ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทไบโพลาร์เป็นทฤษฎีบทในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันที่อธิบายลักษณะของไบโพลาร์ (นั่นคือโพลาร์ของโพลาร์) ของเซต ในการวิเคราะห์เชิงนูนทฤษฎีบทไบโพลาร์หมายถึงเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับกรวยที่จะเท่ากับไบโพลาร์ ของมัน ทฤษฎีบทไบโพลาร์สามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทเฟนเชล-โมโร^{[ 1 ] : 76–77}

สมมติว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) ที่มีปริภูมิคู่ต่อเนื่องและให้สำหรับทุกและส่วนนูน ของเซตที่ใช้สัญลักษณ์ คือ เซตนูนที่เล็กที่สุดที่บรรจุ ส่วนนูนสมดุลของเซตคือ เซตนูนสมดุลที่เล็กที่สุดที่บรรจุ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }.}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {co} A,}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A.}$

โพลาร์ของเซตย่อยถูกกำหนดให้เป็น: ในขณะที่พรีโพลาร์ของเซตย่อยคือ: ไบโพลาร์ของเซตย่อยซึ่งมักใช้สัญลักษณ์แทนด้วยคือเซต ${\displaystyle A\subseteq X}$$${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.}$$${\displaystyle B\subseteq X^{\prime }}$$${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X:\sup _{x^{\prime }\in B}\left|\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.}$$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle A^{\circ \circ }}$$${\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X:\sup _{x^{\prime }\in A^{\circ }}\left|\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.}$$

ให้แทนโทโพโลยีแบบอ่อนบน(นั่นคือ โทโพโลยี TVS ที่อ่อนที่สุดบน ที่ทำให้ฟังก์ชันเชิงเส้นทั้งหมดมีความต่อเนื่อง) ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$

ทฤษฎีบทไบโพลาร์ : ^{[ 2 ]}ไบโพลาร์ของเซตย่อยเท่ากับการปิดของเปลือกสมดุลนูนของ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$${\displaystyle A.}$

ทฤษฎีบทไบโพลาร์ : ^{[ 1 ] : 54 [ 3 ]}สำหรับกรวยที่ไม่ว่าง ใดๆ ในปริภูมิเชิงเส้น บางปริภูมิ เซตไบโพลาร์จะกำหนดโดย:${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A^{\circ \circ }}$

$${\displaystyle A^{\circ \circ }=\operatorname {cl} (\operatorname {co} \{ra:r\geq 0,a\in A\}).}$$

เซตย่อยเป็นกรวยนูนปิดที่ ไม่ว่าง ก็ต่อเมื่อเมื่อโดยที่แทนกรวยคู่บวกของเซต^{[ 3 ] [ 4 ]} หรือโดยทั่วไป ถ้าเป็นกรวยนูนที่ไม่ว่าง กรวยสองขั้วจะกำหนดโดย ${\displaystyle C\subseteq X}$${\displaystyle C^{++}=C^{\circ \circ }=C}$${\displaystyle C^{++}=\left(C^{+}\right)^{+},}$${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle C^{\circ \circ }=\operatorname {cl} C.}$$

ให้ เป็นฟังก์ชันตัวบ่งชี้สำหรับกรวย จากนั้นคอนจูเกตนูนคือ ฟังก์ชันสนับสนุนสำหรับและ ดังนั้นถ้าและเฉพาะเมื่อ^{[ 1 ] : 54 [ 4 ]}$${\displaystyle f(x):=\delta (x|C)={\begin{cases}0&x\in C\\\infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle C.}$$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\delta \left(x^{*}|C^{\circ }\right)=\delta ^{*}\left(x^{*}|C\right)=\sup _{x\in C}\langle x^{*},x\rangle }$$${\displaystyle C,}$${\displaystyle f^{**}(x)=\delta (x|C^{\circ \circ }).}$${\displaystyle C=C^{\circ \circ }}$${\displaystyle f=f^{**}.}$

• ระบบคู่  – คู่ปริภูมิเวกเตอร์
• ทฤษฎีบทเฟนเชล-โมโร  – ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์เชิงนูน − การขยายความของทฤษฎีบทไบโพลาร์
• เซตขั้ว  – เซตย่อยของจุดทั้งหมดที่ถูกล้อมรอบด้วยจุดที่กำหนดบางจุดของเซตคู่ (ในการจับคู่แบบคู่)

• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .