ในพีชคณิตสมการกำลังสามในตัวแปรเดียว คือสมการที่มีรูปแบบ ซึ่งaไม่เป็นศูนย์ $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$$

คำตอบของสมการนี้เรียกว่ารากของฟังก์ชันกำลังสามที่กำหนดโดยด้านซ้ายของสมการ ถ้าสัมประสิทธิ์a , b , cและdของสมการกำลังสามเป็นจำนวนจริง ทั้งหมด สมการนั้นจะมีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก (ซึ่งเป็นจริงสำหรับฟังก์ชันพหุนาม ดีกรีคี่ทั้งหมด ) สามารถหารากทั้งหมดของสมการกำลังสามได้โดยวิธีต่อไปนี้:

• ในทางพีชคณิต : กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น สมการเหล่านี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตรกำลังสามซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ทั้งสี่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ พื้นฐานสี่อย่าง ได้แก่รากที่สองและรากที่สาม (ซึ่งเป็นจริงสำหรับสมการกำลังสอง (ดีกรีสอง) และ สมการ กำลังสี่ (ดีกรีสี่) แต่ไม่เป็นจริงสำหรับสมการที่มีดีกรีสูงกว่า ตามทฤษฎีบทของอาเบล-รัฟฟินี )
• ในเชิงเรขาคณิต : โดยใช้วิธีของโอมาร์ คัยยัม
• ตรีโกณมิติ
• สามารถหาค่า ประมาณเชิงตัวเลขของรากได้โดยใช้อัลกอริธึมการหาค่ารากเช่นวิธีของนิวตัน

สัมประสิทธิ์ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนจริง เนื้อหาส่วนใหญ่ที่กล่าวถึงด้านล่างนี้ใช้ได้กับสัมประสิทธิ์ในฟิลด์ ใดๆ ที่มีลักษณะ เฉพาะนอกเหนือจาก 2 และ 3 คำตอบของสมการกำลังสามไม่จำเป็นต้องอยู่ในฟิลด์เดียวกันกับสัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสามบางสมการที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ อาจมีราก เป็นจำนวนเชิงซ้อนอ ตรรก ยะ (และอาจไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ)

สมการกำลังสามเป็นที่รู้จักกันในหมู่ชาวบาบิโลนโบราณ ชาวกรีก ชาวจีน ชาวอินเดีย และชาวอียิปต์^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} มีการค้นพบแผ่นจารึกอักษรลิ่มของชาวบาบิโลน (ศตวรรษที่ 20 ถึง 16 ก่อนคริสต์ศักราช) ซึ่งมีตารางสำหรับคำนวณกำลังสามและรากที่สาม ^{[ 4 ] [ 5 ]}ชาวบาบิโลนอาจใช้ตารางเหล่านี้เพื่อแก้สมการกำลังสาม แต่ไม่มีหลักฐานใดที่ยืนยันว่าพวกเขาทำเช่นนั้น^{[ 6 ]}ปัญหาของการเพิ่มกำลังสามเป็นสองเท่าเกี่ยวข้องกับสมการกำลังสามที่ง่ายที่สุดและเก่าแก่ที่สุดที่ได้รับการศึกษา และเป็นปัญหาที่ชาวอียิปต์โบราณไม่เชื่อว่าจะมีคำตอบ^{[ 7 ]}ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราชฮิปโปเครติสได้ลดปัญหานี้ให้เหลือเพียงการหาค่าเฉลี่ยสัดส่วนสองค่าระหว่างเส้นตรงเส้นหนึ่งกับอีกเส้นหนึ่งที่มีความยาวเป็นสองเท่า แต่ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ด้วยการสร้างโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด^{[ 8 ]}ซึ่งปัจจุบันเป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นไปไม่ได้วิธีการแก้สมการกำลังสามปรากฏอยู่ในหนังสือ "เก้าบทว่าด้วยศิลปะคณิตศาสตร์"ซึ่ง เป็นตำรา คณิตศาสตร์ของจีนที่รวบรวมขึ้นในช่วงศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช และมีคำอธิบายเพิ่มเติมโดยหลิวฮุยในศตวรรษที่ 3 ^{[ 2 ]}

ในศตวรรษที่ 3 หลังคริสต์ศักราชนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อไดโอแฟนตัสได้ค้นพบคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะสำหรับสมการกำลังสามสองตัวแปรบางสมการ ( สมการไดโอแฟนไทน์ ) ^{[ 3 ] [ 9 ]} เชื่อกันว่า ฮิปโปเครติส เมนาเอคมัสและอาร์คิมิดีสเกือบจะแก้ปัญหาการเพิ่มกำลังสามเป็นสองเท่าโดยใช้ภาคตัดกรวยที่ตัดกันได้สำเร็จ[ 8 ^{]แม้ว่านัก}ประวัติศาสตร์อย่างเรวิเอล เน็ตซ์ จะโต้แย้งว่าชาวกรีกกำลังคิดถึงสมการกำลังสามหรือเพียงแค่ปัญหาที่สามารถนำไปสู่สมการกำลังสามได้ก็ตาม คนอื่นๆ เช่นทีแอล ฮีธผู้แปลงานทั้งหมดของอาร์คิมิดีส ไม่เห็นด้วย โดยนำเสนอหลักฐานว่าอาร์คิมิดีสแก้สมการกำลังสามโดยใช้การตัดกันของภาคตัดกรวยสองภาค ได้จริง แต่ยังได้กล่าวถึงเงื่อนไขที่รากเป็น 0, 1 หรือ 2 ด้วย^{[ 10 ]}

ในศตวรรษที่ 7 หวังเสี่ยว ถ งนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์แห่งราชวงศ์ถังได้ตั้งและแก้สมการกำลังสาม 25 สมการในรูปแบบx³ ⁺ px² + ^qx = N อย่างเป็นระบบ ในตำราคณิตศาสตร์ชื่อJigu Suanjingโดย 23 สมการมีp , q ≠ 0และ 2 สมการมีq = 0 ^{[ 11 ]}

ในศตวรรษที่ 11 นักกวีและนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียโอมาร์ คัยยัม (ค.ศ. 1048–1131) ได้สร้างความก้าวหน้าอย่างมากในทฤษฎีสมการกำลังสาม ในบทความแรกๆ เขาค้นพบว่าสมการกำลังสามสามารถมีคำตอบได้มากกว่าหนึ่งคำตอบ และระบุว่าไม่สามารถแก้ได้โดยใช้การสร้างด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด เขายังพบวิธีแก้ปัญหาทางเรขาคณิตอีกด้วย^{[ 12 ] [ a ]} ​​ในงานเขียนชิ้นหลังของเขาตำราว่าด้วยการสาธิตปัญหาของพีชคณิตเขาได้เขียนการจำแนกสมการกำลังสามอย่างสมบูรณ์พร้อมวิธีแก้ปัญหาทางเรขาคณิตทั่วไปที่พบโดยวิธีการตัดภาคตัดกรวย[ 13 ^{] [ 14 ]คัย}ยัมพยายามคิดค้นสูตรพีชคณิตสำหรับการหาค่ารากกำลังสาม เขาเขียนว่า:

“เราพยายามแสดงรากเหล่านี้ด้วยพีชคณิตแต่ก็ล้มเหลว อย่างไรก็ตาม อาจเป็นไปได้ว่าคนรุ่นหลังจะประสบความสำเร็จ” ^{[ 15 ]}

^{ในศตวรรษที่ 12 นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย Bhaskara II พยายามแก้สมการกำลังสามโดยไม่ ประสบ}ความสำเร็จโดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม เขาได้ยกตัวอย่างสมการกำลังสามหนึ่งตัวอย่างคือx³ + 12x = 6x² + 35 [ ^{16 ] ใน}ศตวรรษที่ 12 นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซีย^อีก คนหนึ่ง Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135–1213) ได้เขียนAl-Muʿādalāt ( ตำราว่าด้วยสมการ ) ซึ่งกล่าวถึงสมการกำลังสามแปดประเภทที่มีคำตอบเป็นบวกและสมการกำลังสามห้าประเภทที่อาจไม่มีคำตอบเป็นบวก เขาใช้วิธีที่ต่อมาจะรู้จักกันในชื่อวิธี Horner–Ruffiniเพื่อประมาณค่ารากของสมการกำลังสามในเชิงตัวเลข เขายังใช้แนวคิดของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของเส้นโค้งเพื่อแก้สมการกำลังสามที่อาจไม่มีคำตอบเป็นบวก^{[ 17 ]}เขาเข้าใจความสำคัญของ ดิสคริมิ แนนต์ของสมการลูกบาศก์เพื่อหาคำตอบเชิงพีชคณิตสำหรับสมการลูกบาศก์บางประเภท^{[ 18 ]}

