ในทางเรขาคณิตวัตถุทางเรขาคณิตสองชิ้นจะตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อตัดกันเป็นมุมฉาก กล่าวคือ ทำมุม 90 องศา หรือ π/2 เรเดียนเงื่อนไขของการตั้งฉากสามารถแสดงได้ด้วยสัญลักษณ์ตั้งฉาก ⟂ การตัดกันแบบตั้งฉากสามารถเกิดขึ้นได้ระหว่างเส้นตรงสองเส้น (หรือส่วนของเส้นตรงสองส่วน) ระหว่างเส้นตรงกับระนาบ และระหว่างระนาบสองระนาบ

คำว่า "ตั้งฉาก"ยังใช้เป็นคำนามได้ด้วย กล่าวคือเส้นตั้งฉากคือเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นหรือระนาบที่กำหนดให้

ความตั้งฉากเป็นตัวอย่างเฉพาะอย่างหนึ่งของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ทั่วไปเรื่องความเป็นมุมฉากความตั้งฉากคือความเป็นมุมฉากของวัตถุทางเรขาคณิตแบบคลาสสิก ดังนั้น ในคณิตศาสตร์ขั้นสูง คำว่า "ตั้งฉาก" บางครั้งจึงถูกใช้เพื่ออธิบายเงื่อนไขความเป็นมุมฉากทางเรขาคณิตที่ซับซ้อนกว่ามาก เช่น ความตั้งฉากระหว่างพื้นผิวกับเวกเตอร์ตั้งฉาก ของพื้นผิว นั้น

เส้นตรงหนึ่งจะตั้งฉากกับอีกเส้นตรงหนึ่งได้ก็ต่อเมื่อเส้นตรงทั้งสองตัดกันเป็นมุมฉาก^{[ 2 ]} กล่าวคือ เส้นตรงแรกจะตั้งฉากกับเส้นตรงที่สองได้ก็ต่อเมื่อ (1) เส้นตรงทั้งสองมาบรรจบกัน และ (2) ณ จุดตัดมุมตรงด้านหนึ่งของเส้นตรงแรกจะถูกเส้นตรงที่สองตัดเป็นสองมุมที่เท่ากัน ความตั้งฉากสามารถแสดงได้ว่ามีความสมมาตรหมายความว่า ถ้าเส้นตรงแรกตั้งฉากกับเส้นตรงที่สอง เส้นตรงที่สองก็จะตั้งฉากกับเส้นตรงแรกด้วย ด้วยเหตุนี้ เราจึงสามารถพูดได้ว่าเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกัน (ซึ่งกันและกัน) โดยไม่ต้องระบุลำดับ ตัวอย่างที่ดีของความตั้งฉากสามารถเห็นได้ในเข็มทิศใดๆ โปรดสังเกตทิศหลัก ทิศเหนือ ทิศตะวันออก ทิศใต้ ทิศตะวันตก (NESW) เส้น NS ตั้งฉากกับเส้น WE และมุม NE, ES, SW และ WN ล้วนเป็น 90° ต่อกัน

ความตั้งฉากสามารถขยายไปถึงส่วนของเส้นตรงและรังสี ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น ส่วนของเส้นตรง${\displaystyle {\overline {AB}}}$ตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรง${\displaystyle {\overline {CD}}}$ถ้าหากเมื่อต่อเส้นตรงแต่ละเส้นออกไปในทั้งสองทิศทางจนเกิดเป็นเส้นตรงอนันต์ เส้นตรงทั้งสองที่ได้จะตั้งฉากกันในความหมายข้างต้น ในเชิงสัญลักษณ์${\displaystyle {\overline {AB}}\perp {\overline {CD}}}$หมายความว่าส่วนของเส้นตรง AB ตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรง CD ^{[ 3 ]}

เส้นตรงจะตั้งฉากกับระนาบ ได้ ก็ต่อเมื่อมันตั้งฉากกับทุกเส้นตรงในระนาบที่มันตัดผ่าน นิยามนี้ขึ้นอยู่กับนิยามของความตั้งฉากระหว่างเส้นตรง

ระนาบสองระนาบในอวกาศจะตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อมุมไดเฮดรัลที่ระนาบทั้งสองมาบรรจบกันเป็นมุมฉาก

คำว่า"foot"มักใช้ร่วมกับเส้นตั้งฉาก ตัวอย่างการใช้งานนี้ปรากฏในแผนภาพด้านบนและคำอธิบายภาพ แผนภาพสามารถอยู่ในทิศทางใดก็ได้ "foot" ไม่จำเป็นต้องอยู่ด้านล่างเสมอไป

กล่าวโดยละเอียด ให้Aเป็นจุด และmเป็นเส้นตรง ถ้าBเป็นจุดตัดระหว่างmกับเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ลาก ผ่าน A และตั้งฉากกับ mแล้วBเรียกว่าจุดปลายของเส้นตั้งฉากที่ลากผ่านAนี้

การสร้างเส้นตั้งฉาก (สีน้ำเงิน) กับเส้นตรง AB ที่ผ่านจุด P

การสร้างเส้นตั้งฉากกับครึ่งเส้นตรง h จากจุด P (ใช้ได้ไม่เฉพาะที่จุดปลาย A เท่านั้น จุด M สามารถเลือกได้อย่างอิสระ) ภาพเคลื่อนไหวตอนท้ายพร้อมหยุดชั่วคราว 10 วินาที

ในการสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง AB ที่ผ่านจุด P โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดให้ดำเนินการดังต่อไปนี้ (ดูรูปด้านซ้าย):

• ขั้นตอนที่ 1 (สีแดง): สร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ P เพื่อสร้างจุด A' และ B' บนเส้นตรง AB ซึ่งอยู่ห่างจาก P เท่ากัน
• ขั้นตอนที่ 2 (สีเขียว): สร้างวงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ A' และ B' โดยมีรัศมีเท่ากัน ให้ Q และ P เป็นจุดตัดของวงกลมทั้งสองวงนี้
• ขั้นตอนที่ 3 (สีน้ำเงิน): เชื่อมต่อ Q และ P เพื่อสร้างเส้นตั้งฉาก PQ ตามที่ต้องการ

เพื่อพิสูจน์ว่า PQ ตั้งฉากกับ AB ให้ใช้ทฤษฎีบทการเท่ากันทุกประการแบบ SSSสำหรับสามเหลี่ยม QPA' และ QPB' เพื่อสรุปว่ามุม OPA' และ OPB' เท่ากัน จากนั้นใช้ทฤษฎีบทการเท่ากันทุกประการแบบ SASสำหรับสามเหลี่ยม OPA' และ OPB' เพื่อสรุปว่ามุม POA และ POB เท่ากัน ดูเพิ่มเติมที่แกนรากที่สอง

เพื่อสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง g ที่จุด P หรือผ่านจุด P โดยใช้ทฤษฎีบทของทาเลสโปรดดูภาพเคลื่อนไหวทางด้านขวา

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถใช้เป็นพื้นฐานในการสร้างมุมฉากได้ ตัวอย่างเช่น การนับจำนวนข้อต่อของโซ่ สามารถสร้างโซ่สามชิ้นที่มีความยาวในอัตราส่วน 3:4:5 ได้ จากนั้นสามารถนำมาวางเรียงกันเป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งจะมีมุมฉากอยู่ตรงข้ามกับด้านที่ยาวที่สุด วิธีนี้มีประโยชน์สำหรับการวางผังสวนและทุ่งนาที่มีขนาดใหญ่ และไม่ต้องการความแม่นยำสูง โซ่เหล่านี้สามารถนำกลับมาใช้ซ้ำได้ทุกครั้งตามต้องการ

ถ้าเส้นตรงสองเส้น ( aและb ) ตั้งฉากกับเส้นตรงเส้นที่สาม ( c ) ทุกมุมที่เกิดขึ้นตามแนวเส้นตรงเส้นที่สามจะเป็นมุมฉาก ดังนั้น ในเรขาคณิตแบบยุคลิดเส้นตรงสองเส้นใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นตรงเส้นที่สาม จะขนานกันด้วย เนื่องจากสัจพจน์เรื่องเส้นขนาน ในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตั้งฉากกับเส้นตรงเส้นที่สอง เส้นตรงนั้นก็จะตั้งฉากกับเส้นตรงใดๆ ที่ขนานกับเส้นตรงเส้นที่สองนั้นด้วย

