ใน คณิตศาสตร์ เชิง ฟังก์ชัน และเชิงนูนรวมถึงสาขาคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง เซตเชิงขั้ว เป็นเซตเชิงนูนพิเศษที่เชื่อมโยงกับเซตย่อยใดๆของปริภูมิเวกเตอร์ที่อยู่ในปริภูมิคู่ ขนาน เซตสองขั้วของเซตย่อยหนึ่งคือ เซตเชิงขั้วของอีกเซตหนึ่งแต่ เซต สองขั้ว นั้นอยู่ในปริภูมิคู่ขนาน (ไม่ใช่ปริภูมิคู่ขนาน) ${\displaystyle A^{\circ }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle A^{\circ },}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$

มีคำจำกัดความที่แข่งขันกันอย่างน้อยสามประการของขั้วของเซต ซึ่งมีต้นกำเนิดมาจากเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟและการวิเคราะห์นูน^{[ 1 ]} ในแต่ละกรณี คำจำกัดความจะอธิบายความเป็นคู่ระหว่างเซตย่อยบางส่วนของการจับคู่ของปริภูมิเวกเตอร์ เหนือจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ( และมักจะเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS)) ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ถ้าเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือฟิลด์แล้ว เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น โดยปกติ แต่ไม่เสมอไป จะเป็นปริมาณเวกเตอร์ของฟังก์ชันเชิงเส้นบนและการจับคู่คู่จะเป็นแผนที่การประเมินเชิงเส้นคู่ ( ที่จุด ) ที่กำหนดโดย ถ้าเป็นปริมาณเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแล้ว ปริมาณโดยปกติ แต่ไม่เสมอไป จะเป็นปริมาณคู่ต่อเนื่องของซึ่งในกรณีนี้ การจับคู่คู่จะเป็นแผนที่การประเมินอีกครั้ง ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times Y\to \mathbb {K} }$$${\displaystyle \langle x,f\rangle :=f(x)}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$

ให้ แทนทรงกลมปิดรัศมีโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดในฟิลด์สเกลาร์พื้นฐานของด้วย ${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X}$$${\displaystyle B_{r}:=B_{r}^{\mathbb {K} }:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}.}$$

สมมติว่าเป็นการจับคู่ ขั้วหรือขั้วสัมบูรณ์ของเซตย่อยของคือเซต: ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\langle a,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\sup |\langle A,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ โดยที่ }}|\langle A,y\rangle |:=\{|\langle a,y\rangle |:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\langle A,y\rangle \subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ โดยที่ }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

โดยที่หมายถึงภาพของเซตภายใต้แผนที่ที่กำหนดโดย ถ้าหมายถึงส่วนนูนสมดุลของซึ่งตามคำนิยามคือ เซต ย่อยนูนและสมดุล ที่เล็กที่สุด ของที่บรรจุแล้ว${\displaystyle \langle A,y\rangle :=\{\langle a,y\rangle :a\in A\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle \cdot ,y\rangle :X\to \mathbb {K} }$${\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle .}$${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A^{\circ }=[\operatorname {cobal} A]^{\circ }.}$

นี่คือการเลื่อนเชิงเส้นของนิยามทางเรขาคณิต ซึ่งมีลักษณะเฉพาะที่มีประโยชน์คือ โพลาร์เชิงฟังก์ชันวิเคราะห์ของลูกบอลหน่วย (ใน) คือลูกบอลหน่วย (ใน) อย่างแม่นยำ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

พรีโพลาร์หรือพรีโพลาร์สัมบูรณ์ของเซตย่อยของคือเซต: ${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}|\langle x,b\rangle |\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup |\langle x,B\rangle |\leq 1\}}$$

