ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มลี (Lie group ) (อ่านว่า/ liː /ลี ) คือกลุ่มที่เป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ซึ่งหมายความว่าการคูณกลุ่มและการหาอินเวอร์สของกลุ่มนั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้ทั้งคู่

แมนิโฟลด์คือปริภูมิที่มีลักษณะคล้ายคลึงกับปริภูมิยุคลิด ในระดับท้องถิ่น ในขณะที่กลุ่มกำหนดแนวคิดเชิงนามธรรมของการดำเนินการทวิภาคพร้อมกับคุณสมบัติเพิ่มเติมที่จำเป็นต้องมีเพื่อให้คิดว่าเป็น "การแปลง" ในความหมายเชิงนามธรรม ตัวอย่างเช่น การคูณและการหาตัวผกผัน (เพื่อให้สามารถหารได้) หรือเทียบเท่ากับแนวคิดของการบวกและการลบ การรวมแนวคิดทั้งสองนี้เข้าด้วยกันจะได้กลุ่มต่อเนื่องซึ่งการคูณจุดและตัวผกผันของจุดเหล่านั้นมีความต่อเนื่อง หากการคูณและการหาตัวผกผันมีความเรียบ (สามารถหาอนุพันธ์ได้) ด้วย ก็จะได้กลุ่มลี

กลุ่ม Lie เป็นแบบจำลองตามธรรมชาติสำหรับแนวคิดของสมมาตรต่อเนื่องซึ่งตัวอย่างที่มีชื่อเสียงคือกลุ่มวงกลมการหมุนวงกลมเป็นตัวอย่างของสมมาตรต่อเนื่อง สำหรับการหมุนวงกลมใดๆ จะมีสมมาตรเดียวกัน^{[ 1 ]}และการต่อกันของการหมุนดังกล่าวทำให้เกิดเป็นกลุ่มวงกลม ซึ่งเป็นตัวอย่างต้นแบบของกลุ่ม Lie กลุ่ม Lie ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในหลายส่วนของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ สมัยใหม่

กลุ่มลี (Lie groups) ถูกค้นพบครั้งแรกโดยการศึกษาเมทริกซ์ย่อยที่อยู่ในหรือ⁠ ⁠ซึ่งเป็นกลุ่มของเมทริกซ์ผกผันได้เหนือหรือ⁠ ⁠ปัจจุบันกลุ่มเหล่านี้เรียกว่ากลุ่มคลาสสิกเนื่องจากแนวคิดได้ขยายออกไปไกลกว่าจุดเริ่มต้นเหล่านี้ กลุ่มลีตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์โซฟัส ลี (Sophus Lie ) (1842–1899) ผู้ซึ่งวางรากฐานของทฤษฎีกลุ่มการแปลง ต่อเนื่อง แรงจูงใจดั้งเดิมของลีในการแนะนำกลุ่มลีคือการจำลองสมมาตรต่อเนื่องของสมการเชิงอนุพันธ์ในลักษณะเดียวกับที่กลุ่มจำกัดถูกใช้ในทฤษฎีกาลัว (Galois theory)เพื่อ จำลองสมมาตรแบบไม่ต่อเนื่องของสมการพีชคณิต${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Sophus Lieถือว่าฤดูหนาวปี 1873–1874 เป็นวันเกิดของทฤษฎีกลุ่มต่อเนื่องของเขา^{[ 2 ]}อย่างไรก็ตาม Thomas Hawkins แนะนำว่า "กิจกรรมการวิจัยอันน่าทึ่งของ Lie ในช่วงสี่ปีตั้งแต่ฤดูใบไม้ร่วงปี 1869 ถึงฤดูใบไม้ร่วงปี 1873" ต่างหากที่นำไปสู่การสร้างทฤษฎีนี้^{[ 2 ]}แนวคิดในช่วงแรกๆ ของ Lie บางส่วนได้รับการพัฒนาโดยความร่วมมืออย่างใกล้ชิดกับFelix Klein Lie พบกับ Klein ทุกวันตั้งแต่เดือนตุลาคม 1869 ถึงปี 1872: ในเบอร์ลินตั้งแต่ปลายเดือนตุลาคม 1869 ถึงปลายเดือนกุมภาพันธ์ 1870 และในปารีส Göttingen และ Erlangen ในอีกสองปีต่อมา^{[ 3 ]} Lie ระบุว่าผลลัพธ์หลักทั้งหมดได้มาภายในปี 1884 แต่ในช่วงทศวรรษ 1870 เอกสารทั้งหมดของเขา (ยกเว้นบันทึกแรกสุด) ได้รับการตีพิมพ์ในวารสารของนอร์เวย์ ซึ่งขัดขวางการยอมรับผลงานในส่วนอื่นๆ ของยุโรป^{[ 4 ]}ในปี พ.ศ. 2427 นักคณิตศาสตร์หนุ่มชาวเยอรมันฟรีดริช เองเกลได้มาร่วมงานกับลีในการจัดทำตำราอย่างเป็นระบบเพื่อนำเสนอทฤษฎีกลุ่มต่อเนื่องของเขา จากความพยายามนี้จึงเกิดเป็นหนังสือสามเล่มชื่อTheorie der Transformationsgruppenซึ่งตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2431 พ.ศ. 2433 พ.ศ. 2433 และ พ.ศ. 2436 คำว่าgroupes de Lieปรากฏครั้งแรกในภาษาฝรั่งเศสในปี พ.ศ. 2436 ในวิทยานิพนธ์ของอาร์เธอร์ เทรสส์ นักศึกษาของลี^{[ 5 ]}

แนวคิดของ Lie ไม่ได้แยกตัวออกจากคณิตศาสตร์ส่วนอื่นๆ อันที่จริง ความสนใจของเขาในเรขาคณิตของสมการเชิงอนุพันธ์ได้รับแรงบันดาลใจครั้งแรกจากงานของCarl Gustav Jacobiเกี่ยวกับทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับแรกและสมการของกลศาสตร์คลาสสิกงานของ Jacobi ส่วนใหญ่ได้รับการตีพิมพ์หลังการเสียชีวิตในช่วงทศวรรษ 1860 ซึ่งสร้างความสนใจอย่างมากในฝรั่งเศสและเยอรมนี^{[ 6 ]}แนวคิดที่แน่วแน่ของ Lie คือการพัฒนาทฤษฎีสมมาตรของสมการเชิงอนุพันธ์ที่จะทำให้สมการเหล่านั้นสำเร็จเช่นเดียวกับที่Évariste Galoisได้ทำกับสมการพีชคณิต กล่าวคือ การจำแนกสมการเหล่านั้นตามทฤษฎีกลุ่ม Lie และนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ แสดงให้เห็นว่าสมการที่สำคัญที่สุดสำหรับฟังก์ชันพิเศษและพหุนามเชิงตั้งฉากมักจะเกิดขึ้นจากสมมาตรทางทฤษฎีกลุ่ม ในงานช่วงแรกของ Lie แนวคิดคือการสร้างทฤษฎีกลุ่มต่อเนื่องเพื่อเสริมทฤษฎีกลุ่มไม่ต่อเนื่องที่พัฒนาขึ้นในทฤษฎีรูปแบบมอดูลาร์โดยFelix KleinและHenri Poincaréการประยุกต์ใช้เบื้องต้นที่ Lie คิดไว้คือทฤษฎีสม การเชิง อนุพันธ์โดยใช้แบบจำลองของทฤษฎี Galoisและสมการพหุนาม แนวคิดหลักคือทฤษฎีที่สามารถรวมเอา สาขา สมการเชิงอนุพันธ์สามัญทั้งหมดเข้า ด้วยกัน โดยการศึกษา ความสมมาตรอย่างไรก็ตาม ความหวังที่ว่าทฤษฎีของ Lie จะรวมเอาสาขาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญทั้งหมดเข้าด้วยกันนั้นไม่เป็นจริง วิธีการสมมาตรสำหรับ ODE ยังคงได้รับการศึกษาอยู่ แต่ไม่ได้ครอบงำหัวข้อนี้ มีทฤษฎี Galois เชิงอนุพันธ์อยู่แต่ได้รับการพัฒนาโดยผู้อื่น เช่น Picard และ Vessiot และทฤษฎีนี้ให้ทฤษฎีของปริพันธ์ไม่จำกัดซึ่งจำเป็นต่อการแสดงคำตอบ

แรงผลักดันเพิ่มเติมในการพิจารณากลุ่มต่อเนื่องมาจากแนวคิดของแบร์นฮาร์ด รีมันน์เกี่ยวกับรากฐานของเรขาคณิต และการพัฒนาต่อยอดโดยไคลน์ ดังนั้น ลีจึงได้รวมสามหัวข้อหลักในคณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 19 เข้าด้วยกันในการสร้างทฤษฎีใหม่ของเขา:

• แนวคิดเรื่องสมมาตร ดังที่กาโลอิสได้แสดงให้เห็นผ่านแนวคิดทางพีชคณิตของกลุ่ม
• ทฤษฎีทางเรขาคณิตและวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของกลศาสตร์อย่างชัดเจน ซึ่งพัฒนาโดยปัวซงและจาโคบี
• ความเข้าใจใหม่เกี่ยวกับเรขาคณิตที่ปรากฏขึ้นในผลงานของพลูเกอร์โมเบียส กราสส์มันน์และคนอื่นๆ และถึงจุดสูงสุดในวิสัยทัศน์ที่ปฏิวัติวงการของรีมันน์เกี่ยวกับวิชานี้

