ในเรขาคณิตทฤษฎีบทความเท่าเทียมกันของเข็มทิศเป็นข้อความสำคัญในการสร้างด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดเครื่องมือที่เพลโต แนะนำ ในการสร้างเหล่านี้คือวงเวียนหรือเข็มทิศแบบพับได้กล่าวคือเข็มทิศที่ "พับ" เมื่อยกขึ้นจากหน้ากระดาษ เพื่อไม่ให้สามารถใช้ถ่ายโอนระยะทางได้โดยตรงเข็มทิศสมัยใหม่ที่มีช่องเปิดที่ปรับได้สามารถใช้ถ่ายโอนระยะทางได้โดยตรง จึงดูเหมือนจะเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพมากกว่า อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทความเท่าเทียมกันของเข็มทิศระบุว่า การสร้างใดๆ ผ่าน "เข็มทิศสมัยใหม่" สามารถทำได้ด้วยเข็มทิศแบบพับได้ สิ่งนี้สามารถแสดงได้โดยการพิสูจน์ว่า ด้วยเข็มทิศแบบพับได้ เมื่อกำหนดวงกลมในระนาบแล้ว สามารถสร้างวงกลมอีกวงหนึ่งที่มีรัศมี เท่ากัน โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดใดๆ บนระนาบได้ ทฤษฎีบทนี้คือข้อเสนอที่ 2 ของหนังสือเล่มที่ 1 ของElementsของยูคลิดการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้มีประวัติที่ซับซ้อน^{[ 1 ]}

ยูคลิดได้ให้การสร้างและการพิสูจน์ความถูกต้องดังต่อไปนี้ไว้ในElements ของ เขา^{[ 2 ]}แม้ว่าจะมีหลายกรณีในการวิเคราะห์ของยูคลิด ขึ้นอยู่กับตัวเลือกที่ทำเมื่อตีความคำแนะนำที่คลุมเครือ แต่ทั้งหมดก็นำไปสู่ข้อสรุปเดียวกัน^{[ 1 ]}ดังนั้น ตัวเลือกเฉพาะจึงแสดงไว้ด้านล่าง

กำหนดจุดA , BและCให้สร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่Aและรัศมีเท่ากับความยาวของBC (กล่าวคือ เทียบเท่ากับวงกลมสีเขียวทึบ แต่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่A )

• วาดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่Aและผ่านจุดBและในทางกลับกัน (วงกลมสีแดง) วงกลมทั้งสองจะตัดกันที่จุดD และเกิดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า△ ABD
• ต่อเส้นDBให้เลยจุดB ไป แล้วหาจุดตัดระหว่างเส้นDB กับวงกลม◯ BCซึ่งมีป้ายกำกับว่าE
• สร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่Dและผ่านจุดE (วงกลมสีน้ำเงิน)
• ต่อ เส้น DAให้เลยจุดA ไป แล้วหาจุดตัดระหว่างDA กับวงกลม◯ DEที่ระบุด้วยตัวอักษรF
• ลากวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่Aและผ่านจุดF (วงกลมสีเขียวประ)
• เนื่องจาก△ ADBเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าดังนั้นDA = DB
• เนื่องจากEและF อยู่ บนวงกลมรอบDดังนั้นDE = DF
• ดังนั้นAF = BE​
• เนื่องจากE อยู่ บนวงกลม◯ BCดังนั้นBE = BC
• ดังนั้นAF = BC​

สามารถพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของวงเวียนได้โดยไม่ต้องใช้ไม้บรรทัด นี่เป็นการยืนยันการใช้การเคลื่อนที่ของวงเวียนแบบ "คงที่" (การสร้างวงกลมที่มีรัศมีที่กำหนด ณ ตำแหน่งที่แตกต่างกัน) ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทโมห์ร-มาสเชโรนีซึ่งกล่าวว่า การสร้างใดๆ ที่สามารถทำได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน สามารถทำได้ด้วยวงเวียนเพียงอย่างเดียว

กำหนดจุดA , BและCจงสร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่AและรัศมีBCโดยใช้เพียงวงเวียนพับได้เท่านั้น และไม่ต้องใช้ไม้บรรทัด

• วาดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่Aและผ่านจุดBและในทางกลับกัน (วงกลมสีน้ำเงิน) วงกลมทั้งสองจะตัดกันที่จุดDและD '
• ลากวงกลมผ่านจุดCโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่DและD' (วงกลมสีแดง) และกำหนดจุดตัดอีกจุดหนึ่งเป็นE
• วาดวงกลม (วงกลมสีเขียว) โดยมีจุดศูนย์กลางAผ่านจุดEนี่คือวงกลมที่ต้องการ^{[ 3 ] [ 4 ]}

มีหลักฐานหลายประการที่พิสูจน์ความถูกต้องของโครงสร้างนี้ และมักจะถูกยกให้เป็นแบบฝึกหัดสำหรับผู้อ่าน^{[ 3 ] [ 4 ]}นี่คือวิธีที่ทันสมัยโดยใช้การแปลง

• เส้นDD'เป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของABดังนั้นAคือภาพสะท้อนของBผ่านเส้นDD '
• โดยหลักการแล้วEคือภาพสะท้อนของCผ่านเส้นDD '
• เนื่องจากการสะท้อนเป็นสมมาตรดังนั้นAE = BC จึงเป็นไป ตามที่ต้องการ