ในทางสถิติการถดถอยแบบเดมิง (Deming regression ) ซึ่งตั้งชื่อตามดับเบิลยู. เอ็ดเวิร์ด เดมิงเป็นแบบจำลองความคลาดเคลื่อนในตัวแปรที่พยายามหาเส้นตรงที่เหมาะสมที่สุด สำหรับ ชุดข้อมูลสองมิติมันแตกต่างจากการถดถอยเชิงเส้นแบบง่ายตรงที่มันคำนึงถึงความคลาดเคลื่อนในการสังเกตทั้งบนแกนxและ แกน yมันเป็นกรณีพิเศษของกำลังสองน้อยที่สุดโดยรวม (Total Least Squares ) ซึ่งอนุญาตให้มีตัวแปรทำนายได้หลายตัวและโครงสร้างความคลาดเคลื่อนที่ซับซ้อนกว่า

การถดถอยแบบเดมิงเทียบเท่ากับ การประมาณ ค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของแบบจำลองข้อผิดพลาดในตัวแปรโดยที่ข้อผิดพลาดสำหรับตัวแปรทั้งสองถือว่าเป็นอิสระและมีการกระจายแบบปกติและอัตราส่วนของความแปรปรวนของตัวแปรทั้งสอง ซึ่งแสดงด้วยδ นั้น เป็นที่ทราบ^{[ 1 ]}ในทางปฏิบัติ อัตราส่วนนี้อาจได้รับการประมาณจากแหล่งข้อมูลที่เกี่ยวข้อง อย่างไรก็ตาม ขั้นตอนการถดถอยไม่ได้คำนึงถึงข้อผิดพลาดที่อาจเกิดขึ้นในการประมาณอัตราส่วนนี้

การคำนวณการถดถอยแบบเดมิงนั้นยากกว่าการคำนวณการถดถอยเชิงเส้นแบบง่าย เพียงเล็กน้อย โปรแกรมซอฟต์แวร์ทางสถิติส่วนใหญ่ที่ใช้ในเคมีคลินิกมีฟังก์ชันการคำนวณการถดถอยแบบเดมิงให้ใช้งาน

แบบจำลองนี้ได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยAdcock (1878)ซึ่งพิจารณากรณีδ  =  1 และต่อมาโดยKummell (1879) โดยทั่วไป ด้วยδ ใดๆ อย่างไรก็ตาม แนวคิดของพวกเขายังคงไม่ได้รับความสนใจมากนักเป็นเวลากว่า 50 ปี จนกระทั่งได้รับการฟื้นฟูโดยKoopmans (1936)และต่อมาได้รับการเผยแพร่มากขึ้นโดยDeming (1943)หนังสือเล่มหลังนี้ได้รับความนิยมอย่างมากใน สาขา เคมีคลินิกและสาขาที่เกี่ยวข้อง จนกระทั่งวิธีการนี้ถูกเรียกว่าการถดถอยของ Demingในสาขาเหล่านั้น^{[ 2 ]}

สมมติว่าข้อมูลที่มีอยู่ ( y , x ) เป็นค่าสังเกตที่วัดได้ของค่า "จริง" ( y * , x * ) ซึ่งอยู่บนเส้นถดถอย:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{i}&=y_{i}^{*}+\varepsilon _{i},\\x_{i}&=x_{i}^{*}+\eta _{i},\end{aligned}}}$

โดยที่ค่าความคลาดเคลื่อนεและηเป็นอิสระต่อกัน และถือว่าทราบอัตราส่วนของความแปรปรวนของค่าความคลาดเคลื่อนทั้งสองแล้ว:

${\displaystyle \delta ={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{\sigma _{\eta }^{2}}}.}$

ในทางปฏิบัติ ความแปรปรวนของ${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$ค่าพารามิเตอร์มักไม่เป็นที่ทราบ ซึ่งทำให้การประมาณค่ามีความซับซ้อนมากขึ้น${\displaystyle \delta }$โปรดทราบว่าเมื่อใช้วิธีการวัดสำหรับ${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$ถ้าเหมือนกัน ความแปรปรวนเหล่านี้ก็มีแนวโน้มที่จะเท่ากัน ดังนั้น${\displaystyle \delta =1}$สำหรับกรณีนี้

เราพยายามค้นหาเส้นแบ่งที่ "เหมาะสมที่สุด"

${\displaystyle y^{*}=\beta _{0}+\beta _{1}x^{*},}$

เพื่อให้ผลรวมถ่วงน้ำหนักของค่าตกค้างกำลังสองของแบบจำลองมีค่าน้อยที่สุด: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle SSR=\sum _{i=1}^{n}{\bigg (}{\frac {\varepsilon _{i}^{2}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}}}+{\frac {\eta _{i}^{2}}{\sigma _{\eta }^{2}}}{\bigg )}={\frac {1}{\sigma _{\epsilon }^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\Big (}(y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{i}^{*})^{2}+\delta (x_{i}-x_{i}^{*})^{2}{\Big )}\ \to \ \min _{\beta _{0},\beta _{1},x_{1}^{*},\ldots ,x_{n}^{*}}SSR}$

