ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเวกเตอร์ที่สะดวกคือ ปริภูมิเวกเตอร์ นูนเฉพาะที่ ซึ่งสอดคล้องกับ เงื่อนไขความสมบูรณ์ที่ไม่เข้มงวดมากนัก

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์แบบดั้งเดิม มีประสิทธิภาพในการวิเคราะห์ ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดและสำหรับปริภูมิบานาคเมื่อเกินปริภูมิบานาคไปแล้ว จะเริ่มมีปัญหาเกิดขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การประกอบกันของฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องจะหยุดเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องร่วมกันที่ระดับปริภูมิบานาค^{[หมายเหตุ 1 ]}สำหรับโทโพโลยีที่เข้ากันได้ใดๆ บนปริภูมิของฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่อง

ฟังก์ชันการแมปส์ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ที่สะดวกนั้นเรียบหรือถ้าเป็นการแมปเส้นโค้งเรียบไปยังเส้นโค้งเรียบ สิ่งนี้ทำให้เกิดหมวดหมู่ปิดแบบคาร์ทีเซียนของฟังก์ชันการแมปส์เรียบระหว่างเซตย่อยแบบเปิดของปริภูมิเวกเตอร์ที่สะดวก (ดูคุณสมบัติที่ 6 ด้านล่าง) แคลคูลัสของฟังก์ชันการแมปส์เรียบที่สอดคล้องกันเรียกว่าแคลคูลัสที่สะดวกมันอ่อนกว่าแนวคิดเรื่องความสามารถในการหาอนุพันธ์ที่สมเหตุสมผลอื่นๆ มันง่ายต่อการใช้งาน แต่มีฟังก์ชันการแมปส์เรียบที่ไม่ต่อเนื่อง (ดูหมายเหตุ 1) แคลคูลัสประเภทนี้เพียงอย่างเดียวไม่มีประโยชน์ในการแก้สมการ[ ^{หมายเหตุ 2 ]}${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle c^{\infty }}$

ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์นูนเฉพาะที่เส้นโค้งเรียกว่าเรียบหรือถ้าอนุพันธ์ทั้งหมดมีอยู่และต่อเนื่อง ให้เป็นปริภูมิของเส้นโค้งเรียบ สามารถแสดงได้ว่าเซตของเส้นโค้งเรียบไม่ได้ขึ้นอยู่กับโทโพโลยีแบบนูนเฉพาะที่ของ อย่างสมบูรณ์ แต่ขึ้น อยู่กับ บอร์โนโลยีที่เกี่ยวข้อง(ระบบของเซตที่มีขอบเขต) เท่านั้น ดู [KM], 2.11 โทโพโลยีสุดท้ายที่เกี่ยวข้องกับเซตของการแมปต่อไปนี้ไปยัง ตรงกัน ดู [KM], 2.13 ${\displaystyle E}$${\displaystyle c:\mathbb {R} \to E}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle E}$

• ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,E).}$
• เซตของเส้นโค้งลิปชิตซ์ ทั้งหมด (เพื่อให้มีขอบเขตในแต่ละ)${\displaystyle \left\{{\dfrac {c(t)-c(s)}{ts}}:t\neq s{,}|t|,|s|\leq C\right\}}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle C}$
• เซตของการฉีดซึ่งวิ่งผ่าน เซตย่อย นูนสัมบูรณ์ที่ มีขอบเขตทั้งหมด ในและซึ่งคือช่วงเชิงเส้นของ ที่มาพร้อมกับฟังก์ชันมินคอฟสกี${\displaystyle E_{B}\to E}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle E_{B}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \|x\|_{B}:=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda B\}.}$
• เซตของลำดับลู่เข้าแบบ Mackey ทั้งหมด (มีลำดับที่มีขอบเขต)${\displaystyle x_{n}\to x}$${\displaystyle 0<\lambda _{n}\to \infty }$${\displaystyle \lambda _{n}\left(x_{n}-x\right)}$

