เอลี การ์ตัน
ศาสตราจารย์ เอลี โจเซฟ คาร์ตัน
เกิด	( 9 เมษายน 1869 )9 เมษายน พ.ศ. 2412 โดโลมิเยอ, อิแซร์ , ฝรั่งเศส
เสียชีวิต	6 พฤษภาคม 1951 (6 พฤษภาคม 1951)(อายุ 82 ปี) ปารีส ประเทศฝรั่งเศส
อัลมา มัธยฐาน	มหาวิทยาลัยปารีส
เป็นที่รู้จักในด้าน	กลุ่มลี ( ทฤษฎีบทของคาร์ตัน ) ปริภูมิเวกเตอร์และพีชคณิตภายนอกเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ สัมพัทธภาพพิเศษและทั่วไปรูปแบบเชิงอนุพันธ์กลศาสตร์ควอนตัม ( สปินเนอร์เวกเตอร์หมุน ) รายชื่อสิ่งต่างๆ ที่ตั้งชื่อตามเอลี คาร์ตัน
เด็ก	อองรี การ์ตัน
ญาติ	แอนนา คาร์ตัน (น้องสาว)
รางวัล	รางวัลเลอคองต์(1930) รางวัลโลบาเชฟสกี(1937)ประธานสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งฝรั่งเศส(1946) สมาชิกราชสมาคม(1947)
เส้นทางอาชีพด้านวิทยาศาสตร์
ฟิลด์	คณิตศาสตร์และฟิสิกส์
สถาบันต่างๆ	มหาวิทยาลัยปารีสÉcole Normale Supérieure
วิทยานิพนธ์	โครงสร้าง Sur la des groupes de การเปลี่ยนแปลง finis et continus  (1894)
อาจารย์ที่ปรึกษาปริญญาเอก	กาสตง ดาร์บูซ์โซฟัส ลี
นักศึกษาปริญญาเอก	ชาร์ลส์ เอห์เรสมานน์โมห์เซน ฮัชทรูดี เคนทาโร ยาโน
นักเรียนที่โดดเด่นคนอื่นๆ	ชิงเชิน เชิน

Élie Joseph Cartan ForMemRS ( ภาษาฝรั่งเศส: [kaʁtɑ̃] ; 9 เมษายน 1869 – 6 พฤษภาคม 1951) เป็นนักคณิตศาสตร์ ชาวฝรั่งเศสผู้ทรงอิทธิพล ซึ่งทำงานพื้นฐานในทฤษฎีกลุ่ม Lieระบบเชิงอนุพันธ์ (การกำหนดทางเรขาคณิตแบบไร้พิกัดของPDE ) และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เขายังมีส่วนสำคัญต่อทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและทางอ้อมต่อกลศาสตร์ควอนตัม [ ^{1 ] [ 2 ] [ 3 ] เขา} ได้รับการยกย่องอย่างกว้างขวางว่าเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของศตวรรษที่ 20 ^{[ 3 ]}

อองรี การ์ตันบุตรชายของเขาเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ทรงอิทธิพลที่ทำงานด้าน โทโพโล ยี เชิงพีชคณิต

เอลี การ์ตัน เกิดเมื่อวันที่ 9 เมษายน ค.ศ. 1869 ในหมู่บ้านโดโลมิเยอ จังหวัดอิแซร์ บิดาชื่อโจเซฟ การ์ตัน (ค.ศ. 1837–1917) และมารดาชื่อ แอนน์ คอตตาซ (ค.ศ. 1841–1927) โจเซฟ การ์ตัน เป็นช่างตีเหล็กประจำหมู่บ้าน เอลี การ์ตัน เล่าว่าวัยเด็กของเขาผ่านไปภายใต้ "เสียงทุบของทั่ง ซึ่งเริ่มต้นทุกเช้าตั้งแต่รุ่งสาง" และ "ในช่วงเวลาอันน้อยนิดที่แม่ของเขาว่างจากการดูแลลูกๆ และบ้าน เธอก็กำลังทำงานกับเครื่องปั่นด้าย" เอลีมีพี่สาวชื่อ ฌานน์-มารี (ค.ศ. 1867–1931) ซึ่งเป็นช่างตัดเย็บเสื้อผ้า และน้องชายชื่อ เลออน (ค.ศ. 1872–1956) ซึ่งเป็นช่างตีเหล็กทำงานในโรงตีเหล็กของบิดา และน้องสาวAnna Cartan (พ.ศ. 2421-2466) ซึ่งส่วนหนึ่งอยู่ภายใต้อิทธิพลของÉlie ได้เข้าสู่École Normale Supérieure (เหมือนที่Élie เคยทำมาก่อน) และเลือกอาชีพเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ที่ lycée (โรงเรียนมัธยมศึกษา)

เอลี การ์ตัน เข้าเรียนในโรงเรียนประถมศึกษาที่โดโลมิเยอ และเป็นนักเรียนที่เรียนดีที่สุดในโรงเรียน ครูคนหนึ่งของเขา ม. ดูปุยส์ เล่าว่า "เอลี การ์ตัน เป็นนักเรียนขี้อาย แต่ดวงตาของเขามีประกายแห่งสติปัญญาอันสูงส่ง และมีความจำที่ยอดเยี่ยม" แอนโทนิน ดูบอสต์ซึ่งในขณะนั้นเป็นตัวแทนของอิแซร์ได้มาเยี่ยมโรงเรียนและประทับใจในความสามารถพิเศษของการ์ตัน เขาจึงแนะนำให้การ์ตันเข้าร่วมการแข่งขันเพื่อรับทุนการศึกษาในโรงเรียนมัธยมการ์ตันเตรียมตัวสำหรับการแข่งขันภายใต้การดูแลของม. ดูปุยส์ และสอบผ่านเมื่ออายุสิบขวบ เขาใช้เวลาห้าปี (1879–1884) ที่วิทยาลัยเวียนน์และจากนั้นอีกสองปี (1884–1886) ที่โรงเรียนมัธยมเกรโนเบิลในปี 1886 เขาได้ย้ายไปเรียนวิทยาศาสตร์ ที่ โรงเรียนมัธยมฌองซง เดอ ซายลีในปารีส เป็นเวลาสองปี ^{[ 4 ]}ที่นั่นเขาได้พบและเป็นเพื่อนกับเพื่อนร่วมชั้นของเขาJean-Baptiste Perrin (1870–1942) ซึ่งต่อมากลายเป็นนักฟิสิกส์ ชื่อดัง ในฝรั่งเศส

คาร์ตันเข้าเรียนที่École Normale Supérieureในปี 1888 ซึ่งเขาได้เข้าร่วมฟังการบรรยายจากอาจารย์หลายท่าน ได้แก่ชาร์ลส์ แอร์ไมต์ (1822–1901), จูลส์ แทนเนอรี ( 1848–1910), กาสต ง ดาร์บูซ์ (1842–1917) , ปอล อัปเปล (1855–1930), เอมิล ปิ การ์ด ( 1856–1941), เอ็ดวาร์ด กูร์ซาต์ (1858–1936) และอองรี ปวงกาเร (1854–1912) ซึ่งคาร์ตันชื่นชมการบรรยายของอาจารย์เหล่านี้มากที่สุด

หลังจากสำเร็จการศึกษาจาก École Normale Superieure ในปี 1891 คาร์ตันถูกเกณฑ์เข้ากองทัพฝรั่งเศส โดยรับราชการเป็นเวลาหนึ่งปีและได้ยศเป็นจ่าสิบเอก ในอีกสองปีต่อมา (1892–1894) คาร์ตันกลับไปเรียนที่ ENS และตามคำแนะนำของเพื่อนร่วมชั้นอาร์เธอร์ เทรสส์ (1868–1958) ซึ่งเคยเรียนกับโซฟัส ลีในปี 1888–1889 คาร์ตันจึงทำงานวิจัยเกี่ยวกับการจัดกลุ่มแบบง่ายของลีซึ่งเริ่มต้นโดยวิลเฮล์ม คิลลิงในปี 1892 ลีเดินทางมาปารีสตามคำเชิญของดาร์บูซ์และแทนเนอรี และได้พบกับคาร์ตันเป็นครั้งแรก

คาร์ตันปกป้องวิทยานิพนธ์ของเขาเรื่อง " โครงสร้างของกลุ่มต่อเนื่องจำกัดของการแปลง"ในปี 1894 ที่คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยซอร์บอนน์ ระหว่างปี 1894 ถึง 1896 คาร์ตันเป็นอาจารย์ประจำที่มหาวิทยาลัยมงต์เปลลิเยร์และในช่วงปี 1896 ถึง 1903 เขาเป็นอาจารย์ประจำคณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยลียง

ในปี ค.ศ. 1903 ขณะอยู่ที่เมืองลียง การ์ตองได้แต่งงานกับมารี-หลุยส์ บิอังโคนี (ค.ศ. 1880–1950) และในปีเดียวกันนั้น การ์ตองก็ได้เป็นศาสตราจารย์ในคณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยนองซีในปี ค.ศ. 1904 บุตรชายคนแรกของการ์ตอง คืออองรี การ์ตองซึ่งต่อมาได้กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ทรงอิทธิพล ได้ถือกำเนิดขึ้น และในปี ค.ศ. 1906 บุตรชายอีกคน คือฌอง การ์ตองซึ่งต่อมาได้เป็นนักประพันธ์เพลง ก็ได้ถือกำเนิดขึ้น ในปี ค.ศ. 1909 การ์ตองย้ายครอบครัวไปปารีสและทำงานเป็นอาจารย์ในคณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยซอร์บอนน์ ในปี ค.ศ. 1912 การ์ตองได้รับการแต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์ที่นั่น โดยอาศัยคำแนะนำที่เขาได้รับจากปวงกาเร เขาอยู่ที่ซอร์บอนน์จนกระทั่งเกษียณอายุในปี ค.ศ. 1940 และใช้เวลาช่วงสุดท้ายของชีวิตสอนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนนอร์มัลซูเปริเยอร์สำหรับเด็กหญิง

ในฐานะนักศึกษาของ Cartan นักเรขาคณิตShiing-Shen Chernเขียนว่า: ^{[ 5 ]}

โดยปกติแล้ววันรุ่งขึ้นหลังจาก [การประชุมกับคาร์ตัน] ผมจะได้รับจดหมายจากเขา เขาจะเขียนว่า “หลังจากที่คุณจากไป ผมได้คิดถึงคำถามของคุณเพิ่มเติม...”—เขามีผลลัพธ์บางอย่าง และมีคำถามเพิ่มเติม และอื่นๆ อีกมากมาย เขารู้เอกสารทั้งหมดเกี่ยวกับกลุ่มลีแบบง่ายพีชคณิตลีทั้งหมดขึ้นใจ เมื่อคุณเจอเขาบนถนน เมื่อมีประเด็นใดประเด็นหนึ่งเกิดขึ้น เขาจะหยิบซองจดหมายเก่าๆ ออกมาเขียนอะไรบางอย่างแล้วให้คำตอบแก่คุณ และบางครั้งผมต้องใช้เวลาหลายชั่วโมงหรือหลายวันกว่าจะได้คำตอบเดียวกัน... ผมต้องทำงานหนักมาก

ในปี พ.ศ. 2464 เขาได้เป็นสมาชิกต่างชาติของสถาบันการเรียนรู้แห่งโปแลนด์และในปี พ.ศ. 2480 ได้เป็นสมาชิกต่างชาติของราชบัณฑิตยสถานศิลปะและวิทยาศาสตร์แห่งเนเธอร์แลนด์ [ ^{6 ] ใน}ปี พ.ศ. 2481 เขาได้เข้าร่วมในคณะกรรมการระหว่างประเทศที่จัดตั้งขึ้นเพื่อจัดการประชุมนานาชาติเพื่อความเป็นเอกภาพของวิทยาศาสตร์^{[ 7 ]}

เขาเสียชีวิตในปี 1951 ที่ปารีสหลังจากป่วยเป็นเวลานาน

ในปี 1976 หลุมอุกกาบาตบนดวงจันทร์แห่ง หนึ่ง ได้รับการตั้งชื่อตามเขา ก่อนหน้านั้น หลุมอุกกาบาตนั้นมีชื่อว่า อพอลโลนิอุส ดี.

