ในทางคณิตศาสตร์ความชันหรือความลาดชันของเส้นตรงคือตัวเลขที่อธิบายทิศทางของเส้นตรงบนระนาบ^{[ 1 ]}

โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ตัวอักษรm แทน และนิยามว่าคืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงในแนวดิ่ง (rise) ต่อการเปลี่ยนแปลงในแนวนอน (run) ระหว่างจุดสองจุดที่แตกต่างกันบนเส้นตรงนั้น มันไม่ใช่ระยะทางโดยตรงหรือมุมโดยตรง แต่เป็นการวัดอัตราส่วนของทั้งสองอย่าง

เส้นอาจเป็นเส้นทางกายภาพ เช่น เส้นที่กำหนดโดยผู้สำรวจถนนเส้นในรูปภาพ เช่น ในแผนภาพถนนหรือหลังคา หรือเส้นนามธรรมในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ การประยุกต์ใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์นี้พบได้ในระดับหรือความชันในทางภูมิศาสตร์และวิศวกรรมโยธา

ความชันความลาดเอียง หรือระดับของเส้นตรง คือค่าสัมบูรณ์ของความชัน: ค่าสัมบูรณ์ที่มากขึ้นแสดงว่าเส้นตรงนั้นชันมากขึ้น แนวโน้มของเส้นตรงนั้นกำหนดได้ดังนี้:

• เส้นกราฟที่ "เพิ่มขึ้น" หรือ "ขึ้น" จะลากจากซ้ายไปขวาและมีความชันเป็นบวก: .${\displaystyle m>0}$
• เส้นกราฟที่ "ลดลง" หรือ "ลง" จะลากจากซ้ายไปขวาและมีความชันเป็นลบ: .${\displaystyle m<0}$

คำแนะนำพิเศษมีดังนี้:

• เส้น ทแยงมุม (รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) มีความชันเท่ากับ 1:${\displaystyle m=1}$
• เส้นตรง "แนวนอน" (กราฟของฟังก์ชันคงที่ ) มีความชันเป็นศูนย์: .${\displaystyle m=0}$
• เส้น "แนวตั้ง" มีความชันที่ไม่กำหนดหรือเป็นอนันต์ (ดูด้านล่าง)

ถ้าจุดสองจุดบนถนนมีความสูงy ₁และy ₂ระยะทางขึ้น (rise) คือผลต่าง ( y ₂ − y ₁ ) = Δ yโดยไม่คำนึงถึงความโค้งของโลกถ้าจุดสองจุดอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางในแนวนอนx ₁และx ₂ ระยะ ทางวิ่ง (run) คือ ( x ₂ − x ₁ ) = Δ xความชันระหว่างจุดสองจุดคืออัตราส่วนผลต่าง :

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

โดยใช้ตรีโกณมิติความชันmของเส้นตรงมีความสัมพันธ์กับมุมเอียงθโดยฟังก์ชันแทนเจนต์

${\displaystyle m=\tan(\theta ).}$

ดังนั้น เส้นตรงที่ลาดขึ้นทำมุม 45° จะมีค่าความชันm = +1 และเส้นตรงที่ลาดลงทำมุม 45° จะมีค่าความชันm = −1

โดยทั่วไปแล้วแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จะนิยามความชันของเส้นโค้งระนาบที่จุดหนึ่งว่าเป็นความชันของเส้นสัมผัสที่จุดนั้น เมื่อเส้นโค้งถูกประมาณด้วยชุดของจุด ความชันของเส้นโค้งอาจประมาณได้ด้วยความชันของเส้นตัดระหว่างสองจุดที่อยู่ใกล้เคียงกัน เมื่อเส้นโค้งถูกกำหนดให้เป็นกราฟของนิพจน์พีชคณิตแคลคูลัสจะให้สูตรสำหรับความชันที่แต่ละจุด ดังนั้น ความชันจึงเป็นหนึ่งในแนวคิดหลักของแคลคูลัสและการประยุกต์ใช้ในการออกแบบ

ดูเหมือนจะไม่มีคำตอบที่ชัดเจนว่าทำไมจึงใช้ ตัวอักษร m สำหรับความชัน แต่ตัวอักษรนี้ปรากฏครั้งแรกในภาษาอังกฤษใน O'Brien (1844) ^{[ 2 ]}ซึ่งแนะนำสมการของเส้นตรงเป็น" y = mx + b "และยังพบได้ในTodhunter (1888) ^{[ 3 ]}ซึ่งเขียนว่า " y = mx + c " ^{[ 4 ]}

ความชันของเส้นตรงในระนาบที่ประกอบด้วย แกน xและy โดย ^{ทั่วไป}จะแสดงด้วยตัวอักษรm [ ^{5 ]}และกำหนดเป็นการเปลี่ยนแปลงใน พิกัด yหารด้วยการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันใน พิกัด xระหว่างสองจุดที่แตกต่างกันบนเส้นตรง ซึ่งอธิบายได้ด้วยสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{การเปลี่ยนแปลงในแนวตั้ง}}}{{\text{การเปลี่ยนแปลงในแนวนอน}}}}={\frac {\text{การเพิ่มขึ้น}}{\text{การวิ่ง}}}.}$

(อักษรกรีกเดลต้า Δ มักใช้ในคณิตศาสตร์เพื่อหมายถึง "ความแตกต่าง" หรือ "การเปลี่ยนแปลง")

กำหนดให้จุดสองจุดคือ และการเปลี่ยนแปลงของจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งคือ( run ) ในขณะที่การเปลี่ยนแปลงของคือ( rise ) เมื่อแทนค่าทั้งสองลงในสมการข้างต้น จะได้สูตรดังนี้: ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

สูตรนี้ใช้ไม่ได้กับเส้นตรงแนวตั้งที่ขนานกับแกน (ดูการหารด้วยศูนย์ ) ซึ่งความชันสามารถถือได้ว่าเป็นอนันต์ดังนั้น ความชันของเส้นตรงแนวตั้งจึงถือว่าหาค่าไม่ได้ ${\displaystyle y}$

สมมติว่าเส้นตรงลากผ่านจุดสองจุดคือP  = (1, 2) และQ  = (13, 8) โดยการหารผลต่างของพิกัด x ด้วยผลต่างของพิกัด y จะได้ความชันของเส้นตรงดังนี้: ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {(8-2)}{(13-1)}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}.}$

เนื่องจากความชันเป็นค่าบวก ทิศทางของเส้นจึงเพิ่มขึ้น และเนื่องจาก | m | < 1 ความชันจึงไม่สูงมากนัก (ความชัน < 45°)

อีกตัวอย่างหนึ่ง พิจารณาเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (4, 15) และ (3, 21) แล้ว ความชันของเส้นตรงคือ

${\displaystyle m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.}$

เนื่องจากความชันเป็นลบ ทิศทางของเส้นจึงลดลง และเนื่องจาก | m | > 1 การลดลงนี้จึงค่อนข้างชัน (ลดลง > 45°)

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (2,8) และ (3,20) เส้นตรงนี้มีค่าความชันmเท่ากับ

${\displaystyle {\frac {(20-8)}{(3-2)}}=12.}$

จากนั้นเราสามารถเขียนสมการของเส้นตรงในรูปแบบจุด-ความชันได้ดังนี้:

${\displaystyle y-8=12(x-2)=12x-24.}$

หรือ:

${\displaystyle y=12x-16.}$

มุม θ ที่เส้นนี้ทำกับ แกน x ซึ่งอยู่ระหว่าง −90° และ 90° คือ

${\displaystyle \theta =\arctan(12)\approx 85.2^{\circ }.}$

พิจารณาเส้นตรงสองเส้นต่อไปนี้: y = −3x + 1และy = −3x − 2ทั้งสองเส้นมีค่าความชันm = −3 เส้นทั้งสองนี้ ไม่ใช่เส้นตรงเดียวกัน ดังนั้น เส้นทั้งสองจึงเป็นเส้นตรงขนานกัน

พิจารณาเส้นตรงสองเส้นคือ y = −3 x + 1และy = ⁠x/3⁠ − 2ความชันของเส้นตรงแรกคือ m ₁ = −3ความชันของเส้นตรงที่สองคือ m ₂ = ⁠1/3ผลคูณของความชันทั้งสองคือ -1 ดังนั้นเส้นตรงทั้งสองจึงตั้งฉาก กัน

ในทางสถิติความชันของเส้นถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดที่เหมาะสมที่สุดสำหรับชุดข้อมูลที่กำหนด สามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}}$,

ปริมาณm นี้ เรียกว่าความชันการถดถอยของเส้นปริมาณ นี้ คือสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สันคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่า y และคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่า x นอกจากนี้ยังสามารถเขียนเป็นอัตราส่วนของความแปรปรวนร่วมได้ดังนี้ : ^{[ 6 ]}${\displaystyle y=mx+c}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s_{y}}$${\displaystyle s_{x}}$