โทโพโลยีนี้เรียกว่าโทโพโลยี - บนและเราเขียนแทนปริภูมิโทโพโลยีที่ได้ โดยทั่วไป (บนปริภูมิของฟังก์ชันเรียบที่มีส่วนรองรับแบบกระชับบนเส้นจำนวนจริง เช่น) มันละเอียดกว่าโทโพโลยีแบบนูนเฉพาะที่ที่กำหนดให้ มันไม่ใช่โทโพโลยีของปริภูมิเวกเตอร์ เนื่องจากผลบวกไม่ต่อเนื่องร่วมกันอีกต่อไป กล่าวคือ แม้แต่ โทโพโลยีแบบนูนเฉพาะที่ ที่ละเอียดที่สุดในบรรดาโทโพโลยีแบบนูนเฉพาะที่ทั้งหมดบนซึ่งหยาบกว่าคือ การทำให้เป็นบอร์นของโทโพโลยีแบบนูนเฉพาะที่ที่กำหนดให้ ถ้าเป็นปริภูมิเฟร เชต์ แล้ว${\displaystyle c^{\infty }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle c^{\infty }E}$${\displaystyle D}$${\displaystyle c^{\infty }(D\times D)\neq \left(c^{\infty }D\right)\times \left(c^{\infty }D\right).}$${\displaystyle E}$${\displaystyle c^{\infty }E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle c^{\infty }E=E.}$

กล่าวได้ว่าปริภูมิเวกเตอร์นูนเฉพาะที่นั้น เป็น ปริภูมิเวกเตอร์ที่สะดวกหากเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง (เรียกว่า -completeness); ดู [KM], 2.14 ${\displaystyle E}$${\displaystyle c^{\infty }}$

• สำหรับอินทิกรัล (รีมันน์) ใดๆจะมีอยู่ใน${\displaystyle c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)}$${\displaystyle \int _{0}^{1}c(t)\,dt}$${\displaystyle E}$
• เส้นโค้งลิปชิตซ์ใดๆ ในสามารถหาปริพันธ์รีมันน์เฉพาะที่ได้${\displaystyle E}$
• เส้นโค้งสเกลาร์ ใดๆ ก็ตามจะเรียบก็ต่อเมื่อการประกอบกันของเส้นโค้งนั้นอยู่ในสำหรับทุกโดยที่คือคู่ของฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องทั้งหมดบน ${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle c:\mathbb {R} \to E}$${\displaystyle \lambda \circ c:t\mapsto \lambda (c(t))}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \lambda \in E^{*}}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle E}$
  • ในทำนองเดียวกัน สำหรับทุกค่าซึ่งเป็นคู่ของฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีขอบเขตทั้งหมด${\displaystyle \lambda \in E'}$
  • ในทำนองเดียวกัน สำหรับทุก ๆโดยที่เป็นเซตย่อยของซึ่งรับรู้เซตย่อยที่มีขอบเขตในดู [KM], 5.22${\displaystyle \lambda \in V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E'}$${\displaystyle E}$
• ลำดับ Mackey-Cauchy ใดๆ (เช่นสำหรับบางค่าในจะลู่เข้าสู่ค่า) เห็นได้ชัดว่านี่เป็นข้อกำหนดด้านความสมบูรณ์ที่ไม่เข้มงวดนัก${\displaystyle t_{nm}(x_{n}-x_{m})\to 0}$${\displaystyle t_{nm}\to \infty }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle E}$
• ถ้าเป็นเซตปิดที่มีขอบเขตและนูนสัมบูรณ์ แล้วจะเป็นปริภูมิบานาค${\displaystyle B}$${\displaystyle E_{B}}$
• ถ้าเป็นค่าสเกลาร์ก็จะเป็นค่าสำหรับ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to E}$${\displaystyle {\text{ลิป}}^{k}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\text{ลิป}}^{k}}$${\displaystyle k>1}$
• ถ้าเป็นสเกลาร์แล้วจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดนั้น${\displaystyle f:\mathbb {R} \to E}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$

ในที่นี้ จะเรียกว่าการแมปหากอนุพันธ์ทั้งหมดจนถึงอันดับมีอยู่และเป็นลิปชิตซ์ ในระดับท้องถิ่นบน ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to E}$${\displaystyle {\text{ลิป}}^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ให้และเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่สะดวก และให้เป็น ปริภูมิเวกเตอร์ เปิด การแมปเรียกว่าเรียบหรือ ถ้าการประกอบสำหรับทุกดู [KM], 3.11 ${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U\subseteq E}$${\displaystyle c^{\infty }}$${\displaystyle f:U\to F}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle f\circ c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,F)}$${\displaystyle c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U)}$