แม้ว่าในปัจจุบัน Sophus Lie จะได้รับการยอมรับอย่างถูกต้องว่าเป็นผู้สร้างทฤษฎีกลุ่มต่อเนื่อง แต่ความก้าวหน้าครั้งสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีโครงสร้างของกลุ่มต่อเนื่อง ซึ่งจะมีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์ในเวลาต่อมานั้น เกิดขึ้นโดยWilhelm Killingซึ่งในปี พ.ศ. 2431 ได้ตีพิมพ์บทความแรกในชุดที่มีชื่อว่าDie Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen ( การประกอบกลุ่มการแปลงแบบจำกัดต่อเนื่อง ) ^{[ 7 ]}งานของ Killing ซึ่งต่อมาได้รับการปรับปรุงและขยายความโดยÉlie Cartanนำไปสู่การจำแนกพีชคณิต Lie กึ่งง่ายทฤษฎีของ Cartan เกี่ยวกับปริภูมิสมมาตรและ คำอธิบายของ Hermann Weylเกี่ยวกับการแสดงแทนของกลุ่ม Lie กระชับและกึ่งง่ายโดยใช้น้ำหนักสูงสุด

ในปี ค.ศ. 1900 เดวิด ฮิลเบิร์ตได้ท้าทายนักทฤษฎีของลีด้วยปัญหาข้อที่ห้า ของเขา ซึ่งนำเสนอในการประชุมคณิตศาสตร์นานาชาติที่ปารีส

Weyl ได้นำช่วงเริ่มต้นของการพัฒนาทฤษฎีกลุ่ม Lie ไปสู่ความสำเร็จ ไม่เพียงแต่เขาจะจำแนกการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ของกลุ่ม Lie กึ่งง่าย และเชื่อมโยงทฤษฎีกลุ่มกับกลศาสตร์ควอนตัมเท่านั้น แต่เขายังทำให้ทฤษฎีของ Lie มีรากฐานที่มั่นคงยิ่งขึ้นด้วยการระบุความแตกต่างระหว่างกลุ่มอนันต์เล็ก ของ Lie (เช่น พีชคณิต Lie) และกลุ่ม Lie ที่แท้จริงอย่างชัดเจน และเริ่มการตรวจสอบโทโพโลยีของกลุ่ม Lie ^{[ 8 ]}ทฤษฎีกลุ่ม Lie ได้รับการปรับปรุงใหม่อย่างเป็นระบบในภาษาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ในเอกสารโดยClaude Chevalley

กลุ่มลี (Lie groups) คือแมนิโฟลด์เรียบ ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และด้วยเหตุนี้จึงสามารถศึกษาได้โดยใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ซึ่งแตกต่างจากกรณีของกลุ่มทางทอพอโลยี ทั่วไป หนึ่งในแนวคิดสำคัญในทฤษฎีกลุ่มลีคือการแทนที่ วัตถุ โดยรวมซึ่งก็คือกลุ่ม ด้วย เวอร์ชัน เฉพาะที่หรือเชิงเส้น ซึ่งตัวลีเองเรียกว่า "กลุ่มอนันต์เล็ก" (infinitesimal group) และต่อมาได้กลายเป็นที่รู้จักในชื่อพีชคณิตลี (Lie algebra )

กลุ่มลีมีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งในเรขาคณิต สมัยใหม่ ในหลายระดับเฟลิกซ์ ไคลน์ได้โต้แย้งในโครงการเออร์ลังเงน ของเขา ว่า เราสามารถพิจารณา "เรขาคณิต" ต่างๆ ได้โดยการระบุกลุ่มการแปลงที่เหมาะสม ซึ่งจะทำให้คุณสมบัติทางเรขาคณิตบางอย่างไม่เปลี่ยนแปลงดังนั้นเรขาคณิตยุคลิด จึง สอดคล้องกับการเลือกกลุ่มE(3)ของการแปลงที่รักษาระยะทางของปริภูมิยุคลิดเรขาคณิต${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$เชิงคอนฟอร์มอลสอดคล้องกับการขยายกลุ่มให้เป็นกลุ่มคอนฟอร์มอลในขณะที่ในเรขาคณิตเชิงโปรเจคทีฟนั้น เราสนใจคุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้กลุ่มโปรเจคทีฟแนวคิดนี้ต่อมานำไปสู่แนวคิดของโครงสร้างGโดยที่Gคือกลุ่มลีของสมมาตร "เฉพาะที่" ของแมนิโฟลด์

กลุ่ม Lie (และพีชคณิต Lie ที่เกี่ยวข้อง) มีบทบาทสำคัญในฟิสิกส์สมัยใหม่ โดยทั่วไปกลุ่ม Lie จะทำหน้าที่เป็นสมมาตรของระบบทางกายภาพ ในที่นี้การแทนของกลุ่ม Lie (หรือของพีชคณิต Lie ) มีความสำคัญเป็นพิเศษ ทฤษฎีการแทนถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในฟิสิกส์อนุภาคกลุ่มที่มีการแทนที่สำคัญเป็นพิเศษ ได้แก่กลุ่มการหมุน SO(3) (หรือกลุ่มปกคลุมคู่ SU(2) ) กลุ่มเอกภาพพิเศษ SU(3)และกลุ่ม Poincaré

ในระดับ "สากล" เมื่อใดก็ตามที่กลุ่มลี (Lie group) กระทำต่อวัตถุทางเรขาคณิต เช่น แม นิโฟลด์ แบบรีมันน์ (Riemannian manifold ) หรือ แมนิ โฟลด์แบบซิมเพล็กติก (symplectic manifold ) การกระทำนี้จะให้ค่าความแข็งแกร่ง (rigidity) และก่อให้เกิดโครงสร้างพีชคณิตที่ซับซ้อน การมีอยู่ของสมมาตรต่อเนื่องที่แสดงออกผ่านการกระทำของกลุ่มลีบนแมนิโฟลด์จะกำหนดข้อจำกัดที่เข้มงวดต่อเรขาคณิตของแมนิโฟลด์และอำนวยความสะดวกในการวิเคราะห์บนแมนิโฟลด์ การกระทำเชิงเส้นของกลุ่มลีมีความสำคัญเป็นพิเศษและได้รับการศึกษาในทฤษฎีการแทน (representation theory )

ในช่วงทศวรรษ 1940-1950 เอลลิส โคลชินอาร์มันด์ โบเรลและโคลด เชอวาลเลย์ตระหนักว่าผลลัพธ์พื้นฐานหลายอย่างเกี่ยวกับกลุ่มลีสามารถพัฒนาได้โดยใช้พีชคณิตอย่างสมบูรณ์ ทำให้เกิดทฤษฎีกลุ่มพีชคณิต ที่กำหนดบน ฟิลด์ใดๆความเข้าใจนี้เปิดโอกาสใหม่ๆ ในพีชคณิตบริสุทธิ์ โดยให้โครงสร้างที่เป็นเอกภาพสำหรับกลุ่มง่ายจำกัด ส่วนใหญ่ รวมถึงในเรขาคณิตพีชคณิตด้วย ทฤษฎีรูปแบบอัตโนมัติซึ่งเป็นสาขาสำคัญของทฤษฎีจำนวน สมัยใหม่ เกี่ยวข้องอย่างกว้างขวางกับอนาล็อกของกลุ่มลีบนวงแหวนอะเดลกลุ่ม ลี p -adicมีบทบาทสำคัญผ่านความเชื่อมโยงกับตัวแทนกาโลอิสในทฤษฎีจำนวน

กลุ่มลีจริง (Real Lie group)คือกลุ่มที่เป็นแมนิโฟลด์เรียบจริงมิติจำกัด (finite-dimensional real smooth manifold ) ซึ่งการดำเนินการคูณและการผกผันของกลุ่มเป็นการแมปเรียบ (smooth maps ) ความเรียบของการคูณของกลุ่ม

${\displaystyle \mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy}$

หมายความว่าเป็นการแมปอย่างราบรื่นของกลุ่มผลิตภัณฑ์ไปยังข้อกำหนดทั้งสองสามารถรวมเข้าเป็นข้อกำหนดเดียวได้ นั่นคือ การแมป ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle G\times G}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle (x,y)\in G\times G\mapsto x^{-1}y}$

เป็นการแมปอย่างราบรื่นของกลุ่มผลิตภัณฑ์ไปยัง. ${\displaystyle G}$

• เมทริกซ์ผกผันจริงก่อตัวเป็นกลุ่มภายใต้การคูณ เรียกว่ากลุ่มเชิงเส้นทั่วไปดีกรี 2และเขียนแทนด้วยหรือ: นี่คือกลุ่ม Lie จริงแบบ ไม่กระชับสี่มิติเป็นเซตย่อยเปิดของกลุ่มนี้ไม่เชื่อมต่อกันมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสองส่วนที่ประกอบด้วยเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ เป็นบวกและลบ ตามลำดับ${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {R} )}$$${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$
• เมท ริกซ์ การหมุนก่อให้เกิดกลุ่มย่อยของ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )}$ซึ่งแสดงด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )}$มันเป็นกลุ่มลี (Lie group) ในตัวของมันเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นกลุ่มลีแบบเชื่อมต่อขนาดกะทัดรัดหนึ่งมิติซึ่งมี ลักษณะสมมาตรเชิง อนุพันธ์กับวงกลม โดย ใช้มุมการหมุนเป็นพารามิเตอร์ กลุ่มนี้สามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ดังนี้: การบวกมุมจะสอดคล้องกับการคูณองค์ประกอบของ⁠ ⁠และการใช้มุมตรงข้ามจะสอดคล้องกับการผกผัน ดังนั้นทั้งการคูณและการผกผันจึงเป็นแผนที่ที่หาอนุพันธ์ได้${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\varphi \in \mathbb {R} \ /\ 2\pi \mathbb {Z} \right\}.}$$${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )}$
• กลุ่มแอฟฟินหนึ่งมิติคือกลุ่มลีเมทริกซ์สองมิติ ซึ่งประกอบด้วยเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนที่เป็นจำนวนจริง โดยที่สมาชิกแนวทแยงมุมตัวแรกเป็นบวกและสมาชิกแนวทแยงมุมตัวที่สองเป็นดังนั้น กลุ่มนี้จึงประกอบด้วยเมทริกซ์ในรูปแบบ${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 1}$$${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}$$

ต่อไปนี้เราจะนำเสนอตัวอย่างของกลุ่มที่มี จำนวนสมาชิก นับไม่ได้ซึ่งไม่ใช่กลุ่มลีภายใต้โทโพโลยีบางอย่าง กลุ่มที่กำหนดโดย