ในหนังสือFlos ของเขา Leonardo de Pisa หรือที่รู้จักกันในชื่อFibonacci (1170–1250) สามารถประมาณค่าคำตอบบวกของสมการกำลังสาม x³ + 2x² + 10x = 20 ได้อย่างใกล้เคียง^โดยเขียนในระบบเลขฐานหกสิบเขาได้ให้ผลลัพธ์เป็น 1, 22, 7, 42, 33, 4, 40 (เทียบเท่ากับ 1 + 22/60 + ^{7 /}  60² + ⁴²  /60³ + ³³ /  60⁴ + ⁴ /60⁵  + 40/ ^60⁶ ) ซึ่งมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ประมาณ^{10⁻⁹ [ 19 ]}

^{ในช่วงต้นศตวรรษ ที่} 16 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีสคิปิโอเน เดล เฟอร์โร (ค.ศ. 1465–1526) ค้นพบวิธีการแก้สมการกำลังสามประเภทหนึ่ง นั่นคือสมการในรูปแบบx³ + mx = nอันที่จริงแล้ว สมการกำลังสามทั้งหมดสามารถลดรูปให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้ หากอนุญาตให้mและnเป็นค่าลบ แต่ ในเวลานั้นเขายังไม่รู้จัก จำนวนลบ เดล เฟอร์โรเก็บความสำเร็จนี้เป็นความลับจนกระทั่งก่อนเสียชีวิตไม่นาน เขาจึงเล่าให้ศิษย์ของเขา อันโตนิโอ ฟิออร์ ฟัง

ในปี ค.ศ. 1535 นิโคโล ทาร์ตาเกลีย (ค.ศ. 1500–1557) ได้รับโจทย์สมการกำลังสามสองข้อจากซูอานเน ดา คอยและประกาศว่าเขาสามารถแก้ได้ ไม่นานนักเขาก็ถูกท้าทายโดยฟิออร์ ซึ่งนำไปสู่การแข่งขันอันโด่งดังระหว่างทั้งสอง ผู้เข้าแข่งขันแต่ละคนต้องวางเงินจำนวนหนึ่งและเสนอโจทย์ให้คู่แข่งแก้ ใครก็ตามที่แก้โจทย์ได้มากกว่าภายใน 30 วัน จะได้รับเงินทั้งหมด ทาร์ตาเกลียได้รับโจทย์ในรูปแบบ^{x³ +} mx = nซึ่งเขาได้คิดค้นวิธีการทั่วไปไว้แล้ว ส่วนฟิออร์ได้รับโจทย์ในรูปแบบx³ + mx² ⁼ n ซึ่งพิสูจน์แล้วว่ายากเกินกว่าที่เขาจะแก้ได้ และทาร์ตาเกลีย ก็ชนะการแข่งขัน

ต่อมา ทาร์ตาเกลียถูกเจโรลาโม คาร์ดาโน (1501–1576) ชักชวนให้เปิดเผยความลับในการแก้สมการกำลังสาม ในปี 1539 ทาร์ตาเกลียยอมเปิดเผยโดยมีเงื่อนไขว่าคาร์ดาโนจะไม่เปิดเผยความลับนั้น และหากเขาเขียนหนังสือเกี่ยวกับสมการกำลังสาม เขาจะต้องให้เวลาทาร์ตาเกลียในการตีพิมพ์ หลายปีต่อมา คาร์ดาโนได้ทราบถึงผลงานก่อนหน้าของเดล เฟอร์โร และตีพิมพ์วิธีการของเดล เฟอร์โรในหนังสือArs Magna ของเขา ในปี 1545 ซึ่งหมายความว่าคาร์ดาโนให้เวลาทาร์ตาเกลียหกปีในการตีพิมพ์ผลงานของเขา (โดยให้เครดิตแก่ทาร์ตาเกลียในฐานะผู้คิดค้นวิธีแก้ปัญหาอย่างอิสระ)

คำสัญญาของคาร์ดาโนต่อทาร์ตาเกลียระบุว่าเขาจะไม่ตีพิมพ์ผลงานของทาร์ตาเกลีย และคาร์ดาโนรู้สึกว่าเขากำลังตีพิมพ์ผลงานของเดล เฟอร์โร เพื่อหลีกเลี่ยงคำสัญญานั้น อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ทำให้ทาร์ตาเกลียท้าทายคาร์ดาโน ซึ่งคาร์ดาโนปฏิเสธ ในที่สุดโลโดวิโก เฟอร์รารี (1522–1565) ศิษย์ของคาร์ดาโนก็รับคำท้า เฟอร์รารีทำได้ดีกว่าทาร์ตาเกลียในการแข่งขัน และทาร์ตาเกลียก็สูญเสียทั้งชื่อเสียงและรายได้^{[ 20 ]}

คาร์ดาโนสังเกตเห็นว่าวิธีการของทาร์ตาเกลียบางครั้งจำเป็นต้องดึงรากที่สองของจำนวนลบออกมา เขายังรวมการคำนวณด้วยจำนวนเชิงซ้อน เหล่านี้ไว้ ในArs Magna ด้วย แต่เขาไม่ได้เข้าใจมันอย่างแท้จริงราฟาเอล บอมเบลลีศึกษาประเด็นนี้อย่างละเอียด^{[ 21 ]}และจึงมักถูกพิจารณาว่าเป็นผู้ค้นพบจำนวนเชิงซ้อน

François Viète (1540–1603) ได้ทำการหาคำตอบตรีโกณมิติสำหรับสมการกำลังสามที่มีรากจริงสามรากโดยอิสระ และRené Descartes (1596–1650) ได้ขยายผลงานของ Viète ^{[ 22 ]}

ถ้าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสามเป็นจำนวนตรรกยะเราสามารถหาสมการที่เทียบเท่ากันซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มได้ โดยการคูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วยตัวคูณร่วมของตัวส่วน สมการที่มีสัมประสิทธิ์ เป็น จำนวนเต็มดังกล่าว เรียกว่าสมการที่สามารถลดรูปได้ถ้าพหุนามทางด้านซ้ายมือเป็นผลคูณของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า ตามทฤษฎีบทของเกาส์ถ้าสมการสามารถลดรูปได้ เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าตัวประกอบมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}$$

การหาคำตอบของสมการกำลังสามที่สามารถลดรูปได้นั้นง่ายกว่าการแก้สมการทั่วไป อันที่จริง ถ้าสมการสามารถลดรูปได้ ตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งจะต้องมีดีกรีหนึ่ง และดังนั้นจึงมีรูปแบบ ที่qและpเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วมกันการทดสอบรากตรรกยะช่วยให้สามารถหาค่าqและp ได้ โดยการตรวจสอบกรณีจำนวนจำกัด (เนื่องจากqต้องเป็นตัวหารของaและpต้องเป็นตัวหารของd ) $${\displaystyle qx-p,}$$

ดังนั้น รากหนึ่งคือและรากอื่นๆ คือรากของตัวประกอบอีกตัวหนึ่ง ซึ่งสามารถหาได้โดยการหารยาวพหุนามตัวประกอบอีกตัวหนึ่งนี้คือ (สัมประสิทธิ์ดูเหมือนจะไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่ต้องเป็นจำนวนเต็มหากเป็นราก ) ${\displaystyle \textstyle x_{1}={\frac {p}{q}},}$$${\displaystyle {\frac {a}{q}}\,x^{2}+{\frac {bq+ap}{q^{2}}}\,x+{\frac {cq^{2}+bpq+ap^{2}}{q^{3}}}.}$$${\displaystyle p/q}$

จากนั้น รากอื่นๆ จะเป็นรากของพหุนามกำลังสอง นี้ และสามารถหาได้โดยใช้ สูตร กำลัง สอง

ลูกบาศก์ที่มีรูปแบบดัง กล่าวเรียกว่าลูกบาศก์ยุบตัว มันเรียบง่ายกว่าลูกบาศก์ทั่วไปมาก แต่มีความสำคัญพื้นฐาน เพราะการศึกษาลูกบาศก์ใดๆ ก็สามารถลดทอนลงได้โดยการเปลี่ยนตัวแปร อย่างง่ายๆ ไปเป็นการศึกษาลูกบาศก์ยุบตัว $${\displaystyle t^{3}+pt+q}$$

ให้ เป็นสมการกำลังสาม การเปลี่ยนตัวแปร ทำให้ได้สมการกำลังสาม (ในt ) ที่ไม่มีพจน์ในt ²อันที่จริงคือจุดเปลี่ยนเว้าของสมการกำลังสามเดิม (จุดที่ความโค้งเปลี่ยนเครื่องหมาย) ดังนั้นการแปลงจึงทำให้สมการกำลังสามอยู่ตรงกลางรอบจุดเปลี่ยนเว้า $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$$$${\displaystyle x=t-{\frac {b}{3a}}}$$${\displaystyle x=-{\frac {b}{3a}}}$

หลังจากหารด้วยค่าหนึ่ง แล้ว จะได้สมการกำลังสามที่ลดลง ด้วย $${\displaystyle t^{3}+pt+q=0,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}t={}&x+{\frac {b}{3a}}\\p={}&{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}\\q={}&{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.\end{aligned}}}$$

รากของสมการดั้งเดิมมีความสัมพันธ์กับรากของสมการที่ลดทอนลงโดย ความ สัมพันธ์ สำหรับ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3}}$$${\displaystyle x_{i}=t_{i}-{\frac {b}{3a}},}$$${\displaystyle i=1,2,3}$

ลักษณะ (จริงหรือไม่ แตกต่างหรือไม่) ของรากของสมการกำลังสามสามารถระบุได้โดยไม่ต้องคำนวณโดยตรง โดยใช้ตัว แยกแยะ

ตัวแยกแยะของพหุนามเป็นฟังก์ชันของสัมประสิทธิ์ของพหุนามนั้น ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อพหุนามนั้นมีรากซ้ำหรือหารลงตัวด้วยกำลังสองของพหุนามที่ไม่ใช่ค่าคงที่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวแยกแยะจะมีค่าไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อพหุนามนั้นไม่มีตัวประกอบกำลังสอง

ถ้าr ₁ , r ₂ , r ₃เป็นราก ทั้งสาม (ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกันและไม่ใช่จำนวนจริง ) ของสมการกำลังสามแล้ว ค่าดิสครีมิแนนต์คือ ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$$${\displaystyle a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}.}$$

ค่าดิสครีมิแนนต์ของลูกบาศก์ที่ยุบตัวคือ ${\displaystyle t^{3}+pt+q}$$${\displaystyle -\left(4\,p^{3}+27\,q^{2}\right).}$$

ตัวแยกแยะของจำนวนลูกบาศก์ทั่วไปคือ ซึ่งเป็นผลคูณของและตัวแยกแยะของจำนวนลูกบาศก์ลดระดับที่สอดคล้องกัน โดยใช้สูตรที่เชื่อมโยงจำนวนลูกบาศก์ทั่วไปและจำนวนลูกบาศก์ลดระดับที่เกี่ยวข้อง ซึ่งหมายความว่าตัวแยกแยะของจำนวนลูกบาศก์ทั่วไปสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$$${\displaystyle 18\,abcd-4\,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4\,ac^{3}-27\,a^{2}d^{2}.}$$${\displaystyle a^{4}}$$${\displaystyle {\frac {4(b^{2}-3ac)^{3}-(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}}{27a^{2}}}.}$$

ดังนั้น ค่าดิสครีมิแนนต์ค่าใดค่าหนึ่งในสองค่านี้จะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออีกค่าหนึ่งเป็นศูนย์ด้วย และถ้าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงค่าดิสครีมิแนนต์ทั้งสองจะมีเครื่องหมายเดียวกัน สรุปได้ว่า ข้อมูลเดียวกันสามารถอนุมานได้จากค่าดิสครีมิแนนต์ค่าใดค่าหนึ่งในสองค่านี้

เพื่อพิสูจน์สูตรข้างต้น เราสามารถใช้สูตรของ Vietaเพื่อแสดงทุกอย่างเป็นพหุนามในr ₁ , r ₂ , r ₃และaได้ จากนั้นการพิสูจน์จะนำไปสู่การตรวจสอบความเท่าเทียมกันของพหุนามสองตัว

ถ้าสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนจริงและค่าดิสครีมิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ จะมีสองกรณีดังนี้: ${\displaystyle \Delta }$

• ถ้าสมการกำลังสามมีราก จริงที่แตกต่างกันสามราก${\displaystyle \Delta >0,}$
• ถ้า สมการกำลังสามมีรากจริงหนึ่งรากและ รากเชิงซ้อนสังยุคที่ไม่ใช่จำนวนจริงสอง ราก${\displaystyle \Delta <0,}$

สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้ ขั้นแรก ถ้าrเป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงแล้วจำนวนเชิงซ้อนสังยุค ของ r นั้น ก็จะเป็นรากด้วย ดังนั้น รากที่ไม่ใช่จำนวนจริง ถ้ามี จะปรากฏเป็นคู่ของรากเชิงซ้อนสังยุค เนื่องจากพหุนามกำลังสามมีรากสามราก (ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน) ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตอย่างน้อยหนึ่งรากจะต้องเป็นจำนวนจริง

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ถ้าr ₁ , r ₂ , r ₃เป็นรากทั้งสามของกำลังสามแล้ว ค่าดิสครีมิแนนต์คือ ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$$${\displaystyle \Delta =a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}}$$

ถ้ารากทั้งสามเป็นจำนวนจริงและแตกต่างกัน ตัวแยกแยะจะเป็นผลคูณของจำนวนจริงบวก นั่นคือ${\displaystyle \Delta >0.}$

ถ้ามีเพียงรากเดียว เช่นr ₁ที่เป็นจำนวนจริงr ₂และr ₃จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุค ซึ่งหมายความว่าr ₂ − r ₃เป็นจำนวนจินตนาการล้วนๆและดังนั้น( r ₂ − r ₃ ) ²จะเป็นจำนวนจริงและเป็นลบ ในทางกลับกันr ₁ − r ₂และr ₁ − r ₃เป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุค และผลคูณของพวกมันจะเป็นจำนวนจริงและเป็นบวก^{[ 23 ]}ดังนั้น ตัวแยกแยะจึงเป็นผลคูณของจำนวนลบหนึ่งตัวกับจำนวนบวกหลายตัว นั่นคือ${\displaystyle \Delta <0.}$

ถ้าดิสคริมิแนนต์ของจำนวนกำลังสามเป็นศูนย์ จำนวนกำลังสามนั้นจะมีรากซ้ำและถ้าสัมประสิทธิ์ของจำนวนนั้นเป็นจำนวนจริง รากทั้งหมดของจำนวนนั้นก็จะเป็นจำนวนจริงด้วย

ค่าดิสครีมิแนนต์ของสมการกำลังสามที่ลดลงจะเป็นศูนย์ ถ้าp เป็นศูนย์ด้วย แล้วp = q = 0และ 0 เป็นรากสามเท่าของสมการกำลังสาม ถ้าและp ≠ 0แล้วสมการกำลังสามจะมีรากเดี่ยว ${\displaystyle t^{3}+pt+q}$${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0.}$${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0,}$$${\displaystyle t_{1}={\frac {3q}{p}}}$$

และรากคู่ $${\displaystyle t_{2}=t_{3}=-{\frac {3q}{2p}}.}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ $${\displaystyle t^{3}+pt+q=\left(t-{\frac {3q}{p}}\right)\left(t+{\frac {3q}{2p}}\right)^{2}.}$$

ผลลัพธ์นี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการขยายผลคูณตัวหลัง หรือได้มาจากการแก้ระบบสมการ ที่ค่อนข้างง่าย ซึ่งได้มาจากสูตรของเวียตา

โดยใช้การลดรูปของลูกบาศก์ที่ยุบตัวลงผลลัพธ์เหล่านี้สามารถขยายไปสู่ลูกบาศก์ทั่วไปได้ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ถ้าดิสคริมิแนนต์ของลูกบาศก์เป็นศูนย์แล้ว ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

• หรือถ้าสมการกำลังสามมีรากสามตัวและ${\displaystyle b^{2}=3ac,}$$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\frac {b}{3a}},}$$$${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a\left(x+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}}$$
• หรือถ้าสมการกำลังสามมีรากซ้ำและรากเดี่ยวและดังนั้น${\displaystyle b^{2}\neq 3ac,}$$${\displaystyle x_{2}=x_{3}={\frac {9ad-bc}{2(b^{2}-3ac)}},}$$$${\displaystyle x_{1}={\frac {4abc-9a^{2}d-b^{3}}{a(b^{2}-3ac)}}.}$$$${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})^{2}.}$$

ผลลัพธ์ข้างต้นใช้ได้เมื่อสัมประสิทธิ์อยู่ในกลุ่มลักษณะเฉพาะที่ไม่ใช่ 2 หรือ 3 แต่จะต้องมีการปรับเปลี่ยนสำหรับกลุ่มลักษณะเฉพาะ 2 หรือ 3 เนื่องจากมีการหารด้วย 2 และ 3 เข้ามาเกี่ยวข้อง

การลดรูปเป็นกำลังสามแบบกดลงนั้นใช้ได้กับลักษณะเฉพาะ 2 แต่ใช้ไม่ได้กับลักษณะเฉพาะ 3 อย่างไรก็ตาม ในทั้งสองกรณี การสร้างและระบุผลลัพธ์สำหรับกำลังสามทั่วไปนั้นง่ายกว่า เครื่องมือหลักสำหรับสิ่งนั้นคือข้อเท็จจริงที่ว่ารากซ้ำซ้อนเป็นรากร่วมของพหุนามและอนุพันธ์เชิงรูป ของมัน ในลักษณะเฉพาะเหล่านี้ ถ้าอนุพันธ์ไม่ใช่ค่าคงที่ มันจะเป็นพหุนามเชิงเส้นในลักษณะเฉพาะ 3 และเป็นกำลังสองของพหุนามเชิงเส้นในลักษณะเฉพาะ 2 ดังนั้น สำหรับลักษณะเฉพาะ 2 หรือ 3 อนุพันธ์จะมีเพียงรากเดียวเท่านั้น ซึ่งทำให้สามารถคำนวณรากซ้ำซ้อนได้ และรากที่สามสามารถอนุมานได้จากผลรวมของราก ซึ่งได้มาจากสูตรของ Vieta

ความแตกต่างจากลักษณะอื่นๆ คือ ในลักษณะที่ 2 สูตรสำหรับรากที่สองเกี่ยวข้องกับรากที่สอง และในลักษณะที่ 3 สูตรสำหรับรากที่สามเกี่ยวข้องกับรากที่สาม

Gerolamo Cardanoได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้เผยแพร่สูตรแรกสำหรับการแก้สมการกำลังสาม โดยอ้างอิงถึงScipione del FerroและNiccolo Fontana Tartagliaสูตรนี้ใช้ได้กับสมการกำลังสามแบบลดทอน แต่ดังที่แสดงไว้ในหัวข้อ§ สมการกำลังสามแบบลดทอน สูตร นี้ยังสามารถแก้สมการกำลังสามทุกสมการได้ด้วย

ผลลัพธ์ของคาร์ดาโนคือ ถ้า เป็นสมการกำลังสามที่pและqเป็นจำนวนจริงโดยที่มีค่าเป็นบวก (ซึ่งหมายความว่าดิสครีมิแนนต์ ของสมการมีค่าเป็นลบ) แล้วสมการ จะ มีรากจริง โดยที่และเป็นจำนวนจริงสองจำนวนและ$${\displaystyle t^{3}+pt+q=0}$$${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{u_{1}}}+{\sqrt[{3}]{u_{2}}},}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle -{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}$${\displaystyle -{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}$

โปรดดูหัวข้อ § การหาค่ารากด้านล่าง สำหรับวิธีการต่างๆ ในการได้ผลลัพธ์นี้

ดังที่แสดงใน§ ลักษณะของราก ราก อีกสองรากเป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคที่ไม่ใช่จำนวนจริงในกรณีนี้ ต่อมาได้มีการแสดงให้เห็น (คาร์ดาโนไม่รู้จักจำนวนเชิงซ้อน ) ว่ารากอีกสองรากได้มาจากการคูณรากที่สามตัวหนึ่งด้วยรากที่สามดั้งเดิมของเอกภาพ และรากที่สามอีกตัวหนึ่งด้วยรากที่สามดั้งเดิมอีกตัวหนึ่งของเอกภาพนั่นคือ รากอีกตัวของสมการคือและ^{[ 24 ]}${\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},}$${\displaystyle \varepsilon _{2}=\varepsilon _{1}^{2}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$${\displaystyle \varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{u_{1}}}+\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{u_{2}}}}$${\displaystyle \varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{u_{1}}}+\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{u_{2}}}.}$

ถ้ามีรากจริงสามราก แต่ทฤษฎีของกาลัวส์พิสูจน์ได้ว่า ถ้าไม่มีรากตรรกยะ รากเหล่านั้นจะไม่สามารถแสดงได้ด้วยนิพจน์พีชคณิตที่เกี่ยวข้องเฉพาะจำนวนจริงเท่านั้น ดังนั้น สมการจึงไม่สามารถแก้ได้ในกรณีนี้ด้วยความรู้ในยุคของคาร์ดาโน กรณีนี้จึงถูกเรียกว่าcasus irreducibilisซึ่งหมายถึงกรณีที่ลดทอนไม่ได้ในภาษาละติน ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0,}$

ในกรณี casus irreducibilisสูตรของคาร์ดาโนยังคงใช้ได้ แต่ต้องระมัดระวังในการใช้รากที่สาม วิธีแรกคือการกำหนดสัญลักษณ์และแทนค่าหลักของฟังก์ชันราก (นั่นคือรากที่มีส่วนจริงมากที่สุด) ด้วยข้อตกลงนี้ สูตรของคาร์ดาโนสำหรับรากทั้งสามยังคงใช้ได้ แต่ไม่ใช่พีชคณิตล้วนๆ เพราะนิยามของส่วนหลักไม่ใช่พีชคณิตล้วนๆ เนื่องจากเกี่ยวข้องกับอสมการสำหรับการเปรียบเทียบส่วนจริง นอกจากนี้ การใช้รากที่สามหลักอาจให้ผลลัพธ์ที่ผิดพลาดหากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนจริง ยิ่งไปกว่านั้น หากสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ อื่น รากที่สามหลักก็จะไม่สามารถนิยามได้โดยทั่วไป ${\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$

วิธีที่สองในการทำให้สูตรของคาร์ดาโนถูกต้องเสมอ คือการสังเกตว่าผลคูณของรากที่สามทั้งสองต้องเป็น−p / 3ส่งผลให้รากหนึ่งของสมการคือ ในสูตรนี้ สัญลักษณ์ p และ p แทนรากที่สองและรากที่สามใดๆ รากอื่นๆ ของสมการได้มาจากการเปลี่ยนรากที่สาม หรือเทียบเท่ากับการคูณรากที่สามด้วยรากที่สามดั้งเดิมของเอกภาพ นั่นคือ$${\displaystyle C-{\frac {p}{3C}}\quad {\text{with}}\quad C={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$$${\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.}$

สูตรสำหรับรากนี้ถูกต้องเสมอ ยกเว้นเมื่อp = q = 0โดยมีข้อแม้ว่า ถ้าp = 0จะต้องเลือกรากที่สองเพื่อให้C ≠ 0อย่างไรก็ตาม สูตรของคาร์ดาโนนั้นไร้ประโยชน์หากรากเป็นรากที่สามของ ในทำนองเดียวกัน สูตรนี้ก็ไร้ประโยชน์ในกรณีที่ไม่จำเป็นต้องใช้รากที่สาม นั่นคือเมื่อพหุนามกำลังสามไม่สามารถแยก ตัวประกอบไม่ได้ ซึ่งรวมถึงกรณี${\displaystyle p=0,}$${\displaystyle -q.}$${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0.}$

สูตรนี้ถูกต้องเช่นกันเมื่อpและqอยู่ในกลุ่มคุณลักษณะใด ๆ ที่ไม่ใช่ 2 หรือ 3

สูตรกำลังสามสำหรับรากของสมการกำลังสามทั่วไป (โดยที่a ≠ 0 ) สามารถอนุมานได้จากสูตรของคาร์ดาโนทุกรูปแบบโดยการลดรูปเป็นสมการกำลังสามแบบลดรูปสูตรที่นำเสนอในที่นี้ใช้ได้ไม่เพียงแต่กับสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนเท่านั้น แต่ยังใช้ได้กับสัมประสิทธิ์a , b , c , d ที่อยู่ใน ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตใดๆที่มีลักษณะเฉพาะอื่นที่ไม่ใช่ 2 หรือ 3 ด้วย หากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง สูตรนี้จะครอบคลุมคำตอบเชิงซ้อนทั้งหมด ไม่ใช่เฉพาะคำตอบที่เป็นจำนวนจริงเท่านั้น $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$$

สูตรนี้ค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้นจึงควรแบ่งออกเป็นสูตรย่อยๆ

อนุญาต $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{0}&=b^{2}-3ac,\\\Delta _{1}&=2b^{3}-9abc+27a^{2}d.\end{aligned}}}$$

(ทั้งสองค่าสามารถแสดงได้ในรูปผลลัพธ์ของฟังก์ชันกำลังสามและอนุพันธ์ของมัน: คือ⁠${\displaystyle \Delta _{0}}$${\displaystyle \Delta _{1}}$${\displaystyle \Delta _{1}}$−1/8 ก.คูณ ด้วยผลลัพธ์ของกำลังสามและ อนุพันธ์อันดับสอง และคือ${\displaystyle \Delta _{0}}$−1/12 ก.(คูณด้วยผลลัพธ์ของอนุพันธ์อันดับแรกและอันดับสองของพหุนามกำลังสาม)

จากนั้นให้ สัญลักษณ์และถูกตีความว่าเป็น รากที่ สองและ รากที่สาม ใดๆตามลำดับ (จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ทุกจำนวนจะมีรากที่สองสองตัวและรากที่สามสามตัว) เครื่องหมาย " ± " หน้ารากที่สองคือ " + " หรือ " – " การเลือกนั้นแทบจะเป็นไปโดยพลการ และการเปลี่ยนเครื่องหมายจะเท่ากับการเลือกรากที่สองที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม หากการเลือกหนึ่งให้ผลลัพธ์C = 0 (ซึ่งเกิดขึ้นหาก) จะต้องเลือกเครื่องหมายอีกตัวแทน หากทั้งสองตัวเลือกให้ผลลัพธ์C = 0นั่นคือ ถ้าเศษส่วน⁠$${\displaystyle C={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}\pm {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}}{2}}},}$$${\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$${\displaystyle \Delta _{0}=0}$${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=0,}$0/0ปรากฏในสูตรต่อไปนี้ เศษส่วนนี้ต้องตีความว่าเท่ากับศูนย์ (ดูตอนท้ายของหัวข้อนี้) ด้วยข้อกำหนดเหล่านี้ รากตัวหนึ่งคือ $${\displaystyle x=-{\frac {1}{3a}}\left(b+C+{\frac {\Delta _{0}}{C}}\right).}$$

รากอีกสองตัวสามารถหาได้โดยการเปลี่ยนตัวเลือกของรากที่สามในนิยามของCหรือเทียบเท่ากับการคูณCด้วยรากที่สามดั้งเดิมของเอกภาพนั่นคือ⁠–1 ± √ –3/2กล่าวอีกนัยหนึ่ง รากทั้งสามคือ โดยที่ ξ = ⁠$${\displaystyle x_{k}=-{\frac {1}{3a}}\left(b+\xi ^{k}C+{\frac {\Delta _{0}}{\xi ^{k}C}}\right),\qquad k\in \{0,1,2\}{\text{,}}}$$–1 + √ –3/2⁠ .

สำหรับกรณีพิเศษของพหุนามกำลังสามที่ลดระดับลง สูตรนี้ใช้ได้ แต่จะไม่มีประโยชน์เมื่อรากสามารถแสดงได้โดยไม่ต้องใช้รากที่สาม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าสูตรแสดงว่ารากทั้งสามเท่ากันซึ่งหมายความว่าพหุนามกำลังสามสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นการคำนวณโดยตรงช่วยให้ตรวจสอบได้ว่าการมีอยู่ของการแยกตัวประกอบนี้เทียบเท่ากับ${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=0,}$${\displaystyle {\frac {-b}{3a}},}$${\displaystyle \textstyle a(x+{\frac {b}{3a}})^{3}.}$${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=0.}$

เมื่อสมการกำลังสามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากจริงสามราก สูตรที่แสดงรากเหล่านี้ในรูปของรากจะเกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนทฤษฎีของกาโลอิสช่วยให้พิสูจน์ได้ว่าเมื่อรากทั้งสามเป็นจำนวนจริง และไม่มีรากใดเป็นจำนวนตรรกยะ ( casus irreducibilis ) เราไม่สามารถแสดงรากในรูปของรากจริงได้ อย่างไรก็ตาม การแสดงออกของคำตอบที่เป็นจำนวนจริงล้วนๆ อาจได้มาจากการใช้ฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกโดยเฉพาะในรูปของโคไซน์และอาร์คโคไซน์ [ ^{25 ] กล่าว}โดยละเอียด รากของสมการกำลังสามที่ลดลง คือ^{[ 26 ]}$${\displaystyle t^{3}+pt+q=0}$$$${\displaystyle t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[\,{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\,\right]\qquad {\text{for }}k=0,1,2.}$$

สูตรนี้เป็นผลงานของFrançois Viète [ ^{22 ] มัน}เป็นสูตรจริงล้วนๆ เมื่อสมการมีรากจริงสามราก (นั่นคือ) มิฉะนั้น มันก็ยังถูกต้องอยู่ แต่เกี่ยวข้องกับโคไซน์และอาร์คโคไซน์เชิงซ้อนเมื่อมีรากจริงเพียงรากเดียว และมันไม่มีความหมาย (การหารด้วยศูนย์) เมื่อp = 0 ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0}$

สูตรนี้สามารถแปลงเป็นสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสามทั่วไปได้อย่างง่ายดาย โดยใช้การแทนค่าแบบย้อนกลับที่อธิบายไว้ในหัวข้อ§ กำลังสามแบบกดลง

สูตร นี้ สามารถพิสูจน์ ^ได้ดังนี้: เริ่มจากสมการt³ + pt + q = 0ให้เรากำหนดt = u cos θแนวคิดคือการเลือกuเพื่อให้สมการสอดคล้องกับเอกลักษณ์ สำหรับการนี้ ให้เลือกและหารสมการด้วย ซึ่งจะได้ เมื่อรวมกับเอกลักษณ์ข้างต้น จะได้ และรากจึงเป็นดังนี้  $${\displaystyle 4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -\cos(3\theta )=0.}$$${\displaystyle u=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,,}$${\displaystyle {\frac {u^{3}}{4}}.}$$${\displaystyle 4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -{\frac {3q}{2p}}\,{\sqrt {\frac {-3}{p}}}=0.}$$$${\displaystyle \cos(3\theta )={\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,,}$$$${\displaystyle t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\right]\qquad {\text{for }}k=0,1,2.}$$

เมื่อมีรากจริงเพียงรากเดียว (และp ≠ 0 ) รากนี้สามารถแสดงได้ในลักษณะเดียวกันโดยใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกเช่น^{[ 27 ] [ 28 ]} หากp ≠ 0และอสมการทางด้านขวาไม่เป็นไปตามเงื่อนไข (กรณีที่มีรากจริงสามราก) สูตรยังคงใช้ได้ แต่เกี่ยวข้องกับปริมาณเชิงซ้อน $${\displaystyle {\begin{aligned}t_{0}&=-2{\frac {|q|}{q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cosh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {-3|q|}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~4p^{3}+27q^{2}>0~{\text{ and }}~p<0,\\t_{0}&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~p>0.\end{aligned}}}$$

เมื่อp = ±3ค่าข้างต้นของt ₀บางครั้งเรียกว่ารากที่สามของเชบิเชฟ^{[ 29 ]} กล่าว ให้แม่นยำยิ่งขึ้น ค่าที่เกี่ยวข้องกับโคไซน์และโคไซน์ไฮเปอร์โบลิกจะกำหนดฟังก์ชันวิเคราะห์เดียวกัน เมื่อ p = −3 ซึ่ง แสดงด้วยC _1/3 ( q )ซึ่งเป็นรากที่สามของเชบิเชฟที่แท้จริง ค่าที่เกี่ยวข้องกับไซน์ไฮเปอร์โบลิกจะแสดงด้วยS _1/3 ( q ) ในทำนองเดียวกัน เมื่อp = 3

ในการ แก้สมการกำลังสาม^x³ + m²x = n โดยที่ n > 0 นั้นโอมาร์^คัยยัมได้สร้างพาราโบลาy = x² ^/ mวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นส่วนของเส้นตรง[0, n / m² ]บนแกนx ด้าน ^บวกและเส้นตรงแนวตั้งที่ลากผ่านจุดตัดระหว่างวงกลมและพาราโบลาเหนือ แกน xคำตอบจะหาได้จากความยาวของส่วนของเส้นตรงแนวนอนจากจุดกำเนิดไปยังจุดตัดระหว่างเส้นตรงแนวตั้งกับ แกน x (ดูรูปประกอบ)

การพิสูจน์แบบสมัยใหม่ที่เรียบง่ายมีดังนี้ คูณสมการด้วยx / m ²และจัดกลุ่มพจน์ใหม่จะได้ ด้านซ้ายมือคือค่าของy ²บนพาราโบลา สมการของวงกลมคือy ² + x ( x − ⁠$${\displaystyle {\frac {x^{4}}{m^{2}}}=x\left({\frac {n}{m^{2}}}-x\right).}$$n/ม^.2) = 0ด้านขวามือคือค่าของ y ²บนวงกลม

สมการกำลังสามที่มีสัมประสิทธิ์จริงสามารถแก้ได้ทางเรขาคณิตโดยใช้เข็มทิศ ไม้บรรทัดและตัวแบ่งมุมสามส่วนก็ต่อเมื่อมีรากจริงสามราก^{[ 30 ] : ทฤษฎีบท 1}

สมการกำลังสามสามารถแก้ได้โดยใช้การสร้างด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด (โดยไม่ต้องใช้ตัวแบ่งสามส่วน) ก็ต่อเมื่อสมการนั้นมี ราก เป็นจำนวนตรรกยะ เท่านั้น นี่หมายความว่าปัญหาเก่าแก่เกี่ยวกับการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนและการหาค่าสองเท่าของลูกบาศก์ซึ่งตั้งขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณนั้นไม่สามารถแก้ได้โดยใช้การสร้างด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด

นิพจน์ตรีโกณมิติของรากของ Viète ในกรณีรากจริงสาม รากเอื้อต่อการตีความทางเรขาคณิตในแง่ของวงกลม^{[ 22 ] [ 31 ]}เมื่อเขียนลูกบาศก์ในรูปแบบที่ลดลง( 2 ) t ³ + pt + q = 0ดังที่แสดงข้างต้น คำตอบสามารถแสดงได้ดังนี้

$${\displaystyle t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.}$$

นี่คือมุมหนึ่งในวงกลมหน่วยโดยกำหนดให้⁠${\displaystyle \arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)}$1/3มุม ดัง กล่าวเทียบเท่ากับ การหาค่ารากที่สามของจำนวนเชิงซ้อน แล้วบวกด้วย−k2π​/3สำหรับk = 1, 2จะหาค่ารากที่สามอื่นๆ และการคูณค่าโคไซน์ของมุมที่ได้เหล่านี้ด้วยกล่าวจะช่วยแก้ไขมาตราส่วนได้ ${\displaystyle 2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}}$

สำหรับกรณีที่ไม่ซึมเศร้า( 1 ) (แสดงในกราฟที่แนบมา) กรณีซึมเศร้าตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้จะได้รับโดยการกำหนดtให้x = t − ⁠ข/3 ก.ดังนั้นt = x +​​ข/3 ก.ในเชิงกราฟิก การทำเช่นนี้จะเทียบเท่ากับการเลื่อนกราฟในแนวนอนเมื่อเปลี่ยนตัวแปรระหว่าง tและ xโดยไม่เปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ของมุม การเลื่อนนี้จะย้ายจุดเปลี่ยนเว้าและจุดศูนย์กลางของวงกลมไปอยู่บน แกน y ดังนั้นผลรวมของรากของสมการใน tจึงเท่ากับศูนย์

เมื่อพล็อตกราฟของฟังก์ชันกำลังสามในระนาบคาร์ทีเซียนหากมีรากจริงเพียงรากเดียว รากนั้นจะเป็นค่าabscissa ( พิกัด x ) ของจุดตัดแกนแนวนอนของเส้นโค้ง (จุด R ในรูป) ยิ่งไปกว่านั้น^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}หากรากคู่ควบเชิงซ้อนเขียนเป็นg ± hiแล้วส่วนจริงgจะเป็นค่า abscissa ของจุดสัมผัส H ของเส้นสัมผัสของฟังก์ชันกำลังสามที่ผ่านจุด ตัดแกน x R ของฟังก์ชันกำลังสาม (นั่นคือความยาวที่มีเครื่องหมาย OM ซึ่งเป็นค่าลบในรูป) ส่วนจินตภาพ±hคือรากที่สองของแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้นสัมผัสนี้กับแกนแนวนอน

ด้วยรากจริงหนึ่งรากและรากเชิงซ้อนสองราก รากทั้งสามสามารถแทนด้วยจุดในระนาบเชิงซ้อนได้ เช่นเดียวกับรากทั้งสองของอนุพันธ์ของกำลังสาม มีความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตที่น่าสนใจระหว่างรากทั้งหมดเหล่านี้

จุดในระนาบเชิงซ้อนที่แทนรากทั้งสามนั้นทำหน้าที่เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (สามเหลี่ยมนี้เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเพราะรากหนึ่งอยู่บนแกนแนวนอน (แกนจริง) และรากอีกสองรากซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุค ปรากฏสมมาตรอยู่เหนือและใต้แกนจริง) ทฤษฎีบทของมาร์เดนกล่าวว่า จุดที่แทนรากของอนุพันธ์ของกำลังสามเป็นจุดโฟกัสของวงรีสไตเนอร์ของสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นวงรีเดียวที่สัมผัสกับสามเหลี่ยมที่จุดกึ่งกลางของด้านต่างๆ ถ้ามุมที่จุดยอดบนแกนจริงน้อยกว่า⁠π/3ดังนั้นแกนเอกของวงรีจึงอยู่บนแกนจริง เช่นเดียวกับจุดโฟกัสและรากของอนุพันธ์ ถ้ามุมนั้นมากกว่า ⁠π/3แกนเอกเป็นแนวตั้ง และจุดโฟกัส ซึ่งเป็นรากของอนุพันธ์ เป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุค และถ้ามุมนั้นคือπ/3เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า วงรีสไตเนอร์จึงเป็นเพียงวงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยม จุดโฟกัสของวงรีแนบในทั้งสองจะตรงกันที่จุดศูนย์กลางของวงรีแนบใน ซึ่งอยู่บนแกนจริง ดังนั้นอนุพันธ์จึงมีรากจริงซ้ำกันสองราก

เมื่อกำหนดพหุนามกำลังสามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เหนือฟิลด์Kที่มีลักษณะเฉพาะแตกต่างจาก 2 และ 3 กลุ่มกาโลอิสเหนือKคือกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์ที่ตรึงKของส่วนขยายที่เล็กที่สุดของK ( ฟิลด์แยกตัวประกอบ ) เนื่องจากออโตมอร์ฟิซึมเหล่านี้ต้องสลับรากของพหุนาม กลุ่มนี้จึงเป็นกลุ่มS ₃ของการสลับทั้งหกแบบของรากทั้งสาม หรือกลุ่มA ₃ของการสลับแบบวงกลมสามแบบ

ตัวแยกแยะΔของกำลังสามคือค่ากำลังสองของ โดยที่aคือสัมประสิทธิ์นำของกำลังสาม และr ₁ , r ₂และr ₃คือรากทั้งสามของกำลังสาม เนื่องจากจะเปลี่ยนเครื่องหมายหากสลับรากสองตัว จึงถูกกำหนดโดยกลุ่มกาโลอิสก็ต่อเมื่อกลุ่มกาโลอิสเป็น A ₃เท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง กลุ่มกาโลอิสเป็นA ₃ก็ต่อเมื่อตัวแยกแยะเป็นค่ากำลังสองของสมาชิกในกลุ่ม K$${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}=a^{2}(r_{1}-r_{2})(r_{1}-r_{3})(r_{2}-r_{3}),}$$${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$

เนื่องจากจำนวนเต็มส่วนใหญ่ไม่ใช่กำลังสอง เมื่อทำงานบนฟิลด์Qของจำนวนตรรกยะกลุ่มกาโลอิสของพหุนามกำลังสามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ส่วนใหญ่คือกลุ่มS ₃ที่มีสมาชิกหกตัว ตัวอย่างของกลุ่มกาโลอิสA ₃ที่มีสมาชิกสามตัวคือp ( x ) = x ³ − 3 x − 1ซึ่งดิสคริมิแนนต์คือ81 = 9 ²

ส่วนนี้รวบรวมวิธีการต่างๆ ในการได้มาซึ่งสูตรของคาร์ดาโน

วิธีการนี้เป็นผลงานของScipione del FerroและTartagliaแต่ได้รับการตั้งชื่อตามGerolamo Cardanoผู้ซึ่งตีพิมพ์วิธีการนี้เป็นครั้งแรกในหนังสือArs Magna ของเขา (ปี 1545)

วิธีนี้ใช้ได้กับสมการกำลังสามแบบลดระดับt ³ + pt + q = 0แนวคิดคือการแนะนำตัวแปรสองตัวคือuและโดยที่และแทนค่านี้ลงในสมการกำลังสามแบบลดระดับ ซึ่งจะได้ ${\displaystyle v}$${\displaystyle u+v=t}$$${\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.}$$

ณ จุดนี้ คาร์ดาโนได้กำหนดเงื่อนไขนี้ ซึ่งจะลบพจน์ที่สามในความเท่าเทียมกันก่อนหน้านี้ออกไป ส่งผลให้ได้ระบบสมการดังต่อไปนี้ ${\displaystyle 3uv+p=0.}$$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{3}+v^{3}&=-q\\uv&=-{\frac {p}{3}}.\end{aligned}}}$$

เมื่อทราบผลรวมและผลคูณของu ³และ1 แล้ว จะสรุปได้ว่าทั้งสองเป็นคำตอบของสมการกำลัง สอง ดังนั้น ค่าดิสคริมิแนนต์ของสมการนี้คือ 1 และสมมติว่าเป็นค่าบวก คำตอบที่เป็นจำนวนจริงของสมการนี้คือ (หลังจากพับหารด้วย 4 ใต้รากที่สอง): ดังนั้น ( โดย ไม่เสียความเป็นทั่วไปในการเลือกuหรือ): เนื่องจากผลรวมของรากที่สามของคำตอบเหล่านี้เป็นรากของสมการ นั่นคือ 1 เป็นรากของสมการ นี่คือสูตรของคาร์ดาโน ${\displaystyle v^{3},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=(x-u^{3})(x-v^{3})\\&=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+u^{3}v^{3}\\&=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+(uv)^{3}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle x^{2}+qx-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$$${\displaystyle \Delta =q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}$$${\displaystyle -{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}.}$$${\displaystyle v}$$${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$$$${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$$${\displaystyle u+v=t,}$$${\displaystyle t={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}}$$

วิธีนี้ใช้ได้ผลดีเมื่อแต่ถ้าหากรากที่สองที่ปรากฏในสูตรไม่ใช่จำนวนจริง เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนมีรากที่สามสามราก การใช้สูตรของคาร์ดาโนโดยไม่ระมัดระวังจะให้รากถึงเก้าราก ในขณะที่สมการกำลังสามไม่สามารถมีรากได้มากกว่าสามราก เรื่องนี้ได้รับการชี้แจงครั้งแรกโดยราฟาเอล บอมเบลลีในหนังสือL'Algebra (1572) วิธีแก้ปัญหาคือการใช้ข้อเท็จจริงที่ว่านั่นคือซึ่งหมายความว่าต้องคำนวณรากที่สามเพียงรากเดียวเท่านั้น และนำไปสู่สูตรที่สองที่ให้ไว้ใน§ สูตรของคาร์ดาโน ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}>0,}$${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0,}$${\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}},}$${\displaystyle v={\frac {-p}{3u}}.}$

รากอื่นๆ ของสมการสามารถหาได้โดยการเปลี่ยนรากที่สาม หรือเทียบเท่ากับการคูณรากที่สามด้วยรากที่สามดั้งเดิมสองตัวของเอกภาพซึ่งได้แก่${\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.}$

เมื่อมีรากจริงเพียงรากเดียวuและvจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุคของกันและกัน ซึ่งหมายความว่ารากจริงเพียงรากเดียวนั้นจะต้องเป็นu ${\displaystyle t=2\mathrm {Re} (u)}$

การแทนที่ของ Vieta เป็นวิธีการที่François Viète (Vieta เป็นชื่อภาษาละตินของเขา) นำเสนอในข้อความที่ตีพิมพ์หลังมรณกรรมในปี 1615 ซึ่งให้สูตรที่สองของวิธีการของ § Cardano โดยตรง และหลีกเลี่ยงปัญหาการคำนวณรากที่สามที่แตกต่างกันสองค่า^{[ 35 ]}

เริ่มต้นจากลูกบาศก์ที่ยุบตัวt ³ + pt + q = 0การแทนที่ของ Vieta คือt = w − ⁠พี/3 วัตต์⁠ . ^[ข]

การแทนที่t = w – ⁠พี/3 วัตต์เปลี่ยนลูกบาศก์ที่ยุบตัวให้กลายเป็น $${\displaystyle w^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.}$$

นี่คือสมการกำลังสองในดังนั้นจึงมีหกคำตอบสำหรับในการแทนค่า สำหรับแต่ละค่าของจะมีค่าที่เป็นไปได้สองค่าสำหรับแต่ละรากของสมการกำลังสามจะถูกพบสองครั้ง ${\displaystyle w^{3}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle t}$${\displaystyle w}$

^{เมื่อ}คูณด้วยw³จะได้สมการกำลังสองใน w³ ^:$${\displaystyle (w^{3})^{2}+q(w^{3})-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$$

ให้ w เป็นรากที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ของสมการกำลังสองนี้ ถ้าw ₁ , w ₂และw ₃เป็นรากที่ สาม ของWแล้ว รากของสมการกำลังสามที่ลดทอนลงเดิมคือw ₁ − ⁠$${\displaystyle W=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}$$พี/3 w ₁, w ₂ − ⁠​พี/3 w ₂และw ₃ −​​พี/3 w ₃รากอีกตัวของสมการกำลังสองคือซึ่งหมายความว่าการเปลี่ยนเครื่องหมายของรากที่สองจะสลับw _iและ − ⁠${\displaystyle \textstyle -{\frac {p^{3}}{27W}}.}$พี/3 w _iสำหรับi = 1, 2, 3และด้วยเหตุนี้จึงไม่เปลี่ยนแปลงราก วิธีนี้จะใช้ไม่ได้ผลก็ต่อเมื่อรากทั้งสองของสมการกำลังสองเป็นศูนย์ นั่นคือเมื่อp = q = 0ซึ่งในกรณีนี้รากเดียวของสมการกำลังสามที่ลดลงคือ 0

ในบทความRéflexions sur la résolution algébrique des équations (“ความคิดเกี่ยวกับการแก้สมการเชิงพีชคณิต”) ^{[ 36 ]}โจเซฟ หลุยส์ ลากรองจ์ได้นำเสนอวิธีการใหม่ในการแก้สมการดีกรีต่ำในรูปแบบเดียวกัน โดยหวังว่าจะสามารถขยายวิธีการนี้ไปสู่ดีกรีที่สูงขึ้นได้ วิธีนี้ใช้ได้ผลดีกับสมการกำลังสามและกำลังสี่แต่ลากรองจ์ไม่ประสบความสำเร็จในการนำไปใช้กับสมการกำลังห้าเนื่องจากต้องแก้พหุนามตัวผกผันที่มีดีกรีอย่างน้อยหก^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]} นอกเหนือจากข้อเท็จจริงที่ว่าไม่มีใครเคยประสบความสำเร็จมาก่อน นี่เป็นข้อบ่งชี้แรกของการไม่มีสูตรเชิงพีชคณิตสำหรับดีกรี 5 ขึ้นไป ดังที่ได้รับการพิสูจน์ในภายหลังโดยทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินีอย่างไรก็ตาม วิธีการสมัยใหม่ในการแก้สมการกำลังห้าที่แก้ได้นั้นส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับวิธีการของลากรองจ์^{[ 39 ]}

ในกรณีของสมการกำลังสาม วิธีของลากรางจ์ให้คำตอบเดียวกันกับวิธีของคาร์ดาโน วิธีของลากรางจ์สามารถนำไปใช้โดยตรงกับสมการกำลังสามทั่วไป ax³ + bx² ⁺ cx + ^d = 0ได้แต่การคำนวณจะง่ายกว่าเมื่อใช้สมการกำลังสามแบบลด^รูปt³ + pt + q = 0

แนวคิดหลักของลากรองจ์คือการทำงานกับผลการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องของรากแทนที่จะทำงานกับรากเอง กล่าวคือ ให้^ξเป็นรากที่สามดั้งเดิมของเอกภาพนั่นคือจำนวนที่ξ³ = 1และξ² + ξ + 1 = 0 (เมื่อทำงานในปริภูมิของจำนวนเชิงซ้อน_จะมีแต่การตีความเชิงซ้อนนี้ไม่ได้ใช้ในที่นี้) ให้^x₀ _, x₁และx₂ _เป็นรากทั้งสามของสมการกำลังสามที่ต้องการแก้ ให้ เป็นผล การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องของราก ถ้า ทราบ _{ค่า s₀} , s₁ และ s₂ แล้วสามารถ กู้คืนราก ได้จากค่าเหล่านี้โดยใช้การแปลงฟูริเยร์ผกผัน ซึ่งประกอบด้วยการกลับการแปลงเชิงเส้นนี้ _{นั่นคือ}${\displaystyle \textstyle \xi ={\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{2i\pi /3},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}+x_{1}+x_{2},\\s_{1}&=x_{0}+\xi x_{1}+\xi ^{2}x_{2},\\s_{2}&=x_{0}+\xi ^{2}x_{1}+\xi x_{2},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+s_{1}+s_{2}),\\x_{1}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi ^{2}s_{1}+\xi s_{2}),\\x_{2}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi s_{1}+\xi ^{2}s_{2}).\end{aligned}}}$$

จากสูตรของ Vieta พบ ว่าs ₀มีค่าเป็นศูนย์ในกรณีของลูกบาศก์ที่ยุบตัวลง และ− ⁠ข/เอสำหรับสมการกำลังสามทั่วไป ดังนั้นจึงต้องคำนวณเฉพาะ s₁ _และ s₂ เท่านั้น ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่ใช่ฟังก์ชันสมมาตรของ_ราก(การสลับ x₁และ _{x₂ จะสลับ} s₁และ _s₂ด้วย ₎แต่ฟังก์ชันสมมาตรอย่างง่ายบางฟังก์ชันของ s₁และ s₂ ก็เป็นฟังก์ชันสมมาตรในรากของสมการ กำลัง_{สาม ที่จะต้องแก้} ด้วยดังนั้นฟังก์ชันสมมาตรเหล่านี้สามารถแสดงในรูปของสัมประสิทธิ์ (ที่ทราบ) ของสมการกำลังสามดั้งเดิมได้ และในที่สุดจะทำให้สามารถแสดง _sᵢเป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ที่ทราบได้ วิธีนี้ใช้ได้ดีกับทุกดีกรี แต่ในดีกรีที่สูงกว่าสี่ พหุนามที่ได้ซึ่งมี _sᵢเป็น_รากจะมีดีกรีสูงกว่าพหุนามเริ่มต้น และจึงไม่เป็นประโยชน์สำหรับการแก้ปัญหา นี่คือเหตุผลที่วิธีของลากรองจ์ล้มเหลวในดีกรีห้าขึ้นไป

ในกรณีของสมการกำลังสามและเป็นพหุนามสมมาตร (ดูด้านล่าง) ดังนั้นและจึงเป็นรากทั้งสองของสมการกำลังสองด้วยเหตุนี้ การแก้สมการจึงสามารถทำได้เช่นเดียวกับวิธีของคาร์ดาโน โดยใช้และแทนuและ${\displaystyle P=s_{1}s_{2},}$${\displaystyle S=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}}$${\displaystyle s_{1}^{3}}$${\displaystyle s_{2}^{3}}$${\displaystyle z^{2}-Sz+P^{3}=0.}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle v.}$

ในกรณีของลูกบาศก์ที่ยุบตัวลง เราจะได้และในขณะที่ในวิธีของคาร์ดาโน เราได้กำหนดและดังนั้น จนถึงการสลับuและเราจะได้และกล่าวอีกนัยหนึ่ง ในกรณีนี้ วิธีของคาร์ดาโนและวิธีของลากรองจ์คำนวณสิ่งเดียวกันอย่างแม่นยำ จนถึงปัจจัยสามเท่าในตัวแปรเสริม ความแตกต่างหลักคือ วิธีของลากรองจ์อธิบายว่าทำไมตัวแปรเสริมเหล่านี้จึงปรากฏในปัญหา ${\displaystyle x_{0}={\tfrac {1}{3}}(s_{1}+s_{2})}$${\displaystyle s_{1}s_{2}=-3p,}$${\displaystyle x_{0}=u+v}$${\displaystyle uv=-{\tfrac {1}{3}}p.}$${\displaystyle v,}$${\displaystyle s_{1}=3u}$${\displaystyle s_{2}=3v.}$

การคำนวณโดยตรงโดยใช้ความสัมพันธ์ξ ³ = 1และξ ² + ξ + 1 = 0จะได้ ว่า ซึ่งแสดงให้เห็นว่าPและSเป็นฟังก์ชันสมมาตรของราก โดยใช้เอกลักษณ์ของนิวตันเราสามารถแสดงฟังก์ชันเหล่านี้ในรูปของฟังก์ชันสมมาตรพื้นฐานของราก ได้อย่างง่ายดาย โดย ให้ e ₁ = 0 , e ₂ = pและe ₃ = − qในกรณีของลูกบาศก์ที่ยุบตัวลง และe ₁ = − ⁠$${\displaystyle {\begin{aligned}P&=s_{1}s_{2}=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-(x_{0}x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{0}),\\S&=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}=2(x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3})-3(x_{0}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{0}+x_{0}x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{2}x_{0}^{2})+12x_{0}x_{1}x_{2}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}P&=e_{1}^{2}-3e_{2},\\S&=2e_{1}^{3}-9e_{1}e_{2}+27e_{3},\end{aligned}}}$$ข/เอ⁠ , e ₂ = ⁠ค/เอและe ₃ = −​ง/เอโดยทั่วไป แล้ว

สมการลูกบาศก์เกิดขึ้นในบริบทอื่นๆ อีกหลากหลาย

• การแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันและการเพิ่มขนาดลูกบาศก์เป็นสองเท่าเป็นปัญหาทางเรขาคณิต โบราณสองข้อ ที่พิสูจน์แล้วว่าไม่สามารถแก้ได้ด้วยการใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนเนื่องจากปัญหาเหล่านี้เทียบเท่ากับการแก้สมการกำลังสาม
• ทฤษฎีบทของมาร์เดนกล่าวว่าจุดโฟกัสของวงรีสไตเนอร์ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ สามารถหาได้โดยใช้ฟังก์ชันกำลังสามซึ่งรากของฟังก์ชันนั้นคือพิกัดในระนาบเชิงซ้อนของจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม รากของอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันกำลังสามนี้คือพิกัดเชิงซ้อนของจุดโฟกัสเหล่านั้น
• พื้นที่ของรูปเจ็ดเหลี่ยม ด้านเท่าสามารถแสดงได้ในรูปของรากของสมการ กำลังสาม นอกจากนี้ อัตราส่วนของเส้นทแยงมุมยาวต่อด้าน ด้านต่อเส้นทแยงมุมสั้น และค่าลบของเส้นทแยงมุมสั้นต่อเส้นทแยงมุมยาว ล้วนสอดคล้องกับสมการกำลังสามเฉพาะ ยิ่งไปกว่านั้น อัตราส่วนของรัศมีวงในต่อรัศมีวงนอกของรูปสามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยมก็เป็นหนึ่งในคำตอบของสมการกำลังสามเช่นกัน ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่เกี่ยวข้องก็สอดคล้องกับสมการกำลังสาม ด้วย${\displaystyle 2\pi /7}$
• เมื่อทราบค่าโคไซน์ (หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ) ของมุมใดๆ ค่าโคไซน์ของหนึ่งในสามของมุมนั้นจะเป็นหนึ่งในรากของจำนวนกำลังสาม
• การแก้สมการกำลังสี่ ทั่วไปนั้น ขึ้นอยู่กับการแก้สมการกำลังสามที่เป็นตัวแก้ไข ของสม การ นั้น
• ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ 3×3 คือรากของพหุนามกำลังสาม ซึ่งเป็นพหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นั้น
• สมการลักษณะเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสามที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ หรือสมการโคชี-ออยเลอร์ (สมการที่มีสัมประสิทธิ์แปรผันในมิติเท่ากัน) หรือสมการเชิงผลต่างเชิงเส้นคือ สมการกำลังสาม
• จุดตัดระหว่างเส้นโค้งเบซิเยร์ กำลังสาม และเส้นตรงสามารถคำนวณได้โดยใช้สมการกำลังสามโดยตรงที่แสดงถึงเส้นโค้งเบซิเยร์
• จุดวิกฤตของฟังก์ชันกำลังสี่หาได้จากการแก้สมการกำลังสาม (โดยกำหนดให้ค่าอนุพันธ์เท่ากับศูนย์)
• จุดเปลี่ยนเว้าของฟังก์ชันกำลังห้าคือคำตอบของสมการกำลังสาม (โดยกำหนดให้อนุพันธ์อันดับสองเท่ากับศูนย์)

• ในวิชาเคมีวิเคราะห์ สมการของชาร์ลอตต์ซึ่งสามารถใช้หาค่า pH ของสารละลายบัฟเฟอร์สามารถแก้ได้โดยใช้สมการกำลังสาม
• ในทางเทอร์โมไดนามิกส์สมการสถานะ (ซึ่งเชื่อมโยงความดัน ปริมาตร และอุณหภูมิของสาร) เช่นสมการสถานะของแวนเดอร์วาลส์จะเป็นสมการกำลังสามเมื่อเทียบกับปริมาตร
• สมการจลศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับอัตราเร่งเชิงเส้นเป็นสมการกำลังสาม
• ความเร็วของคลื่นเรย์ลีห์ในแผ่นดินไหวเป็นคำตอบของสมการกำลังสาม ของ คลื่นเรย์ลีห์
• ความเร็วคงที่ของยานพาหนะที่เคลื่อนที่บนทางลาดโดยมีแรงเสียดทานอากาศ สำหรับกำลังไฟฟ้าขาเข้าที่กำหนด สามารถหาคำตอบได้โดยใช้สมการกำลังสามแบบลดทอน
• กฎข้อที่สามของเคปเลอร์เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์มีลักษณะเป็นกำลังสามเมื่อเทียบกับแกนกึ่งเอก

• สมการควอติก
• สมการควินติก
• การปรับปรุงอาคาร Tschirnhaus
• รูปแบบสมการหลัก

• Anglin, WS; Lambek, Joachim (1995), "คณิตศาสตร์ในยุคเรเนสซองส์" , มรดกของเธลส์ , Springers, หน้า  125–131 , ISBN 978-0-387-94544-6บทที่ 24
• Dence, T. (พฤศจิกายน 1997), "Cubics, chaos and Newton's method", Mathematical Gazette , 81 (492), Mathematical Association : 403– 408, doi : 10.2307/3619617 , ISSN  0025-5572 , JSTOR  3619617 , S2CID  125196796
• Dunnett, R. (พฤศจิกายน 1994), "Newton–Raphson and the cubic", Mathematical Gazette , 78 (483), Mathematical Association : 347– 348, doi : 10.2307/3620218 , ISSN  0025-5572 , JSTOR  3620218 , S2CID  125643035
• จาคอบสัน, นาธาน (2009), พีชคณิตพื้นฐาน , เล่ม 1 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2), โดเวอร์, ISBN 978-0-486-47189-1
• Mitchell, DW (พฤศจิกายน 2007), "การแก้สมการกำลังสามโดยการแก้สามเหลี่ยม", Mathematical Gazette , 91 , Mathematical Association : 514–516 , doi : 10.1017/S0025557200182178 , ISSN  0025-5572 , S2CID  124710259
• Mitchell, DW (พฤศจิกายน 2009), "กำลังของ φ ในฐานะรากของกำลังสาม", Mathematical Gazette , 93 , Mathematical Association , doi : 10.1017/S0025557200185237 , ISSN  0025-5572 , S2CID  126286653
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "ส่วนที่ 5.6 สมการกำลังสองและกำลังสาม" , สูตรการคำนวณเชิงตัวเลข: ศิลปะแห่งการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ (ฉบับที่ 3), นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-88068-8
• Rechtschaffen, Edgar (กรกฎาคม 2551), "รากจริงของกำลังสาม: สูตรที่ชัดเจนสำหรับคำตอบเสมือน", Mathematical Gazette , 92 , Mathematical Association : 268–276 , doi : 10.1017/S0025557200183147 , ISSN  0025-5572 , S2CID  125870578
• Zucker, IJ (กรกฎาคม 2551), "สมการกำลังสาม – มุมมองใหม่เกี่ยวกับกรณีที่ลดรูปไม่ได้", Mathematical Gazette , 92 , Mathematical Association : 264–268 , doi : 10.1017/S0025557200183135 , ISSN  0025-5572 , S2CID  125986006

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับพหุนามกำลังสาม

• "สูตรคาร์ดาโน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ประวัติความเป็นมาของสมการกำลังสอง กำลังสาม และกำลังสี่ใน คลัง ข้อมูลของ MacTutor
• 500 ปีแห่งการไม่สอนสูตรกำลังสาม พวกเขาคิดว่าคุณรับมือไม่ได้หรือไง? – วิดีโอYouTube โดย Mathologerเกี่ยวกับประวัติของสมการกำลังสามและวิธีแก้ปัญหาของคาร์ดาโน รวมถึงวิธีแก้ปัญหาของเฟอร์รารีสำหรับสมการกำลังสี่