1. สำหรับแผนที่บนปริภูมิ Fréchet แนวคิดเรื่องความเรียบนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความอื่นๆ ที่สมเหตุสมผลทั้งหมดมีทฤษฎีบทที่ไม่ธรรมดาเกี่ยวกับเรื่องนี้ ซึ่งพิสูจน์โดย Boman ในปี 1967 ดูเพิ่มเติมที่ [KM], 3.4 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

2. การแมปเชิงเส้นหลายตัวจะเรียบก็ต่อเมื่อมีขอบเขตจำกัด ([KM], 5.5)

3. ถ้าเป็นฟังก์ชันเรียบ อนุพันธ์ก็จะเป็นฟังก์ชันเรียบ และ ก็เป็นฟังก์ชันเรียบเช่นกัน โดยที่หมายถึงปริภูมิของการแมปเชิงเส้นแบบจำกัดทั้งหมดที่มีโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอบนเซตย่อยแบบจำกัด ดู [KM], 3.18 ${\displaystyle f:E\supseteq U\to F}$${\displaystyle df:U\times E\to F}$${\displaystyle df:U\to L(E,F)}$${\displaystyle L(E,F)}$

4. กฎลูกโซ่เป็นจริง ([KM], 3.18)

5. พื้นที่ของการแมปเรียบทั้งหมดเป็นพื้นที่เวกเตอร์ที่สะดวกอีกครั้ง โดยโครงสร้างจะกำหนดโดยการฉีดต่อไปนี้ ซึ่งแสดงถึงโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบกระชับในแต่ละอนุพันธ์แยกกัน ดู [KM], 3.11 และ 3.7 ${\displaystyle C^{\infty }(U,F)}$${\displaystyle U\to F}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle C^{\infty }(U,F)\to \prod _{c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U),\ell \in F^{*}}C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\quad f\mapsto (\ell \circ f\circ c)_{c,\ell }\,.}$

6. กฎเลขชี้กำลังเป็นจริง ([KM], 3.12): สำหรับ-open การแมปต่อไปนี้เป็นการแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ที่เหมาะสม ${\displaystyle c^{\infty }}$${\displaystyle V\subseteq F}$

${\displaystyle C^{\infty }(U,C^{\infty }(V,G))\cong C^{\infty }(U\times V,G),\qquad f\mapsto g,\qquad f(u)(v)=g(u,v).}$

นี่คือสมมติฐานหลักของแคลคูลัสเชิงแปรผัน ในที่นี้เป็นทฤษฎีบท คุณสมบัตินี้เป็นที่มาของชื่อ"สะดวก"ซึ่งยืมมาจาก (Steenrod 1967)

7. ทฤษฎีบทขอบเขตสม่ำเสมอเรียบ ([KM], ทฤษฎีบท 5.26) การแมปเชิงเส้นจะเรียบ (เทียบเท่ากับขอบเขตโดย (2)) ก็ต่อเมื่อเรียบสำหรับแต่ละ ${\displaystyle f:E\to C^{\infty }(V,G)}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{v}\circ f:V\to G}$${\displaystyle v\in V}$

8. การแมปแบบแคนอนิกต่อไปนี้เป็นแบบเรียบ ซึ่งเป็นผลมาจากกฎเลขชี้กำลังโดยใช้เหตุผลเชิงหมวดหมู่แบบง่ายๆ ดู [KM], 3.13

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {ev} :C^{\infty }(E,F)\times E\to F,\quad {\text{ev}}(f,x)=f(x)\\[6pt]&\operatorname {ins} :E\to C^{\infty }(F,E\times F),\quad {\text{ins}}(x)(y)=(x,y)\\[6pt]&(\quad )^{\wedge }:C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\to C^{\infty }(E\times F,G)\\[6pt]&(\quad )^{\vee }:C^{\infty }(E\times F,G)\to C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\\[6pt]&\operatorname {comp} :C^{\infty }(F,G)\times C^{\infty }(E,F)\to C^{\infty }(E,G)\\[6pt]&C^{\infty }(\quad ,\quad ):C^{\infty }(F,F_{1})\times C^{\infty }(E_{1},E)\to C^{\infty }(C^{\infty }(E,F),C^{\infty }(E_{1},F_{1})),\quad (f,g)\mapsto (h\mapsto f\circ h\circ g)\\[6pt]&\prod :\prod C^{\infty }(E_{i},F_{i})\to C^{\infty }\left(\prod E_{i},\prod F_{i}\right)\end{aligned}}}$

