ในทางเรขาคณิตเส้นฟิโล (Philo line)คือส่วนของเส้นตรงที่กำหนดจากมุมและจุดภายในมุม โดยเป็นส่วนของเส้นตรงที่สั้นที่สุดที่ผ่านจุดนั้นและมีจุดปลายอยู่บนด้านทั้งสองของมุม เส้นนี้ยังรู้จักกันในชื่อเส้นฟิโลน (Philon line ) ซึ่งตั้งชื่อตามฟิโลแห่งไบแซนเทียมนักเขียนชาวกรีกเกี่ยวกับอุปกรณ์เชิงกล ซึ่งน่าจะมีชีวิตอยู่ในช่วงศตวรรษที่ 1 หรือ 2 ก่อนคริสต์ศักราช ฟิโลใช้เส้นนี้ในการ เพิ่มขนาด ของลูกบาศก์เป็นสองเท่า [ ^{1 ] [ 2 ]}เนื่องจากการเพิ่มขนาดของลูกบาศก์เป็นสองเท่าไม่สามารถทำได้โดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนและการสร้างเส้นฟิโลก็ไม่สามารถทำได้เช่น^{กัน[ 1 ] [ 3 ]}

จุดกำหนดของเส้นฟิโล และฐานของเส้นตั้งฉากจากจุดยอดของมุมไปยังเส้นตรงนั้น อยู่ห่างจากจุดปลายของเส้นตรงเท่ากัน กล่าวคือ สมมติว่าส่วนของเส้นตรงนั้น${\displaystyle DE}$เส้นฟิโลสำหรับจุดนั้นคืออะไร${\displaystyle P}$และมุม${\displaystyle DOE}$และปล่อยให้${\displaystyle Q}$เป็นฐานของเส้นตั้งฉาก${\displaystyle OQ}$ถึง${\displaystyle DE}$. แล้ว${\displaystyle DP=EQ}$และ${\displaystyle DQ=EP}$[ ^{1 ]​}

ในทางกลับกัน ถ้า${\displaystyle P}$และ${\displaystyle Q}$จุดสองจุดใดๆ อยู่ห่างจากปลายทั้งสองของส่วนของเส้นตรงเป็นระยะทางเท่ากัน${\displaystyle DE}$และถ้า${\displaystyle O}$จุดใดๆ บนเส้นตรงที่ผ่าน${\displaystyle Q}$ซึ่งตั้งฉากกับ${\displaystyle DE}$, แล้ว${\displaystyle DE}$เส้นฟิโลสำหรับมุม${\displaystyle DOE}$และชี้${\displaystyle P}$[ ^{1 ]​}

การตรึงเส้นอย่างเหมาะสมโดยพิจารณาจากคำแนะนำจาก${\displaystyle O}$ถึง${\displaystyle E}$ และจาก${\displaystyle O}$ถึง${\displaystyle D}$และที่ตั้งของ${\displaystyle P}$รูปสามเหลี่ยมอนันต์นั้นได้มาจากการใช้พีชคณิตดังต่อไปนี้:

ประเด็น${\displaystyle O}$ถูกวางไว้ที่จุดศูนย์กลางของระบบพิกัด โดยมีทิศทางจาก${\displaystyle O}$ถึง${\displaystyle E}$กำหนดแนวนอน${\displaystyle x}$-พิกัด และทิศทางจาก${\displaystyle O}$ถึง${\displaystyle D}$กำหนดเส้นด้วยสมการ${\displaystyle y{=}mx}$ในระบบพิกัดเชิงเส้นตรง${\displaystyle m}$คือค่าแทนเจนต์ของมุมในสามเหลี่ยม${\displaystyle DOE}$. แล้ว${\displaystyle P}$มีพิกัดคาร์ทีเซียน${\displaystyle (P_{x},P_{y})}$และภารกิจคือการค้นหา${\displaystyle E=(E_{x},0)}$บนแกนแนวนอนและ${\displaystyle D=(D_{x},D_{y})=(D_{x},mD_{x})}$อีกด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม

สมการของกลุ่มเส้นตรงที่มีความเอียง${\displaystyle \alpha }$ที่วิ่งผ่านจุดนั้น${\displaystyle (x,y)=(P_{x},P_{y})}$เป็น

${\displaystyle y=\alpha (x-P_{x})+P_{y}.}$

เส้นเหล่านี้ตัดกับแกนแนวนอนที่

${\displaystyle \alpha (x-P_{x})+P_{y}=0}$

ซึ่งมีวิธีแก้ปัญหา

${\displaystyle (E_{x},E_{y})=\left(P_{x}-{\frac {P_{y}}{\alpha }},0\right).}$

เส้นเหล่านี้ตัดกับด้านตรงข้าม${\displaystyle y=mx}$ที่

${\displaystyle \alpha (x-P_{x})+P_{y}=mx}$

ซึ่งมีวิธีแก้ปัญหา

${\displaystyle (D_{x},D_{y})=\left({\frac {\alpha P_{x}-P_{y}}{\alpha -m}},m{\frac {\alpha P_{x}-P_{y}}{\alpha -m}}\right).}$

ระยะทางยูคลิดกำลังสองระหว่างจุดตัดของเส้นแนวนอนและเส้นทแยงมุมคือ

${\displaystyle ED^{2}=d^{2}=(E_{x}-D_{x})^{2}+(E_{y}-D_{y})^{2}={\frac {m^{2}(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}(\alpha -ม)^{2}}}.}$

เส้นฟิโลถูกกำหนดโดยค่าต่ำสุดของระยะทางนั้นที่ค่าลบ${\displaystyle \alpha }$.

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์สำหรับตำแหน่งของค่าต่ำสุดได้มาจากการกำหนดค่าอนุพันธ์${\displaystyle \partial d^{2}/\partial \alpha =0}$, ดังนั้น

${\displaystyle -2m^{2}{\frac {(P_{x}\alpha -P_{y})[(mP_{x}-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m]}{\alpha ^{3}(\alpha -m)^{3}}}=0.}$

ดังนั้น การคำนวณรากของพหุพจน์ในตัวเศษ

${\displaystyle (mP_{x}-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m=0}$

กำหนดความชันของเส้นเฉพาะในกลุ่มเส้นตรงที่มีความยาวสั้นที่สุด [ค่าต่ำสุดทั่วโลกที่ความเอียง]${\displaystyle \alpha =P_{y}/P_{x}}$จากรากของปัจจัยอื่นนั้นไม่น่าสนใจ มันไม่ได้กำหนดรูปสามเหลี่ยม แต่หมายความว่าเส้นแนวนอน เส้นทแยงมุม และเส้นมัดทั้งหมดตัดกันที่จุดนั้น${\displaystyle (0,0)}$.]

${\displaystyle -\alpha }$คือค่าแทนเจนต์ของมุม${\displaystyle OED}$.

เมื่อกลับสมการข้างต้นเป็นดังนี้${\displaystyle \alpha _{1}=P_{y}/(P_{x}-E_{x})}$และเมื่อนำค่านี้ไปแทนในสมการก่อนหน้านี้ จะพบว่า${\displaystyle E_{x}}$เป็นรากของพหุนามกำลังสาม

${\displaystyle mx^{3}+(2P_{y}-3mP_{x})x^{2}+3P_{x}(mP_{x}-P_{y})x-(mP_{x}-P_{y})(P_{x}^{2}+P_{y}^{2}).}$

ดังนั้น การแก้สมการกำลังสาม นั้น จะพบจุดตัดของเส้นฟิโลบนแกนแนวนอน การแทนค่าสมการเดียวกันลงในสมการสำหรับระยะทางกำลังสองจะได้

${\displaystyle d^{2}={\frac {P_{y}^{2}+x^{2}-2xP_{x}+P_{x}^{2}}{(P_{y}+mx-mP_{x})^{2}}}x^{2}m^{2}.}$

เส้นฟิโลสามารถใช้เพื่อคูณกำลังสามด้วยสองกล่าวคือ ใช้สร้างรูปทรงเรขาคณิตแทนรากที่สามของสอง และนี่คือจุดประสงค์ของฟิโลในการกำหนดเส้นนี้ขึ้นมา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้${\displaystyle PQRS}$เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอัตราส่วนด้านต่อด้าน${\displaystyle PQ:QR}$เป็น${\displaystyle 1:2}$ดังแสดงในรูป ให้${\displaystyle TU}$เป็นเส้นจุดของฟิโล${\displaystyle P}$เมื่อเทียบกับมุมฉาก${\displaystyle QRS}$กำหนดจุด${\displaystyle V}$เป็นจุดตัดของเส้นตรง${\displaystyle TU}$และของวงกลมที่ผ่านจุดต่างๆ${\displaystyle PQRS}$เพราะเป็นรูปสามเหลี่ยม${\displaystyle RVP}$ถูกจารึกไว้ในวงกลมด้วย${\displaystyle RP}$เมื่อพิจารณาเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางแล้ว จะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และ${\displaystyle V}$คือฐานของเส้นตั้งฉากจากจุดยอดของมุมไปยังเส้นฟิโล

อนุญาต${\displaystyle W}$เป็นจุดที่เส้น${\displaystyle QR}$ตัดกับเส้นตั้งฉากที่ลากผ่าน${\displaystyle V}$จากนั้นความเท่าเทียมกันของส่วนต่างๆ${\displaystyle RS=PQ}$,${\displaystyle RW=QU}$, และ${\displaystyle WU=RQ}$สืบเนื่องมาจากคุณสมบัติเฉพาะของเส้นฟิโล ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก${\displaystyle PQU}$,${\displaystyle RWV}$, และ${\displaystyle VWU}$จากนั้นใช้หลักการแบ่งครึ่งตั้งฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก การรวมความเท่าเทียมและความคล้ายคลึงเหล่านี้เข้าด้วยกันจะทำให้ได้ความเท่าเทียมกันของสัดส่วน${\displaystyle RS:RW=PQ:QU=RW:WV=WV:WU=WV:RQ}$หรือกล่าวให้กระชับยิ่งขึ้น${\displaystyle RS:RW=RW:WV=WV:RQ}$เนื่องจากพจน์แรกและพจน์สุดท้ายของสัดส่วนที่เท่ากันทั้งสามนี้อยู่ในอัตราส่วน${\displaystyle 1:2}$สัดส่วนทั้งหมดจะต้องเป็นไปตามนั้น${\displaystyle 1:{\sqrt[{3}]{2}}}$สัดส่วนที่จำเป็นในการทำให้ลูกบาศก์เป็นสองเท่า^{[ 4 ]}

เนื่องจากการสร้างลูกบาศก์สองเท่าด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน เป็นไปไม่ได้ จึงเป็นไปไม่ได้เช่นกันที่จะสร้างเส้นฟิโลด้วยเครื่องมือเหล่านี้^{[ 1 ] [ 3 ]}

เมื่อพิจารณาจากประเด็นนี้แล้ว${\displaystyle P}$และมุม${\displaystyle DOE}$รูปแบบหนึ่งของปัญหาอาจเป็นการหาค่าต่ำสุดของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม${\displaystyle OED}$ด้วยการแสดงออกสำหรับ${\displaystyle (E_{x},E_{y})}$และ${\displaystyle (D_{x},D_{y})}$จากที่กล่าวมาข้างต้นพื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณระหว่างความสูงและความยาวฐาน

${\displaystyle A=D_{y}E_{x}/2={\frac {m(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}}{2\alpha (\alpha -m)}}}$.

การหาความชัน${\displaystyle \alpha }$ที่ลดพื้นที่ให้น้อยที่สุด หมายถึงการตั้งค่า${\displaystyle \partial A/\partial \alpha =0}$,

${\displaystyle -{\frac {m(\alpha P_{x}-P_{y})[(mP_{x}-2P_{y})\alpha +P_{y}m]}{2\alpha ^{2}(\alpha -m)^{2}}}=0}$.

ละทิ้งรากอีกครั้ง${\displaystyle \alpha =P_{y}/P_{x}}$ซึ่งไม่ได้กำหนดรูปสามเหลี่ยม ในกรณีนั้น ความชันคือ

${\displaystyle \alpha =-{\frac {mP_{y}}{mP_{x}-2P_{y}}}}$

และพื้นที่ขั้นต่ำ

${\displaystyle A={\frac {2P_{y}(mP_{x}-P_{y})}{m}}}$.

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ฟิโลไลน์" . แมทเวิลด์ .