บ่อยครั้งที่พรีโพลาร์ของเซตย่อยของก็ถูกเรียกว่าโพลาร์หรือโพลาร์สัมบูรณ์ของและใช้สัญลักษณ์ แทนด้วยในทางปฏิบัติ การนำสัญลักษณ์และการใช้คำว่า "โพลาร์" ซ้ำกันเช่นนี้ แทบจะไม่ก่อให้เกิดปัญหาใดๆ (เช่น ความกำกวม) และผู้เขียนหลายคนก็ไม่ได้ใช้คำว่า "พรีโพลาร์" ด้วยซ้ำ ${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{\circ }}$

ไบโพลาร์ของเซตย่อยของซึ่งมักแสดงด้วยคือเซต; นั่นคือ ${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A^{\circ \circ },}$${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)}$$${\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X~:~\sup _{y\in A^{\circ }}|\langle x,y\rangle |\leq 1\right\}.}$$

โพลาร์จริงของเซตย่อยของคือเซต: และพรีโพลาร์จริงของเซตย่อยของคือเซต: ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle A^{r}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} \langle a,y\rangle \leq 1\right\}}$$${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle {}^{r}B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}\operatorname {Re} \langle x,b\rangle \leq 1\right\}.}$$

เช่นเดียวกับพรีโพลาร์สัมบูรณ์ พรีโพลาร์จริงมักเรียกว่าโพลาร์จริงและยังแสดงด้วย^{[ 2 ]} สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าผู้เขียนบางคน (เช่น [Schaefer 1999]) นิยามคำว่า "โพลาร์" ให้หมายถึง "โพลาร์จริง" (แทนที่จะเป็น "โพลาร์สัมบูรณ์" ดังที่ทำในบทความนี้) และใช้สัญลักษณ์สำหรับคำนั้น (แทนที่จะเป็นสัญลักษณ์ที่ใช้ในบทความนี้และใน [Narici 2011]) ${\displaystyle B^{r}.}$${\displaystyle A^{\circ }}$${\displaystyle A^{r}}$

ไบโพลาร์จริงของเซตย่อยของบางครั้งแสดงด้วยคือเซต; มันเท่ากับการปิดของส่วนนูนของ^{[ 2 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A^{rr},}$${\displaystyle {}^{r}\left(A^{r}\right)}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle A\cup \{0\}.}$

สำหรับเซตย่อยของ เป็นเซตแบบนูนปิด และมี^{[ 2 ]} โดยทั่วไป เป็นไปได้ที่แต่ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเป็นเซตแบบสมดุลยิ่งไปกว่านั้นโดยที่แสดงถึงขอบเขตสมดุลของ^{[ 2 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A^{r}}$${\displaystyle \sigma (Y,X)}$${\displaystyle A^{\circ }.}$${\displaystyle A^{\circ }\neq A^{r}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\circ }=\left(\operatorname {bal} \left(A^{r}\right)\right)}$${\displaystyle \operatorname {bal} \left(A^{r}\right)}$${\displaystyle A^{r}.}$

นิยามของ "ขั้ว" ของเซตนั้นไม่ได้เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไป แม้ว่าบทความนี้จะนิยาม "ขั้ว" ว่าหมายถึง "ขั้วสัมบูรณ์" แต่ผู้เขียนบางคนนิยาม "ขั้ว" ว่าหมายถึง "ขั้วจริง" และผู้เขียนคนอื่นๆ ก็ใช้นิยามอื่นๆ อีก ไม่ว่าผู้เขียนจะนิยาม "ขั้ว" อย่างไรก็ตาม สัญลักษณ์ที่ใช้มักจะแสดงถึงการเลือกนิยามของผู้เขียน (ดังนั้นความหมายของสัญลักษณ์อาจแตกต่างกันไปในแต่ละแหล่งข้อมูล) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ขั้วของบางครั้งถูกนิยามดังนี้: โดยที่สัญลักษณ์ที่ใช้ไม่ใช่สัญลักษณ์มาตรฐาน ${\displaystyle A^{\circ }}$${\displaystyle A^{\circ }}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle A^{|r|}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\operatorname {Re} \langle a,y\rangle |\leq 1\right\}}$$${\displaystyle A^{|r|}}$

ต่อไปนี้เราจะกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างคำจำกัดความต่างๆ เหล่านี้โดยสังเขป และเมื่อใดที่คำจำกัดความเหล่านั้นมีความหมายเทียบเท่ากัน

โดยทั่วไปแล้ว และถ้าเป็นจำนวนจริง (หรือเทียบเท่ากับถ้าและเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือ) แล้ว$${\displaystyle A^{\circ }~\subseteq ~A^{|r|}~\subseteq ~A^{r}}$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}.}$

ถ้าเป็นเซตสมมาตร (นั่นคือหรือเทียบเท่ากับ) แล้วโดยที่ ถ้าเป็นค่าจริงด้วยแล้ว${\displaystyle A}$${\displaystyle -A=A}$${\displaystyle -A\subseteq A}$${\displaystyle A^{|r|}=A^{r}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}=A^{r}.}$

ถ้าและเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือ(ดังนั้น จึงเป็นปริมาณเชิงซ้อน) และถ้า(โดยสังเกตว่านี่หมายถึงและ) แล้ว โดย ที่ถ้า นอกจากนี้สำหรับจำนวนจริงทั้งหมดแล้ว${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle iA\subseteq A}$${\displaystyle -A=A}$${\displaystyle iA=A}$$${\displaystyle A^{\circ }\subseteq A^{|r|}=A^{r}\subseteq \left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}A\right)^{\circ }}$$${\displaystyle e^{ir}A\subseteq A}$${\displaystyle r}$${\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}$

ดังนั้น เพื่อให้คำจำกัดความทั้งหมดของเซตขั้วของ สอดคล้องกัน ก็เพียงพอแล้วที่สำหรับสเกลาร์ทั้งหมดที่มีความยาวหนึ่งหน่วย^{[หมายเหตุ 1 ]} (ซึ่งเทียบเท่ากับสำหรับสเกลาร์ที่มีความยาวหนึ่งหน่วยทั้งหมด) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คำจำกัดความทั้งหมดของเซตขั้วของ สอดคล้องกันเมื่อเป็นเซตที่สมดุล (ซึ่งมักจะเป็นเช่นนั้น แต่ไม่เสมอไป) ดังนั้นบ่อยครั้ง การเลือกใช้คำจำกัดความใดในคำจำกัดความที่แข่งขันกันเหล่านี้จึงไม่สำคัญ อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างเหล่านี้ในคำจำกัดความของ "เซตขั้ว" ของเซตบางครั้งอาจนำไปสู่ความแตกต่างทางเทคนิคที่ละเอียดอ่อนหรือสำคัญเมื่อไม่จำเป็นต้องสมดุล ${\displaystyle A}$${\displaystyle sA\subseteq A}$${\displaystyle s}$${\displaystyle sA=A}$${\displaystyle s}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ปริภูมิคู่พีชคณิต

ถ้าเป็นปริมาณเวกเตอร์ใดๆ แล้วให้แทนปริมาณเวกเตอร์คู่เชิงพีชคณิตของซึ่งเป็นเซตของฟังก์ชันเชิงเส้น ทั้งหมด บนปริมาณเวกเตอร์เป็นเซตย่อยปิดของปริมาณ เวกเตอร์ ของฟังก์ชันค่า บน เสมอภายใต้โทโพโลยีของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด ดังนั้นเมื่อมีโทโพโลยีของปริมาณเวกเตอร์ย่อยแล้วจะกลายเป็นปริมาณเวกเตอร์ เชิงโทโพโลยีแบบนูน เฉพาะที่ที่สมบูรณ์แบบ เฮา ส์ดอร์ฟ (TVS) สำหรับเซตย่อยใดๆให้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle A\subseteq X,}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\#}:=A^{\circ ,\#}:=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{a\in A}|f(a)|\leq 1\right\}&&\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup |f(A)|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}|f(A)|:=\{|f(a)|:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~f(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

