_{n},b_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{2n}}$) จากนั้นจึงทำการคูณแบบดอทโปรดักต์${\displaystyle x\,\cdot \,y=\left(x_{1},\ldots ,x_{2n}\right)\,\cdot \,\left(y_{1},\ldots ,y_{2n}\right):=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{2n}y_{2n}}$กำหนดผลคูณภายในที่แท้จริงในพื้นที่นี้ ผลคูณภายในที่ซับซ้อนและเป็นเอกลักษณ์${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$บน${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$แผนที่ที่ส่งผ่านผลคูณดอทที่เกิดขึ้น${\displaystyle c=\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right),d=\left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$ถึง${\displaystyle \langle c,d\rangle$ :=c_{1}{\overline {d_{1}}}+\cdots +c_{n}{\overline {d_{n}}}} (เนื่องจากส่วนจริงของแผนที่นี้)${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$เท่ากับผลคูณดอท)

ถ้า${\displaystyle V}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์และ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$รูปแบบเซสควิลิเนียร์กึ่งกำหนด จากนั้นฟังก์ชัน: $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$$ สมเหตุสมผลและตรงตามคุณสมบัติทั้งหมดของบรรทัดฐาน ยกเว้นว่า${\displaystyle \|x\|=0}$ไม่ได้หมายความว่า${\displaystyle x=0}$(ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าเซมิ-นอร์ม ) เราสามารถสร้างปริภูมิผลคูณภายในได้โดยพิจารณาจากผลหาร${\displaystyle W=V/\{x:\|x\|=0\}.}$รูปแบบเซสควิลิเนียร์${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ปัจจัยต่างๆ ผ่านทาง${\displaystyle W.}$

โครงสร้างนี้ถูกนำไปใช้ในบริบทต่างๆ มากมายโครงสร้าง Gelfand–Naimark–Segalเป็นตัวอย่างที่สำคัญอย่างยิ่งของการใช้เทคนิคนี้ อีกตัวอย่างหนึ่งคือการแสดงเคอร์เนลแบบกึ่งกำหนดบนเซตใดๆ

อีกทางเลือกหนึ่ง อาจกำหนดให้การจับคู่เป็นรูปแบบที่ไม่เสื่อมสภาพซึ่งหมายความว่าสำหรับทุกค่าที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle x\neq 0}$มีอยู่บ้าง${\displaystyle y}$โดยที่${\displaystyle \langle x,y\rangle \neq 0,}$แม้ว่า${\displaystyle y}$ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน${\displaystyle x}$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ แผนที่เหนี่ยวนำไปยังปริภูมิคู่ขนาน${\displaystyle V\to V^{*}}$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง การสรุปทั่วไปนี้มีความสำคัญในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ : แมนิโฟลด์ที่มีปริภูมิสัมผัสที่มีผลคูณภายในเรียกว่า แมนิ โฟลด์แบบรีมันน์ในขณะที่หากเกี่ยวข้องกับรูปแบบสมมาตรคู่ควบที่ไม่เสื่อมสภาพ แมนิโฟลด์นั้นจะเป็นแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์ตามกฎความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์ เช่นเดียวกับที่ผลคูณภายในทุกตัวคล้ายกับผลคูณดอทที่มีน้ำหนักบวกบนเซตของเวกเตอร์ รูปแบบสมมาตรคู่ควบที่ไม่เสื่อมสภาพทุกตัวก็คล้ายกับผลคูณดอทที่มี น้ำหนัก ไม่เป็นศูนย์บนเซตของเวกเตอร์ และจำนวนน้ำหนักบวกและลบเรียกว่าดัชนีบวกและดัชนีลบตามลำดับ ผลคูณของเวกเตอร์ในปริภูมิมิงโกวสกีเป็นตัวอย่างของผลคูณภายในที่ไม่แน่นอน แม้ว่าในทางเทคนิคแล้ว มันไม่ใช่ผลคูณภายในตามคำจำกัดความมาตรฐานข้างต้น ปริภูมิมิงโกวสกีมีสี่มิติและดัชนี 3 และ 1 (การกำหนด"+" และ "−"ให้กับพวกมันแตกต่างกันไปตามข้อตกลง )

โดยทั่วไปแล้ว ข้อความเชิงพีชคณิตล้วนๆ (ข้อความที่ไม่ใช้คุณสมบัติความเป็นบวก) จะอาศัยเพียงแค่คุณสมบัติที่ไม่เสื่อมถอย (โฮโมมอร์ฟิซึมแบบฉีด) เท่านั้น${\displaystyle V\to V^{*}}$) และด้วยเหตุนี้จึงใช้ได้โดยทั่วไป