${\displaystyle H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

โดยมีจำนวนอตรรกยะคงที่ เป็นกลุ่มย่อยของทอรัสที่ไม่ใช่กลุ่มลีเมื่อกำหนด โทโพโล ยีของปริภูมิย่อย^{[ 9 ]} ตัวอย่างเช่น หากเราเลือกบริเวณใกล้เคียง เล็กๆ ใดๆ ของจุดใน⁠ ⁠ส่วนของในจะไม่เชื่อมต่อกัน กลุ่มจะวนรอบทอรัสซ้ำๆ โดยไม่เคยไปถึงจุดก่อนหน้าของเกลียวเลย และด้วยเหตุนี้จึงก่อตัวเป็นกลุ่ม ย่อย ที่หนาแน่นของ⁠ ⁠${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$

อย่างไรก็ตาม กลุ่มนี้สามารถมีโทโพโลยีที่แตกต่างออกไปได้ โดยที่ระยะห่างระหว่างสองจุดถูกกำหนดให้เป็นความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดในกลุ่มที่เชื่อมไปยัง⁠ ⁠ในโทโพโลยีนี้จะถูกระบุแบบโฮโมมอร์ฟิกกับเส้นจำนวนจริงโดยการระบุแต่ละองค์ประกอบด้วยจำนวนในนิยามของ⁠ ⁠ด้วยโทโพโลยีนี้จึงเป็นเพียงกลุ่มของจำนวนจริงภายใต้การบวก และดังนั้นจึงเป็นกลุ่มลี (Lie group) ${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

กลุ่มนี้เป็นตัวอย่างของ " กลุ่มย่อยของ Lie " ในกลุ่ม Lie ที่ไม่ใช่กลุ่มปิด โปรดดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับกลุ่มย่อยของ Lie ในส่วนแนวคิดพื้นฐานด้านล่าง ${\displaystyle H}$

ให้แทนกลุ่มของเมทริกซ์ผกผันที่มีสมาชิกอยู่ใน⁠ ⁠ กลุ่มย่อยปิดใดๆของเป็นกลุ่มลี^{[ 10 ]}กลุ่มลีประเภทนี้เรียกว่ากลุ่มลีเมทริกซ์ เนื่องจากตัวอย่างที่น่าสนใจส่วนใหญ่ของกลุ่มลีสามารถรับรู้ได้ว่าเป็นกลุ่มลีเมทริกซ์ ตำราเรียนบางเล่มจึงจำกัดความสนใจไว้ที่คลาสนี้ รวมถึงตำราของ Hall ^{[ 11 ]} Rossmann ^{[ 12 ]}และ Stillwell ^{[ 13 ]} การจำกัดความสนใจไว้ที่กลุ่มลีเมทริกซ์ทำให้คำจำกัดความของพีชคณิตลีและแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลง่ายขึ้น ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างมาตรฐานของกลุ่มลีเมทริกซ์ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

• กลุ่มเชิงเส้นพิเศษเหนือและ⁠ ⁠และ⁠ ⁠ซึ่งประกอบด้วยเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์และสมาชิกในหรือ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• กลุ่มเอกภาพและกลุ่มเอกภาพพิเศษและประกอบด้วยเมท ริก ซ์เชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ(และในกรณีของ) โดยที่คือทรานสโพสสังยุคของ${\displaystyle \operatorname {U} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$${\displaystyle \det(U)=1}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$${\displaystyle U^{*}}$${\displaystyle U}$
• กลุ่มออร์โธโกนอลและกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษและประกอบด้วยเมทริกซ์จริงที่สอดคล้องกับ(และในกรณีของ) โดยที่คือเมทริกซ์สลับตำแหน่งของ${\displaystyle \operatorname {O} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}$${\displaystyle \det(R)=1}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle R^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle R}$

ตัวอย่างทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นจัดอยู่ในกลุ่มคลาสสิก

กลุ่มLie เชิงซ้อนถูกนิยามในลักษณะเดียวกันโดยใช้แมนิโฟลด์เชิงซ้อนแทนที่จะเป็นแมนิโฟลด์จริง (ตัวอย่างเช่น: ) และแผนที่โฮโลมอร์ฟิก ในทำนองเดียวกัน การใช้การเติมเต็มเมตริก แบบอื่น ของ⁠ ⁠เราสามารถนิยามกลุ่ม Lie p -adic เหนือจำนวนp -adic ซึ่งเป็นกลุ่มทางทอพอโลยีที่เป็น แมนิโฟลด์ p -adic เชิงวิเคราะห์ด้วยเช่นกัน โดยที่การดำเนินการของกลุ่มเป็นเชิงวิเคราะห์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แต่ละจุดมี บริเวณใกล้เคียง p -adic ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ปัญหาข้อที่ห้าของฮิลเบิร์ตถามว่า การแทนที่แมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ด้วยแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีหรือเชิงวิเคราะห์จะสามารถสร้างตัวอย่างใหม่ได้หรือไม่ คำตอบของคำถามนี้กลับกลายเป็นว่าไม่ใช่: ในปี 1952 เกลสัน มอนต์โกเมอรีและซิปปินแสดงให้เห็นว่า ถ้าGเป็นแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีที่มีการดำเนินการกลุ่มแบบต่อเนื่องแล้ว จะมีโครงสร้างเชิงวิเคราะห์เพียงหนึ่งเดียวบนGที่เปลี่ยนมันให้กลายเป็นกลุ่มลี (ดูสมมติฐานของฮิลเบิร์ต-สมิธ ด้วย ) ถ้าอนุญาตให้แมนิโฟลด์พื้นฐานมีมิติอนันต์ (ตัวอย่างเช่นแมนิโฟลด์ฮิลเบิร์ต ) ก็จะนำไปสู่แนวคิดของกลุ่มลีที่มีมิติอนันต์ เป็นไปได้ที่จะกำหนดอนาล็อกของกลุ่มลีจำนวนมากบนฟิลด์จำกัดและสิ่งเหล่านี้ให้ตัวอย่างส่วนใหญ่ของกลุ่มง่ายที่มีมิติจำกัด

ภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่ให้คำจำกัดความที่กระชับสำหรับกลุ่มลี: กลุ่มลีคือวัตถุกลุ่มในหมวดหมู่ของแมนิโฟลด์เรียบ นี่เป็นสิ่งสำคัญ เพราะมันทำให้สามารถขยายแนวคิดของกลุ่มลีไปสู่ซูเปอร์กรุ๊ปของลีได้มุมมองเชิงหมวดหมู่นี้ยังนำไปสู่การขยายความกลุ่มลีอีกแบบหนึ่ง นั่นคือกรุ๊ปอยด์ลีซึ่งเป็นวัตถุกรุ๊ปอยด์ในหมวดหมู่ของแมนิโฟลด์เรียบที่มีข้อกำหนดเพิ่มเติมอีกประการหนึ่ง

กลุ่ม Lie สามารถนิยามได้ว่าเป็นกลุ่มโทโพโลยี ( Hausdorff ) ที่ใกล้กับองค์ประกอบเอกลักษณ์จะมีลักษณะเหมือนกลุ่มการแปลง โดยไม่มีการอ้างอิงถึงแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้หรือแมนิโฟลด์โทโพโลยี^{[ 14 ]} กล่าวคือ กลุ่ม Lie ถูกนิยามว่าเป็นกลุ่มโทโพโลยีที่ (1) มีความสมมาตร เฉพาะที่ใกล้กับเอกลักษณ์กับกลุ่ม Lie เมทริกซ์ ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยปิดของและ (2) มีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันไม่เกินจำนวนนับได้^{[ a ]} ​​การแสดงให้เห็นว่านิยามโทโพโลยีเทียบเท่ากับนิยามปกติเป็นเรื่องทางเทคนิค (และผู้อ่านเริ่มต้นควรข้ามส่วนต่อไปนี้) แต่โดยคร่าวๆ จะทำดังนี้: ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

1. เมื่อกำหนดกลุ่ม Lie Gในความหมายของแมนิโฟลด์ตามปกติการสอดคล้องกันระหว่างกลุ่ม Lie และพีชคณิต Lie (หรือทฤษฎีบทที่สามของ Lie เวอร์ชันหนึ่ง ) จะสร้างกลุ่มย่อย Lie ปิดที่มีพีชคณิต Lie เดียวกัน^{[ b ]}ดังนั้น พวกมันจึงสมมาตรกันในระดับท้องถิ่น ด้วยเหตุนี้ จึงสอดคล้องกับคำจำกัดความทางโทโพโลยีข้างต้น${\displaystyle G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle G,G'}$${\displaystyle G}$
2. ในทางกลับกัน ให้ G เป็นกลุ่มโทโพโลยีที่เป็นกลุ่มลีในความหมายโทโพโลยีข้างต้น และเลือกกลุ่มลีเมทริกซ์ที่สมมาตรเฉพาะที่กับ⁠ ⁠รอบเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้อง จากนั้น โดยทฤษฎีบทกลุ่มย่อยปิดเวอร์ชัน หนึ่ง G จะเป็นแมนิโฟลด์วิเคราะห์จริงและจากนั้น ผ่านสมมาตรเฉพาะที่Gจะได้รับโครงสร้างของแมนิโฟลด์ใกล้กับองค์ประกอบเอกลักษณ์ จากนั้นจะแสดงให้เห็นว่ากฎของกลุ่มบนGสามารถกำหนดได้โดยอนุกรมกำลัง แบบเป็นทางการ ; ^{[ c ]}ดังนั้นการดำเนินการของกลุ่มจึงเป็นการวิเคราะห์จริง และตัวมันเองก็เป็นแมนิโฟลด์วิเคราะห์จริง${\displaystyle G}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle G}$

