ในเรขาคณิตเส้นตัดขวางคือเส้น ที่ลากผ่าน เส้นตรงสองเส้นใน ระนาบเดียวกันณ จุดสองจุด ที่แตกต่างกัน เส้นตัดขวางมีบทบาทในการตรวจสอบว่าเส้นตรงสองเส้นหรือมากกว่านั้นในระนาบยูคลิดขนานกัน หรือ ไม่ จุดตัดของเส้นตัดขวางกับเส้นตรงสองเส้นจะสร้างมุม หลายประเภท ได้แก่มุมตรงข้าม มุมภายในที่อยู่ติดกันมุมภายนอกที่อยู่ติดกันมุมที่สมนัยกันมุมภายในสลับมุมภายนอกสลับ และมุมประชิดเส้นตรงจากสัจพจน์เรื่องเส้นขนาน ของยูคลิด ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน มุมที่อยู่ติดกันและมุมประชิดเส้นตรงจะมี ผล รวมเท่ากับ 180 องศาในขณะที่มุมที่สมนัยกัน มุมสลับ และมุมตรงข้ามเส้นตรงจะมีค่าเท่ากัน โดยทั่วไปแล้ว เส้นตัดขวางมักจะขนานกัน

มุมแปดมุมของเส้นตัดขวาง( มุมตรงข้ามเช่นและ )${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$ (จะสอดคล้องกันเสมอ)		เส้นตัดขวางระหว่างเส้นตรงที่ไม่ขนานกันมุมที่อยู่ติดกันจะไม่รวมกันได้ 180 องศา	เส้นตัดขวางระหว่างเส้นขนานมุมที่อยู่ติดกันรวมกันได้ 180 องศา

เส้นตัดขวางจะทำให้เกิดมุม 8 มุม ดังแสดงในกราฟด้านบนซ้าย:

• 4 โดยแต่ละเส้นทั้งสองเส้นคือ α, β, γ และ δ จากนั้น α , β , γ และ δ ; และ
• 4 จุดอยู่ภายใน (ระหว่างเส้นสองเส้น) ได้แก่ α, β, γ และ δ และ 4 จุดอยู่ภายนอกได้แก่ α , β , γ และ δ

เส้นตัดขวางที่ตัดเส้นขนานสองเส้นเป็นมุมฉากเรียกว่าเส้นตัดขวางตั้งฉากในกรณีนี้ มุมทั้ง 8 มุมเป็นมุมฉาก^{[ 1 ]}

เมื่อเส้นขนานกันซึ่งเป็นกรณีที่มักพิจารณา เส้นตัดขวางจะทำให้เกิดมุมเสริมที่เท่ากัน หลายมุม มุมคู่เหล่านี้บางคู่มีชื่อเฉพาะและจะกล่าวถึงต่อไปนี้: มุมที่สอดคล้องกัน มุมสลับ และมุมต่อเนื่อง^{[ 2 ] [ 3 ] : มาตรา 87}

มุมสลับ คือ มุมสี่คู่ที่:

• มีจุดยอดที่ แตกต่างกัน
• นอนอยู่คนละด้านของแนวขวางและ
• มุมทั้งสองเป็นมุมภายใน หรือ มุมทั้งสองเป็นมุมภายนอก

ถ้ามุมสองมุมของคู่มุมหนึ่งเท่ากัน (มีขนาดเท่ากัน) แล้ว มุมของคู่มุมอื่นๆ ทุกคู่ก็จะเท่ากันด้วย

ข้อเสนอ 1.27 จากหนังสือ Elementsของยูคลิดซึ่งเป็นทฤษฎีบทในเรขาคณิตสัมบูรณ์ (ดังนั้นจึงใช้ได้ทั้งในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและเรขาคณิตยูคลิด ) พิสูจน์ว่า ถ้ามุมของมุมสลับคู่หนึ่งของเส้นตัดขวางเท่ากันแล้ว เส้นทั้งสองนั้นจะขนานกัน (ไม่ตัดกัน)

จาก สัจพจน์เส้นขนานของยูคลิด จะได้ว่า ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน มุมของคู่มุมสลับของเส้นตัดขวางจะมีขนาดเท่ากัน (ข้อเสนอ 1.29 จากหนังสือ Elements ของยูคลิด )

มุมที่สมนัยกัน คือ มุมสี่คู่ที่:

• มีจุดยอดที่แตกต่างกัน
• นอนอยู่ด้านเดียวกันของแนวขวางและ
• มุมหนึ่งเป็นมุมภายใน และอีกมุมหนึ่งเป็นมุมภายนอก

เส้นตรงสองเส้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อมุมสองมุมของคู่มุมที่สมนัยกันของเส้นตัดขวางใดๆ มีขนาดเท่ากัน (เท่ากันในด้านขนาด)