ดูJensen (2007)สำหรับที่มาของสูตรทั้งหมด

คำตอบสามารถแสดงได้ในรูปของโมเมนต์ตัวอย่างระดับที่สอง กล่าวคือ เราจะคำนวณปริมาณต่อไปนี้ก่อน (ผลรวมทั้งหมดมีค่าตั้งแต่i  =  1 ถึงn ):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {x}}&={\tfrac {1}{n}}\sum x_{i}&{\overline {y}}&={\tfrac {1}{n}}\sum y_{i},\\s_{xx}&={\tfrac {1}{n}}\sum (x_{i}-{\overline {x}})^{2}&&={\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2},\\s_{xy}&={\tfrac {1}{n}}\sum (x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})&&={\overline {xy}}-{\overline {x}}\,{\overline {y}},\\s_{yy}&={\tfrac {1}{n}}\sum (y_{i}-{\overline {y}})^{2}&&={\overline {y^{2}}}-{\overline {y}}^{2}.\end{aligned}}\,}$

สุดท้าย ค่าประมาณกำลังสองน้อยที่สุดของพารามิเตอร์ของแบบจำลองจะเป็น^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\beta }}_{1}={\frac {s_{yy}-\delta s_{xx}+{\sqrt {(s_{yy}-\delta s_{xx})^{2}+4\delta s_{xy}^{2}}}}{2s_{xy}}},\\&{\hat {\beta }}_{0}={\overline {y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}},\\&{\hat {x}}_{i}^{*}=x_{i}+{\frac {{\hat {\beta }}_{1}}{{\hat {\beta }}_{1}^{2}+\delta }}(y_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\beta }}_{1}x_{i}).\end{aligned}}}$

ในกรณีที่ความแปรปรวนของข้อผิดพลาดเท่ากัน กล่าวคือ เมื่อ${\displaystyle \delta =1}$การถดถอยแบบเดมิง (Deming regression) จะกลายเป็นการถดถอยเชิงตั้งฉาก (orthogonal regression ) กล่าว คือ มันจะลดผลรวมของ กำลังสองของ ระยะทางตั้งฉากจากจุดข้อมูลไปยังเส้นถดถอยให้ เหลือน้อยที่สุด ในกรณีนี้ ให้แต่ละค่าสังเกตเป็นจุด${\displaystyle z_{j}=x_{j}+iy_{j}}$ในระนาบเชิงซ้อน (เช่น จุด)${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$ที่ไหน${\displaystyle i}$คือหน่วยจินตนาการ ) กำหนดให้เป็น${\displaystyle S=\sum {(z_{j}-{\overline {z}})^{2}}}$ผลรวมของกำลังสองของผลต่างของจุดข้อมูลจากจุดศูนย์กลาง${\displaystyle {\overline {z}}={\tfrac {1}{n}}\sum z_{j}}$(ระบุด้วยพิกัดเชิงซ้อน) ซึ่งเป็นจุดที่มีตำแหน่งแนวนอนและแนวตั้งเป็นค่าเฉลี่ยของจุดข้อมูล จากนั้น: ^{[ 5 ]}

• ถ้า${\displaystyle S=0}$ดังนั้น ทุกเส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางจะเป็นเส้นตั้งฉากที่เหมาะสมที่สุด
• ถ้า${\displaystyle S\neq 0}$เส้นถดถอยเชิงตั้งฉากจะผ่านจุดศูนย์กลางและขนานกับเวกเตอร์จากจุดกำเนิดไปยังจุดนั้น${\displaystyle {\sqrt {S}}}$.

การ แสดง ตรีโกณมิติของเส้นถดถอยเชิงตั้งฉากได้รับการนำเสนอโดยคูลิดจ์ในปี พ.ศ. 2456 ^{[ 6 ]}ระยะทางยังสามารถคำนวณได้โดยใช้สมการเส้นตรงทั่วไป ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้${\displaystyle y=mx+k}$.

ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเป็นกรณีหนึ่งของการถดถอยแบบเดมิง โดยที่δ = σ² / σ² โดยถือว่าตัวแปรทั้งสองมีความน่าเชื่อถือ เท่ากัน กล่าวคือσ / σ = σ / σ ความชันที่ได้จะเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของความชันกำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดาและความชันกำลังสองน้อยที่สุดแบบผกผัน ซึ่งทำให้คำนวณได้ง่ายโดยใช้เครื่องมือที่มีอยู่ มีการแนะนำให้ใช้ในทางชีววิทยา^{[ 10 ]}วิธีนี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การปรับขนาด การแปล และการสลับตัวแปร เป็นวิธีเดียวที่ขึ้นอยู่กับโมเมนต์แรกและโมเมนต์ที่สองเท่านั้นที่มีคุณสมบัตินี้^{[ 11 ]}

การถดถอยของ York ขยายการถดถอยของ Deming โดยอนุญาตให้มีข้อผิดพลาดที่สัมพันธ์กันใน x และ y ^{[ 12 ]}

• การติดตั้งท่อ
• การเจือจางการถดถอย