นิยามเชิงทอพอโลยีบ่งชี้ว่า ถ้ากลุ่มลีสองกลุ่มสมมาตรกันในฐานะกลุ่มเชิงทอพอโลยีแล้ว กลุ่มลีทั้งสองกลุ่มนั้นก็จะสมมาตรกันในฐานะกลุ่มลีด้วย ที่จริงแล้ว มันกล่าวถึงหลักการทั่วไปที่ว่า ในระดับหนึ่งทอพอโลยีของกลุ่มลีร่วมกับกฎของกลุ่มจะเป็นตัวกำหนดเรขาคณิตของกลุ่ม

กลุ่มลี (Lie group) พบได้มากมายในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์กลุ่มเมทริกซ์หรือกลุ่มพีชคณิต (โดยประมาณ) คือกลุ่มของเมทริกซ์ (ตัวอย่างเช่น กลุ่ม ออร์โธโกนอลและกลุ่มซิมเพล็กติก ) และกลุ่มเหล่านี้เป็นตัวอย่างที่พบได้ทั่วไปของกลุ่มลี

กลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันเพียงกลุ่มเดียวที่มีมิติหนึ่ง ได้แก่ เส้นจำนวนจริง(โดยการดำเนินการของกลุ่มคือการบวก) และกลุ่มวงกลมของจำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าสัมบูรณ์หนึ่ง (โดยการดำเนินการของกลุ่มคือการคูณ) กลุ่มนี้มักถูกแทนด้วย⁠ ⁠ซึ่งเป็นกลุ่มของเมทริกซ์เอกภาพ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$${\displaystyle 1\times 1}$

ในสองมิติ หากเราจำกัดความสนใจเฉพาะกลุ่มที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย กลุ่มเหล่านั้นจะถูกจำแนกตามพีชคณิตลีของพวกมัน มีพีชคณิตลีเพียงสองแบบ (โดยไม่คำนึงถึงไอโซมอร์ฟิซึม) ที่มีมิติสอง กลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายที่เกี่ยวข้องคือ(โดยการดำเนินการของกลุ่มคือการบวกเวกเตอร์) และกลุ่มแอฟฟินในมิติหนึ่ง ซึ่งอธิบายไว้ในหัวข้อก่อนหน้าภายใต้ "ตัวอย่างแรก" ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• กลุ่มSU(2)คือกลุ่มของเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์⁠ ⁠ในทางโทโพโลยีคือทรงกลม⁠ ⁠ ; ในฐานะกลุ่ม มันสามารถระบุได้กับกลุ่มของควอเทอร์เนียนเอกลักษณ์${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle S^{3}}$
• กลุ่มไฮเซนเบิร์กเป็น กลุ่มลีแบบ นิลโพเทนต์ ที่เชื่อมต่อกัน ซึ่งมีมิติn ซึ่ง${\displaystyle 3}$มีบทบาทสำคัญในกลศาสตร์ควอนตัม
• กลุ่มลอเรนซ์เป็นกลุ่มลี 6 มิติของไอโซเมตรีเชิงเส้นของปริภูมิมิงคอฟสกี
• กลุ่มปวงกาเร (Poincaré group)คือกลุ่มลี (Lie group) 10 มิติของไอโซ เมตรีเชิงเส้น ตรง (affine isometries) ของปริภูมิมิงโกวสกี (Minkowski space)
• กลุ่มLie พิเศษประเภทG ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , E ₈มีมิติ 14, 52, 78, 133 และ 248 ตามลำดับ เมื่อรวมกับกลุ่ม Lie แบบง่าย ชุด A–B–C–D แล้ว กลุ่มพิเศษเหล่านี้จะทำให้รายการกลุ่ม Lie แบบง่ายสมบูรณ์
• กลุ่ม ซิ มเพล็กติก ประกอบด้วยเมทริกซ์ทั้งหมดที่รักษาฟอร์มซิมเพล็กติกบน⁠ ⁠มันเป็นกลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันที่มีมิติ⁠ ⁠${\displaystyle {\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle 2n\times 2n}$${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle 2n^{2}+n}$

มีวิธีการมาตรฐานหลายวิธีในการสร้างกลุ่ม Lie ใหม่จากกลุ่มเดิม:

• ผลคูณของกลุ่มลีสองกลุ่มคือกลุ่มลี
• กลุ่มย่อย ปิดเชิงโทโพโลยีใดๆของกลุ่มลี (Lie group) ก็เป็นกลุ่มลีเช่นกัน นี่คือสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทกลุ่มย่อยปิดหรือทฤษฎีบทของคาร์ตัน
• ผลหารของกลุ่มลี (Lie group) กับกลุ่มย่อยปกติแบบปิด (closed normal subgroup) ก็คือกลุ่มลี (Lie group) นั่นเอง
• กลุ่มคลุมสากลของกลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันก็คือกลุ่มลีเช่นกัน ตัวอย่างเช่น กลุ่มคลุมสากลก็คือกลุ่มวงกลม⁠ ⁠ในความเป็นจริง การคลุมใดๆ ของแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ก็เป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้เช่นกัน แต่โดยการระบุ กลุ่มคลุม สากลเราจะรับประกันโครงสร้างของกลุ่ม (ที่เข้ากันได้กับโครงสร้างอื่นๆ ของมัน)${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle S^{1}}$

ตัวอย่างของกลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มลี (ยกเว้นในความหมายพื้นฐานที่ว่า กลุ่มใดๆ ที่มีสมาชิกไม่เกินจำนวนนับได้ สามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มลีมิติ n ที่มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง ) ได้แก่: ${\displaystyle 0}$

• กลุ่มที่มีมิติอนันต์ เช่น กลุ่มการบวกของปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีมิติอนันต์ หรือปริภูมิของฟังก์ชันเรียบจากแมนิโฟลด์ ไป ยังกลุ่มลีเหล่านี้ไม่ใช่กลุ่มลี เนื่องจากไม่ใช่แมนิโฟลด์ที่มีมิติจำกัด${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C^{\infty }(X,G)}$
• กลุ่มที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิงบาง กลุ่ม เช่นกลุ่มกาโลอิสของส่วนขยายอนันต์ของฟิลด์ หรือกลุ่มการบวกของจำนวน -adic กลุ่มเหล่านี้ไม่ใช่กลุ่มลี เพราะปริภูมิพื้นฐานของพวกมันไม่ใช่แมนิโฟลด์จริง (บางกลุ่มเหล่านี้เป็น " กลุ่มลี -adic") โดยทั่วไปแล้ว เฉพาะกลุ่มทางทอพอโลยีที่มีคุณสมบัติเฉพาะ ที่คล้ายคลึง กับสำหรับจำนวนเต็มบวกบางจำนวนเท่านั้นที่จะเป็นกลุ่มลีได้ (แน่นอนว่าพวกมันต้องมีโครงสร้างที่หาอนุพันธ์ได้ด้วย)${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$

เราสามารถเชื่อมโยงกลุ่มลีทุกกลุ่มเข้ากับพีชคณิตลีได้ โดยที่ปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐานของพีชคณิตลีคือปริภูมิสัมผัสของกลุ่มลี ณ จุดเอกลักษณ์ และสามารถจับโครงสร้างเฉพาะที่ของกลุ่มได้อย่างสมบูรณ์ โดยทั่วไปแล้ว เราอาจคิดว่าองค์ประกอบของพีชคณิตลีเป็นองค์ประกอบของกลุ่มที่ " อยู่ใกล้กัน อย่างเล็กน้อย " กับจุดเอกลักษณ์ และวงเล็บลีของพีชคณิตลีมีความสัมพันธ์กับตัวสลับขององค์ประกอบเล็กน้อยสองตัวดังกล่าว ก่อนที่จะให้คำจำกัดความเชิงนามธรรม เราจะยกตัวอย่างสักสองสามตัวอย่าง:

• พีชคณิตลีของปริภูมิเวกเตอร์R ⁿก็คือR ⁿที่มีวงเล็บลีที่กำหนดโดย    [ A ,  B ] = 0 (โดยทั่วไป วงเล็บลีของกลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันจะเป็น 0 เสมอ ก็ต่อเมื่อกลุ่มลีนั้นเป็นกลุ่มสลับเปลี่ยน)
• พีชคณิตลีของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป GL( n , C ) ของเมทริกซ์ผกผันได้ คือปริภูมิเวกเตอร์ M( n , C ) ของ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีวงเล็บลีที่กำหนดโดย    [ A ,  B ] = AB  −  BA
• ถ้าGเป็นกลุ่มย่อยปิดของ GL( n , C ) แล้วพีชคณิตลีของGสามารถคิดอย่างไม่เป็นทางการได้ว่าเป็นเมทริกซ์mของ M( n , C ) โดยที่ 1 + εm อยู่ในGโดยที่ ε เป็นจำนวนบวกอนันต์ที่มี ε² ⁼  0 (แน่นอนว่าไม่มีจำนวนจริง ε ดังกล่าวอยู่จริง) ตัวอย่างเช่น กลุ่มเชิงตั้งฉาก O( n , R ) ประกอบด้วยเมทริกซ์A ^ที่มีAAT = ¹  ดังนั้นพีชคณิตลีจึงประกอบด้วยเมทริกซ์mที่มี (1 + εm ) (1 + εm ) T ⁼  1 ซึ่งเทียบเท่ากับm  +  mT  = 0 เพราะ ε² ⁼  0
• คำอธิบายข้างต้นสามารถทำให้เข้มงวดมากขึ้นได้ดังนี้ พีชคณิตลีของกลุ่มย่อยปิดGของ GL( n , C ) สามารถคำนวณได้ดังนี้

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \},}$^{[ 16 ] [ 11 ]}โดยที่ exp(tX) ถูกกำหนดโดยใช้เมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลจากนั้นสามารถแสดงได้ว่าพีชคณิตลีของG ^{เป็น ปริภูมิ}เวกเตอร์จริงที่ปิดภายใต้การดำเนินการวงเล็บ⁠⁠${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$[ ^{17 ]}

