ภาคตัดกรวยหรือเส้นโค้งกำลังสองคือเส้นโค้งที่ได้จากพื้นผิวของกรวยตัดกับระนาบ ภาคตัดกรวยมีสามประเภท ได้แก่ไฮเปอร์โบลาพาราโบลาและวงรีส่วนวงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรี แม้บางครั้งจะถูกพิจารณาว่าเป็นประเภทที่สี่ก็ตามนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณศึกษาภาคตัดกรวย โดยการศึกษาอย่างเป็นระบบเกี่ยวกับคุณสมบัติของภาคตัดกรวยของ อพอลโลนิอุสแห่งเปอร์กา สิ้นสุดลงราว 200 ปีก่อนคริสตกาล

ภาคตัดกรวยในระนาบยุคลิดมีคุณสมบัติที่แตกต่างกันหลายประการ ซึ่งหลายอย่างสามารถใช้เป็นคำจำกัดความทางเลือกได้ คุณสมบัติหนึ่งดังกล่าวได้กำหนดภาคตัดกรวยที่ไม่เป็นวงกลม^{[ 1 ]}ให้เป็นเซตของจุดเหล่านั้นซึ่งระยะห่างจากจุดเฉพาะจุดหนึ่งที่เรียกว่าจุดโฟกัสและเส้นเฉพาะเส้นหนึ่งที่เรียกว่าเส้นไดเรกทริกซ์ มีอัตราส่วนคงที่ที่เรียกว่าค่าความเยื้องศูนย์ ประเภทของภาคตัดกรวยถูกกำหนดโดยค่าความเยื้องศูนย์ ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ภาคตัดกรวยอาจถูกกำหนดให้เป็นเส้นโค้งพีชคณิตระนาบดีกรี 2 นั่นคือ เป็นเซตของจุดที่มีพิกัดที่สอดคล้องกับสมการกำลังสองในสองตัวแปรซึ่งสามารถเขียนได้ในรูปแบบคุณสมบัติทางเรขาคณิตของภาคตัดกรวยสามารถอนุมานได้จากสมการของมัน ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}$

ในระนาบยุคลิด รูปทรงภาคตัดกรวยทั้งสามแบบดูแตกต่างกันมาก แต่ก็มีคุณสมบัติหลายอย่างร่วมกัน โดยการขยายระนาบยุคลิดให้รวมเส้นตรงที่อนันต์เข้าไปด้วย ทำให้ได้ระนาบเชิงฉาย ความแตกต่างที่เห็นได้ชัดก็จะหายไป: กิ่งของไฮเปอร์โบลาจะมาบรรจบกันที่สองจุดที่อนันต์ ทำให้มันกลายเป็นเส้นโค้งปิดเส้นเดียว และปลายทั้งสองของพาราโบลาจะมาบรรจบกันทำให้มันกลายเป็นเส้นโค้งปิดที่สัมผัสกับเส้นตรงที่อนันต์ การขยายเพิ่มเติมโดยการขยาย พิกัด จริงให้รองรับ พิกัด เชิงซ้อนจะทำให้สามารถมองเห็นการรวมกันนี้ได้ในทางพีชคณิต

ภาคตัดกรวยได้รับการศึกษามานานหลายพันปีแล้ว และเป็นแหล่งที่มาอันอุดมสมบูรณ์ของผลลัพธ์ที่น่าสนใจและสวยงามในเรขาคณิตแบบยุคลิด

รูปทรงกรวยคือเส้นโค้งที่ได้จากการตัดกันของระนาบที่เรียกว่าระนาบตัดกับพื้นผิวของกรวย คู่ (กรวยที่มีสองด้าน ) โดยทั่วไปแล้วมักจะถือว่ากรวยนั้นเป็นกรวยกลมตั้งตรงเพื่อความสะดวกในการอธิบาย แต่ไม่จำเป็น กรวยคู่ใดๆ ที่มีหน้าตัดเป็นวงกลมก็เพียงพอแล้ว ระนาบที่ผ่านจุดยอดของกรวยจะตัดกับกรวยที่จุด เส้นตรง หรือคู่ของเส้นตรงที่ตัดกัน สิ่งเหล่านี้เรียกว่ารูปทรงกรวยเสื่อม สภาพ และผู้เขียนบางคนไม่ถือว่าสิ่งเหล่านี้เป็นรูปทรงกรวยเลย เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น ในบทความนี้ "รูปทรงกรวย" จะหมายถึงรูปทรงกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพ

รูปทรงภาคตัดกรวยมีสามประเภท ได้แก่วงรี พาราโบลาและไฮเปอร์โบลาวงกลมเป็นวงรีชนิดพิเศษ แม้ว่าในทางประวัติศาสตร์ อพอลโลนิอุสจะถือว่าเป็นวงรีประเภทที่สี่ก็ตาม วงรีเกิดขึ้นเมื่อจุดตัดระหว่างกรวยและระนาบเป็นเส้นโค้งปิด วงกลมได้มาเมื่อระนาบตัดขนานกับระนาบของวงกลมกำเนิดของกรวย สำหรับกรวยตรง หมายความว่าระนาบตัดตั้งฉากกับแกน หากระนาบตัดขนานกับเส้นกำเนิดของกรวยเพียงเส้นเดียว รูปทรงภาคตัดกรวยนั้นจะไม่มีขอบเขตและเรียกว่าพาราโบลาในกรณีที่เหลือ รูปทรงนั้นจะเป็นไฮเปอร์โบลาเนื่องจากระนาบตัด ครึ่ง ทั้งสองของกรวย ทำให้เกิดเส้นโค้งที่ไม่มีขอบเขตสองเส้นแยกกัน

นอกจากนี้ ให้เปรียบเทียบกับภาคตัดทรงกลม (จุดตัดระหว่างระนาบกับทรงกลม ซึ่งทำให้เกิดวงกลมหรือจุด) และภาคตัดกรวยทรงกลม (จุดตัดระหว่างกรวยวงรีกับทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกัน)

อีกทางเลือกหนึ่ง เราสามารถนิยามภาคตัดกรวยได้โดยใช้เรขาคณิตระนาบเพียงอย่างเดียว กล่าวคือ มันคือตำแหน่ง ของจุด Pทั้งหมดซึ่งระยะห่างจากจุด P ไปยังจุดคงที่F (เรียกว่าจุดโฟกัส ) เป็นค่าคงที่คูณด้วยe (เรียกว่าค่าความเยื้องศูนย์ ) ของระยะห่างจากจุด Pไปยังเส้นตรงคงที่L (เรียกว่าเส้นไดเรกทริกซ์ ) สำหรับ0 < e < 1จะได้วงรี สำหรับe = 1 จะได้ พาราโบลา และสำหรับe > 1 จะได้ ไฮเปอร์โบลา

วงกลมเป็นกรณีจำกัดและไม่ได้กำหนดโดยจุดโฟกัสและเส้นไดเรกทริกซ์ในระนาบยูคลิด ความเยื้องศูนย์ของวงกลมถูกกำหนดให้เป็นศูนย์และจุดโฟกัสคือจุดศูนย์กลางของวงกลม แต่เส้นไดเรกทริกซ์สามารถพิจารณาได้เฉพาะเป็นเส้นที่อนันต์ในระนาบเชิงฉายเท่านั้น^{[ 2 ]}

ความเยื้องศูนย์ของวงรีสามารถมองได้ว่าเป็นการวัดว่าวงรีเบี่ยงเบนจากวงกลมไปไกลแค่ไหน^{[ 3 ]}

ถ้ามุมระหว่างพื้นผิวของกรวยกับแกนเป็นและมุมระหว่างระนาบตัดกับแกนเป็นค่าความเยื้องศูนย์คือ^{[ 4 ]}${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle {\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}.}$

การพิสูจน์ว่าเส้นโค้งข้างต้นที่กำหนดโดยคุณสมบัติโฟกัส-ไดเรกทริกซ์นั้นเหมือนกับเส้นโค้งที่ได้จากระนาบที่ตัดกับกรวยนั้นทำได้ง่ายขึ้นโดยการใช้ทรงกลมแดนเดลิน^{[ 5 ]}

อีกทางเลือกหนึ่ง วงรีสามารถนิยามได้โดยใช้จุดโฟกัสสองจุด โดยเป็นโลคัสของจุดที่ผลรวมของระยะทางไปยังจุดโฟกัสทั้งสองเท่ากับ2aในขณะที่ไฮเปอร์โบลาเป็นโลคัสที่ผลต่างของระยะทางเท่ากับ2a (ในที่นี้a คือแกนกึ่งเอกภาพที่กำหนด ไว้ด้านล่าง) พาราโบลาอาจนิยามได้โดยใช้จุดโฟกัสและเส้นลาตัสเรกตัม (ขนานกับเส้นไดเรกทริกซ์และผ่านจุดโฟกัส) โดยเป็นโลคัสของจุดที่ระยะทางไปยังจุดโฟกัสบวกหรือลบระยะทางไปยังเส้นนั้นเท่ากับ2aโดยเป็นบวกถ้าจุดนั้นอยู่ระหว่างเส้นไดเรกทริกซ์และเส้นลาตัสเรกตัม และเป็นลบถ้าไม่อยู่ ระหว่าง เส้นนั้น

นอกเหนือจากค่าความเยื้องศูนย์ ( e ) จุดโฟกัส และเส้นไดเรกทริกซ์แล้ว ลักษณะทางเรขาคณิตและความยาวต่างๆ ยังเกี่ยวข้องกับภาคตัดกรวยอีกด้วย

แกนหลักคือเส้นที่เชื่อมจุดโฟกัสของวงรีหรือไฮเปอร์โบลา และจุดกึ่งกลางของแกนหลักคือจุดศูนย์กลาง ของเส้นโค้งนั้น ส่วนพาราโบลาไม่มีจุดศูนย์กลาง

ค่าความเยื้องศูนย์เชิงเส้น ( c ) คือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางและจุดโฟกัส

เส้นลาตัสเรกตัมคือเส้นตรงที่ขนานกับเส้นไดเรกทริกซ์และผ่านจุดโฟกัส ความยาวครึ่งหนึ่งของเส้นนี้คือเส้นเซมิลาตัสเรกตัม ( ℓ )

พารามิเตอร์โฟกัส ( p ) คือระยะห่างจากจุดโฟกัสไปยังเส้นไดเรกทริกซ์ที่สอดคล้องกัน

แกนเอกคือคอร์ดที่เชื่อมระหว่างจุดยอดทั้งสอง: เป็นคอร์ดที่ยาวที่สุดของวงรี และเป็นคอร์ดที่สั้นที่สุดระหว่างกิ่งของไฮเปอร์โบลา ความยาวครึ่งหนึ่งของแกนเอกคือแกนกึ่งเอก ( a ) เมื่อวงรีหรือไฮเปอร์โบลาอยู่ในตำแหน่งมาตรฐานดังสมการด้านล่าง โดยมีจุดโฟกัสอยู่บน แกน xและจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด จุดยอดของภาคตัดกรวยจะมีพิกัดเป็น(−a , 0)และ( a , 0)โดยที่aมีค่าไม่เป็นลบ

แกนรองคือเส้นผ่านศูนย์กลางที่สั้นที่สุดของวงรี และครึ่งหนึ่งของความยาวเรียกว่าแกนกึ่งรอง ( b ) ซึ่งมีค่าเท่ากับbในสมการมาตรฐานด้านล่าง ในทำนองเดียวกัน สำหรับไฮเปอร์โบลา พารามิเตอร์bในสมการมาตรฐานก็เรียกว่าแกนกึ่งรองเช่นกัน

ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 6 ]}

• ${\displaystyle \ \ell =pe}$
• ${\displaystyle \ c=ae}$
• ${\displaystyle \ p+c={\frac {a}{e}}}$

สำหรับภาคตัดกรวยที่อยู่ในตำแหน่งมาตรฐาน พารามิเตอร์เหล่านี้จะมีค่าดังต่อไปนี้ โดยใช้ค่า. ${\displaystyle a,b>0}$

ภาคตัดกรวย	สมการ	ความเยื้องศูนย์ ( e )	ความเยื้องศูนย์เชิงเส้น ( c )	กล้ามเนื้อกึ่งเอ็นตรง ( ℓ )	พารามิเตอร์โฟกัส ( p )
วงกลม	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle \infty }$
วงรี	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}$
พาราโบลา	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$	${\displaystyle 1\,}$	ไม่มีข้อมูล	${\displaystyle 2a\,}$	${\displaystyle 2a\,}$
ไฮเปอร์โบลา	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

หลังจากแนะนำพิกัดคาร์ทีเซียนแล้ว คุณสมบัติโฟกัส-ไดเรกทริกซ์สามารถใช้สร้างสมการที่จุดของภาคตัดกรวยเป็นไปตามเงื่อนไขได้^{[ 7 ]}โดยการเปลี่ยนพิกัด ( การหมุนและการเลื่อนแกน ) สมการเหล่านี้สามารถจัดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้^{[ 8 ]}สำหรับวงรีและไฮเปอร์โบลา รูปแบบมาตรฐานจะมี แกน xเป็นแกนหลักและจุดกำเนิด (0,0) เป็นจุดศูนย์กลาง จุดยอดคือ(± a , 0)และจุดโฟกัส คือ (± c , 0)กำหนดbโดยสมการc ² = a ² − b ²สำหรับวงรี และc ² = a ² + b ² สำหรับไฮ เปอร์โบลา สำหรับวงกลมc = 0ดังนั้นa ² = b ²โดยมีรัศมีr = a = bสำหรับพาราโบลา รูปแบบมาตรฐานจะมีจุดโฟกัสอยู่บน แกน xที่จุด( a , 0)และเส้นไดเรกทริกซ์คือเส้นตรงที่มีสมการx = −aในรูปแบบมาตรฐาน พาราโบลาจะผ่านจุดกำเนิดเสมอ

สำหรับ ไฮเปอร์โบลา แบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือ ไฮเปอร์โบลาแบบ ด้านเท่าซึ่งมีเส้นกำกับตั้งฉากกัน จะมีรูปแบบมาตรฐานทางเลือกอีกแบบหนึ่ง โดยที่เส้นกำกับเป็นแกนพิกัด และเส้นตรงx = yเป็นแกนหลัก จุดโฟกัสจะมีพิกัดเป็น( c , c )และ( −c , −c ) ^{[ 9 ]}

• วงกลม:

  ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},}$

• วงรี:

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• พาราโบลา:

  ${\displaystyle y^{2}=4ax,{\text{ with }}a>0,}$

• ไฮเปอร์โบลา:

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• ไฮเปอร์โบลาสี่เหลี่ยมผืนผ้า: ^{[ 10 ]}

  ${\displaystyle xy=c^{2}.}$

รูปทรงเรขาคณิตสี่รูปแรกนั้นสมมาตรทั้งกับ แกน xและ แกน y (สำหรับวงกลม วงรี และไฮเปอร์โบลา) หรือสมมาตรกับ แกน xเท่านั้น (สำหรับพาราโบลา) อย่างไรก็ตาม ไฮเปอร์โบลาแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้ากลับสมมาตรกับเส้นตรงy = xและy = − xแทน

รูปแบบมาตรฐานเหล่านี้สามารถเขียนในรูปแบบพาราเมตริกได้ดังนี้

• วงกลม :

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,a\sin \theta ),}$

• วงรี :

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,b\sin \theta ),}$

• พาราโบลา :

  ${\displaystyle (at^{2},2at),}$

• ไฮเปอร์โบลา :

  ${\displaystyle (a\sec \theta ,b\tan \theta ),{\text{ หรือ }}(\pm a\cosh \psi ,b\sinh \psi )}$,

• ไฮเปอร์โบลาสี่เหลี่ยมผืนผ้า :

  ${\displaystyle \left(dt,{\frac {d}{t}}\right),{\text{ โดยที่ }}d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.}$

ในระบบพิกัดคาร์ ทีเซียน กราฟของสมการกำลังสองในสองตัวแปรจะเป็นภาคตัดกรวยเสมอ (ถึงแม้ว่ามันอาจจะเสื่อมสภาพก็ตาม ) ^{[ a ]}และภาคตัดกรวยทั้งหมดเกิดขึ้นในลักษณะนี้ สมการทั่วไปที่สุดมีรูปแบบดังนี้^{[ 11 ]}

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

โดยที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจำนวนจริงและA, B, Cไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด

สมการข้างต้นสามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}D&E\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+F=0.}$$

สมการทั่วไปสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งดังนี้ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0.}$$

รูปแบบนี้เป็นรูปแบบเฉพาะของรูปแบบเอกพันธุ์ที่ใช้ในบริบททั่วไปของเรขาคณิตเชิงฉาย (ดูด้านล่าง )

ภาคตัดกรวยที่อธิบายโดยสมการนี้สามารถจำแนกได้ตามค่าเรียกว่าตัวแยกแยะของสมการ^{[ 13 ]} ดังนั้น ตัวแยกแยะคือ− 4Δโดยที่Δคือตัวกำหนดเมทริกซ์${\displaystyle B^{2}-4AC}$${\displaystyle \left|{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right|.}$

ถ้าภาคกรวยไม่เสื่อมสภาพแล้ว: ^{[ 14 ]}

• ถ้าB ² − 4 AC < 0สมการจะแสดงถึง วงรี
  • ถ้าA = CและB = 0สมการจะแสดงถึงวงกลมซึ่งเป็นกรณีพิเศษของวงรี
• ถ้าB ² − 4 AC = 0สมการจะแสดงถึงพาราโบลา
• ถ้าB ² − 4 AC > 0สมการจะแสดงถึงไฮเปอร์โบลา
  • ถ้าA + C = 0สมการจะแสดงถึง ไฮเปอร์โบ ลาแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ในสัญลักษณ์ที่ใช้ในที่นี้AและBคือสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ซึ่งแตกต่างจากบางแหล่งข้อมูลที่ใช้AและB แทนแกนกึ่งหลักและ แกน กึ่งรอง

ค่า ดิสคริมิแนนต์B ² – 4 ACของสมการกำลังสองของภาคตัดกรวย (หรือเทียบเท่ากับดีเทอร์มิ แนนต์ AC – B ² /4ของเมทริกซ์ 2 × 2) และปริมาณA + C ( ร่องรอยของเมทริกซ์ 2 × 2) จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนและการเลื่อนแกนพิกัดใดๆ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}เช่นเดียวกับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 × 3 ข้างต้น [ ^{17 ] :หน้า 60–62} พจน์คงที่FและผลรวมD ² + E ²จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนเท่านั้น^{[ 17 ] : หน้า 60–62}

เมื่อเขียนภาคตัดกรวยในรูปพีชคณิตดังนี้

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,\,}$

ความเยื้องศูนย์สามารถเขียนได้เป็นฟังก์ชันของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง^{[ 18 ]}ถ้า4 AC = B ²กรวยจะเป็นพาราโบลาและค่าความเยื้องศูนย์จะเท่ากับ 1 (โดยที่มันไม่เสื่อมสภาพ) มิฉะนั้น สมมติว่าสมการแสดงถึงไฮเปอร์โบลาหรือวงรีที่ไม่เสื่อมสภาพ ค่าความเยื้องศูนย์จะกำหนดโดย

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}}}},}$

โดยที่η = 1ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 × 3 ข้างต้นเป็นลบ และη = −1ถ้าดีเทอร์มิแนนต์นั้นเป็นบวก

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้^{[ 17 ] : หน้า 89} ว่าค่าความเยื้องศูนย์เป็นคำตอบเชิงบวกของสมการ