ข้อเสนอ 1.28 จากหนังสือ Elements ของยูคลิด ซึ่งเป็นทฤษฎีบทในเรขาคณิตสัมบูรณ์ (ดังนั้นจึงใช้ได้ทั้งในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและเรขาคณิตยูคลิด ) พิสูจน์ว่า ถ้ามุมของคู่มุมที่สมนัยกันของเส้นตัดขวางเท่ากันแล้ว เส้นทั้งสองนั้นจะขนานกัน (ไม่ตัดกัน)

จาก สัจพจน์เส้นขนานของยูคลิด จะได้ว่า ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน มุมของคู่มุมที่สมนับกันของเส้นตัดขวางจะมีขนาดเท่ากัน (ข้อเสนอ 1.29 จากหนังสือ Elements ของยูคลิด )

ถ้ามุมของคู่มุมที่สมนัยกันคู่หนึ่งเท่ากัน มุมของคู่มุมที่สมนัยกันคู่อื่นๆ ก็จะเท่ากันด้วย ในภาพต่างๆ ที่มีเส้นขนานในหน้านี้ คู่มุมที่สมนัยกันคือ α=α , β=β , γ=γ และ δ= δ

มุมภายในที่ต่อเนื่องกันคือมุมสองคู่ที่: ^{[ 4 ] [ 2 ]}

• มีจุดยอดที่แตกต่างกัน
• นอนอยู่ด้านเดียวกันของแนวขวางและ
• ทั้งสองอย่างอยู่ภายในอาคาร

เส้นตรงสองเส้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อมุมภายในสองมุมที่อยู่ติดกันของเส้นตัดใดๆ รวมกันได้ 180 องศา (ผลรวมเท่ากับ 180 องศา)

ทฤษฎีบท 1.28 จากหนังสือ Elements ของยูคลิด ซึ่งเป็นทฤษฎีบทในเรขาคณิตสัมบูรณ์ (ดังนั้นจึงใช้ได้ทั้งในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและเรขาคณิตยูคลิด ) พิสูจน์ว่า ถ้ามุมของมุมภายในที่อยู่ติดกันสองมุมรวมกันได้ 180 องศา เส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นจะขนานกัน (ไม่ตัดกัน)

จาก สัจพจน์เส้นขนานของยูคลิด จะได้ว่า ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน มุมภายในคู่หนึ่งที่อยู่ติดกันของเส้นตัดขวางจะมีผลรวมเท่ากับ 180 องศา (ทฤษฎีบทที่ 1.29 ของหนังสือ Elements ของยูคลิด )

ถ้ามุมภายในที่อยู่ติดกันคู่หนึ่งรวมกันได้ 180 องศา มุมภายในที่อยู่ติดกันอีกคู่หนึ่งก็จะรวมกันได้ 180 องศาเช่นกัน

ถ้าเส้นตรงสามเส้นที่วางตัวในตำแหน่งทั่วไปประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยม แล้วถูกตัดด้วยเส้นตัดขวาง ความยาวของส่วนของเส้นตรงทั้งหกที่ได้จะสอดคล้องกับทฤษฎีบทของเมเนลอส

การกำหนด สัจพจน์เส้นขนานของยูคลิดอาจกล่าวได้ในแง่ของเส้นตัดขวาง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้ามุมภายในด้านเดียวกันของเส้นตัดขวางมีค่าน้อยกว่าสองมุมฉาก เส้นตรงจะต้องตัดกัน อันที่จริง ยูคลิดใช้วลีเดียวกันในภาษากรีกซึ่งมักแปลว่า "เส้นตัดขวาง" ^{[ 5 ] : 308, nfote 1}

ข้อเสนอข้อที่ 27 ของยูคลิดกล่าวว่า ถ้าเส้นตัดขวางตัดเส้นตรงสองเส้นโดยที่มุมภายในสลับกันเท่ากัน เส้นตรงทั้งสองนั้นจะขนานกัน ยูคลิดพิสูจน์สิ่งนี้โดยการขัดแย้ง : ถ้าเส้นตรงไม่ขนานกัน เส้นตรงทั้งสองจะต้องตัดกันและเกิดเป็นรูปสามเหลี่ยม จากนั้นมุมสลับมุมหนึ่งจะเป็นมุมภายนอกซึ่งเท่ากับมุมอีกมุมหนึ่งซึ่งเป็นมุมภายในตรงข้ามในรูปสามเหลี่ยม สิ่งนี้ขัดแย้งกับข้อเสนอข้อที่ 16 ซึ่งกล่าวว่ามุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมจะมีค่ามากกว่ามุมภายในตรงข้ามเสมอ^{[ 5 ] : 307 [ 3 ] : ข้อ 88}

ข้อเสนอที่ 28 ของยูคลิดขยายผลลัพธ์นี้ในสองวิธี วิธีแรก ถ้าเส้นตัดขวางตัดเส้นตรงสองเส้นโดยที่มุมที่สอดคล้องกันเท่ากัน เส้นตรงทั้งสองจะเป็นเส้นขนาน วิธีที่สอง ถ้าเส้นตัดขวางตัดเส้นตรงสองเส้นโดยที่มุมภายในด้านเดียวกันของเส้นตัดขวางรวมกันได้ 180 องศา เส้นตรงทั้งสองจะเป็นเส้นขนาน สิ่งเหล่านี้เป็นผลมาจากข้อเสนอก่อนหน้าโดยการใช้ข้อเท็จจริงที่ว่ามุมตรงข้ามของเส้นตรงที่ตัดกันเท่ากัน (ข้อเสนอที่ 15) และมุมประชิดบนเส้นตรงรวมกันได้ 180 องศา (ข้อเสนอที่ 13) ดังที่โพรคลัสได้ กล่าวไว้ ยูคลิดให้เกณฑ์เพียงสามข้อจากทั้งหมดหกข้อที่เป็นไปได้สำหรับเส้นขนาน^{[ 5 ] : 309–310 [ 3 ] : บทที่ 89-90}

ข้อเสนอข้อที่ 29 ของยูคลิดเป็นบทกลับของสองข้อก่อนหน้า ประการแรก ถ้าเส้นตัดขวางตัดเส้นขนานสองเส้น มุมภายในสลับกันจะมีขนาดเท่ากัน ถ้าไม่เป็นเช่นนั้น มุมหนึ่งจะมีขนาดใหญ่กว่าอีกมุมหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าผลรวมของมุมนั้นจะน้อยกว่าผลรวมของมุมอีกมุมหนึ่ง นี่หมายความว่ามีมุมภายในด้านเดียวกันของเส้นตัดขวางที่มีขนาดน้อยกว่าสองมุมฉาก ซึ่งขัดแย้งกับสัจพจน์ข้อที่ห้า ข้อเสนอนี้กล่าวต่อไปว่า บนเส้นตัดขวางของเส้นขนานสองเส้น มุมที่สอดคล้องกันจะมีขนาดเท่ากัน และมุมภายในด้านเดียวกันจะมีขนาดเท่ากับสองมุมฉาก ข้อความเหล่านี้เป็นไปตามหลักการเดียวกันกับที่ข้อเสนอข้อที่ 28 เป็นไปตามข้อเสนอข้อที่ 27 ^{[ 5 ] : 311–312 [ 3 ] : บทที่ 93-95}

การพิสูจน์ของยูคลิดใช้สัจพจน์ข้อที่ห้าอย่างสำคัญ อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์เรขาคณิตสมัยใหม่ใช้สัจพจน์ของเพลย์แฟร์แทน เพื่อพิสูจน์ข้อเสนอที่ 29 โดยสมมติสัจพจน์ของเพลย์แฟร์ ให้เส้นตัดขวางตัดเส้นขนานสองเส้น และสมมติว่ามุมภายในสลับกันไม่เท่ากัน ลากเส้นที่สามผ่านจุดที่เส้นตัดขวางตัดเส้นแรก แต่มีมุมเท่ากับมุมที่เส้นตัดขวางทำกับเส้นที่สอง สิ่งนี้ทำให้เกิดเส้นสองเส้นที่แตกต่างกันผ่านจุดหนึ่ง ซึ่งทั้งสองเส้นขนานกับเส้นอื่น ขัดแย้งกับสัจพจน์^{[ 5 ] : 313 [ 6 ]}

ในปริภูมิที่มีมิติสูงกว่า เส้นตรงที่ตัดกับเส้นตรงแต่ละเส้นในชุดของเส้นตรงชุดหนึ่ง ณ จุดที่แตกต่างกัน เรียกว่า เส้นตัดขวางของชุดเส้นตรงชุดนั้น ซึ่งแตกต่างจากกรณีในสองมิติ (ระนาบ) ที่ไม่รับประกันว่าจะมีเส้นตัดขวางอยู่เสมอไปสำหรับชุดเส้นตรงที่มีมากกว่าสองเส้น

ในปริภูมิยูคลิด 3 มิติ เส้นเรกูลัสคือเซตของเส้นตรงเฉียง R โดยที่แต่ละจุดบนแต่ละเส้นของR จะมีเส้นตัดขวางของ Rผ่านและแต่ละจุดบนเส้นตัดขวางของRจะมีเส้นของR ผ่าน เซตของเส้นตัดขวางของเส้นเรกูลัสRก็เป็นเส้นเรกูลัสเช่นกัน เรียกว่า เส้น เรกูลัสตรงข้าม R ^oในปริภูมินี้ เส้นตรงเฉียงสามเส้นสามารถขยายไปเป็นเส้นเรกูลัสได้เสมอ