ถ้าเป็นเซตย่อยใดๆ แล้วและโดยที่แทนส่วนนูนสมดุลของ สำหรับปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดใดๆของให้แทนโทโพโลยีแบบยุคลิดบนซึ่งเป็นโทโพโลยีเฉพาะที่ทำให้เป็น ปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยี แบบเฮา ส์ดอร์ฟ (TVS) ถ้าแทนการรวมกันของส่วนปิด ทั้งหมด เมื่อเปลี่ยนแปลงไปตามปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดทั้งหมดของแล้ว(ดูเชิงอรรถนี้^{[หมายเหตุ 2 ]} สำหรับคำอธิบาย) ถ้าเป็นเซตย่อยดูดซับของแล้วโดยทฤษฎีบท Banach–Alaogluเป็นเซตย่อยกระชับแบบอ่อน*ของ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$${\displaystyle B^{\#}\subseteq A^{\#}}$${\displaystyle A^{\#}=[\operatorname {cobal} A]^{\#},}$${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \tau _{Y}}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A^{\#}=\left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A^{\#}}$${\displaystyle X^{\#}.}$

ถ้าเป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างใดๆ ของปริภูมิเวกเตอร์และถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ของฟังก์ชันเชิงเส้นบน(นั่นคือ ปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของปริภูมิคู่พีชคณิตของ) แล้ว แผนที่ค่าจริง ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle |\,\cdot \,|_{A}\;:\,Y\,\to \,\mathbb {R} }$    กำหนดโดย    ${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{A}~:=~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|~:=~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|}$

ถ้า ถ้า เป็นเช่นนั้นตามนิยามของค่าสูงสุดดังนั้นแผนที่ที่กำหนดไว้ข้างต้นจะไม่ใช่ค่าจริง และด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่ค่ากึ่งนอร์ม ${\displaystyle Y.}$${\displaystyle A=\varnothing }$${\displaystyle \,\sup \left|x^{\prime }(A)\right|=-\infty \,}$${\displaystyle \,|\,\cdot \,|_{\varnothing }=-\infty \,}$

พื้นที่คู่ต่อเนื่อง

สมมติว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) ที่มีปริภูมิคู่ต่อเนื่อง กรณีพิเศษที่สำคัญซึ่งและวงเล็บแสดงถึงแผนที่แคนอนิก: จะถูกพิจารณาต่อไปนี้ สามสิ่งนี้เรียกว่าการจับคู่แคนอนิกที่เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle Y:=X^{\prime }}$$${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$$${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$${\displaystyle X.}$

โพลาร์ของเซตย่อยที่สัมพันธ์กับการจับคู่แบบแคนอนิกนี้คือ: ${\displaystyle A\subseteq X}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ because }}\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(a)\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}\left|x^{\prime }(A)\right|:=\left\{\left|x^{\prime }(a)\right|:a\in A\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~x^{\prime }(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

สำหรับเซตย่อยใดๆที่หมายถึงการปิดของใน${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle A^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}A\right]^{\circ }}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$

ทฤษฎีบทBanach–Alaogluกล่าวว่า ถ้าเป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในแล้วและเซตขั้วนี้เป็นเซตย่อยกระชับของปริภูมิคู่ต่อเนื่องเมื่อมีโทโพโลยีแบบอ่อน-* (หรือที่รู้จักกันในชื่อโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด) ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A^{\circ }=A^{\#}}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$

ถ้าเงื่อนไขนี้ใช้ได้กับค่าคงที่ทุกค่าที่มีความยาวหนึ่งหน่วย เราอาจแทนที่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ด้วย(ตัวดำเนินการส่วนจริง) ดังนี้: ${\displaystyle A}$${\displaystyle sA\subseteq A}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \operatorname {Re} }$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }=A^{r}:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} x^{\prime }(a)\leq 1\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \operatorname {Re} x^{\prime }(A)\leq 1\right\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