แคลคูลัสที่สะดวกสำหรับการแมปแบบเรียบปรากฏขึ้นครั้งแรกใน [Frölicher, 1981], [Kriegl 1982, 1983] แคลคูลัสที่สะดวก (ที่มีคุณสมบัติ 6 และ 7) ยังมีอยู่สำหรับ:

• การแมปเชิงวิเคราะห์จริง (Kriegl, Michor, 1990; ดูเพิ่มเติมที่ [KM], บทที่ II)
• การแมปแบบโฮโลมอร์ฟิก (Kriegl, Nel, 1985; ดูเพิ่มเติมที่ [KM], บทที่ II) แนวคิดของโฮโลมอร์ฟีเป็นแนวคิดของ [Fantappié, 1930-33]
• ฟังก์ชันอัลตราดิฟเฟอเรนเชียลของเดนจอย-คาร์ลแมนหลายประเภท ทั้งแบบเบอร์ลิงและแบบรูมิเยอ [Kriegl, Michor, Rainer, 2009, 2011, 2015]
• โดยมีการปรับเปลี่ยนบางส่วน[FK]${\displaystyle \operatorname {Lip} ^{k}}$
• ด้วยการปรับเปลี่ยนเพิ่มเติม แม้กระทั่ง (เช่นอนุพันธ์ลำดับที่ -th เป็นแบบ Hölder-continuous ที่มีดัชนี) ([Faure, 1989], [Faure, These Geneve, 1991])${\displaystyle C^{k,\alpha }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \alpha }$

แนวคิดเรื่องปริภูมิเวกเตอร์ที่สะดวกนั้นเหมือนกัน (สำหรับปริภูมิเวกเตอร์จริงพื้นฐานในกรณีเชิงซ้อน) สำหรับทฤษฎีทั้งหมดเหล่านี้

กฎเลขชี้กำลัง 6 ของแคลคูลัสแบบสะดวกช่วยให้สามารถพิสูจน์ข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับแมนิโฟลด์ของการแมปได้อย่างง่ายดาย ให้และ เป็น แมนิโฟลด์เรียบมิติจำกัดโดยที่เป็นแมนิโฟลด์กระชับ เราใช้เมตริกรีมันน์เสริมบนการแมปเลขชี้กำลังแบบรีมันน์ของอธิบายได้ด้วยแผนภาพต่อไปนี้: ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\bar {g}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\bar {g}}}$

มันสร้างแผนที่แสดงตำแหน่งบนพื้นที่ของการแมปแบบเรียบทั้งหมดดังต่อไปนี้ แผนที่ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่คือ: ${\displaystyle C^{\infty }(M,N)}$${\displaystyle M\to N}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(M,N)}$

${\displaystyle u_{f}:C^{\infty }(M,N)\supset U_{f}=\{g:(f,g)(M)\subset V^{N\times N}\}\to {\tilde {U}}_{f}\subset \Gamma (f^{*}TN),}$

${\displaystyle u_{f}(g)=(\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})^{-1}\circ (f,g),\quad u_{f}(g)(x)=(\exp _{f(x)}^{\bar {g}})^{-1}(g(x)),}$

${\displaystyle (u_{f})^{-1}(s)=\exp _{f}^{\bar {g}}\circ s,\qquad \quad (u_{f})^{-1}(s)(x)=\exp _{f(x)}^{\bar {g}}(s(x)).}$

ตอนนี้ข้อเท็จจริงพื้นฐานตามมาได้ง่ายๆ การทำให้กลุ่มเวกเตอร์ดึงกลับเป็นเรื่องง่ายและใช้กฎเลขชี้กำลัง 6 นำไปสู่การแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียล ${\displaystyle f^{*}TN}$

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,\Gamma (M;f^{*}TN))=\Gamma (\mathbb {R} \times M;\operatorname {pr_{2}} ^{*}f^{*}TN).}$

การแมปการเปลี่ยนแปลงแผนภูมิทั้งหมดจะราบรื่น ( ) เนื่องจากแมปเส้นโค้งเรียบไปยังเส้นโค้งเรียบ: ${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle {\tilde {U}}_{f_{1}}\ni s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})\circ s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})\circ (f_{2},\exp _{f_{1}}^{\bar {g}}\circ s).}$