ในหนังสือ Travauxคาร์ตันได้แบ่งงานของเขาออกเป็น 15 ด้าน โดยใช้ศัพท์สมัยใหม่ ดังนี้:

1. ทฤษฎีการโกหก
2. ตัวแทนของกลุ่มโกหก
3. จำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ , พีชคณิตการหาร
4. ระบบของ PDE ทฤษฎีบทคาร์แทน-คาห์เลอร์
5. ทฤษฎีสมดุล
6. ระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้ทฤษฎีการต่อขยาย และระบบที่ผันกลับ
7. กลุ่มและ กลุ่ม เสมือนมิติอนันต์
8. เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และเฟรมเคลื่อนที่
9. ปริภูมิทั่วไป ที่มีกลุ่มโครงสร้างและการเชื่อมต่อ การเชื่อมต่อแบบคาร์ตันโฮโลโนมีเทนเซอร์เวล์
10. เรขาคณิตและโทโพโลยีของกลุ่มลี
11. เรขาคณิตแบบรีมันน์
12. พื้นที่สมมาตร
13. โทโพโลยีของกลุ่มกระชับและปริภูมิเอกพันธุ์ ของกลุ่มเหล่านั้น
14. ตัวแปรเชิงปริพันธ์และกลศาสตร์คลาสสิก
15. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ , สปินเนอร์

งานทางคณิตศาสตร์ของคาร์ตันสามารถอธิบายได้ว่าเป็นการพัฒนาการวิเคราะห์บนแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ซึ่งหลายคนในปัจจุบันถือว่าเป็นส่วนสำคัญของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ สาขานี้เน้นที่กลุ่มลี ระบบอนุพันธ์ย่อย และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ซึ่งสิ่งเหล่านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งผ่านการมีส่วนร่วมของคาร์ตัน ได้ถูกผสานเข้าด้วยกันอย่างใกล้ชิดและประกอบกันเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพและเป็นหนึ่งเดียว

คาร์ตันแทบจะเป็นคนเดียวในสาขาการศึกษาเกี่ยวกับกลุ่มลี (Lie groups) ตลอดระยะเวลาสามสิบปีหลังจากการทำวิทยานิพนธ์ของเขา ลีได้พิจารณากลุ่มเหล่านี้เป็นหลักในฐานะระบบของการแปลงเชิงวิเคราะห์ของแมนิโฟลด์เชิงวิเคราะห์ซึ่งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์จำนวนจำกัดในเชิงวิเคราะห์ แนวทางที่ได้ผลดีอย่างยิ่งในการศึกษาเกี่ยวกับกลุ่มเหล่านี้ได้เริ่มต้นขึ้นในปี 1888 เมื่อวิลเฮล์ม คิลลิงเริ่มศึกษาตัวกลุ่มเองอย่างเป็นระบบ โดยไม่ขึ้นอยู่กับการกระทำ ที่เป็นไปได้ บนแมนิโฟลด์ อื่นๆ ในเวลานั้น (และจนถึงปี 1920) มีเพียงคุณสมบัติเฉพาะที่เท่านั้นที่ได้รับการพิจารณา ดังนั้นวัตถุประสงค์หลักของการศึกษาของคิลลิงคือพีชคณิตลี (Lie algebra ) ของกลุ่ม ซึ่งสะท้อนคุณสมบัติเฉพาะที่ใน แง่ ของพีชคณิต อย่างแม่นยำ ความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ของคิลลิงคือการกำหนดพีชคณิตลีเชิงซ้อนแบบ ง่ายทั้งหมด อย่างไรก็ตาม บทพิสูจน์ของเขามักมีข้อบกพร่อง และวิทยานิพนธ์ของคาร์ตันส่วนใหญ่ทุ่มเทให้กับการวาง รากฐาน ที่เข้มงวดให้กับทฤษฎีท้องถิ่น และพิสูจน์การมีอยู่ของพีชคณิตลีพิเศษที่อยู่ในแต่ละประเภทของพีชคณิตลีเชิงซ้อนแบบง่ายที่คิลลิงได้แสดงให้เห็นว่าเป็นไปได้ ต่อมาคาร์ตันได้ทำให้ทฤษฎีท้องถิ่นสมบูรณ์โดยการแก้ปัญหาพื้นฐานสองข้ออย่างชัดเจน ซึ่งเขาต้องพัฒนาวิธีการใหม่ทั้งหมด ได้แก่ การจำแนกประเภทของ พีชคณิตลี จริง แบบง่าย และการกำหนดการแสดงแทนเชิงเส้นที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดของพีชคณิตลีแบบง่าย โดยใช้แนวคิดเรื่องน้ำหนักของการแสดงแทน ซึ่งเขาได้นำมาใช้เพื่อจุดประสงค์นั้น ในกระบวนการกำหนดการแสดงแทนเชิงเส้นของกลุ่มเชิงตั้งฉากคาร์ตันได้ค้นพบสปินเนอร์ในปี 1913 ซึ่งต่อมามีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งในกลศาสตร์ควอนตัม