${\displaystyle m={\frac {\operatorname {cov} (Y,X)}{\operatorname {cov} (X,X)}}}$

แนวคิดเรื่องความชันเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงเส้น อัตราการเปลี่ยนแปลงจะแตกต่างกันไปตามเส้นโค้งอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดนั้น และจึงเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น

ถ้าเรากำหนดให้ Δx และ Δy เป็นระยะทาง (ตามแกนxและ แกน yตามลำดับ) ระหว่างสองจุดบนเส้นโค้ง ความชันที่กำหนดโดยนิยามข้างต้น

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$,

ค่า σ คือความชันของเส้นตัดกับเส้นโค้ง สำหรับเส้นตรง เส้นตัดระหว่างจุดสองจุดใดๆ ก็คือเส้นตรงนั้นเอง แต่สำหรับเส้นโค้งประเภทอื่นๆ นั้นไม่เป็นเช่นนั้น

ตัวอย่างเช่น ความชันของเส้นตัดที่ตัดกับy = x² ที่ ^{จุด (} 0,0 ) และ (3,9) คือ 3 (ความชันของเส้นสัมผัสที่จุดx = 3/2 ก็คือ3เช่นกัน  ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย )

โดยการเลื่อนจุดสองจุดให้ใกล้กันมากขึ้นเพื่อให้ Δy และ Δx ลดลง เส้นตัดจะเข้าใกล้เส้นสัมผัสของเส้นโค้งมากขึ้น และด้วยเหตุนี้ ความชันของเส้นตัดจึงเข้าใกล้ความชันของเส้นสัมผัส โดยใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เราสามารถหาลิมิตหรือค่าที่ Δy / Δx เข้า ใกล้ เมื่อΔyและ Δx เข้าใกล้ศูนย์ซึ่งลิมิตนี้คือความชันที่แท้จริงของเส้นสัมผัส ถ้าyขึ้นอยู่กับxก็เพียงพอที่จะหาลิมิตเฉพาะจุดที่ Δx เข้าใกล้ศูนย์เท่านั้น ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสคือลิมิตของ Δy / Δx เมื่อ Δx เข้าใกล้ศูนย์ หรือ dy / dx เราเรียกลิมิตนี้ว่า อนุพันธ์

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

ค่าของอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่งบนฟังก์ชันจะให้ค่าความชันของเส้นสัมผัส ณ ตำแหน่งนั้น ตัวอย่างเช่น ให้y = x²จุดบนฟังก์ชันนี้คือ (−2,4) อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้คือdy / dx = 2x ^{ดังนั้น}ความชันของเส้นสัมผัสของy ที่ จุด (−2,4) คือ2 ⋅ (−2) = −4 สมการของเส้นสัมผัสนี้คือy − 4 = (−4)( x − (−2))หรือy = −4x − 4

แนวคิดเรื่องมุมได้รับการขยายความจากความแตกต่างของความลาดชัน ลองพิจารณาแผนที่การเฉือน

${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}.}$

จากนั้นจึงทำการแมปไปยังความชันของคือศูนย์ และความชันของคือการแมปแบบเฉือนได้เพิ่มความชันเป็นสำหรับสองจุดบนที่มีความชันและภาพ ${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (1,v)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (1,v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \{(1,y):y\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle (1,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(1,y+v)}$

ความชันเพิ่มขึ้นแต่ความแตกต่างของความชันยังคงเท่าเดิมทั้งก่อนและหลังการเฉือน ความไม่เปลี่ยนแปลงของความแตกต่างของความชันนี้ทำให้ความชันเป็นการวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลง เชิงมุม เทียบเท่ากับมุมวงกลม (ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุน) และมุมไฮเปอร์โบลิก พร้อมด้วยกลุ่มความไม่เปลี่ยนแปลงของการแมปการบีบอัด^{[ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle v}$${\displaystyle n-m}$

ความลาดชันของหลังคา ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่า " ความเอียงของหลังคา"ในงานไม้และสถาปัตยกรรมในสหรัฐอเมริกา มักจะอธิบายในแง่ของเศษส่วนจำนวนเต็มของหนึ่งฟุต (แทนเจนต์ทางเรขาคณิต อัตราส่วนความสูงต่อระยะทาง) ซึ่งเป็นมรดกจากการวัดแบบจักรวรรดิของอังกฤษ หน่วยอื่นๆ ก็มีการใช้ในสถานที่อื่นๆ เช่นกัน โดยมีข้อกำหนดที่คล้ายคลึงกัน สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูที่ ความเอียงของหลังคา

โดยทั่วไปแล้วมีสองวิธีในการอธิบายความลาดชันของถนนหรือทางรถไฟวิธีแรกคือการระบุเป็นมุมระหว่าง 0° ถึง 90° (ในหน่วยองศา) และอีกวิธีหนึ่งคือการระบุเป็นเปอร์เซ็นต์ความลาดชัน ดูเพิ่มเติมที่ทางรถไฟทางลาดชันและทาง รถไฟแบบ ฟันเฟือง

สูตรสำหรับการแปลงค่าความชันที่ระบุเป็นเปอร์เซ็นต์ให้เป็นมุมในหน่วยองศาและในทางกลับกัน มีดังนี้:

${\displaystyle {\text{angle}}=\arctan \left({\frac {\text{slope}}{100\%}}\right)}$(นี่คือฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์ ดูได้จากตรีโกณมิติ )

และ

${\displaystyle {\mbox{slope}}=100\%\times \tan({\mbox{angle}}),}$

โดยที่มุมมีหน่วยเป็นองศา และฟังก์ชันตรีโกณมิติทำงานในหน่วยองศา ตัวอย่างเช่น ความชัน 100 %หรือ 1000 ‰คือมุม 45°

วิธีที่สามคือการกำหนดความชันหนึ่งหน่วยเป็นหน่วยแนวนอน เช่น 10, 20, 50 หรือ 100 หน่วย เช่น 1:10, 1:20, 1:50 หรือ 1:100 (หรือ "1 ใน 10", "1 ใน 20" เป็นต้น) 1:10 นั้นชันกว่า 1:20 ตัวอย่างเช่น ความชัน 20% หมายถึง 1:5 หรือทางลาดที่มีมุม 11.3°

ถนนและทางรถไฟมีทั้งความลาดชันตามแนวยาวและความลาดชันตามแนวขวาง

• 
  ป้ายเตือนความลาดชันในประเทศเนเธอร์แลนด์
• 
  ป้ายเตือนความลาดชันในโปแลนด์
• 
  ทางรถไฟยาว 1371 เมตร มีความลาดชัน 20 ‰ ประเทศเช็ก
• 
  เสาบอกระดับความลาดชันของทางรถไฟยุคไอน้ำ ที่สถานีรถไฟมีโอลส์สหราชอาณาจักร

แนวคิดเรื่องความชันหรือความลาดเอียงยังถูกนำมาใช้เป็นพื้นฐานในการพัฒนาการประยุกต์ใช้ในด้านอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ด้วย:

• การลดระดับความชัน (Gradient descent ) เป็นอัลกอริธึมการหาค่าต่ำสุดแบบวนซ้ำลำดับที่หนึ่ง สำหรับการค้นหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
• ทฤษฎีบทเกรเดียนต์คือทฤษฎีบทที่กล่าวว่า อินทิกรัลตามเส้นตรงที่ผ่านฟิลด์เกรเดียนต์ สามารถหาค่าได้โดยการหาค่าฟิลด์สเกลาร์ดั้งเดิมที่จุดปลายของเส้นโค้ง
• วิธีการหาอนุพันธ์ (Gradient method ) เป็นอัลกอริธึมที่ใช้แก้ปัญหาที่มีทิศทางการค้นหาที่กำหนดโดยอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดปัจจุบัน
• วิธีการไล่ระดับเชิงสังยุค (Conjugate gradient method)เป็นอัลกอริธึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นบางระบบด้วยวิธีเชิงตัวเลข
• วิธีการไล่ระดับเชิงสังยุคแบบไม่เชิงเส้นเป็นการขยายวิธีการไล่ระดับเชิงสังยุคไปสู่การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบไม่เชิงเส้น
• การไล่ระดับแบบสุ่ม (Stochastic gradient descent ) เป็นวิธีการวนซ้ำเพื่อหาค่าที่เหมาะสมที่สุดของฟังก์ชันเป้าหมายที่สามารถหาอนุพันธ์ได้

ลองค้นหาคำว่า "slope"ใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

• "ความชันของเส้นตรง (เรขาคณิตพิกัด)" . Math Open Reference. 2009 . สืบค้นเมื่อ30 ตุลาคม 2016 .โต้ตอบ