ในทางคณิตศาสตร์การสะท้อน (หรือสะกดว่าreflexion ) ^{[ 1 ]}คือการแมปจากปริภูมิยุคลิดไปยังตัวมันเอง ซึ่งเป็นไอโซเมตรีที่มีไฮเปอร์เพลนเป็นเซตของจุดคงที่เซตนี้เรียกว่าแกน (ในมิติ 2) หรือระนาบ (ในมิติ 3) ของการสะท้อน ภาพของรูปทรงโดยการสะท้อนคือภาพสะท้อนในแกนหรือระนาบของการสะท้อน ตัวอย่างเช่น ภาพสะท้อนของตัวอักษรละตินตัวเล็กpสำหรับการสะท้อนเทียบกับแกนแนวตั้ง ( การสะท้อนแนวตั้ง ) จะดูเหมือนqภาพของมันโดยการสะท้อนในแกนแนวนอน ( การสะท้อนแนวนอน ) จะดูเหมือนbการสะท้อนเป็นการผกผัน : เมื่อใช้สองครั้งติดต่อกัน ทุกจุดจะกลับไปยังตำแหน่งเดิม และวัตถุทางเรขาคณิตทุกชิ้นจะกลับคืนสู่สถานะเดิม

บางครั้ง คำว่า " การสะท้อน"ถูกใช้สำหรับกลุ่มการแมปที่ใหญ่กว่าจากปริภูมิยูคลิดไปยังตัวมันเอง นั่นคือ ไอโซเมตรีที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ซึ่งเป็นการผกผัน เซตของจุดตรึง ("กระจก") ของไอโซเมตรีดังกล่าวเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงแต่อาจมีขนาดเล็กกว่าระนาบไฮเปอร์ ตัวอย่างเช่นการสะท้อนผ่านจุดหนึ่งเป็นไอโซเมตรีแบบผกผันที่มีจุดตรึงเพียงจุดเดียว ภาพของตัวอักษรpภายใต้จุดนั้นจะดูเหมือนdการดำเนินการนี้ยังเป็นที่รู้จักกันในชื่อการผกผันแบบศูนย์กลาง ( Coxeter 1969 , §7.2) และแสดงให้เห็นว่าปริภูมิยูคลิดเป็นปริภูมิสมมาตรในปริภูมิเวกเตอร์ยูคลิดการสะท้อนที่จุดซึ่งอยู่ที่จุดกำเนิดจะเหมือนกับการปฏิเสธเวกเตอร์ ตัวอย่างอื่นๆ ได้แก่ การสะท้อนในเส้นตรงในปริภูมิสามมิติ อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว การใช้คำว่า "การสะท้อน" โดยไม่มีเงื่อนไข หมายถึงการสะท้อนในระนาบไฮเปอร์

นักคณิตศาสตร์บางคนใช้คำว่า " พลิก " เป็นคำพ้องความหมายกับคำว่า "การสะท้อน" ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

ในเรขาคณิตระนาบ (หรือเรขาคณิต 3 มิติ) การหาภาพสะท้อนของจุด ให้ลากเส้นตั้งฉากจากจุดนั้นไปยังเส้น (ระนาบ) ที่ใช้ในการสะท้อน แล้วต่อเส้นนั้นออกไปอีกด้านเป็นระยะทางเท่ากัน ส่วนการหาภาพสะท้อนของรูปทรง ให้สะท้อนแต่ละจุดในรูปทรงนั้น

ในการสะท้อนจุดPผ่านเส้นABโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดให้ดำเนินการดังต่อไปนี้ (ดูรูป):

• ขั้นตอนที่ 1 (สีแดง): สร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่Pและรัศมีคงที่rเพื่อสร้างจุดA′และB′บนเส้นตรงABซึ่งจะอยู่ห่างจากPเท่า กัน
• ขั้นตอนที่ 2 (สีเขียว): สร้างวงกลมสองวง โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่A′และB′และมีรัศมีr PและQจะเป็นจุดตัดของวงกลมทั้งสองวงนี้

จุดQจึงเป็นจุดสะท้อนของจุดP ผ่านเส้นตรงAB

เมทริกซ์สำหรับการสะท้อนเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากที่มีดีเทอร์มิแนนต์ −1 และค่าไอเกน −1, 1, 1, ..., 1 ผลคูณของเมทริกซ์ดังกล่าวสองเมท ริกซ์คือเมทริกซ์เชิงตั้งฉากพิเศษที่แสดงถึงการหมุน การหมุนทุกครั้งเป็นผลมาจากการสะท้อนเป็นจำนวนคู่ในระนาบหลายมิติที่ผ่านจุดกำเนิด และการหมุนที่ไม่เหมาะสม ทุกครั้ง เป็นผลมาจากการสะท้อนเป็นจำนวนคี่ ดังนั้น การสะท้อนจึงสร้างกลุ่มเชิงตั้งฉากและผลลัพธ์นี้เรียกว่าทฤษฎีบทคาร์ตัน-ดีเออโดเน่

ในทำนองเดียวกันกลุ่มยุคลิดซึ่งประกอบด้วยไอโซเมตรีทั้งหมดของปริภูมิยุคลิด ถูกสร้างขึ้นโดยการสะท้อนในระนาบเชิงเส้นตรง โดยทั่วไปกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยการสะท้อนในระนาบเชิงเส้นตรงเรียกว่ากลุ่มสะท้อนกลุ่มจำกัดที่สร้างขึ้นในลักษณะนี้เป็นตัวอย่างของกลุ่มค็อกเซเตอร์

การสะท้อนผ่านเส้นตรงใดๆ ที่ลากผ่านจุดกำเนิดในสองมิติสามารถอธิบายได้ด้วยสูตรต่อไปนี้

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2{\frac {v\cdot l}{l\cdot l}}lv,}$

โดยที่แทนเวกเตอร์ที่ถูกสะท้อนแทนเวกเตอร์ใดๆ บนเส้นตรงที่ทำการสะท้อน และแทนผลคูณดอทของกับ โปรดสังเกตว่าสูตรข้างต้นสามารถเขียนได้อีกแบบว่า ${\displaystyle v}$${\displaystyle l}$${\displaystyle v\cdot l}$${\displaystyle v}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle \operatorname {อ้างอิง} _{l}(v)=2\operatorname {Proj} _{l}(v)-v,}$

โดยกล่าวว่าการสะท้อนของเวกเตอร์ข้ามเส้นตรงเท่ากับ 2 เท่าของการฉายภาพของเวกเตอร์บนเส้นตรง ลบด้วยเวกเตอร์การสะท้อนในเส้นตรงมีค่าไอเกนเป็น 1 และ −1 ${\displaystyle v}$${\displaystyle l}$${\displaystyle v}$${\displaystyle l}$${\displaystyle v}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้น และเป็นการฉายภาพเชิงตั้งฉากลงบนแล้วการสะท้อนข้ามจะกำหนดโดย ${\displaystyle S}$${\displaystyle P_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle R_{S}=2P_{S}-I.}$

การดำเนินการนี้จะแก้ไขเวกเตอร์ทุกตัวในและกลับค่าเวกเตอร์ทุกตัวในเนื่องจาก ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{\perp }}$

${\displaystyle P_{S}+P_{S^{\perp }}=I,}$

การสะท้อนแบบเดียวกันนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบที่เทียบเท่ากันดังนี้

${\displaystyle R_{S}=I-2P_{S^{\perp }}.}$

ดังนั้น การสะท้อนสามารถอธิบายได้โดยใช้ปริภูมิย่อยที่คงที่ หรือโดยใช้ปริภูมิย่อยตั้งฉากซึ่งเวกเตอร์จะกลับทิศทาง ในส่วนสองมิติก่อนหน้านี้ครอบคลุมปริภูมิย่อยที่คงที่ ในสูตรด้านล่างครอบคลุมปริภูมิย่อยตั้งฉากซึ่งเวกเตอร์จะกลับทิศทาง ${\displaystyle l}$${\displaystyle a}$

เมื่อกำหนดเวกเตอร์ในปริภูมิยูคลิดสูตรสำหรับการสะท้อนในระนาบไฮเปอร์ที่ผ่านจุดกำเนิดและตั้งฉากกับเวกเตอร์นั้น จะกำหนดโดย ${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a,}$

โดยที่หมายถึงผลคูณดอทของกับสังเกตว่าพจน์ที่สองในสมการข้างต้นเป็นเพียงการฉายเวกเตอร์ของลงบน สองเท่า สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ ว่า ${\displaystyle v\cdot a}$${\displaystyle v}$${\displaystyle a}$${\displaystyle v}$${\displaystyle a}$

• Ref _a ( v ) = − v , ถ้าขนานกับ, และ${\displaystyle v}$${\displaystyle a}$
• Ref _a ( v ) = v ถ้าตั้งฉากกับa${\displaystyle v}$

เมื่อใช้ผลคูณทางเรขาคณิตสูตรคือ

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=-{\frac {ava}{a^{2}}}.}$

เนื่องจากการสะท้อนเหล่านี้เป็นไอโซเมตรีของปริภูมิยุคลิดที่ตรึงจุดกำเนิดไว้ จึงสามารถแทนด้วยเมทริกซ์เชิงตั้งฉากได้เมทริกซ์เชิงตั้งฉากที่สอดคล้องกับการสะท้อนข้างต้นคือเมทริกซ์

${\displaystyle R=I-2{\frac {aa^{T}}{a^{T}a}},}$

โดยที่แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์และคือเมทริกซ์สลับแถวและคอลัมน์ของ a สมาชิกของเมทริกซ์นี้คือ ${\displaystyle I}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle a^{T}}$

${\displaystyle R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\left\|a\right\|^{2}}},}$

โดยที่δ _ijคือเดลต้าโครเนกเกอร์

สูตรสำหรับการสะท้อนในระนาบเชิงเส้นตรงที่ไม่ผ่านจุดกำเนิดคือ ${\displaystyle v\cdot a=c}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot ac}{a\cdot a}}a.}$

• ตัวผกผันการบวก
• การหมุนและการสะท้อนพิกัด
• การเปลี่ยนแปลงของเจ้าของบ้าน
• เรขาคณิตผกผัน
• ระนาบการหมุน
• การทำแผนที่การสะท้อน
• กลุ่มสะท้อนความคิด
• สมมาตรการสะท้อน

• การสะท้อนในเส้นตรงที่ตัดปม
• ทำความเข้าใจเกี่ยวกับการสะท้อนแสงแบบ 2 มิติและทำความเข้าใจเกี่ยวกับการสะท้อนแสงแบบ 3 มิติโดย Roger Germundsson จากโครงการ Wolfram Demonstrations Project