ดังนั้น จึงเป็นแมนิโฟลด์เรียบที่จำลองขึ้นจากปริภูมิเฟรเชต์ ปริภูมิของเส้นโค้งเรียบทั้งหมดในแมนิโฟลด์นี้กำหนดโดย ${\displaystyle C^{\infty }(M,N)}$

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,C^{\infty }(M,N))\cong C^{\infty }(\mathbb {R} \times M,N).}$

เนื่องจากมันแสดงให้เห็นการจับคู่เส้นโค้งเรียบกับเส้นโค้งเรียบอย่างชัดเจน จึงทำให้เกิดองค์ประกอบขึ้น

${\displaystyle C^{\infty }(P,M)\times C^{\infty }(M,N)\to C^{\infty }(P,N),\qquad (f,g)\mapsto g\circ f,}$

มีความเรียบเนียน อันเป็นผลมาจากโครงสร้างของแผนภูมิกลุ่มสัมผัสของแมนิโฟลด์ของการแมปจึงกำหนดโดย

${\displaystyle \pi _{C^{\infty }(M,N)}=C^{\infty }(M,\pi _{N}):TC^{\infty }(M,N)=C^{\infty }(M,TN)\to C^{\infty }(M,N).}$

ให้เป็นกลุ่มลี เรียบที่เชื่อมต่อกัน ซึ่งจำลองบนปริภูมิเวกเตอร์ที่เหมาะสม โดยมีพีชคณิตลี การคูณและการผกผันจะใช้สัญลักษณ์ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$

${\displaystyle \mu :G\times G\to G,\quad \mu (x,y)=x.y=\mu _{x}(y)=\mu ^{y}(x),\qquad \nu :G\to G,\nu (x)=x^{-1}.}$

แนวคิดเรื่องกลุ่ม Lie ปกติเดิมทีเป็นผลงานของ Omori et al. สำหรับกลุ่ม Lie ของ Fréchet ซึ่งต่อมาถูกทำให้มีความอ่อนลงและโปร่งใสมากขึ้นโดย J. Milnor และถูกนำไปใช้กับกลุ่ม Lie ที่สะดวกสบาย ดู [KM], 38.4

กลุ่ม Lie เรียกว่ากลุ่มปกติถ้าเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle G}$

• สำหรับเส้นโค้งเรียบแต่ละเส้นในพีชคณิตลี จะมีเส้นโค้งเรียบในกลุ่มลีที่มีอนุพันธ์ลอการิทึมด้านขวาเป็น ปรากฏว่าถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยค่าเริ่มต้นของมันถ้าหากมีอยู่ นั่นคือ${\displaystyle X\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {g}})}$${\displaystyle g\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,G)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g(0)}$

${\displaystyle g(0)=e,\qquad \partial _{t}g(t)=T_{e}(\mu ^{g(t)})X(t)=X(t).g(t).}$

ถ้า เป็นคำตอบเดียวสำหรับเส้นโค้งที่ต้องการข้างต้น เราจะใช้สัญลักษณ์ แทน ${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {evol} _{G}^{r}(X)=g(1),\quad \operatorname {Evol} _{G}^{r}(X)(t):=g(t)=\operatorname {evol} _{G}^{r}(tX).}$

• จำเป็นต้องทำการแมปข้อมูลต่อไปนี้ให้ราบรื่น:

${\displaystyle \operatorname {evol} _{G}^{r}:C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {g}})\to G.}$

ถ้าเป็นเส้นโค้งคงที่ในพีชคณิตลี แล้วคือการแมปเลขชี้กำลังของกลุ่ม ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {evol} _{G}^{r}(X)=\exp ^{G}(X)}$

ทฤษฎีบทสำหรับแมนิโฟลด์กระชับแต่ละอันกลุ่มดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึมเป็นกลุ่มลีปกติ พีชคณิตลีของกลุ่มนี้คือปริภูมิของฟิลด์เวกเตอร์เรียบทั้งหมดบนแมนิโฟลด์กระชับ โดยมีวงเล็บปกติเป็นวงเล็บลี ${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle M}$