หลังปี 1925 คาร์ตันเริ่มสนใจใน ประเด็นทางทอพอโลยีมากขึ้นเรื่อยๆ ด้วย แรงกระตุ้นจากผลงานอันยอดเยี่ยมของไวล์เกี่ยวกับกลุ่มกระชับ (compact groups) เขาจึงพัฒนาวิธีการใหม่ๆ สำหรับการศึกษาคุณสมบัติโดยรวมของกลุ่มลี (Lie groups) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาแสดงให้เห็นว่าในทางทอพอโลยี กลุ่มลี ที่เชื่อมต่อกัน (connected Lie group) เป็นผลคูณของปริภูมิยุคลิด (Euclidean space)และกลุ่มกระชับ และสำหรับกลุ่มลีกระชับ เขาค้นพบว่ากลุ่มพื้นฐาน ที่เป็นไปได้ ของแมนิโฟลด์พื้นฐานสามารถอ่านได้จากโครงสร้างของพีชคณิตลี (Lie algebra) ของกลุ่มนั้น สุดท้าย เขาได้ร่างวิธีการหาจำนวนเบตติ (Betti numbers ) ของกลุ่มลีกระชับ ซึ่งเป็นการลดปัญหาลงเหลือเพียงคำถามเชิงพีชคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตลีของกลุ่มเหล่านั้น ซึ่งต่อมาได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์แล้ว

หลังจากแก้ปัญหาโครงสร้างของกลุ่มลี (Lie groups) ซึ่งคาร์ตัน (ตามแนวคิดของลี) เรียกว่า "กลุ่มต่อเนื่องจำกัด" (หรือ "กลุ่มการแปลงจำกัด") แล้ว คาร์ตันได้ตั้งปัญหาที่คล้ายกันสำหรับ "กลุ่มต่อเนื่องอนันต์" ซึ่งปัจจุบันเรียกว่ากลุ่มลีเทียม (Lie pseudogroups ) ซึ่งเป็นอนาล็อกมิติอนันต์ของกลุ่มลี (มีกลุ่มลีแบบทั่วไปในมิติอนันต์อื่นๆ อีก) กลุ่มลีเทียมที่คาร์ตันพิจารณาคือเซตของการแปลงระหว่างเซตย่อยของปริภูมิที่ประกอบด้วยการแปลงที่เหมือนกัน และมีคุณสมบัติว่าผลลัพธ์ของการประกอบการแปลงสองครั้งในเซตนี้ (เมื่อใดก็ตามที่เป็นไปได้) อยู่ในเซตเดียวกัน เนื่องจากไม่สามารถประกอบการแปลงสองครั้งได้เสมอไป เซตของการแปลงจึงไม่ใช่กลุ่ม (แต่เป็นกลุ่มย่อยในศัพท์สมัยใหม่) ดังนั้นจึงเรียกว่ากลุ่มเทียม คาร์ตันพิจารณาเฉพาะการแปลงของแมนิโฟลด์ที่ไม่มีการแบ่งย่อยแมนิโฟลด์ออกเป็นชั้นที่ถูกแปลงโดยการแปลงที่กำลังพิจารณา กลุ่มเทียมของการแปลงดังกล่าวเรียกว่ากลุ่มดั้งเดิม (primitive) คาร์ตันแสดงให้เห็นว่ากลุ่มเทียมดั้งเดิมมิติอนันต์ของการแปลงเชิงวิเคราะห์เชิงซ้อนทุกกลุ่มเป็นของหนึ่งในหกประเภทต่อไปนี้: 1) กลุ่มเทียมของการแปลงเชิงวิเคราะห์ทั้งหมดของ ตัวแปรเชิงซ้อน nตัว; 2) กลุ่มเทียมของการแปลงเชิงวิเคราะห์ทั้งหมดของ ตัวแปรเชิงซ้อน nตัวที่มี Jacobian คงที่ (กล่าวคือ การแปลงที่คูณปริมาตรทั้งหมดด้วยจำนวนเชิงซ้อนเดียวกัน); 3) กลุ่มเทียมของการแปลงเชิงวิเคราะห์ทั้งหมดของ ตัวแปรเชิงซ้อน nตัวที่มี Jacobian เท่ากับหนึ่ง (กล่าวคือ การแปลงที่รักษาปริมาตร); 4) กลุ่มเทียมของการแปลงเชิงวิเคราะห์ทั้งหมดของตัวแปรเชิงซ้อน 2n > 4 ที่รักษาปริพันธ์สองชั้นบางอย่าง (กลุ่มเทียมเชิงซิมเพล็กติก); 5) กลุ่มเทียมของการแปลงเชิงวิเคราะห์ทั้งหมดของตัวแปรเชิงซ้อน 2n > 4 ที่คูณปริพันธ์สองชั้นดังกล่าวด้วยฟังก์ชันเชิงซ้อน 6) กลุ่มเสมือนของการแปลงเชิงวิเคราะห์ทั้งหมดของตัวแปรเชิงซ้อน 2n + 1 ตัวที่คูณรูปแบบหนึ่งด้วยฟังก์ชันเชิงซ้อน (กลุ่มเสมือนสัมผัส) มีกลุ่มเสมือนที่คล้ายกันสำหรับกลุ่มเสมือนดั้งเดิมของการแปลงจริงที่กำหนดโดยฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ของตัวแปรจริง

วิธีการของคาร์ตันในทฤษฎีระบบเชิงอนุพันธ์นั้นอาจเป็นผลงานที่ลึกซึ้งที่สุดของเขา เขาได้แหวกแนวจากธรรมเนียมเดิม โดยพยายามตั้งแต่เริ่มต้นที่จะกำหนดและแก้ปัญหาในรูปแบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงโดยสมบูรณ์ โดยไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกตัวแปรและฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าใดๆ ด้วยเหตุนี้ เขาจึงสามารถให้คำจำกัดความที่แม่นยำของ "คำตอบทั่วไป" ของระบบเชิงอนุพันธ์ใดๆ ได้เป็นครั้งแรก ขั้นตอนต่อไปของเขาคือการพยายามหาคำตอบ "เอกฐาน" ทั้งหมดด้วย โดยใช้วิธี "การขยาย" ซึ่งประกอบด้วยการเพิ่มตัวแปรที่ไม่ทราบค่าและสมการใหม่เข้าไปในระบบที่กำหนด ในลักษณะที่ว่าคำตอบเอกฐานใดๆ ของระบบเดิมจะกลายเป็นคำตอบทั่วไปของระบบใหม่ แม้ว่าคาร์ตันจะแสดงให้เห็นว่าในทุกตัวอย่างที่เขาศึกษา วิธีการของเขานำไปสู่การหาคำตอบเอกฐานทั้งหมดได้อย่างสมบูรณ์ แต่เขาก็ไม่ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์โดยทั่วไปว่าจะเป็นเช่นนั้นเสมอไปสำหรับระบบใดๆ การพิสูจน์ดังกล่าวได้มาในปี 1955 โดยมาซาตาเกะ คุรานิชิ

เครื่องมือหลักของคาร์ตันคือแคลคูลัสของรูปแบบเชิงอนุพันธ์ภายนอกซึ่งเขาได้ช่วยสร้างและพัฒนาขึ้นในช่วงสิบปีหลังจากวิทยานิพนธ์ของเขา จากนั้นจึงนำไปประยุกต์ใช้กับปัญหาต่างๆ ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ กลุ่มลี พลศาสตร์เชิงวิเคราะห์ และทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป เขาได้อธิบายตัวอย่างจำนวนมาก โดยใช้รูปแบบที่กระชับอย่างยิ่ง ซึ่งเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อเขามีความเข้าใจเชิงพีชคณิตและเรขาคณิตที่ยอดเยี่ยมเท่านั้น

ผลงานของคาร์ตันในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์นั้นน่าประทับใจไม่แพ้กัน และอาจกล่าวได้ว่าเขาได้ฟื้นฟูวิชานี้ขึ้นมาใหม่ทั้งหมด เพราะงานเริ่มต้นของรีมันน์และดาร์บูซ์กำลังสูญหายไปกับการคำนวณที่น่าเบื่อและผลลัพธ์เล็กน้อย เหมือนกับที่เกิดขึ้นกับเรขาคณิตพื้นฐานและทฤษฎีตัวแปรคงที่เมื่อรุ่นก่อนหน้า หลักการชี้นำของเขาคือการขยายวิธีการ "กรอบเคลื่อนที่" ของดาร์บูซ์และริโบกูร์อย่างมาก ซึ่งเขาได้เพิ่มความยืดหยุ่นและพลังมหาศาลให้เหนือกว่าสิ่งใดๆ ที่เคยทำได้ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แบบคลาสสิก ในแง่สมัยใหม่ วิธีการนี้ประกอบด้วยการเชื่อมโยงมัดไฟเบอร์E กับ มัดไฟเบอร์หลักที่มีฐานเดียวกัน และมีไฟเบอร์ที่แต่ละจุดของฐานเท่ากับกลุ่มที่กระทำต่อไฟเบอร์ของEที่จุดเดียวกัน ถ้าEคือมัดสัมผัสเหนือฐาน (ซึ่งตั้งแต่สมัยของลีเป็นที่รู้จักกันในชื่อแมนิโฟลด์ของ "องค์ประกอบสัมผัส") กลุ่มที่สอดคล้องกันคือกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป (หรือกลุ่มตั้งฉากในเรขาคณิตแบบยุคลิดหรือแบบรีมันน์คลาสสิก) ความสามารถของคาร์ตันในการจัดการกับเส้นใยและกลุ่มประเภทอื่นๆ มากมาย ทำให้เราสามารถยกย่องเขาว่าเป็นผู้ริเริ่มแนวคิดทั่วไปเรื่องมัดเส้นใย (fiber bundle) แม้ว่าเขาจะไม่เคยให้คำจำกัดความอย่างชัดเจนก็ตาม แนวคิดนี้ได้กลายเป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในทุกสาขาของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ระดับโลก และในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตและเชิงอนุพันธ์คาร์ตันใช้มันในการกำหนดนิยามของการเชื่อมต่อ (connection) ซึ่งปัจจุบันใช้กันอย่างแพร่หลายและได้เข้ามาแทนที่ความพยายามก่อนหน้านี้ของนักเรขาคณิตหลายคนหลังจากปี 1917 ในการค้นหา "เรขาคณิต" ประเภทที่ทั่วไปกว่าแบบจำลองของรีมันน์ และอาจเหมาะสมกว่าสำหรับการอธิบายจักรวาลตามแนวทางของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