ค่าพรีโพลาร์ของเซตย่อยของคือ: ${\displaystyle B}$${\displaystyle Y=X^{\prime }}$$${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\left|b^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}=\{x\in X:\sup |B(x)|\leq 1\}}$$

ถ้าเงื่อนไขนี้ใช้ได้กับสเกลาร์ทุกตัวที่มีความยาวหนึ่งหน่วยแล้ว เราอาจแทนที่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ด้วย ได้ดังนี้: โดยที่${\displaystyle B}$${\displaystyle sB\subseteq B}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \operatorname {Re} }$$${\displaystyle {}^{\circ }B=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\operatorname {Re} b^{\prime }(x)\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup \operatorname {Re} B(x)\leq 1\}}$$${\displaystyle B(x):=\left\{b^{\prime }(x)~:~b^{\prime }\in B\right\}.}$

ทฤษฎีบทไบโพลาร์อธิบายลักษณะไบโพลาร์ของเซตย่อยในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี

ถ้าเป็นปริภูมิบรรทัดฐาน และเป็นลูกบอลหน่วยเปิดหรือปิดใน(หรือแม้แต่เซตย่อยใดๆ ของลูกบอลหน่วยปิดที่ประกอบด้วยลูกบอลหน่วยเปิด) แล้วจะเป็นลูกบอลหน่วยปิดในปริภูมิคู่ต่อเนื่องเมื่อมีบรรทัดฐานคู่แบบ แคนอนิ ก ${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{\circ }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$

กรวยขั้วของกรวยนูนคือเซต ${\displaystyle A\subseteq X}$$${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y~:~\sup _{x\in A}\langle x,y\rangle \leq 0\right\}}$$

คำจำกัดความนี้ให้ความเป็นคู่กันระหว่างจุดและระนาบไฮเปอร์ โดยเขียนระนาบไฮเปอร์เป็นจุดตัดของครึ่งพื้นที่สองพื้นที่ที่มีทิศทางตรงข้ามกัน ระนาบไฮเปอร์ขั้วของจุดคือโลคัสความ สัมพันธ์ แบบคู่กันสำหรับระนาบไฮเปอร์จะให้จุดขั้วของระนาบไฮเปอร์นั้น^{[ 3 ]}${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \{y~:~\langle y,x\rangle =0\}}$

ผู้เขียนบางคน (อย่างสับสน) เรียกกรวยคู่ว่ากรวยขั้ว เราจะไม่ปฏิบัติตามธรรมเนียมนั้นในบทความนี้^{[ 4 ]}

เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นจะเป็นการจับคู่โทโพโลยีคือโทโพโลยีแบบอ่อน*บนในขณะที่คือโทโพโลยีแบบอ่อนบน สำหรับเซตใดๆหมายถึงโพลาร์จริงของและหมายถึงโพลาร์สัมบูรณ์ของ คำว่า "โพลาร์" จะหมายถึงโพลาร์ สัมบูรณ์${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$${\displaystyle \sigma (Y,X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A^{r}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\circ }}$${\displaystyle A.}$