ในรูปทางด้านขวา มุมที่แรเงาสีส้มทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน และมุมที่แรเงาสีเขียวทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน เนื่องจากมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน และมุมภายในสลับที่เกิดจากเส้นตัดขวางที่ตัดเส้นขนานมีขนาดเท่ากัน ดังนั้น ถ้าเส้นaและbขนานกัน ข้อสรุปใดๆ ต่อไปนี้จะนำไปสู่ข้อสรุปอื่นๆ ทั้งหมด:

• มุมหนึ่งในแผนภาพเป็นมุมฉาก
• มุมที่แรเงาสีส้มมุมหนึ่งมีขนาดเท่ากับมุมที่แรเงาสีเขียวมุมหนึ่ง
• เส้นcตั้งฉากกับเส้นa
• เส้นcตั้งฉากกับเส้นb
• มุมทั้งสี่มีขนาดเท่ากัน

ในระนาบสองมิติ เส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันจะเกิดมุมฉากได้ก็ต่อเมื่อผลคูณของความชัน ของเส้นตรงทั้งสอง เท่ากับ −1 ดังนั้น สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น สองฟังก์ชัน มุมฉากจะเกิดขึ้นได้${\displaystyle y_{1}(x)=m_{1}x+b_{1}}$และ${\displaystyle y_{2}(x)=m_{2}x+b_{2}}$กราฟของฟังก์ชันทั้งสองจะตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อ${\displaystyle m_{1}m_{2}=-1.}$

สามารถใช้ผลคูณดอทของเวกเตอร์เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เดียวกันได้เช่นกัน: ขั้นแรกเลื่อนพิกัดเพื่อให้จุดกำเนิดอยู่ตรงจุดที่เส้นตัดกัน จากนั้นกำหนดการกระจัดสองค่าตามแนวเส้นแต่ละเส้น${\displaystyle {\vec {r}}_{j}}$, สำหรับ${\displaystyle (j=1,2).}$ทีนี้ ให้ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าผลคูณภายในเป็นศูนย์สำหรับเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกัน:

${\displaystyle {\vec {r}}_{1}=x_{1}{\hat {x}}+y_{1}{\hat {y}}=x_{1}{\hat {x}}+m_{1}x_{1}{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{2}=x_{2}{\hat {x}}+y_{2}{\hat {y}}=x_{2}{\hat {x}}+m_{2}x_{2}{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2}=\left(1+m_{1}m_{2}\right)x_{1}x_{2}=0}$

${\displaystyle \therefore m_{1}m_{2}=-1}$(เว้นเสียแต่ว่า ${\displaystyle x_{1}}$หรือ${\displaystyle x_{2}}$หายไป)

บทพิสูจน์ทั้งสองแบบใช้ได้กับเส้นแนวนอนและเส้นแนวตั้ง ตราบใดที่เราสามารถกำหนดให้ความชันด้านหนึ่งเป็นค่าคงที่ได้${\displaystyle \varepsilon }$และหาลิมิตที่${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0.}$ ถ้าความชันด้านหนึ่งเข้าใกล้ศูนย์ ความชันอีกด้านหนึ่งจะเข้าใกล้ค่าอนันต์

ใน พื้นที่สามมิติเส้นตรงได้มากถึงสามเส้นสามารถตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ ได้ ดังเช่น แกน x, yและz ของ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ

• การฉายภาพเชิงตั้งฉาก
• ส่วนประกอบสัมผัสและส่วนประกอบตั้งฉาก

• คำจำกัดความ: ตั้งฉากพร้อมแอนิเมชันแบบโต้ตอบ
• วิธีการลากเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของเส้นตรงโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด (สาธิตด้วยภาพเคลื่อนไหว)
• วิธีการลากเส้นตั้งฉากที่จุดปลายของรังสีโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด (สาธิตแบบภาพเคลื่อนไหว)