คาร์ตันแสดงให้เห็นถึงวิธีการใช้แนวคิดเรื่องการเชื่อมต่อของเขาเพื่อให้ได้การนำเสนอเรขาคณิตแบบรีมันน์ที่สง่างามและเรียบง่ายยิ่งขึ้น อย่างไรก็ตาม ผลงานสำคัญที่สุดของเขาคือการค้นพบและการศึกษาปริภูมิรีมันน์สมมาตร ซึ่งเป็นหนึ่งในไม่กี่กรณีที่ผู้ริเริ่มทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เป็นผู้ที่ทำให้ทฤษฎีนั้นสมบูรณ์ ปริภูมิรีมันน์สมมาตรสามารถนิยามได้หลายวิธี วิธีที่ง่ายที่สุดคือการตั้งสมมติฐานว่ามี "สมมาตร" รอบแต่ละจุดในปริภูมิ ซึ่งเป็นสมมาตรแบบผกผันทำให้จุดนั้นคงที่และรักษาระยะห่าง ข้อเท็จจริงที่คาดไม่ถึงที่คาร์ตันค้นพบคือ เป็นไปได้ที่จะให้คำอธิบายที่สมบูรณ์ของปริภูมิเหล่านี้โดยใช้การจำแนกกลุ่มลีแบบง่าย ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่ในสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ เช่น ฟังก์ชันอัตโนมัติและทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ (ซึ่งดูเหมือนจะห่างไกลจากเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์) ปริภูมิเหล่านี้กำลังมีบทบาทที่สำคัญมากขึ้นเรื่อยๆ

คาร์ตันได้สร้างทฤษฎีแรงโน้มถ่วง ที่เป็นคู่แข่งขึ้นมา อีก ทฤษฎีหนึ่ง นั่นคือ ทฤษฎีไอน์สไตน์-คาร์ตัน

ผลงานวิจัยของคาร์ตันได้รับการรวบรวมไว้ในหนังสือ Oeuvres complètes จำนวน 6 เล่ม (ปารีส, 1952–1955) นอกจากนี้ยังมีบทความไว้อาลัยที่ยอดเยี่ยมสองบทความ ได้แก่ บทความของSS Chernและ C. Chevalley ใน Bulletin of the American Mathematical Society, 58 (1952) และบทความของ JHC Whitehead ใน Obituary Notices of the Royal Society (1952)

• อนุพันธ์ภายนอก
• เงื่อนไขความสามารถในการอินทิเกรตสำหรับระบบเชิงอนุพันธ์
• เส้นไอโซโทรปิก
• พื้นที่ CAT( k )
• ทฤษฎีของไอน์สไตน์-คาร์ตัน
• ปริภูมิสมมาตรเฮอร์มิเชียน
• เฟรมเคลื่อนที่
• กลุ่มเทียม
• สปินเนอร์บริสุทธิ์
• รายชื่อนักคณิตศาสตร์รุ่นที่สอง

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับเอลี การ์ตันที่วิกิมีเดียคอมมอนส์
• MA Akivis & BA Rosenfeld (1993) Élie Cartan (1869–1951)แปลจากต้นฉบับภาษารัสเซียโดย VV Goldberg, American Mathematical Society ISBN 0-8218-4587-X.
  • Shiing-Shen Chern (1994) บทวิจารณ์หนังสือ: Elie Cartanโดย Akivis & Rosenfeld Bulletin of the American Mathematical Society 30(1)
• Chern, Shiing-Shen; Chevalley, Claude (1952). "Élie Cartan และผลงานทางคณิตศาสตร์ของเขา" . Bulletin of the American Mathematical Society . 58 (2): 217– 250. doi : 10.1090/s0002-9904-1952-09588-4 .

คำแปลภาษาอังกฤษของหนังสือและบทความบางส่วนของเขา:

• "เกี่ยวกับนิพจน์เชิงอนุพันธ์บางประเภทและปัญหาของ Pfaff"
• "เกี่ยวกับการบูรณาการระบบสมการเชิงอนุพันธ์รวม"
• บทเรียนเกี่ยวกับค่าคงที่เชิงปริพันธ์
• "โครงสร้างของกลุ่มอนันต์"
• "พื้นที่ที่มีการเชื่อมต่อแบบสอดคล้อง"
• "บนแมนิโฟลด์ที่มีการเชื่อมต่อเชิงโปรเจคทีฟ"
• "ทฤษฎีเอกภาพของไอน์สไตน์-เมเยอร์"
• "E. Cartan, Exterior Differential Systems and its Applications, (แปลเป็นภาษาอังกฤษโดย M. Nadjafikhah)"