• ^{ขั้ว (}สัมบูรณ์) ของเซตเป็นนูนและสมดุล [ ^{5 ]}
• ขั้วจริงของเซตย่อยของเป็นแบบนูนแต่ไม่จำเป็นต้องสมดุลจะสมดุลก็ต่อเมื่อสมดุล^{[ 6 ]}${\displaystyle A^{r}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A^{r}}$${\displaystyle A}$
• ถ้าสำหรับสเกลาร์ทั้งหมดที่มีความยาวหนึ่งหน่วยแล้ว${\displaystyle sA\subseteq A}$${\displaystyle s}$${\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}$
• ${\displaystyle A^{\circ }}$ถูกปิดภายใต้ โทโพ ^โลยีแบบอ่อน-*บน[ ^{3 ]}${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$
• เซตย่อยของ นั้นมีขอบเขตอย่างอ่อน (เช่น^มีขอบเขต) ก็ต่อเมื่อดูดซับใน[ ^{2 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle S^{\circ }}$${\displaystyle Y}$
• สำหรับคู่คู่ที่เป็น TVS และเป็นปริภูมิคู่ต่อเนื่อง ถ้ามีขอบเขตแล้วจะดูดซับใน^{[ 5 ]}ถ้ามีความนูนเฉพาะที่และดูดซับในแล้วจะมีขอบเขตในยิ่งไปกว่านั้น เซตย่อยของจะมีขอบเขตอย่างอ่อนก็ต่อเมื่อดูดซับใน${\displaystyle \langle X,X^{\prime }\rangle ,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle B^{\circ }}$${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B^{\circ }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{\circ }}$${\displaystyle X^{\prime }.}$
• ไบโพลาร์ของเซตคือ เปลือก นูนปิดของ เซตนั้น ซึ่งเป็น เซตปิดและนูนที่เล็กที่สุด ที่บรรจุทั้ง และ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle A\cup \{0\},}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 0.}$
  • ในทำนองเดียวกัน กรวยคู่ของกรวยคือเปลือกกรวยปิดของ^{[ 7 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle A.}$
• ถ้าเป็นฐานที่จุดกำเนิดสำหรับ TVS แล้ว^{[ 8 ]}${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }=\bigcup _{B\in \mathbb {B} }\left(B^{\circ }\right).}$
• ถ้าเป็น TVS ที่มีความนูนเฉพาะที่แล้ว โพลาร์ (ที่พิจารณาเทียบกับ) ของฐานย่านใกล้เคียง 0 ใดๆ จะก่อให้เกิดตระกูลพื้นฐานของเซตย่อยที่มีความต่อเนื่องเท่ากันของ(กล่าวคือ เมื่อกำหนดเซตย่อยที่มีขอบเขตใดๆของจะมีย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในเช่นนั้น) ^{[ 6 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime },}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H\subseteq S^{\circ }}$
  • ในทางกลับกัน ถ้าเป็น TVS นูนเฉพาะที่แล้ว โพลาร์ (ที่พิจารณาเทียบกับ) ของตระกูลพื้นฐานใดๆ ของเซตย่อยที่มีความต่อเนื่องเท่ากันของจะสร้างฐานใกล้เคียงของจุดกำเนิดใน^{[ 6 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \langle X,X^{\#}\rangle }$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X.}$
• ให้TVS เป็นโทโพโลยีจากนั้นจะเป็นโทโพโลยี TVS นูนเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อเป็นโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอบนเซตย่อยที่มีความต่อเนื่องเท่ากันของ^{[ 6 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X^{\prime }.}$

ผลลัพธ์สองข้อสุดท้ายอธิบายว่าเหตุใดเซตย่อยที่มีความต่อเนื่องเท่ากันของปริภูมิคู่ต่อเนื่องจึงมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันสมัยใหม่: เนื่องจากเซตย่อยที่มีความต่อเนื่องเท่ากันนั้นรวบรวมข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับโทโพโลยีดั้งเดิมของ ปริภูมิที่มีความนูนเฉพาะที่ไว้${\displaystyle X}$