นิยามที่เป็นรูปธรรมที่ให้ไว้ข้างต้นสำหรับกลุ่มเมทริกซ์นั้นง่ายต่อการใช้งาน แต่มีปัญหาเล็กน้อยบางประการ: ในการใช้งาน เราต้องแสดงกลุ่ม Lie เป็นกลุ่มของเมทริกซ์ก่อน แต่ไม่ใช่ทุกกลุ่ม Lie ที่สามารถแสดงได้ด้วยวิธีนี้ และยังไม่ชัดเจนด้วยซ้ำว่าพีชคณิต Lie นั้นเป็นอิสระจากการแสดงที่เราใช้^{[ 18 ]}เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ เราจึงให้นิยามทั่วไปของพีชคณิต Lie ของกลุ่ม Lie (ใน 4 ขั้นตอน):

1. ฟิลด์เวกเตอร์บนแมนิโฟลด์เรียบใดๆMสามารถมองได้ว่าเป็นอนุพันธ์Xของวงแหวนของฟังก์ชันเรียบบนแมนิโฟลด์ และด้วยเหตุนี้จึงก่อให้เกิดพีชคณิตลีภายใต้วงเล็บลี [ X ,  Y ] =  XY  −  YXเนื่องจากวงเล็บลีของอนุพันธ์สองตัวใดๆ ก็เป็นอนุพันธ์เช่นกัน
2. ถ้าGเป็นกลุ่มใดๆ ที่กระทำอย่างราบรื่นบนแมนิโฟลด์Mแล้ว กลุ่มนั้นจะกระทำต่อฟิลด์เวกเตอร์ และปริภูมิเวกเตอร์ของฟิลด์เวกเตอร์ที่ตรึงโดยกลุ่มนั้นจะปิดภายใต้วงเล็บลี และด้วยเหตุนี้จึงก่อให้เกิดพีชคณิตลีด้วย
3. เราประยุกต์ใช้การสร้างนี้กับกรณีที่แมนิโฟลด์Mเป็นปริภูมิพื้นฐานของกลุ่มลี  Gโดยที่Gกระทำต่อG  =  Mด้วยการเลื่อนซ้ายL _g ( h ) =  ghซึ่งแสดงให้เห็นว่าปริภูมิของสนามเวกเตอร์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้าย (สนามเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับL _{g *} X _h =  X _ghสำหรับทุกhในGโดยที่L _{g *}หมายถึงอนุพันธ์ของL _g ) บนกลุ่มลีเป็นพีชคณิตลีภายใต้วงเล็บลีของสนามเวกเตอร์
4. เวกเตอร์สัมผัสใดๆ ที่เอกลักษณ์ของกลุ่มลีสามารถขยายไปเป็นฟิลด์เวกเตอร์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้ายได้โดยการเลื่อนเวกเตอร์สัมผัสไปทางซ้ายไปยังจุดอื่นๆ บนแมนิโฟลด์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การขยายที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้ายขององค์ประกอบvของปริภูมิสัมผัสที่เอกลักษณ์คือฟิลด์เวกเตอร์ที่กำหนดโดยv ^ _g  =  L _{g *} vซึ่งทำให้ปริภูมิสัมผัสT _e Gที่เอกลักษณ์ตรงกับปริภูมิของฟิลด์เวกเตอร์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้าย และด้วยเหตุนี้จึงทำให้ปริภูมิสัมผัสที่เอกลักษณ์กลายเป็นพีชคณิตลี เรียกว่าพีชคณิตลีของGซึ่งมักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์Fraktur ดังนั้นวงเล็บลีบนจึงกำหนดโดยชัดเจนโดย [ v ,  w ] = [ v ^,  w ^] _e${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

พีชคณิตลีนี้มีมิติจำกัด และมีมิติเดียวกับแมนิโฟลด์GพีชคณิตลีของGกำหนดGได้ถึง "ความเหมือนกันในระดับท้องถิ่น" โดยที่กลุ่มลีสองกลุ่มเรียกว่ามีความเหมือนกันในระดับท้องถิ่นหากมีลักษณะเหมือนกันใกล้กับองค์ประกอบเอกลักษณ์ ปัญหาเกี่ยวกับกลุ่มลีมักจะได้รับการแก้ไขโดยการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับพีชคณิตลีก่อน และผลลัพธ์สำหรับกลุ่มมักจะตามมาได้ง่าย ตัวอย่างเช่น กลุ่มลีแบบง่ายมักจะถูกจำแนกโดยการจำแนกพีชคณิตลีที่สอดคล้องกันก่อน ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

เราสามารถกำหนดโครงสร้างพีชคณิตลีบนT _eโดยใช้ฟิลด์เวกเตอร์ไม่แปรเปลี่ยนทางขวาแทนฟิลด์เวกเตอร์ไม่แปรเปลี่ยนทางซ้ายได้เช่นกัน ซึ่งจะนำไปสู่พีชคณิตลีเดียวกัน เนื่องจากแผนที่ผกผันบนG สามารถใช้เพื่อ ระบุ ฟิลด์เวกเตอร์ไม่แปรเปลี่ยนทางซ้ายกับฟิลด์เวกเตอร์ไม่แปรเปลี่ยนทางขวาได้ และทำหน้าที่เป็น −1 บนปริภูมิสัมผัสT _e

โครงสร้างพีชคณิตลีบนT _eสามารถอธิบายได้ดังนี้: การดำเนินการคอมมิวเทเตอร์

( x , y ) → xyx ⁻¹ y ⁻¹

บนG × Gส่ง ( e ,  e ) ไปยังeดังนั้นอนุพันธ์ของมันจึงให้ผลลัพธ์เป็นการดำเนินการแบบทวิเชิงเส้นบนT _e Gการดำเนินการแบบทวิเชิงเส้นนี้แท้จริงแล้วคือแผนที่ศูนย์ แต่ผลอนุพันธ์อันดับสอง ภายใต้การระบุพื้นที่สัมผัสที่เหมาะสม จะให้ผลลัพธ์เป็นการดำเนินการที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของวงเล็บ Lieและมีค่าเท่ากับสองเท่าของการดำเนินการที่กำหนดผ่านฟิลด์เวกเตอร์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้าย

ถ้าGและHเป็นกลุ่ม Lie แล้วโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม Lie f  : G → H จะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มเรียบในกรณีของกลุ่ม Lie ที่ซับซ้อน โฮโมมอร์ฟิซึมดังกล่าวจะต้องเป็นแผนที่โฮโลม อร์ฟิก อย่างไรก็ตาม ข้อกำหนดเหล่านี้ค่อนข้างเข้มงวด โฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่องทุกตัวระหว่างกลุ่ม Lie จริงจะกลายเป็น (จริง) วิเคราะห์^{[ 19 ] [ d ]}

การประกอบกันของโฮโมมอร์ฟิซึมแบบลีสองตัวก็คือโฮโมมอร์ฟิซึมอีกตัวหนึ่ง และคลาสของกลุ่มลีทั้งหมด พร้อมกับมอร์ฟิซึมเหล่านี้ ก่อให้เกิดหมวดหมู่ยิ่งไปกว่านั้น โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มลีทุกตัวจะเหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างพีชคณิตลีที่สอดคล้องกัน ให้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มลี และให้ เป็น อนุพันธ์ของมันที่เอกลักษณ์ ถ้าเรากำหนดพีชคณิตลีของGและHด้วยปริภูมิสัมผัสที่องค์ประกอบเอกลักษณ์แล้ว จะเป็นแผนที่ระหว่างพีชคณิตลีที่สอดคล้องกัน: ${\displaystyle \phi :G\to H}$${\displaystyle \phi _{*}}$${\displaystyle \phi _{*}}$

${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},}$

ซึ่งปรากฏว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลี (หมายความว่าเป็นแผนที่เชิงเส้นที่รักษาโครงสร้างลี ) ในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่เราจึงมีฟังก์ชัน โคแวเรียนต์ จากหมวดหมู่ของกลุ่มลีไปยังหมวดหมู่ของพีชคณิตลี ซึ่งส่งกลุ่มลีไปยังพีชคณิตลีของมัน และส่งโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มลีไปยังอนุพันธ์ของมันที่เอกลักษณ์

กลุ่มลีสองกลุ่มเรียกว่าเป็นไอโซมอร์ฟิกกันถ้ามีฟังก์ชัน โฮโมมอร์ฟิซึม แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างกลุ่มทั้งสอง ซึ่งฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันผกผันนั้นก็เป็นฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มลีด้วย หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลซึ่งเป็นฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มด้วย สังเกตว่า จากที่กล่าวมาข้างต้น ฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่องจากกลุ่มลีหนึ่งไปยังกลุ่มลีอีกกลุ่มหนึ่งจะเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มลีก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

กลุ่ม Lie ที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกันย่อมมีพีชคณิต Lie ที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกันด้วย ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะถามว่าชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่ม Lie มีความสัมพันธ์กับชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของพีชคณิต Lie อย่างไร

ผลลัพธ์แรกในทิศทางนี้คือทฤษฎีบทที่สามของ Lieซึ่งระบุว่าพีชคณิต Lie จริงที่มีมิติจำกัดทุกตัวเป็นพีชคณิต Lie ของกลุ่ม Lie (เชิงเส้น) บางกลุ่ม วิธีหนึ่งในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สามของ Lie คือการใช้ทฤษฎีบทของ Adoซึ่งกล่าวว่าพีชคณิต Lie จริงที่มีมิติจำกัดทุกตัวเป็นไอโซมอร์ฟิกกับพีชคณิต Lie เมทริกซ์ ในขณะเดียวกัน สำหรับพีชคณิต Lie เมทริกซ์ที่มีมิติจำกัดทุกตัว จะมีกลุ่มเชิงเส้น (กลุ่ม Lie เมทริกซ์) ที่มีพีชคณิตนี้เป็นพีชคณิต Lie ของมัน^{[ 20 ]}

ในทางกลับกัน กลุ่ม Lie ที่มีพีชคณิต Lie ที่สมมาตรกันไม่จำเป็นต้องสมมาตรกัน นอกจากนี้ ผลลัพธ์นี้ยังคงเป็นจริงแม้ว่าเราจะสมมติว่ากลุ่มเหล่านั้นเชื่อมต่อกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง โครงสร้าง โดยรวมของกลุ่ม Lie ไม่ได้ถูกกำหนดโดยพีชคณิต Lie ของมัน ตัวอย่างเช่น ถ้าZเป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องใดๆ ของศูนย์กลางของGแล้วGและG / Zจะมีพีชคณิต Lie เดียวกัน (ดูตารางกลุ่ม Lieสำหรับตัวอย่าง) ตัวอย่างที่สำคัญในฟิสิกส์คือกลุ่มSU(2)และSO(3)กลุ่มทั้งสองนี้มีพีชคณิต Lie ที่สมมาตรกัน^{[ 21 ]}แต่กลุ่มเหล่านั้นเองไม่สมมาตรกัน เนื่องจาก SU(2) เชื่อมต่อกันอย่างง่าย แต่ SO(3) ไม่เชื่อมต่อกัน^{[ 22 ]}

ในทางกลับกัน หากเราต้องการให้กลุ่ม Lie เชื่อมต่อกันอย่างง่ายโครงสร้างโดยรวมจะถูกกำหนดโดยพีชคณิต Lie ของมัน: กลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายสองกลุ่มที่มีพีชคณิต Lie ที่สม isomorphic กันจะเป็น isomorphic กัน^{[ 23 ]} (ดูส่วนย่อยถัดไปสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย) จากทฤษฎีบทที่สามของ Lie เราจึงอาจกล่าวได้ว่ามีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างคลาส isomorphism ของพีชคณิต Lie จริงมิติจำกัดและคลาส isomorphism ของกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย

กล่าวได้ว่ากลุ่ม Lie เป็นกลุ่ม ที่เชื่อมต่ออย่างง่าย (simple connected)ถ้าทุกวงในสามารถย่อขนาดได้อย่างต่อเนื่องไปยังจุดหนึ่งในแนวคิดนี้มีความสำคัญเนื่องจากผลลัพธ์ต่อไปนี้ซึ่งมีสมมติฐานว่าเป็นกลุ่มที่เชื่อมต่ออย่างง่าย: ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

ทฤษฎีบท : ^{[ 24 ]}สมมติว่าและเป็นกลุ่ม Lie ที่มีพีชคณิต Lie และและเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิต Lie ถ้าเป็นการเชื่อมต่อแบบง่าย จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม Lie ที่ไม่ซ้ำกันเพียงตัวเดียวเท่านั้นโดยที่เป็นอนุพันธ์ของที่เอกลักษณ์${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \phi :G\rightarrow H}$${\displaystyle \phi _{*}=f}$${\displaystyle \phi _{*}}$${\displaystyle \phi }$

ทฤษฎีบทที่สามของ Lieกล่าวว่าพีชคณิต Lie จริงที่มีมิติจำกัดทุกตัวเป็นพีชคณิต Lie ของกลุ่ม Lie กลุ่มหนึ่ง จากทฤษฎีบทที่สามของ Lie และผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ จึงสรุปได้ว่าพีชคณิต Lie จริงที่มีมิติจำกัดทุกตัวเป็นพีชคณิต Lie ของกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายเพียง หนึ่งเดียว

ตัวอย่างของกลุ่มที่เชื่อมต่ออย่างง่ายคือกลุ่มเอกภาพพิเศษSU(2)ซึ่งในฐานะแมนิโฟลด์คือทรงกลม 3 มิติในทางกลับกันกลุ่มการหมุน SO(3) ไม่ได้เชื่อมต่ออย่างง่าย (ดู โทโพโลยีของ SO(3) ) ความล้มเหลวของ SO(3) ในการเชื่อมต่ออย่างง่ายนั้นมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับความแตกต่างระหว่างสปินจำนวนเต็มและสปินครึ่งจำนวนเต็มในกลศาสตร์ควอนตัม ตัวอย่างอื่นๆ ของกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่ออย่างง่าย ได้แก่ กลุ่มเอกภาพพิเศษSU(n)กลุ่มสปิน (การปกคลุมสองเท่าของกลุ่มการหมุน) Spin( n )สำหรับและกลุ่มซิมเพล็กติกขนาดกะทัดรัดSp ${\displaystyle n\geq 3}$(n ) ^{[ 25 ]}

วิธีการตรวจสอบว่ากลุ่ม Lie เป็นกลุ่มที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายหรือไม่นั้น ได้รับการกล่าวถึงในบทความเรื่องกลุ่มพื้นฐานของกลุ่ม Lie

แผนที่เอกซ์โปเนนเชียลจากพีชคณิตลีของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปไปยังถูกกำหนดโดยเมทริกซ์เอกซ์โปเนนเชียลซึ่งกำหนดโดยอนุกรมกำลังตามปกติ: ${\displaystyle \mathrm {M} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots }$

สำหรับเมทริกซ์⁠ ⁠${\displaystyle X}$ถ้าเป็นกลุ่มย่อยปิดของ⁠ ⁠แล้ว แผนที่เอกซ์โพเนนเชียลจะนำพีชคณิตลีของไปยัง⁠ ⁠ดังนั้น เราจึงมีแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลสำหรับกลุ่มเมทริกซ์ทั้งหมด ทุกองค์ประกอบของที่อยู่ใกล้เอกลักษณ์มากพอจะเป็นเอกซ์โพเนนเชียลของเมทริกซ์ในพีชคณิตลี^{[ 26 ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

นิยามข้างต้นใช้งานง่าย แต่ไม่ได้นิยามไว้สำหรับกลุ่มลีที่ไม่ใช่กลุ่มเมทริกซ์ และไม่ชัดเจนว่าแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลของกลุ่มลีนั้นไม่ขึ้นอยู่กับการแสดงแทนในรูปกลุ่มเมทริกซ์ เราสามารถแก้ปัญหาทั้งสองข้อได้โดยใช้นิยามที่เป็นนามธรรมมากขึ้นของแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลที่ใช้ได้กับกลุ่มลีทุกกลุ่ม ดังต่อไปนี้

สำหรับแต่ละเวกเตอร์ในพีชคณิตลีของ(เช่น ปริภูมิสัมผัสของที่เอกลักษณ์) พิสูจน์ได้ว่ามีกลุ่มย่อยหนึ่งพารามิเตอร์ที่ไม่ซ้ำกันเพียงกลุ่มเดียวซึ่งทำให้⁠ ⁠การกล่าวว่าเป็นกลุ่มย่อยหนึ่งพารามิเตอร์หมายความว่าเป็นแผนที่เรียบไปยังและว่า ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle c:\mathbb {R} \rightarrow G}$${\displaystyle c'(0)=X}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle c(s+t)=c(s)c(t)\ }$

สำหรับทุกและ⁠ ⁠การดำเนินการทางด้านขวามือคือการคูณกลุ่มใน⁠ ⁠ความคล้ายคลึงกันอย่างเป็นทางการของสูตรนี้กับสูตรที่ใช้ได้สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังทำให้คำจำกัดความนี้มีความ ชอบธรรม${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \exp(X)=c(1).}$

สิ่งนี้เรียกว่าแผนที่เอกซ์โพเนนเชียล (exponential map ) และมันแปลงพีชคณิตลี (Lie algebra) ไปเป็นกลุ่มลี (Lie group ) มันให้ การแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชีย ล(diffeomorphism)ระหว่างย่านใกล้เคียงของ 0 ในและย่านใกล้เคียงของใน แผนที่เอกซ์โพเนนเชีย ลนี้เป็นการวางนัยทั่วไปของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลสำหรับ จำนวนจริง (เพราะ คือพีชคณิตลีของกลุ่มลีของจำนวนจริง บวกที่มีการ คูณ) สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (เพราะ คือพีชคณิตลีของกลุ่มลีของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ที่มีการคูณ) และสำหรับเมทริกซ์ (เพราะด้วยตัวสลับปกติ คือพีชคณิตลีของกลุ่มลีของเมทริกซ์ผกผันทั้งหมด) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle M(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันทั่วถึงในบริเวณใกล้เคียงบางส่วนของ⁠ ⁠จึงมักเรียกองค์ประกอบของพีชคณิตลีว่า ตัวสร้างอนันต์ของกลุ่ม⁠ ⁠กลุ่มย่อยของที่สร้างขึ้นโดยคือส่วนประกอบเอกลักษณ์ของ⁠ ⁠${\displaystyle N}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

แผนที่เอกซ์โพเนนเชียลและพีชคณิตลีเป็นตัวกำหนดโครงสร้างกลุ่มเฉพาะที่ของกลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันทุกกลุ่ม เนื่องจากสูตรเบเกอร์-แคมป์เบลล์-เฮาส์ดอร์ฟ : มีบริเวณใกล้เคียงขององค์ประกอบศูนย์ของ⁠ ⁠อยู่เช่นนั้นสำหรับเราจะมี ${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle X,Y\in U}$

${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),}$

โดยที่ทราบพจน์ที่ถูกละไว้และเกี่ยวข้องกับวงเล็บ Lie ที่มีองค์ประกอบสี่ตัวขึ้นไป ในกรณีที่สามารถ สลับตำแหน่งกัน ได้ สูตรนี้จะลดลงเหลือเพียงกฎเลขชี้กำลังที่คุ้นเคย${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)}$

แผนที่เอกซ์โพเนนเชียลเชื่อมโยงโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มลี นั่นคือ ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มลี และเป็นแผนที่เหนี่ยวนำบนพีชคณิตลีที่สอดคล้องกัน แล้วสำหรับทุก ๆเราจะได้ ${\displaystyle \phi :G\to H}$${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง แผนภาพต่อไปนี้สลับกัน^ได้ [ ^{27 ]}

(กล่าวโดยย่อ exp คือการแปลงธรรมชาติจากฟังก์ชัน Lie ไปยังฟังก์ชันเอกลักษณ์บนหมวดหมู่ของกลุ่ม Lie)

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจากพีชคณิตลีไปยังกลุ่มลีนั้นไม่ได้เป็นฟังก์ชัน ทั่วถึงเสมอไป แม้ว่ากลุ่มนั้นจะเชื่อมต่อกันก็ตาม (ถึงแม้ว่าจะเป็นฟังก์ชันที่ส่งไปยังกลุ่มลีได้สำหรับกลุ่มที่เชื่อมต่อกันซึ่งเป็นกลุ่มกระชับหรือกลุ่มนิลโพเทนต์ก็ตาม) ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลของSL(2, R )ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึง นอกจากนี้ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลยังไม่เป็นทั้งฟังก์ชันทั่วถึงและฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งสำหรับกลุ่มลีที่มีมิติอนันต์ (ดูด้านล่าง) ซึ่งจำลองมาจากปริภูมิเฟรเชต์C ^∞ แม้กระทั่งจากบริเวณใกล้เคียงขนาดเล็กใดๆ ของ 0 ไปยังบริเวณใกล้เคียงที่สอดคล้องกันของ 1 ก็ตาม

กลุ่มย่อยลี (Lie subgroup) ของกลุ่มลี (Lie group) คือกลุ่มลีที่เป็นเซตย่อยของและโดยที่แผนที่การรวมจากไปเป็นการ ฝังตัวแบบหนึ่งต่อ หนึ่ง (injective immersion ) และ เป็น โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม (group homomorphism ) ตามทฤษฎีบทของคาร์ตันกลุ่มย่อยปิดของยอมรับโครงสร้างเรียบที่ไม่ซ้ำกันซึ่งทำให้มันเป็น กลุ่มย่อยลี ฝังตัวของ—กล่าวคือ กลุ่มย่อยลีที่แผนที่การรวมเป็นการฝังตัวแบบเรียบ (smooth embedding) ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

ตัวอย่างของกลุ่มย่อยที่ไม่ปิดมีอยู่มากมาย เช่น สมมติให้ G เป็นทอรัสที่มีมิติ 2 หรือมากกว่า และให้ G เป็นกลุ่มย่อยแบบพารามิเตอร์เดียวที่มีความชันเป็นจำนวนอตรรกยะ กล่าว คือ กลุ่มย่อยที่วนรอบG แล้วจะมีโฮโม มอร์ฟิซึมของกลุ่มลีที่มีการปิดของจะเป็นซับทอรัส ใน${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to G}$${\displaystyle \mathrm {im} (\varphi )=H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

แผนที่เอกซ์โพเนนเชียลให้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างกลุ่มย่อย Lie ที่เชื่อมต่อกันของกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันและพีชคณิตย่อยของพีชคณิต Lie ของ⁠ ⁠ ^{[ 28 ]} โดยทั่วไป กลุ่มย่อยที่สอดคล้องกับพีชคณิตย่อยจะไม่ใช่กลุ่มย่อยปิด ไม่มีเกณฑ์ใดที่ขึ้นอยู่กับโครงสร้างเพียงอย่างเดียวที่ จะกำหนด ว่าพีชคณิตย่อยใดสอดคล้องกับกลุ่มย่อยปิด ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

แง่มุมสำคัญประการหนึ่งของการศึกษาเกี่ยวกับกลุ่ม Lie คือการแทนค่าของกลุ่ม Lie กล่าวคือ วิธีที่กลุ่ม Lie สามารถกระทำ (เชิงเส้น) บนปริภูมิเวกเตอร์ได้ ในฟิสิกส์ กลุ่ม Lie มักจะเข้ารหัสสมมาตรของระบบทางกายภาพ วิธีที่ใช้ประโยชน์จากสมมาตรนี้เพื่อช่วยวิเคราะห์ระบบมักจะทำผ่านทฤษฎีการแทนค่า ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการ Schrödinger ที่ไม่ขึ้นกับเวลา ในกลศาสตร์ควอนตัมสมมติว่า${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$ระบบดังกล่าวมีกลุ่มการหมุน SO(3)เป็นสมมาตร ซึ่งหมายความว่าตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียนสามารถสลับตำแหน่งกับการกระทำของ SO(3) บนฟังก์ชันคลื่นได้ (ตัวอย่างที่สำคัญของระบบดังกล่าวคืออะตอมไฮโดรเจนซึ่งมีศักยภาพสมมาตรทรงกลม) สมมติฐานนี้ไม่ได้หมายความว่าคำตอบ จะเป็นฟังก์ชันที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การ หมุนเสมอไป แต่หมายความว่าปริภูมิของคำตอบของสมการนั้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุน (สำหรับแต่ละค่าคงที่ของ) ดังนั้น ปริภูมินี้จึงเป็นการแทนค่าของ SO(3) การแสดงผลเหล่านี้ได้รับการจำแนกประเภทแล้วและการจำแนกประเภทดังกล่าวส่งผลให้ปัญหาลดความซับซ้อนลง อย่างมาก โดยพื้นฐานแล้วเป็นการแปลงสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยสามมิติให้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญหนึ่งมิติ ${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$${\displaystyle E}$

กรณีของกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อK (รวมถึงกรณีของ SO(3) ที่กล่าวถึงข้างต้น) นั้นสามารถจัดการได้ง่ายเป็นพิเศษ^{[ 29 ]}ในกรณีนั้น การแสดงแทนมิติจำกัดทุกแบบของKจะแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของการแสดงแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ การแสดงแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้นั้นได้รับการจำแนกประเภทโดยHermann Weylการจำแนกประเภทนี้ขึ้นอยู่กับ "น้ำหนักสูงสุด" ของการแสดงแทน การจำแนกประเภทนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการจำแนกประเภทของการแสดงแทนของพีชคณิต Lie กึ่งง่าย

นอกจากนี้ยังสามารถศึกษาการแทนแบบเอกภาพ (โดยทั่วไปในมิติอนันต์) ของกลุ่มลีใดๆ (ไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มกระชับ) ได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ที่จะให้คำอธิบายที่ชัดเจนและค่อนข้างง่ายเกี่ยวกับการแทนของกลุ่ม SL(2, R )และการแทนของกลุ่มปวงกาเร

กลุ่มลี (Lie groups) อาจถูกมองว่าเป็นตระกูลของสมมาตรที่เปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่น ตัวอย่างของสมมาตรได้แก่ การหมุนรอบแกน สิ่งที่ต้องเข้าใจคือธรรมชาติของการแปลง 'เล็กๆ' เช่น การหมุนผ่านมุมเล็กๆ ที่เชื่อมโยงการแปลงที่อยู่ใกล้เคียงกัน วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่จับโครงสร้างนี้เรียกว่าพีชคณิตลี ( Lieเองเรียกพวกมันว่า "กลุ่มอนันต์เล็ก") สามารถกำหนดได้เพราะกลุ่มลีเป็นแมนิโฟลด์เรียบ ดังนั้นจึงมีปริภูมิสัมผัสที่แต่ละจุด

พีชคณิตลีของกลุ่มลีกระชับใดๆ (อย่างคร่าวๆ คือ กลุ่มที่สมมาตรก่อตัวเป็นเซตที่มีขอบเขต) สามารถแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของพีชคณิตลีแบบอาเบเลียน และพีชคณิตลี แบบง่ายจำนวนหนึ่งโครงสร้างของพีชคณิตลีแบบอาเบเลียนนั้นไม่น่าสนใจทางคณิตศาสตร์ (เนื่องจากวงเล็บลีเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์) ความน่าสนใจอยู่ที่ผลรวมแบบง่าย ดังนั้นจึงเกิดคำถามขึ้นว่าพีชคณิตลีแบบง่ายของกลุ่มกระชับคืออะไร ปรากฏว่าส่วนใหญ่แล้วพวกมันจะอยู่ในตระกูลอนันต์สี่ตระกูล ได้แก่ "พีชคณิตลีแบบคลาสสิก" A _n , B _n , C _nและ D _nซึ่งมีคำอธิบายอย่างง่ายในแง่ของสมมาตรของปริภูมิยุคลิด แต่ก็ยังมี "พีชคณิตลีแบบพิเศษ" อีกห้าแบบที่ไม่อยู่ในตระกูลใดๆ เหล่านี้ E ₈คือพีชคณิตลีที่ใหญ่ที่สุดในกลุ่มนี้

กลุ่มลี (Lie groups) ถูกจำแนกตามคุณสมบัติทางพีชคณิต ( แบบง่ายแบบกึ่งง่าย แบบแก้ได้ แบบนิลโพเทนต์แบบอาเบเลียน ) การเชื่อมต่อ ( แบบเชื่อมต่อหรือแบบเชื่อมต่ออย่างง่าย ) และความ กะทัดรัด

ผลลัพธ์สำคัญประการแรกคือการแยกส่วนแบบเลวี (Levi decomposition ) ซึ่งกล่าวว่า กลุ่มลี (Lie group) ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายทุกกลุ่มเป็นผลคูณกึ่งตรง (semidirect product) ของกลุ่มย่อยปกติที่แก้ได้ (solvable normal subgroup) และกลุ่มย่อยกึ่งง่าย (semisimple subgroup)

• กลุ่ม Lie กระชับที่เชื่อมต่อกันทั้งหมดเป็นที่รู้จัก: พวกมันเป็นผลหารศูนย์กลางจำกัดของผลคูณของสำเนาของกลุ่มวงกลมS ¹และกลุ่ม Lie กระชับแบบง่าย (ซึ่งสอดคล้องกับแผนภาพ Dynkin ที่เชื่อมต่อกัน )
• กลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายและสามารถหาคำตอบได้นั้น จะสม isomorphic กับกลุ่มย่อยปิดของกลุ่มเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนที่ผกผันได้ที่มีอันดับบางค่า และการแสดงแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ในมิติจำกัดใดๆ ของกลุ่มดังกล่าวจะมีมิติเดียว กลุ่มที่สามารถหาคำตอบได้นั้นมีความซับซ้อนเกินกว่าจะจัดประเภทได้ ยกเว้นในมิติเล็กๆ เพียงไม่กี่มิติ
• กลุ่ม Lie นิลโพเทนต์ที่เชื่อมต่ออย่างง่ายใดๆ จะสม isomorphic กับกลุ่มย่อยปิดของกลุ่มเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนผกผันได้ที่มีเลข 1 อยู่บนแนวทแยงมุมของอันดับใดๆ และการแสดงแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ในมิติจำกัดใดๆ ของกลุ่มดังกล่าวจะมีมิติเดียว เช่นเดียวกับกลุ่มที่แก้ได้ กลุ่มนิลโพเทนต์นั้นยุ่งยากเกินกว่าจะจัดประเภทได้ ยกเว้นในมิติเล็กๆ เพียงไม่กี่มิติ
• กลุ่มลีแบบง่ายบางครั้งถูกนิยามว่าเป็นกลุ่มที่เรียบง่ายในฐานะกลุ่มนามธรรม และบางครั้งก็ถูกนิยามว่าเป็นกลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันซึ่งมีพีชคณิตลีแบบง่าย ตัวอย่างเช่นSL(2, R )เป็นกลุ่มที่เรียบง่ายตามนิยามที่สอง แต่ไม่ใช่ตามนิยามแรก กลุ่มเหล่านี้ได้รับการจำแนกประเภทแล้ว (ไม่ว่าจะนิยามใดก็ตาม)
• กลุ่ม Lie กึ่งง่ายคือกลุ่ม Lie ที่พีชคณิต Lie เป็นผลคูณของพีชคณิต Lie ง่าย^{[ 30 ]}พวกมันเป็นส่วนขยายศูนย์กลางของผลคูณของกลุ่ม Lie ง่าย

ส่วนประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่มลีใดๆ เป็นกลุ่มย่อยปกติ แบบเปิด และกลุ่มผลหารเป็นกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องการปกคลุมสากลของกลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันใดๆ เป็นกลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย และในทางกลับกัน กลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันใดๆ เป็นผลหารของกลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายโดยกลุ่มย่อยปกติแบบไม่ต่อเนื่องของศูนย์กลาง กลุ่มลีG ใดๆ สามารถแยกออกเป็นกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง กลุ่มแบบง่าย และกลุ่มอาเบเลียนได้ในลักษณะมาตรฐานดังต่อไปนี้ เขียน

G _conสำหรับส่วนประกอบที่เชื่อมต่อของเอกลักษณ์

G _solสำหรับกลุ่มย่อยปกติที่เชื่อมต่อกันที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถหาคำตอบได้

G _nilสำหรับกลุ่มย่อย nilpotent ปกติที่เชื่อมต่อกันที่ใหญ่ที่สุด

เพื่อให้เรามีลำดับของกลุ่มย่อยปกติ

1 ⊆ G _nil ⊆ G _sol ⊆ G _con ⊆ G .

แล้ว

G / G _conเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง

G _con / G _solเป็นส่วนขยายหลักของผลคูณของกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย

G _sol / G _nilเป็นกลุ่มอาเบเลียน กลุ่ม Lie อาเบเลียนที่เชื่อมต่อกันจะสมสัณฐานกับผลคูณของสำเนาของ Rและกลุ่มวงกลมS ¹

G _nil /1 เป็นจำนวนนิลโพเทนต์ ดังนั้นอนุกรมกลางที่เพิ่มขึ้นของมันจึงมีผลหารทั้งหมดเป็นจำนวนอาเบเลียน

สิ่งนี้สามารถนำไปใช้ลดปัญหาบางอย่างเกี่ยวกับกลุ่มลี (เช่น การหาตัวแทนเอกภาพของกลุ่มลี) ให้เหลือเพียงปัญหาเดียวกันสำหรับกลุ่มง่ายที่เชื่อมต่อกัน และกลุ่มย่อยนิลโพเทนต์และแก้ได้ที่มีมิติเล็กกว่า

• กลุ่มดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมของกลุ่มลีจะกระทำการทรานซิทีฟต่อกลุ่มลี
• ทุกกลุ่มลีสามารถทำให้ขนานกันได้และด้วยเหตุนี้จึงเป็นแมนิโฟลด์ที่สามารถกำหนดทิศทางได้ (มีการสมมาตรของบันเดิลระหว่างบันเดิลสัมผัสและผลคูณของตัวมันเองกับปริภูมิสัมผัสที่เอกลักษณ์)

กลุ่มลี (Lie groups) มักถูกนิยามให้มีมิติจำกัด แต่ก็มีกลุ่มอีกหลายกลุ่มที่มีลักษณะคล้ายกลุ่มลี ยกเว้นแต่ว่ามีมิติอนันต์ วิธีที่ง่ายที่สุดในการนิยามกลุ่มลีที่มีมิติอนันต์คือการจำลองกลุ่มเหล่านั้นในระดับท้องถิ่นบนปริภูมิบานาค (ตรงข้ามกับปริภูมิยุคลิดในกรณีที่มีมิติจำกัด) และในกรณีนี้ ทฤษฎีพื้นฐานส่วนใหญ่จะคล้ายกับกลุ่มลีที่มีมิติจำกัด อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่เพียงพอสำหรับการใช้งานหลายอย่าง เพราะตัวอย่างตามธรรมชาติของกลุ่มลีที่มีมิติอนันต์หลายตัวอย่างไม่ใช่แมนิโฟลด์บานาคดังนั้นจึงจำเป็นต้องนิยามกลุ่มลีที่จำลองบน ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอ พอโลยีแบบนูนในระดับท้องถิ่น ทั่วไป ในกรณีนี้ ความสัมพันธ์ระหว่างพีชคณิตลี (Lie algebra) และกลุ่มลี (Lie group) จะมีความซับซ้อนมากขึ้น และผลลัพธ์หลายอย่างเกี่ยวกับกลุ่มลีที่มีมิติจำกัดจะไม่สามารถใช้ได้อีกต่อไป

ใน วงการวรรณกรรมนั้น คำศัพท์ที่ใช้เกี่ยวกับคุณสมบัติของกลุ่มมิติอนันต์ที่ทำให้กลุ่มนั้นมีคุณสมบัติเหมาะสมที่จะใช้คำนำหน้า"Lie " ใน คำว่า " กลุ่ม Lie" นั้น ยังไม่เป็นเอกภาพเสียทีเดียว ในส่วนของพีชคณิต Lie นั้น เรื่องนี้ง่ายกว่า เนื่องจากเกณฑ์คุณสมบัติสำหรับการใช้คำนำหน้า " Lie"ในพีชคณิต Lieนั้นเป็นเรื่องทางพีชคณิตล้วนๆ ตัวอย่างเช่น พีชคณิต Lie มิติอนันต์อาจมีหรือไม่มีกลุ่ม Lie ที่สอดคล้องกันก็ได้ กล่าวคือ อาจมีกลุ่มที่สอดคล้องกับพีชคณิต Lie แต่กลุ่มนั้นอาจไม่เหมาะสมพอที่จะเรียกว่ากลุ่ม Lie หรือความเชื่อมโยงระหว่างกลุ่มกับพีชคณิต Lie อาจไม่เหมาะสมพอ (ตัวอย่างเช่น การที่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลไม่ครอบคลุมบริเวณใกล้เคียงของเอกลักษณ์) คำว่า "เหมาะสมพอ" นั้นยังไม่มีคำจำกัดความที่ตายตัว

ตัวอย่างบางส่วนที่ได้รับการศึกษา ได้แก่:

• กลุ่มของการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลของแมนิโฟลด์ เรารู้เกี่ยวกับกลุ่มของการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลของวงกลมค่อนข้างมาก พีชคณิตลีของมันก็คือพีชคณิตวิทท์ (ไม่มากก็น้อย) ซึ่งส่วนขยายส่วนกลาง ของมันคือ พีชคณิตวิราโซโร (ดูพีชคณิตวิราโซโรจากพีชคณิตวิทท์สำหรับการพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้) คือพีชคณิตสมมาตรของทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลสองมิติกลุ่มของการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลของแมนิโฟลด์แบบกะทัดรัดที่มีมิติใหญ่กว่าคือกลุ่มลีเฟรเชต์ปกติเรารู้เกี่ยวกับโครงสร้างของกลุ่มเหล่านี้เพียงเล็กน้อย
• กลุ่มดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวลาบางครั้งปรากฏขึ้นในความพยายามที่จะหาค่าควอนตัมของแรงโน้มถ่วง
• กลุ่มของแผนที่เรียบจากแมนิโฟลด์ไปยังกลุ่มลีที่มีมิติจำกัดเป็นตัวอย่างของกลุ่มเกจ (ที่มีการดำเนินการคูณแบบจุดต่อจุด ) และใช้ในทฤษฎีสนามควอนตัมและทฤษฎีโดนัลด์สัน หากแมนิโฟลด์เป็นวงกลม กลุ่มเหล่านี้เรียกว่ากลุ่มลูปและมีส่วนขยายแบบศูนย์กลางซึ่งพีชคณิตลีเป็นพีชคณิต Kac–Moody ( ไม่มากก็น้อย)
• มีอนาล็อกมิติอนันต์ของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป กลุ่มเชิงตั้งฉาก และอื่นๆ^{[ 31 ]}แง่มุมที่สำคัญประการหนึ่งคือสิ่งเหล่านี้อาจมี คุณสมบัติทางโทโพโลยี ที่ง่ายกว่าดูตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของ Kuiperในทฤษฎี Mตัวอย่างเช่น ทฤษฎีเกจ SU( N ) 10 มิติจะกลายเป็นทฤษฎี 11 มิติเมื่อNกลายเป็นอนันต์

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มที่เผยแพร่ข้อมูลเท็จในวิกิมีเดียคอมมอนส์
• วารสารทฤษฎีการโกหก