${\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,}$

ซึ่งในกรณีของพาราโบลาหรือวงรี จะมีคำตอบที่เป็นบวกเพียงคำตอบเดียว คือ ค่าความเยื้องศูนย์ ในขณะที่ในกรณีของไฮเปอร์โบลา จะมีคำตอบที่เป็นบวกสองคำตอบ โดยหนึ่งในนั้นคือ ค่าความเยื้องศูนย์ ${\displaystyle \Delta =AC-{\frac {B^{2}}{4}}.}$

ในกรณีของวงรีหรือไฮเปอร์โบลา สมการ

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

สามารถแปลงเป็นรูปแบบมาตรฐานในตัวแปรที่แปลงแล้วได้ดังนี้^{[ 19 ]}${\displaystyle {\tilde {x}},{\tilde {y}}}$

${\displaystyle {\frac {{\tilde {x}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2})}}+{\frac {{\tilde {y}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}\lambda _{2}^{2})}}=1,}$

หรือเทียบเท่า

${\displaystyle {\frac {{\tilde {x}}^{2}}{-S/(\lambda _{1}\Delta )}}+{\frac {{\tilde {y}}^{2}}{-S/(\lambda _{2}\Delta )}}=1,}$

โดยที่และคือค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์— นั่นคือ คำตอบของสมการ ${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)}$

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0}$

— และเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 × 3 ข้างต้นและเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 2 × 2 อีกครั้ง ในกรณีของวงรี กำลังสองของแกนกึ่งทั้งสองจะกำหนดโดยตัวส่วนในรูปแบบมาตรฐาน ${\displaystyle S}$${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}}$

ในระบบพิกัดเชิงขั้ว ภาคตัดกรวยที่มีจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่จุดกำเนิด และอีกจุดหนึ่ง (ถ้ามี) อยู่ที่ค่าลบ (สำหรับวงรี) หรือค่าบวก (สำหรับไฮเปอร์โบลา) บน แกน xจะกำหนดโดยสมการ

${\displaystyle r={\frac {l}{1+e\cos \theta }},}$

โดยที่eคือค่าความเยื้องศูนย์ และlคือค่ากึ่งกลางของเส้นตรงกลางลำตัว

ดังที่กล่าวมาข้างต้น สำหรับe = 0กราฟจะเป็นวงกลม สำหรับ0 < e < 1กราฟจะเป็นวงรี สำหรับe = 1จะเป็นพาราโบลา และสำหรับe > 1จะเป็นไฮเปอร์โบลา

รูปแบบเชิงขั้วของสมการของภาคตัดกรวยมักใช้ในพลศาสตร์ตัวอย่างเช่น การกำหนดวงโคจรของวัตถุที่โคจรรอบดวงอาทิตย์^{[ 20 ]}

เช่นเดียวกับที่จุดสองจุด (ที่แตกต่างกัน) กำหนดเส้นตรงได้จุดห้าจุดก็กำหนดภาคตัดกรวยได้ เช่นกัน ในทางทฤษฎี แล้ว หากกำหนดจุดห้าจุดใดๆ บนระนาบที่อยู่ในตำแหน่งเชิงเส้นทั่วไปกล่าวคือไม่มีสาม จุดใดอยู่บน เส้นตรงเดียวกันจะมีภาคตัดกรวยที่ไม่ซ้ำกันเพียงภาคเดียวที่ผ่านจุดเหล่านั้น ซึ่งจะไม่เป็นภาคตัดกรวยเสื่อมสภาพ นี่เป็นจริงทั้งในระนาบยุคลิดและส่วนขยายของมัน คือระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริง อันที่จริง หากกำหนดจุดห้าจุดใดๆ ก็จะมีภาคตัดกรวยที่ผ่านจุดเหล่านั้น แต่ถ้าสามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ภาคตัดกรวยนั้นจะเสื่อมสภาพ (สามารถลดรูปได้ เพราะมีเส้นตรงอยู่ภายใน) และอาจไม่เป็นเอกลักษณ์ โปรดดูการ อภิปรายเพิ่มเติม

จุดสี่จุดในระนาบที่อยู่ในตำแหน่งเชิงเส้นทั่วไปจะกำหนดกรวยที่ไม่ซ้ำกันซึ่งผ่านจุดสามจุดแรกและมีจุดที่สี่เป็นจุดศูนย์กลาง ดังนั้นการรู้จุดศูนย์กลางจึงเทียบเท่ากับการรู้จุดสองจุดบนกรวยเพื่อจุดประสงค์ในการกำหนดเส้นโค้ง^{[ 21 ]}

นอกจากนี้ กรวยยังถูกกำหนดโดยการรวมกันของ จุด kจุดในตำแหน่งทั่วไปที่กรวยผ่าน และเส้น 5 – kเส้นที่สัมผัสกับกรวย โดยที่ 0≤ k ≤5 ^{[ 22 ]}

จุดใดๆ บนระนาบจะอยู่บน เส้นสัมผัส ของภาคตัดกรวยได้ศูนย์เส้นสัมผัส หนึ่งเส้น หรือสองเส้น จุดที่อยู่บนเส้นสัมผัสเพียงเส้นเดียวจะอยู่บนภาคตัดกรวย จุดที่ไม่อยู่บนเส้นสัมผัสใดๆ เลยเรียกว่า จุดภายใน (หรือจุดด้านใน) ของภาคตัดกรวย ในขณะที่จุดที่อยู่บนเส้นสัมผัสสองเส้นเรียกว่าจุดภายนอก (หรือจุดด้านนอก)

ส่วนตัดกรวยทั้งหมดมีคุณสมบัติการสะท้อน ร่วมกัน ซึ่งสามารถระบุได้ดังนี้: กระจกทั้งหมดที่มีรูปร่างเป็นส่วนตัดกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพจะสะท้อนแสงที่มาจากหรือไปยังจุดโฟกัสหนึ่งไปยังหรือออกจากจุดโฟกัสอีกจุดหนึ่ง ในกรณีของพาราโบลา จุดโฟกัสที่สองจะต้องถือว่าอยู่ไกลเป็นอนันต์ เพื่อให้รังสีแสงที่ไปยังหรือมาจากจุดโฟกัสที่สองขนานกัน^{[ 23 ] [ 24 ]}

ทฤษฎีบทของปาสคาลเกี่ยวข้องกับความร่วมเส้นตรงของจุดสามจุดที่สร้างขึ้นจากเซตของจุดหกจุดบนภาคตัดกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพใดๆ ทฤษฎีบทนี้ยังใช้ได้กับภาคตัดกรวยที่เสื่อมสภาพซึ่งประกอบด้วยเส้นตรงสองเส้น แต่ในกรณีนั้นจะเรียกว่าทฤษฎีบทของปัปปุส

ภาคตัดกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพจะมีลักษณะ " เรียบ " เสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการใช้งานหลายอย่าง เช่น ด้านอากาศพลศาสตร์ ซึ่งพื้นผิวเรียบเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าการไหลเป็นแบบราบเรียบและป้องกันการ เกิดการไหลปั่นป่วน

เชื่อกันว่าคำจำกัดความแรกของภาคตัดกรวยนั้นมาจากเมนาเอคมัส (เสียชีวิตในปี 320 ก่อนคริสต์ศักราช) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของวิธีแก้ปัญหาเดเลียน ( การทำซ้ำลูกบาศก์ ) ^{[ b ] [ 25 ]}งานของเขาไม่รอดมาจนถึงปัจจุบัน แม้แต่ชื่อที่เขาใช้สำหรับเส้นโค้งเหล่านี้ก็ไม่มี และเป็นที่รู้จักเฉพาะจากบันทึกรองเท่านั้น^{[ 26 ]}คำจำกัดความที่ใช้ในเวลานั้นแตกต่างจากที่ใช้กันทั่วไปในปัจจุบัน กรวยถูกสร้างขึ้นโดยการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากรอบด้านใดด้านหนึ่ง เพื่อให้ด้านตรงข้ามมุมฉากสร้างพื้นผิวของกรวย (เส้นดังกล่าวเรียกว่าเส้นกำเนิด ) กรวยสามประเภทถูกกำหนดโดยมุมยอด (วัดจากสองเท่าของมุมที่เกิดจากด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านที่หมุนรอบในสามเหลี่ยมมุมฉาก) จากนั้นภาคตัดกรวยจะถูกกำหนดโดยการตัดกรวยเหล่านี้กับระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นกำเนิด ประเภทของภาคกรวยจะถูกกำหนดโดยประเภทของกรวย กล่าวคือ โดยมุมที่เกิดขึ้นที่จุดยอดของกรวย: ถ้ามุมเป็นมุมแหลม ภาคกรวยจะเป็นวงรี ถ้ามุมเป็นมุมฉาก ภาคกรวยจะเป็นพาราโบลา และถ้ามุมเป็นมุมป้าน ภาคกรวยจะเป็นไฮเปอร์โบลา (แต่เป็นเพียงสาขาหนึ่งของเส้นโค้ง) ^{[ 27 ]}

กล่าวกันว่า ยูคลิด (มีชีวิตอยู่ราว 300 ปีก่อนคริสตกาล) ได้เขียนหนังสือเกี่ยวกับภาคตัดกรวยไว้สี่เล่ม แต่หนังสือเหล่านั้นก็สูญหายไปเช่นกัน^{[ 28 ]}อาร์คิมิดีส (เสียชีวิตราว 212ปีก่อนคริสตกาล) เป็นที่ทราบกันว่าได้ศึกษาภาคตัดกรวย โดยได้กำหนดพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลาและคอร์ดใน หนังสือ Quadrature of the Parabolaความสนใจหลักของเขาคือการวัดพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงที่เกี่ยวข้องกับภาคตัดกรวย และส่วนหนึ่งของงานนี้ยังคงหลงเหลืออยู่ในหนังสือของเขาเกี่ยวกับทรงตันจากการหมุนของภาคตัดกรวย ในหนังสือOn Conoids and Spheroids ^{[ 29 ]}

ความก้าวหน้าครั้งสำคัญที่สุดในการศึกษาภาคตัดกรวยของชาวกรีกโบราณนั้นเกิดจากApollonius แห่ง Perga (เสียชีวิต ประมาณ 190 ปีก่อน คริสตกาล) ซึ่ง หนังสือ Conic SectionsหรือConicsจำนวนแปดเล่มของเขาได้สรุปและขยายความรู้ที่มีอยู่เดิมอย่างมาก^{[ 30 ]}การศึกษาคุณสมบัติของเส้นโค้งเหล่านี้ของ Apollonius ทำให้สามารถแสดงได้ว่าระนาบใดๆ ที่ตัดกรวยคู่คงที่ (สองยอด) โดยไม่คำนึงถึงมุม จะสร้างภาคตัดกรวยตามคำจำกัดความก่อนหน้านี้ ซึ่งนำไปสู่คำจำกัดความที่ใช้กันทั่วไปในปัจจุบัน วงกลมซึ่งไม่สามารถสร้างได้ด้วยวิธีเดิม ก็สามารถสร้างได้ด้วยวิธีนี้เช่นกัน นี่อาจเป็นเหตุผลว่าทำไม Apollonius จึงพิจารณาว่าวงกลมเป็นภาคตัดกรวยประเภทที่สี่ ซึ่งเป็นการแบ่งแยกที่ไม่ได้ใช้กันอีกต่อไป Apollonius ใช้ชื่อ 'วงรี' 'พาราโบลา' และ 'ไฮเปอร์โบลา' สำหรับเส้นโค้งเหล่านี้ โดยยืมคำศัพท์จากงานของพีทาโกเรียนก่อนหน้านี้เกี่ยวกับพื้นที่^{[ 31 ]}

ปัปปัสแห่งอเล็กซานเดรีย (เสียชีวิต ราว ค.ศ. 350 ) ได้รับการยกย่องว่าได้อธิบายความสำคัญของแนวคิดเรื่องจุดโฟกัสของภาคตัดกรวย และได้อธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องไดเรกทริกซ์ ที่เกี่ยวข้อง รวมถึงกรณีของพาราโบลา (ซึ่งไม่มีอยู่ในผลงานที่รู้จักของอพอลโลนิอุส) ^{[ 32 ]}

งานของอพอลโลนิอุสได้รับการแปลเป็นภาษาอาหรับ และงานส่วนใหญ่ของเขายังคงหลงเหลืออยู่เพียงในฉบับภาษาอาหรับเท่านั้นนักคณิตศาสตร์ชาวอิสลามได้ค้นพบการประยุกต์ใช้ทฤษฎีนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักคณิตศาสตร์และกวีชาวเปอร์เซียโอมาร์ คัยยัม [ ^{33 ] ซึ่ง}ได้ค้นพบวิธีการทางเรขาคณิตในการแก้สมการกำลังสามโดยใช้ภาคตัดกรวย^{[ 34 ] [ 35 ]}

หนึ่งศตวรรษก่อนงานที่มีชื่อเสียงกว่าของคัยยัมอบู อัล-จูดใช้ภาคตัดกรวยเพื่อแก้สม การ กำลังสี่และกำลังสาม^{[ 36 ]}แม้ว่าวิธีแก้ปัญหาของเขาจะไม่ได้ครอบคลุมทุกกรณีก็ตาม^{[ 37 ]}

เครื่องมือสำหรับวาดภาคตัดกรวยได้รับการอธิบายครั้งแรกในปี ค.ศ. 1000 โดยอัล-กูฮี^{[ 38 ] [ 39 ]}

โยฮันเนส เคปเลอร์ได้ขยายทฤษฎีภาคตัดกรวยผ่าน " หลักการความต่อเนื่อง " ซึ่งเป็นต้นแบบของแนวคิดเรื่องลิมิต เคปเลอร์ใช้คำว่า 'จุดโฟกัส' เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1604 ^{[ 40 ]}

จิราร์ด เดซาร์กส์และเบลส์ ปาสคาลได้พัฒนาทฤษฎีเกี่ยวกับภาคตัดกรวยโดยใช้เรขาคณิตเชิงฉายภาพ ในยุคแรกเริ่ม ซึ่งเป็นแรงผลักดันสำคัญในการศึกษาสาขาใหม่นี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปาสคาลได้ค้นพบทฤษฎีบทที่เรียกว่าhexagrammum mysticumซึ่งสามารถอนุมานคุณสมบัติอื่นๆ ของภาคตัดกรวยได้จากทฤษฎีบทนี้

เรเน่ เดส์การ์ตและปิแอร์ แฟร์มาต์ต่างนำเรขาคณิตวิเคราะห์ ที่เพิ่งค้นพบมาประยุกต์ใช้ ในการศึกษาภาคตัดกรวย ซึ่งส่งผลให้ปัญหาทางเรขาคณิตของภาคตัดกรวยลดลงเหลือเพียงปัญหาในพีชคณิต อย่างไรก็ตามจอห์น วอลลิสในตำราTractatus de sectionibus conicis ปี 1655 ของเขา เป็นคนแรกที่นิยามภาคตัดกรวยว่าเป็นตัวอย่างของสมการกำลังสอง^{[ 41 ]} งานเขียน Elementa Curvarum LinearumของJan de Wittซึ่งเขียนขึ้นก่อนหน้า แต่ตีพิมพ์ในภายหลังเริ่มต้นด้วย การสร้างภาคตัดกรวย แบบจลนศาสตร์ของเคปเลอร์ แล้วจึงพัฒนาสมการพีชคณิต งานนี้ซึ่งใช้วิธีการของแฟร์มาต์และสัญลักษณ์ของเดส์การ์ต ได้รับการอธิบายว่าเป็นตำราเล่มแรกในหัวข้อนี้^{[ 42 ]} De Witt เป็นผู้คิดค้นคำว่า 'directrix' ^{[ 42 ]}

ภาคตัดกรวยมีความสำคัญในทางดาราศาสตร์ : วงโคจรของวัตถุมวลมากสองชิ้นที่ปฏิสัมพันธ์กันตามกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันจะเป็นภาคตัดกรวยหาก ถือว่า จุดศูนย์กลางมวลร่วมของวัตถุ ทั้ง สองอยู่นิ่ง ถ้าวัตถุทั้งสองอยู่ติดกัน วงโคจรของพวกมันจะเป็นรูปวงรี แต่ถ้าวัตถุทั้งสองเคลื่อนที่ออกจากกัน วงโคจรของพวกมันจะเป็นรูปพาราโบลาหรือไฮเปอร์โบลา ดูที่ปัญหา วัตถุสองชิ้น

คุณสมบัติการสะท้อนแสงของภาคตัดกรวยถูกนำมาใช้ในการออกแบบไฟฉาย กล้องโทรทัศน์วิทยุ และกล้องโทรทัศน์แบบออปติคอลบางชนิด^{[ 43 ]}ไฟฉายใช้กระจกพาราโบลาเป็นตัวสะท้อนแสง โดยมีหลอดไฟอยู่ที่จุดโฟกัส และโครงสร้างที่คล้ายกันนี้ใช้สำหรับไมโครโฟนแบบพาราโบลากล้องโทรทัศน์แบบออปติคอล Herschelขนาด 4.2 เมตรบนเกาะลาปาลมาในหมู่เกาะคานารี ใช้กระจกพาราโบลาหลักเพื่อสะท้อนแสงไปยังกระจกไฮเปอร์โบลาตัวที่สอง ซึ่งสะท้อนแสงอีกครั้งไปยังจุดโฟกัสด้านหลังกระจกตัวแรก

ภาคตัดกรวยมีคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันมากในระนาบยุคลิด และเหตุผลนี้จะชัดเจนขึ้นเมื่อมองภาคตัดกรวยจากมุมมองของเรขาคณิตที่ใหญ่กว่า ระนาบยุคลิดอาจถูกฝังอยู่ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงและภาคตัดกรวยอาจถูกพิจารณาว่าเป็นวัตถุในเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟนี้ วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือการแนะนำพิกัดเอกพันธุ์และกำหนดให้ภาคตัดกรวยเป็นเซตของจุดที่มีพิกัดที่สอดคล้องกับสมการกำลังสองที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ในสามตัวแปร (หรือเทียบเท่ากับศูนย์ของรูปแบบกำลังสองที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบ ได้ ) ในทางเทคนิคมากขึ้น เซตของจุดที่เป็นศูนย์ของรูปแบบกำลังสอง (ในจำนวนตัวแปรใด ๆ) เรียกว่าควอดริกและควอดริกที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟสองมิติ (นั่นคือ มีสามตัวแปร) ตามธรรมเนียมเรียกว่าภาคตัดกรวย

ระนาบยุคลิดR ²ถูกฝังลงในระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงโดยการเพิ่มเส้นตรงที่ระยะอนันต์ (และจุดที่สอดคล้องกันที่ระยะอนันต์ ) เพื่อให้เส้นตรงทั้งหมดในกลุ่มขนานเดียวกันมาบรรจบกันที่เส้นตรงนี้ ในทางกลับกัน การเริ่มต้นจากระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริง จะได้ระนาบยุคลิดโดยการเลือกเส้นตรงบางเส้นเป็นเส้นตรงที่ระยะอนันต์ แล้วลบเส้นตรงนั้นและจุดทั้งหมดที่อยู่บนเส้นตรงนั้นออกไป

ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเหนือวงแหวนการหารใดๆ แต่โดยเฉพาะอย่างยิ่งเหนือจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน กรวยที่ไม่เสื่อมสภาพทั้งหมดจะเทียบเท่ากัน ดังนั้นในเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟจึงพูดถึง "กรวย" โดยไม่ต้องระบุประเภท นั่นคือ มีการแปลงเชิงโปรเจกทีฟที่จะแมปกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพใดๆ ไปยังกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพอื่นๆ^{[ 44 ]}

ภาคตัดกรวยทั้งสามประเภทจะปรากฏขึ้นอีกครั้งในระนาบแอฟฟินที่ได้จากการเลือกเส้นในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟให้เป็นเส้นที่อนันต์ จากนั้นประเภททั้งสามจะถูกกำหนดโดยวิธีที่เส้นที่อนันต์นี้ตัดกับภาคตัดกรวยในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ในปริภูมิแอฟฟินที่สอดคล้องกัน จะได้วงรีหากภาคตัดกรวยไม่ตัดกับเส้นที่อนันต์ จะได้พาราโบลาหากภาคตัดกรวยตัดกับเส้นที่อนันต์ที่จุดคู่จุด เดียว ที่สอดคล้องกับแกน และจะได้ไฮเปอร์โบลาหากภาคตัดกรวยตัดกับเส้นที่อนันต์ที่สองจุดที่สอดคล้องกับเส้นกำกับ^{[ 45 ]}

ในระบบพิกัดเอกพันธุ์ภาคตัดกรวยสามารถแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

หรือใน รูป แบบเมทริกซ์

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.}$

เมทริกซ์ 3 × 3 ด้านบนเรียกว่า เมทริก ซ์ ของภาคตัดกรวย

นักเขียนบางท่านนิยมเขียนสมการเอกพันธุ์ทั่วไปในรูปแบบนี้

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,}$

(หรือรูปแบบอื่น ๆ ที่คล้ายกัน) เพื่อให้เมทริกซ์ของภาคตัดกรวยมีรูปแบบที่เรียบง่ายกว่า

${\displaystyle M=\left({\begin{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}}\right),}$

แต่สัญลักษณ์นี้ไม่ได้ใช้ในบทความนี้^{[ c ]}

ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ของภาคตัดกรวยเป็นศูนย์ ภาคตัดกรวยนั้นจะเป็นแบบเสื่อมสภาพ

เนื่องจากการคูณสัมประสิทธิ์ทั้งหกตัวด้วยสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ตัวเดียวกันจะได้สมการที่มีชุดศูนย์ชุดเดียวกัน ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาภาคตัดกรวย ซึ่งแทนด้วย( A , B , C , D , E , F ) เป็นจุดใน ปริภูมิเชิงฉายห้ามิติได้${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

แนวคิด เชิงเมตริกของเรขาคณิตยุคลิด (แนวคิดที่เกี่ยวข้องกับการวัดความยาวและมุม) ไม่สามารถขยายไปยังระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงได้โดยตรง^{[ d ]}ต้องมีการกำหนดนิยามใหม่ (และทำให้เป็นแบบทั่วไป) ในเรขาคณิตใหม่นี้ ซึ่งสามารถทำได้สำหรับระนาบเชิงโปรเจกทีฟ ใดๆ แต่เพื่อให้ได้ระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงเป็นระนาบยุคลิดที่ขยายออกไป ต้องมีการเลือกที่เฉพาะเจาะจงบางประการ^{[ 46 ]}

กำหนดเส้นตรงใดๆ ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ ซึ่งจะเรียกว่าเส้นตรงสัมบูรณ์เลือกจุดสองจุดที่แตกต่างกันบนเส้นตรงสัมบูรณ์ และเรียกจุดเหล่านั้นว่าจุดสัมบูรณ์แนวคิดทางเมตริกหลายอย่างสามารถกำหนดได้โดยอ้างอิงจากจุดที่เลือกเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดเส้นตรงที่ผ่านจุดAและBจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงABจะถูกกำหนดให้เป็นจุดCซึ่งเป็น จุดสังยุค เชิงฮาร์มอนิกเชิงโปร เจกทีฟ ของจุดตัดของAB และเส้นตรงสัมบูรณ์ โดยสัมพันธ์กับAและB

รูปทรงกรวยในระนาบเชิงโปรเจกทีฟที่ประกอบด้วยจุดสัมบูรณ์สองจุดเรียกว่าวงกลมเนื่องจากจุดห้าจุดกำหนดรูปทรงกรวย วงกลม (ซึ่งอาจเสื่อมสภาพ) จึงถูกกำหนดโดยจุดสามจุด เพื่อให้ได้ระนาบยุคลิดแบบขยาย เส้นสัมบูรณ์จะถูกเลือกให้เป็นเส้นที่อนันต์ของระนาบยุคลิด และจุดสัมบูรณ์คือจุดพิเศษสองจุดบนเส้นนั้นที่เรียกว่าจุดวงกลมที่อนันต์เส้นที่ประกอบด้วยจุดสองจุดที่มีพิกัดจริงจะไม่ผ่านจุดวงกลมที่อนันต์ ดังนั้นในระนาบยุคลิด วงกลมภายใต้นิยามนี้จึงถูกกำหนดโดยจุดสามจุดที่ไม่เรียงตัวกัน^{[ 47 ]}

มีการกล่าวถึงว่าวงกลมในระนาบยุคลิดไม่สามารถกำหนดได้ด้วยคุณสมบัติโฟกัส-ไดเรกทริกซ์ อย่างไรก็ตาม หากพิจารณาเส้นที่ระยะอนันต์เป็นไดเรกทริกซ์แล้ว โดยการกำหนดให้ค่าความเยื้องศูนย์เป็นe = 0วงกลมจะมีคุณสมบัติโฟกัส-ไดเรกทริกซ์ แต่ก็ยังไม่สามารถกำหนดได้ด้วยคุณสมบัตินั้น^{[ 48 ]}ในสถานการณ์นี้ต้องระมัดระวังในการใช้คำจำกัดความของความเยื้องศูนย์อย่างถูกต้อง โดยกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของระยะห่างของจุดบนวงกลมไปยังโฟกัส (ความยาวของรัศมี) ต่อระยะห่างของจุดนั้นไปยังไดเรกทริกซ์ (ระยะนี้เป็นอนันต์) ซึ่งให้ค่าจำกัดเป็นศูนย์

Jakob Steiner ได้เสนอ แนวทางสังเคราะห์ (ที่ไม่ต้องใช้พิกัด) ในการกำหนดภาคตัดกรวยในระนาบเชิงโปรเจกทีฟในปี 1867

• กำหนดให้เส้นสองเส้นอยู่ที่จุดสองจุด(เส้นทั้งหมดประกอบด้วยและ ตามลำดับ) และการแมปแบบโปรเจคทีฟแต่ไม่ใช่แบบเปอร์สเปคทีฟของไปยังแล้วจุดตัดของเส้นที่สอดคล้องกันจะก่อให้เกิดภาคตัดกรวยโปรเจคทีฟที่ไม่เสื่อมสภาพ^{[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ]}${\displaystyle B(U),B(V)}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle B(U)}$${\displaystyle B(V)}$

การแมปภาพ แบบเปอร์สเปค ทีฟของดินสอหนึ่งแท่งไปยังดินสออีกแท่งหนึ่งคือ การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ( bijection ) โดยที่เส้นที่สอดคล้องกันจะตัดกันบนเส้นคงที่เส้นหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าแกนของเปอร์สเปคทีฟ ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle B(U)}$${\displaystyle B(V)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \pi }$

การ แมป เชิงโปรเจ คทีฟ คือลำดับจำกัดของการแมปเชิงเปอร์สเปคทีฟ

เนื่องจากการแมปเชิงโปรเจกทีฟในระนาบเชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์ ( ระนาบปัปเปียน ) ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยการกำหนดภาพของเส้นสามเส้น^{[ 53 ]}สำหรับการสร้างภาคตัดกรวยแบบสไตเนอร์ นอกจากจุดสองจุดแล้ว จะต้องให้ภาพของเส้นสามเส้นเท่านั้น รายการทั้ง 5 รายการนี้ (จุด 2 จุด เส้น 3 เส้น) จะกำหนดภาคตัดกรวยได้อย่างไม่ซ้ำกัน ${\displaystyle U,V}$

ตามหลักการทวิภาวะในระนาบเชิงฉาย จุดทวิภาวะของแต่ละจุดคือเส้นตรง และจุดทวิภาวะของกลุ่มจุด (เซตของจุดที่ตรงตามเงื่อนไขบางอย่าง) เรียกว่าเส้นห่อหุ้มของเส้นตรง โดยใช้คำจำกัดความของสไตเนอร์เกี่ยวกับภาคตัดกรวย (ต่อไปนี้จะเรียกกลุ่มจุดนี้ว่าภาคตัดกรวยจุด ) ซึ่งเป็นการตัดกันของรังสีที่สอดคล้องกันของกลุ่มจุดสองกลุ่มที่เกี่ยวข้องกัน จึงง่ายที่จะสร้างทวิภาวะและได้เส้นห่อหุ้มที่สอดคล้องกัน ซึ่งประกอบด้วยการเชื่อมต่อของจุดที่สอดคล้องกันของกลุ่มจุดสองกลุ่มที่เกี่ยวข้องกัน (จุดบนเส้นตรง) บนฐานที่แตกต่างกัน (เส้นตรงที่จุดเหล่านั้นอยู่) เส้นห่อหุ้มดังกล่าวเรียกว่าภาคตัดกรวยเส้นตรง (หรือ ภาคตัดกรวยทวิภาวะ)

ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริง กรวยจุดมีคุณสมบัติที่ว่าเส้นตรงทุกเส้นจะตัดกับกรวยจุดนั้นที่จุดสองจุด (ซึ่งอาจตรงกันหรืออาจเป็นจำนวนเชิงซ้อน) และเซตของจุดใดๆ ที่มีคุณสมบัตินี้ก็คือกรวยจุด ในทางกลับกัน กรวยเส้นตรงจะมีเส้นตรงสองเส้นผ่านทุกจุด และเส้นโค้งห่อหุ้มของเส้นตรงใดๆ ที่มีคุณสมบัตินี้ก็คือกรวยเส้นตรง ที่ทุกจุดของกรวยจุดจะมีเส้นสัมผัสที่ไม่ซ้ำกัน และในทางกลับกัน บนเส้นตรงทุกเส้นของกรวยเส้นตรงจะมีจุดที่ไม่ซ้ำกันเรียกว่าจุดสัมผัสทฤษฎีบทที่สำคัญกล่าวว่าเส้นสัมผัสของกรวยจุดก่อให้เกิดกรวยเส้นตรง และในทางกลับกัน จุดสัมผัสของกรวยเส้นตรงก่อให้เกิดกรวยจุด^{[ 54 ]}

คาร์ล เกออร์ก คริสเตียน ฟอน สเตาด์ทได้นิยามภาคตัดกรวยว่าเป็นเซตของจุดที่ได้จากจุดสัมบูรณ์ทั้งหมดของขั้วที่มีจุดสัมบูรณ์ ฟอน สเตาด์ท ได้นำเสนอนิยามนี้ในหนังสือ Geometrie der Lage (1847) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของความพยายามที่จะขจัดแนวคิดเกี่ยวกับมาตรวัดทั้งหมดออกจากเรขาคณิตเชิงฉาย

ขั้วπ ของระนาบเชิงโปรเจกทีฟPคือการจับคู่แบบอินโวลูชันระหว่างจุดและเส้นของPที่รักษาความสัมพันธ์ของการตกกระทบ ดังนั้น ขั้วจะ ^{เชื่อม}โยงจุดQกับเส้นqโดยπ ( Q ) = qและπ ( q ) = QตามGergonne q เรียกว่าขั้วของQและQ เรียก ว่าขั้วของq [ 55 ^]จุดสัมบูรณ์(หรือเส้น ) ของขั้วคือจุดที่ตกกระทบกับขั้วของมัน^{[ e ]}

กรวย von Staudt ในระนาบโปรเจคทีฟจริงเทียบเท่ากับกรวยSteiner ^{[ 56 ]}

ไม่สามารถสร้างส่วนโค้งต่อเนื่องของภาคตัดกรวยได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน อย่างไรก็ตาม มีวิธีการสร้างส่วนโค้งด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนหลายวิธีสำหรับจุดแต่ละจุดจำนวนเท่าใดก็ได้บนส่วนโค้งนั้น

หนึ่งในนั้นอิงตามทฤษฎีบทผกผันของปาสคาล กล่าวคือถ้าจุดตัดของด้านตรงข้ามของรูปหกเหลี่ยมอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดยอดทั้งหกจะอยู่บนภาคตัดกรวยโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อกำหนดจุดห้าจุดA , B , C , D , Eและเส้นตรงที่ผ่านEสมมติว่าเป็นEGจุดFที่อยู่บนเส้นตรงนี้และอยู่บนภาคตัดกรวยที่กำหนดโดยจุดทั้งห้าสามารถสร้างได้ ให้ABตัดกับDEที่L , BCตัดกับEGที่Mและให้CDตัดกับLMที่Nแล้วANตัดกับEGที่จุดF ที่ต้องการ ^[ 57 ^]โดยการเปลี่ยนเส้นตรงที่ผ่านEสามารถสร้างจุดเพิ่มเติมบนภาคตัดกรวยได้มากเท่าที่ ^{ต้องการ}

อีกวิธีหนึ่งซึ่งอิงตามการสร้างของสไตเนอร์และมีประโยชน์ในการใช้งานทางวิศวกรรมคือวิธีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน โดยสร้างภาคตัดกรวยทีละจุดโดยการเชื่อมต่อจุดที่เว้นระยะห่างเท่ากันบนเส้นแนวนอนและเส้นแนวตั้ง^{[ 58 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เพื่อสร้างวงรีที่มีสมการ⁠x ²/2^​+​​y ²/ข²⁠ = 1ขั้นแรกสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCDที่มีจุดยอด A ( a , 0), B ( a , 2 b ), C (− a , 2 b )และ D (− a , 0)แบ่งด้าน BC ออก เป็น nส่วนเท่าๆ กัน และใช้การฉายภาพขนานโดยเทียบกับเส้นทแยงมุม ACเพื่อสร้างส่วนเท่าๆ กันบนด้าน AB (ความยาวของส่วนเหล่านี้จะเป็น ⁠ข/เอ(คูณด้วยความยาวของส่วนต่างๆ บน BC ) บนด้าน BCให้ติดป้ายกำกับจุดปลายด้านซ้ายของส่วนต่างๆ ด้วย A ₁ถึง A _nโดยเริ่มจาก Bและไปทาง Cบนด้าน ABให้ติดป้ายกำกับจุดปลายด้านบน ด้วย D ₁ถึง D _nโดยเริ่มจาก Aและไปทาง Bจุดตัด AA _i ∩ DD _iสำหรับ 1 ≤ i ≤ nจะเป็นจุดบนวงรีระหว่าง Aและ P (0, b )การติดป้ายกำกับนี้เชื่อมโยงเส้นของดินสอที่ผ่าน Aกับเส้นของดินสอที่ผ่าน Dในเชิงการฉายภาพ แต่ไม่ใช่ในเชิงทัศนียวิทยา ภาคตัดกรวยที่ต้องการได้มาจากการสร้างนี้ เนื่องจากจุดสามจุด A , Dและ Pและเส้นสัมผัสสองเส้น (เส้นแนวตั้งที่ Aและ D ) กำหนดภาคตัดกรวยได้อย่างเฉพาะเจาะจง หากใช้เส้นผ่านศูนย์กลางอื่น (และเส้นผ่านศูนย์กลางคู่ควบ) แทนแกนเอกและแกนรองของวงรี จะใช้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมผืนผ้าในการสร้าง ซึ่งเป็นที่มาของชื่อวิธีการนี้ การเชื่อมโยงเส้นของดินสอสามารถขยายเพื่อให้ได้จุดอื่นบนวงรีได้ การสร้างไฮเปอร์โบลา ^{[ 59 ]}และพาราโบลา ^{[ 60 ]}ก็คล้ายกัน

อีกวิธีทั่วไปหนึ่งใช้คุณสมบัติขั้วเพื่อสร้างซองสัมผัสของภาคตัดกรวย (ภาคตัดกรวยเส้น) ^{[ 61 ]}

ในระนาบพิกัดเชิงซ้อนC ²วงรีและไฮเปอร์โบลาไม่แตกต่างกัน: เราอาจพิจารณาไฮเปอร์โบลาว่าเป็นวงรีที่มีความยาวแกนจินตนาการ ตัวอย่างเช่น วงรีจะกลายเป็นไฮเปอร์โบลาภายใต้การแทนที่ทาง เรขาคณิตด้วย การหมุนเชิงซ้อน ทำให้ได้ดังนั้นจึงมีการจำแนกประเภท 2 แบบ คือ วงรี/ไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา การขยายเส้นโค้งไปยังระนาบเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟจะสอดคล้องกับการตัดกับเส้นที่อนันต์ใน 2 จุดที่แตกต่างกัน (ซึ่งสอดคล้องกับเส้นกำกับสองเส้น) หรือใน 1 จุดคู่ (ซึ่งสอดคล้องกับแกนของพาราโบลา) ดังนั้นไฮเปอร์โบลาจริงจึงเป็นภาพจริงที่น่าสนใจกว่าสำหรับวงรี/ไฮเปอร์โบลาเชิงซ้อน เนื่องจากมีจุดตัด (จริง) 2 จุดกับเส้นที่อนันต์เช่นกัน ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle y=iw,}$${\displaystyle x^{2}-w^{2}=1}$

การรวมกันเพิ่มเติมเกิดขึ้นในระนาบเชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อนCP ² : รูปทรงกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพไม่สามารถแยกแยะออกจากกันได้ เนื่องจากรูปทรงกรวยใดๆ ก็สามารถแปลงไปเป็นรูปทรงกรวยอื่นๆ ได้โดยการแปลงเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ

สามารถพิสูจน์ได้ว่าในCP ²ภาคตัดกรวยสองภาคจะมีจุดร่วมกันสี่จุด (หากพิจารณาความซ้ำซ้อน ) ดังนั้นจึงมี จุด ตัด ระหว่าง 1 ถึง 4 จุด ความเป็นไปได้ของจุดตัดมีดังนี้: จุดที่แตกต่างกันสี่จุด, จุดเอกฐานสองจุดและจุดคู่หนึ่งจุด, จุดคู่สองจุด, จุดเอกฐานหนึ่งจุดและจุดที่มีความซ้ำซ้อน 3 จุด, จุดที่มีความซ้ำซ้อน 4 จุด หากจุดตัดใด ๆ มีความซ้ำซ้อน > 1 เส้นโค้งทั้งสองจะเรียกว่าสัมผัสกันหากมีจุดตัดที่มีความซ้ำซ้อนอย่างน้อย 3 เส้นโค้งทั้งสองจะเรียกว่าสัมผัสกันหากมีจุดตัดเพียงจุดเดียวซึ่งมีความซ้ำซ้อน 4 เส้นโค้งทั้งสองจะเรียกว่าสัมผัสกันยิ่งยวด^{[ 62 ]}

นอกจากนี้เส้นตรง แต่ละเส้น จะตัดกับภาคตัดกรวยแต่ละภาคสองครั้ง ถ้าจุดตัดเป็นจุดคู่ เส้นนั้นจะเป็นเส้นสัมผัสเมื่อตัดกับเส้นตรงที่อนันต์ ภาคตัดกรวยแต่ละภาคจะมีจุดที่อนันต์สองจุด ถ้าจุดเหล่านี้เป็นจำนวนจริง เส้นโค้งนั้นจะเป็นไฮเปอร์โบลาถ้าเป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุค เส้นโค้งนั้นจะเป็นวงรีถ้ามีจุดตัดคู่เพียงจุดเดียว เส้นโค้งนั้นจะเป็นพาราโบลาถ้าจุดที่อนันต์เป็นจุดวงกลม[1: i : 0]และ[1: – i : 0]ภาคตัดกรวยนั้นจะเป็นวงกลมถ้าสัมประสิทธิ์ของภาคตัดกรวยเป็นจำนวนจริง จุดที่อนันต์จะเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนสังยุค

สิ่งที่ควรพิจารณาว่าเป็น กรณี เสื่อมสภาพของภาคตัดกรวยนั้นขึ้นอยู่กับนิยามที่ใช้และบริบททางเรขาคณิตของภาคตัดกรวยนั้น มีผู้เขียนบางท่านที่นิยามภาคตัดกรวยว่าเป็นควอดริกสองมิติที่ไม่เสื่อมสภาพ ตามคำศัพท์นี้จะไม่มีภาคตัดกรวยที่เสื่อมสภาพ (มีแต่ควอดริกที่เสื่อมสภาพ) แต่เราจะใช้คำศัพท์แบบดั้งเดิมมากกว่าและหลีกเลี่ยงนิยามนั้น

ในระนาบยุคลิด โดยใช้คำจำกัดความทางเรขาคณิต กรณีเสื่อมสภาพจะเกิดขึ้นเมื่อระนาบตัดผ่านจุดยอดของกรวย กรวยเสื่อมสภาพจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งดังต่อไปนี้: จุดเมื่อระนาบตัดกรวยเฉพาะที่จุดยอด; เส้นตรงเมื่อระนาบสัมผัสกับกรวย (โดยมีตัวสร้างของกรวยเพียงตัวเดียว); หรือคู่ของเส้นตรงที่ตัดกัน (ตัวสร้างของกรวยสองตัว) ^{[ 63 ]}สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับรูปแบบจำกัดของวงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลา ตามลำดับ

ถ้าภาคตัดกรวยในระนาบยุคลิดถูกกำหนดโดยศูนย์ของสมการกำลังสอง (นั่นคือเป็นควอดริก) แล้วภาคตัดกรวยที่เสื่อมสภาพจะเป็น: เซตว่างจุด หรือคู่ของเส้นตรงซึ่งอาจขนานกัน ตัดกันที่จุด หรือทับกัน กรณีเซตว่างอาจสอดคล้องกับคู่ของ เส้นตรงขนาน เชิงซ้อนคู่ หนึ่ง เช่น สมการหรือวงรีจินตนาการเช่น สมการ วงรีจินตนาการ ไม่ตรงตามคำจำกัดความทั่วไปของการเสื่อมสภาพดังนั้นโดยปกติจึงไม่ถือว่าเป็นการเสื่อมสภาพ^{[ 64 ]}กรณีสองเส้นตรงเกิดขึ้นเมื่อนิพจน์กำลังสองแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเชิงเส้นสองตัว โดยศูนย์ของแต่ละตัวประกอบจะให้เส้นตรง ในกรณีที่ตัวประกอบเหมือนกัน เส้นตรงที่สอดคล้องกันจะทับกัน และเราเรียกเส้นตรงนั้นว่า เส้นตรง คู่ (เส้นตรงที่มีความซ้ำซ้อน 2) และนี่คือกรณีของระนาบที่ตัดกับเส้นสัมผัสก่อนหน้านี้ ${\displaystyle x^{2}+1=0,}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0.}$

ในระนาบโปรเจคทีฟจริง เนื่องจากเส้นขนานตัดกันที่จุดบนเส้นตรงที่อนันต์ กรณีเส้นขนานของระนาบยุคลิดจึงสามารถมองได้ว่าเป็นเส้นตัดกัน อย่างไรก็ตาม เนื่องจากจุดตัดเป็นจุดยอดของกรวย กรวยจึงเสื่อมสภาพกลายเป็นทรงกระบอก กล่าวคือมีจุดยอดอยู่ที่อนันต์ ส่วนอื่นๆ ในกรณีนี้เรียกว่าส่วนทรงกระบอก [ ^{65 ] ส่วน}ทรงกระบอกที่ไม่เสื่อมสภาพคือวงรี (หรือวงกลม)

เมื่อพิจารณาจากมุมมองของระนาบเชิงซ้อนเชิงโปรเจกทีฟ กรณีเสื่อมสภาพของสมการกำลังสองจริง (กล่าวคือ สมการกำลังสองมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง) สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นเส้นตรงสองเส้น ซึ่งอาจทับกันได้ เซตว่างอาจเป็นเส้นตรงที่อนันต์ซึ่งถือเป็นเส้นตรงคู่ จุด (จำนวนจริง) คือจุดตัดของเส้นตรงเชิงซ้อนคู่สังยุค สองเส้น และกรณีอื่นๆ ตามที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้

เพื่อแยกแยะกรณีเสื่อมสภาพออกจากกรณีไม่เสื่อมสภาพ (รวมถึงเซตว่างในกรณีหลัง) โดยใช้สัญกรณ์เมทริกซ์ ให้βเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 × 3 ของภาคตัดกรวย —นั่นคือβ = ( AC − ⁠บี²/4) F + ⁠​BED − CD ² − AE ²/4และให้ α = B ² − 4 ACเป็นตัวแยกแยะ จากนั้นภาคตัดกรวยจะไม่เสื่อมสภาพก็ต่อเมื่อ β ≠ 0ถ้า β = 0เราจะมีจุดเมื่อ α < 0เส้นขนานสองเส้น (อาจทับกัน) เมื่อ α = 0หรือเส้นตัดกันสองเส้นเมื่อ α > 0 ^{[ 66 ]}

กรวย (ที่ไม่เสื่อมสภาพ) ถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยจุดห้าจุดที่อยู่ในตำแหน่งทั่วไป (ไม่มีสามจุด อยู่บน เส้นตรง เดียวกัน ) ในระนาบ และระบบของกรวยที่ผ่านชุดจุดสี่จุดที่กำหนดไว้ (อีกครั้งในระนาบและไม่มีสามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน) เรียกว่ากลุ่มกรวย[ ^{67 ] จุด}ร่วมทั้งสี่จุดเรียกว่าจุดฐานของกลุ่มกรวย กรวยเพียงอันเดียวในกลุ่มกรวยจะผ่านจุดใดๆ ก็ตามที่ไม่ใช่จุดฐาน แนวคิดนี้เป็นการขยายแนวคิดของกลุ่มวงกลม^{[ 68 ]}

คำตอบของระบบสมการกำลังสองสองตัวแปรสองตัว อาจมองได้ว่าเป็นพิกัดของจุดตัดของภาคตัดกรวยสองภาคโดยทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ภาคตัดกรวยสองภาคอาจมีจุดตัดศูนย์ สอง หรือสี่จุด ซึ่งอาจทับซ้อนกันได้ วิธีที่มีประสิทธิภาพในการหาคำตอบเหล่านี้คือการใช้เมทริกซ์เอกพันธุ์แทนภาคตัดกรวย นั่น คือ เมทริกซ์สมมาตรขนาด 3 × 3 ซึ่งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์หกตัว

ขั้นตอนการค้นหาจุดตัดเป็นไปตามขั้นตอนเหล่านี้ โดยที่ภาคตัดกรวยจะถูกแทนด้วยเมทริกซ์: ^{[ 69 ]}

• กำหนดให้ภาคตัดกรวยสองรูปคือ และพิจารณากลุ่มภาคตัดกรวยที่เกิดจากการรวมกันเชิงเส้นของภาคตัดกรวยทั้งสองนี้${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle \lambda C_{1}+\mu C_{2}.}$
• ระบุพารามิเตอร์เอกพันธุ์ที่สอดคล้องกับภาคตัดกรวยเสื่อมสภาพของดินสอ สามารถทำได้โดยการกำหนดเงื่อนไขว่าและแก้หาค่าและซึ่งปรากฏว่าเป็นคำตอบของสมการกำลังสาม${\displaystyle [\lambda :\mu ]}$${\displaystyle \det(\lambda C_{1}+\mu C_{2})=0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$
• เมื่อกำหนดรูปกรวยเสื่อมสภาพแล้วให้ระบุเส้นตรงสองเส้นที่ประกอบกันเป็นรูปกรวยนั้น ซึ่งอาจทับซ้อนกันก็ได้${\displaystyle C_{0}}$
• ให้เส้นที่ระบุแต่ละเส้นตัดกับรูปกรวยดั้งเดิมเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้นนั้น
• จุดตัดเหล่านี้จะแสดงถึงคำตอบของระบบสมการเริ่มต้น

พื้นผิวควอดริกเป็นการขยายแนวคิดของภาคตัดกรวยในปริภูมิสามมิติ ซึ่งรวมถึงทรงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลา

ภาคตัดกรวยสามารถกำหนดได้ในฟิลด์อื่นๆ (กล่าวคือ ในเรขาคณิตแบบปัปเปียน อื่นๆ ) อย่างไรก็ตาม ต้องระมัดระวังเป็นพิเศษเมื่อฟิลด์นั้นมีลักษณะเฉพาะเท่ากับ 2 เนื่องจากสูตรบางสูตรไม่สามารถนำมาใช้ได้ ตัวอย่างเช่น การแสดงผลแบบเมทริกซ์ที่ใช้ข้างต้นจำเป็นต้องหารด้วย 2

รูป วงรีคือ การขยายทั่วไปของภาคตัดกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ รูปวงรีเป็นเซตของจุดที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ ซึ่งเป็นคุณสมบัติของภาคตัดกรวย: 1) เส้นตรงใดๆ ตัดกับรูปวงรีได้เพียง 0 จุด 1 จุด หรือ 2) ที่จุดใดๆ บนรูปวงรีจะมีเส้นสัมผัสเพียงเส้นเดียว

การขยายคุณสมบัติของจุดโฟกัสของภาคตัดกรวยไปยังกรณีที่มีจุดโฟกัสมากกว่าสองจุด จะได้เซตที่เรียกว่าภาคตัดกรวยทั่วไป

จุดตัดระหว่างกรวยวงรีกับทรงกลมเรียกว่าภาคตัดกรวยทรงกลมซึ่งมีคุณสมบัติหลายอย่างคล้ายคลึงกับภาคตัดกรวยระนาบ

การจำแนกประเภทออกเป็นรูปวงรี รูปพาราโบลา และรูปไฮเปอร์โบลา เป็นสิ่งที่พบเห็นได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์ และมักจะแบ่งสาขาหนึ่งออกเป็นสาขาย่อยที่แตกต่างกันอย่างชัดเจน การจำแนกประเภทนี้ส่วนใหญ่เกิดจากการมีรูปแบบกำลังสอง (ในสองตัวแปร รูปแบบนี้จะสอดคล้องกับตัวแยกแยะ ที่เกี่ยวข้อง ) แต่ก็อาจสอดคล้องกับค่าความเยื้องศูนย์ได้เช่นกัน

การจำแนกประเภทของรูปแบบกำลังสอง:

รูปแบบกำลังสอง

รูปแบบกำลังสองบนจำนวนจริงถูกจำแนกโดยกฎความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์กล่าวคือ ตามดัชนีบวก ดัชนีศูนย์ และดัชนีลบ: รูปแบบกำลังสองในตัวแปรสามารถแปลงเป็นรูปแบบทแยงมุมได้ดังนี้ โดยที่จำนวนสัมประสิทธิ์ +1 คือดัชนีบวก จำนวนสัมประสิทธิ์ −1 คือดัชนีลบ และตัวแปรที่เหลือคือดัชนีศูนย์ดังนั้นในสองตัวแปร รูปแบบกำลังสองที่ไม่เป็นศูนย์ถูกจำแนกดังนี้: ${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\cdots -x_{k+\ell }^{2},}$${\displaystyle k,}$${\displaystyle \ell ,}$${\displaystyle m,}$${\displaystyle k+\ell +m=n.}$

• ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$— เมทริกซ์บวกแน่นอน (รวมถึงเมทริกซ์ลบด้วย) ซึ่งสอดคล้องกับรูปวงรี
• ${\displaystyle x^{2}}$— เสื่อมสภาพ สอดคล้องกับพาราโบลา และ
• ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$— ไม่แน่นอน สอดคล้องกับไฮเปอร์โบลา

ในตัวแปรสองตัว รูปแบบกำลังสองจะถูกจำแนกโดยใช้ตัวแยกแยะ คล้ายกับรูปทรงกรวย แต่ในมิติที่สูงกว่า การจำแนกที่มีประโยชน์มากกว่าคือ แบบแน่นอน (ค่าบวกทั้งหมดหรือค่าลบทั้งหมด) แบบเสื่อม สภาพ (มีบางส่วนเป็นศูนย์) หรือแบบไม่แน่นอน (มีทั้งค่าบวกและค่าลบแต่ไม่มีศูนย์) การจำแนกประเภทนี้เป็นพื้นฐานของการจำแนกประเภทอื่นๆ ที่จะตามมา

ความโค้ง

ความโค้งเกาส์เซียนของพื้นผิวอธิบายเรขาคณิตระดับอนันต์ และ ณ แต่ละจุดอาจเป็นค่าบวก – เรขาคณิตวงรี , ศูนย์ – เรขาคณิตยุคลิด (ระนาบ, พาราโบลา) หรือค่าลบ – เรขาคณิตไฮเปอร์โบลาในระดับอนันต์ ในลำดับที่สอง พื้นผิวจะมีลักษณะคล้ายกราฟของ(หรือ 0) หรือที่จริงแล้ว ตามทฤษฎีบทการทำให้ เป็นเอกรูป พื้นผิวทุกพื้นผิวสามารถถือได้ว่ามีความโค้งเป็นบวก ระนาบ หรือความโค้งเป็นลบในระดับสากล (ที่ทุกจุด) ในมิติที่สูงกว่าเทนเซอร์ความโค้งรีมันน์เป็นวัตถุที่ซับซ้อนกว่า แต่แมนิโฟลด์ที่มีความโค้งภาคตัดขวางคงที่เป็นวัตถุที่น่าสนใจในการศึกษา และมีคุณสมบัติที่แตกต่างกันอย่างน่าทึ่ง ดังที่ได้กล่าวไว้ในหัวข้อความโค้งภาคตัดขวาง${\displaystyle x^{2}+y^{2},}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$

อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDEs) อันดับสองจะถูกจำแนกตามแต่ละจุดเป็นแบบวงรี แบบพาราโบลา หรือแบบไฮเปอร์โบลา โดยขึ้นอยู่กับว่าพจน์อันดับสองของสมการนั้นสอดคล้องกับรูปแบบกำลังสองแบบวงรี แบบพาราโบลา หรือแบบไฮเปอร์โบลา พฤติกรรมและทฤษฎีของ PDEs ประเภทต่างๆ เหล่านี้แตกต่างกันอย่างมาก ตัวอย่างเช่นสมการปัวซงเป็นแบบวงรี สมการความร้อนเป็นแบบพาราโบลา และสมการคลื่นเป็นแบบไฮเปอร์โบลา

การจำแนกประเภทความผิดปกติทางโครงสร้างได้แก่:

การแปลงโมเบียส

การแปลงโมเบียสจริง (องค์ประกอบของPSL ₂ ( R )หรือการครอบคลุม 2 เท่าของมันSL ₂ ( R ) ) จะถูกจำแนกเป็นแบบวงรี แบบพาราโบลา หรือแบบไฮเปอร์โบลา ตามลำดับ โดยพิจารณาจากครึ่งร่องรอยหรือการสะท้อนการจำแนกตามความเยื้องศูนย์${\displaystyle 0\leq |\operatorname {tr} |/2<1,}$${\displaystyle |\operatorname {tr} |/2=1,}$${\displaystyle |\operatorname {tr} |/2>1,}$

อัตราส่วนความแปรปรวนต่อค่าเฉลี่ย

อัตราส่วนความแปรปรวนต่อค่าเฉลี่ยใช้จำแนกกลุ่มการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ที่สำคัญหลายกลุ่ม ได้แก่ การแจกแจงค่าคงที่แบบวงกลม (ความเยื้องศูนย์ 0) การแจกแจงทวินามแบบวงรีการแจกแจงปัวซงแบบพาราโบลา และการแจกแจงทวินามเชิงลบแบบไฮเปอร์โบลา รายละเอียดเพิ่มเติมจะกล่าวถึงใน หัวข้อ คูมูลัน ต์ของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องบางประเภท

• ส่วนตัดรูปกรวยแบบคอนโฟคอล
• เซอร์คัมโคนิกและอินโคนิก
• แวดวงผู้อำนวยการ
• ระบบพิกัดวงรี
• ชุดระยะห่างเท่ากัน
• พิกัดพาราโบลา
• ฟังก์ชันกำลังสอง
• ทรงกรวยทรงกลม

• Akopyan, AV; Zaslavsky, AA (2007). เรขาคณิตของภาคตัดกรวย . สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . ISBN 978-0-8218-4323-9.
• Artzy, Rafael (2008) [1965], เรขาคณิตเชิงเส้น , Dover, ISBN 978-0-486-46627-9
• Boyer, Carl B. (2004) [1956], ประวัติศาสตร์ของเรขาคณิตวิเคราะห์ , Dover, ISBN 978-0-486-43832-0
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), เรขาคณิต , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-59787-6
• Coxeter, HSM (1964), เรขาคณิตเชิงฉาย , Blaisdell, ISBN 9780387406237{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• Coxeter, HSM (1993), ระนาบฉายภาพจริง , Springer Science & Business Media
• Downs, JW (2003) [1993], ภาคตัดกรวยเชิงปฏิบัติ: คุณสมบัติทางเรขาคณิตของวงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลา , Dover, ISBN 0-486-42876-1
• อีฟส์, ฮาวาร์ด (1963), การสำรวจเรขาคณิต (เล่มหนึ่ง) , บอสตัน: อัลลิน แอนด์ เบคอน
• Glaeser, Georg ; Stachel, Hellmuth; Odehnal, Boris (2016), จักรวาลแห่งภาคตัดกรวย: จากชาวกรีกโบราณสู่พัฒนาการในศตวรรษที่ 21 , เบอร์ลิน: Springer
• ฮาร์ทมันน์, เอริช, เรขาคณิตวงกลมระนาบ, บทนำเกี่ยวกับระนาบโมเบียส, ลาเกร์ และมินคอฟสกี (PDF) , สืบค้นเมื่อ 20 กันยายน 2014(ไฟล์ PDF; 891 กิโลไบต์)
• Katz, Victor J. (1998), ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ / บทนำ (ฉบับที่ 2), Addison Wesley Longman, ISBN 978-0-321-01618-8
• เคนดิก, คีธ (2005), ภาคตัดกรวย , สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา , ISBN 978-0-88385-335-1
• Faulkner, TE (1952), เรขาคณิตเชิงฉาย (ฉบับที่ 2), เอดินบะระ: Oliver and Boyd, ISBN 9780486154893{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• Merserve, Bruce E. (1983) [1959], แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต , Dover, ISBN 0-486-63415-9
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), แคลคูลัสระดับวิทยาลัยพร้อมเรขาคณิตวิเคราะห์ (ฉบับที่ 2), เรดดิง: Addison-Wesley , LCCN  76087042
• Richter-Gebert, Jürgen (2011). มุมมองเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงฉาย: คู่มือแนะนำเรขาคณิตจริงและเรขาคณิตเชิงซ้อน . Springer. ISBN 9783642172854.
• Samuel, Pierre (1988), เรขาคณิตเชิงฉาย , ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี (บทอ่านในวิชาคณิตศาสตร์), นิวยอร์ก: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
• Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry (ฉบับที่ห้า), Addison-Wesley, หน้า 434, ISBN 0-201-07540-7
• วิลสัน, วอชิงตัน; เทรซีย์, จีไอ (1925), เรขาคณิตวิเคราะห์ (ฉบับปรับปรุง), ดีซี ฮีธ แอนด์ คอมพานี

วิกิมีเดียคอมมอน ส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับภาคตัดกรวย

วิกิบุ๊กมีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อ: ภาคตัดกรวย

วิกิซอร์ซมีเนื้อหาจาก บทความ สารานุกรมบริแทนนิกา ค.ศ. 1911เรื่อง " Conic Section "

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ภาคตัดกรวย" . แมธเวิลด์ .
• การปรากฏของรูปทรงกรวย รูปทรงกรวยในธรรมชาติและที่อื่นๆ