บทพิสูจน์:กลุ่มดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมเป็นแมนิโฟลด์เรียบ เนื่องจากเป็นเซตย่อยเปิดในการประกอบเป็นแมนิโฟลด์เรียบโดยการจำกัด การผกผันเป็นแมนิโฟลด์เรียบ: ถ้าเป็นเส้นโค้งเรียบในแล้วf ( t , )${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$${\displaystyle C^{\infty }(M,M)}$${\displaystyle t\to f(t,\ )}$${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$⁻¹${\displaystyle f(t,\ )^{-1}(x)}$สอดคล้องกับสมการโดยปริยาย ดังนั้นโดยทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายมิติจำกัดจึงเรียบ ดังนั้นการผกผันจะแมปเส้นโค้งเรียบไปยังเส้นโค้งเรียบ และด้วยเหตุนี้การผกผันจึงเรียบ ให้เป็นสนามเวกเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับเวลาบน(ใน) จากนั้นตัวดำเนินการการไหลของสนามเวกเตอร์อิสระที่สอดคล้องกันบนจะเหนี่ยวนำตัวดำเนินการวิวัฒนาการผ่าน ${\displaystyle f(t,f(t,\quad )^{-1}(x))=x}$${\displaystyle (t,x)\mapsto f(t,\ )^{-1}(x)}$${\displaystyle X(t,x)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {X}}(M))}$${\displaystyle \operatorname {Fl} }$${\displaystyle \partial _{t}\times X}$${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$

${\displaystyle \operatorname {Fl} _{s}(t,x)=(t+s,\operatorname {Evol} (X)(t,x))}$

ซึ่งสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

${\displaystyle \partial _{t}\operatorname {Evol} (X)(t,x)=X(t,\operatorname {Evol} (X)(t,x)).}$

เมื่อกำหนดเส้นโค้งเรียบในพีชคณิตลีแล้วคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญจะขึ้นอยู่กับตัวแปรเพิ่มเติมอย่างราบรื่นด้วยดังนั้นจึงแปลงเส้นโค้งเรียบของสนามเวกเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับเวลาไปเป็นเส้นโค้งเรียบของการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียล จบการพิสูจน์ ${\displaystyle X(s,t,x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{2},{\mathfrak {X}}(M))}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \operatorname {evol} _{\operatorname {Diff} (M)}^{r}}$

สำหรับแมนิโฟลด์มิติจำกัดและที่มีคอมแพ็กต์ ปริภูมิของการฝังเรียบทั้งหมดของลงในจะเป็นปริภูมิเปิดในดังนั้น จึงเป็นแมนิโฟลด์เรียบ กลุ่มดิฟเฟอโอเมอร์ฟิซึมกระทำอย่างอิสระและราบรื่นจากทางขวาบน ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {Emb} (M,N)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle C^{\infty }(M,N)}$${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$${\displaystyle \operatorname {Emb} (M,N)}$

ทฤษฎีบท: เป็นมัดเส้นใยหลักที่มีกลุ่มโครงสร้าง ${\displaystyle \operatorname {Emb} (M,N)\to \operatorname {Emb} (M,N)/\operatorname {Diff} (M)}$${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$

บทพิสูจน์:ใช้เมตริกแบบรีมันน์เสริมบน อีกครั้ง กำหนดให้มองว่า เป็นส่วนย่อยของและแยกการจำกัดของมัดสัมผัสบนออกเป็นส่วนย่อยที่ตั้งฉากกับและสัมผัสกับเป็น เลือกย่านใกล้เคียงแบบท่อ ${\displaystyle {\bar {g}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f\in \operatorname {Emb} (M,N)}$${\displaystyle f(M)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle TN}$${\displaystyle f(M)}$${\displaystyle f(M)}$${\displaystyle f(M)}$${\displaystyle TN|_{f(M)}=\operatorname {Nor} (f(M))\oplus Tf(M)}$

${\displaystyle p_{f(M)}:\operatorname {Nor} (f(M))\supset W_{f(M)}\to f(M).}$

ถ้าอยู่ใกล้กับแล้ว ${\displaystyle g:M\to N}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \phi (g):=f^{-1}\circ \,p_{f(M)}\circ \,g\in \operatorname {Diff} (M)\quad {\text{and}}\quad g\circ \,\phi (g)^{-1}\in \Gamma (f^{*}W_{f(M)})\subset \Gamma (f^{*}\operatorname {Nor} (f(M))).}$

นี่คือการแบ่งส่วนท้องถิ่นที่จำเป็นพิสูจน์แล้ว

ภาพรวมของการประยุกต์ใช้เรขาคณิตของปริภูมิรูปทรงและกลุ่มดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมสามารถพบได้ใน [Bauer, Bruveris, Michor, 2014]