ความสัมพันธ์ของชุดข้อมูล

• ${\displaystyle X^{\circ }=X^{|r|}=X^{r}=\{0\}}$^{[ 6 ]}และ${\displaystyle \varnothing ^{\circ }=\varnothing ^{|r|}=\varnothing ^{r}=Y.}$
• สำหรับสเกลาร์ทั้งหมดและสำหรับจำนวนจริงทั้งหมดและ${\displaystyle s\neq 0,}$${\displaystyle (sA)^{\circ }={\tfrac {1}{s}}\left(A^{\circ }\right)}$${\displaystyle t\neq 0,}$${\displaystyle (tA)^{|r|}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{|r|}\right)}$${\displaystyle (tA)^{r}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{r}\right).}$
• ${\displaystyle A^{\circ \circ \circ }=A^{\circ }.}$อย่างไรก็ตาม สำหรับขั้วจริงเรามี^{[ 6 ]}${\displaystyle A^{rrr}\subseteq A^{r}.}$
• สำหรับเซตจำนวนจำกัดใดๆ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}$$${\displaystyle \left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right)^{\circ }=\left(A_{1}^{\circ }\right)\cup \cdots \cup \left(A_{n}^{\circ }\right).}$$
• ถ้าเช่นนั้นและ${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle B^{\circ }\subseteq A^{\circ },}$${\displaystyle B^{r}\subseteq A^{r},}$${\displaystyle B^{|r|}\subseteq A^{|r|}.}$
  • ผลที่ตามมาโดยตรงคือความเท่าเทียมกันนั้นเกิดขึ้นอย่างแน่นอนเมื่อมีค่าจำกัด และอาจไม่เกิดขึ้นหากมีค่าอนันต์${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)\subseteq \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}$และ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{r}\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{r}.}$
• ถ้าเป็นกรวยในแล้ว^{[ 5 ]}${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{\circ }=\left\{y\in Y:\langle c,y\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\right\}.}$
• ถ้าเป็นตระกูลของเซตย่อยปิดของที่มีอยู่แล้ว โพลาร์จริงของจะเป็นเปลือกนูนปิดของ^{[ 6 ]}${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0\in X,}$${\displaystyle \cap _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle \cup _{i\in I}\left(S_{i}^{r}\right).}$
• ถ้าเช่นนั้น^{[ 9 ]}${\displaystyle 0\in A\cap B}$${\displaystyle A^{\circ }\cap B^{\circ }\subseteq 2\left[(A+B)^{\circ }\right]\subseteq 2\left(A^{\circ }\cap B^{\circ }\right).}$
• สำหรับกรวยนูน ปิด ในปริภูมิเวกเตอร์จริงกรวยขั้วคือขั้วของ; นั่นคือโดยที่^{[ 1 ]}${\displaystyle C}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle C^{\circ }=\{y\in Y:\sup _{}\langle C,y\rangle \leq 0\},}$$${\displaystyle \sup _{}\langle C,y\rangle :=\sup _{c\in C}\langle c,y\rangle .}$

• ทฤษฎีบทบานาค-อะลาโอกลู  – ทฤษฎีบทในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน
• ทฤษฎีบทไบโพลาร์  – ทฤษฎีบทในการวิเคราะห์เชิงนูน
• กรวยขั้วโลก  – แนวคิดในการวิเคราะห์ความนูนPages displaying short descriptions of redirect targets
• โทโพโลยีเชิงขั้ว  – โทโพโลยีของปริภูมิคู่ที่มีการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในกลุ่มย่อยของเซตที่มีขอบเขต
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่  – ปริภูมิที่มีทอพอโลยีที่สร้างขึ้นจากเซตแบบนูน
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี  – ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีแนวคิดเรื่องความใกล้เคียง

• จาร์โชว, ฮันส์ (1981) ช่องว่างนูนเฉพาะที่ สตุ๊ตการ์ท : บีจี ทอยบเนอร์ไอเอสบีเอ็น 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• เคอเธ่ กอตต์ฟรีด (1983) [1969] ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี I. กรุนเดิลเริน เดอร์ มาเทมาติเชน วิสเซนชาฟเทิน ฉบับที่ 159. แปลโดย Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media ไอเอสบีเอ็น 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . Cambridge Tracts in Mathematics . เล่มที่ 53. เคมบริดจ์ ประเทศอังกฤษ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• วิลานสกี, อัลเบิร์ต (2013). วิธีการสมัยใหม่ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ อิงค์. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .