ในเรขาคณิตการสร้างแบบสไตเนอร์ – หรือที่รู้จักกันในชื่อการสร้างโดยใช้ไม้บรรทัดอย่างเดียว^{[ 1 ]} – คือการสร้างความยาว มุม และรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ โดยใช้ไม้บรรทัดในอุดมคติ เท่านั้น คล้ายกับ การสร้างโดยใช้ เข็มทิศและ ไม้บรรทัด ยกเว้นว่าไม่มีเข็มทิศ ให้ใช้ในการสร้าง

ไม้บรรทัดในอุดมคติ หรือที่เรียกว่าไม้ฉากถือว่ามีความยาวอนันต์ มีเพียงขอบเดียว และไม่มีเครื่องหมายใดๆ สามารถใช้ลากเส้นระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนระนาบ และสร้างจุดตัดระหว่างเส้นตรงสองเส้นใดๆ ได้

ไม้บรรทัดอย่างเดียวมีประสิทธิภาพด้อยกว่าไม้บรรทัดและวงเวียนอย่างเห็นได้ชัด ไม้บรรทัดอย่างเดียวสามารถสร้างได้เพียงค่าคงที่เชิงโปรเจคทีฟของการกำหนดค่าเริ่มต้นเท่านั้น ตัวอย่างเช่น เราไม่สามารถใช้ไม้บรรทัดอย่างเดียวในการทำเครื่องหมายจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงได้ เนื่องจากการแปลงเชิงโปรเจคทีฟอาจทำให้จุดกึ่งกลางเปลี่ยนไปอยู่ที่อื่น ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทโมห์ร-มาสเชโรนีที่กล่าวว่า การสร้างทุกอย่างด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน สามารถทำได้ด้วยวงเวียนเพียงอย่างเดียว

ชุดของจุดหรือเส้นจะเรียกว่าสามารถ สร้างได้ด้วย วิธีสไตเนอร์ (Steiner-constructible)หากสามารถสร้างได้โดยใช้เพียงไม้บรรทัดเท่านั้น เปรียบเทียบกับคำว่า"สร้างได้" (constructible ) ซึ่งรวมถึงการสร้างที่ต้องใช้เข็มทิศด้วย

ปรากฏว่า หากกำหนดวงกลมหนึ่งวงและจุดศูนย์กลางมาให้ตั้งแต่แรก การสร้างวงกลมด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนทุกรูปแบบจะสามารถทำได้โดยใช้ไม้บรรทัดเพียงอย่างเดียว ทำให้ไม้บรรทัดมีประสิทธิภาพเทียบเท่ากับวงเวียน ผลลัพธ์นี้เรียกว่า ทฤษฎีบทปองเซเลต์-สไตเนอร์

คำว่าSteiner constructionตั้งชื่อตามJakob Steinerซึ่งเป็นผู้พิสูจน์ทฤษฎีบท Poncelet–Steiner เป็นครั้งแรก ในปี พ.ศ. 2476 ซึ่งเป็นทฤษฎีบทสำคัญเกี่ยวกับการสร้างโดยใช้ไม้บรรทัดเพียงอย่างเดียว นับตั้งแต่นั้นมา คำนี้จึงถูกใช้เพื่ออ้างถึงการสร้างทางเรขาคณิตซึ่งใช้ไม้บรรทัดเพียงอย่างเดียว^{[ 1 ]}

ในหนังสือThe Ruler In Geometrical Constructions (1961) AS Smogorzhevskii ได้นำเสนอการสร้างหลายรูปแบบที่สามารถทำได้โดยใช้เพียงไม้บรรทัด หนังสือเล่มนี้ยังมีบทพิสูจน์เบื้องต้นสำหรับการสร้างเหล่านี้อีกด้วย^{[ 2 ]}

ทฤษฎีบทปองเซเลต์-สไตเนอร์ กล่าวว่า วงกลมเพียงวงเดียวและจุดศูนย์กลาง ของวงกลมนั้น ก็เพียงพอแล้วสำหรับการใช้ไม้บรรทัดตรงในการสร้างรูปทรงเรขาคณิตใดๆ ด้วยวงเวียน ทฤษฎีบทนี้เสนอโดย ฌอง วิกเตอร์ ปองเซเลต์เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1822 และได้รับการพิสูจน์โดยยาคอบ สไตเนอร์ในปี ค.ศ. 1833

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า แม้ว่าวงเวียนจะช่วยให้การสร้างรูปทรงเรขาคณิตง่ายขึ้น แต่ก็ไม่จำเป็นต้องใช้อีกต่อไปเมื่อวาดวงกลมวงแรกเสร็จแล้ว การสร้างรูปทรงเรขาคณิตหลังจากนั้นสามารถทำได้โดยใช้เพียงไม้บรรทัดเท่านั้น แม้ว่าส่วนโค้งของวงกลมเองจะไม่สามารถวาดได้หากไม่มีวงเวียนก็ตาม

รูปแบบอื่นๆ ของทฤษฎีบทนี้ก็ให้ผลลัพธ์เดียวกัน เช่น เมื่อกำหนดวงกลมสองวงที่ตัดกัน (โดยไม่ระบุจุดศูนย์กลาง) หรือเมื่อกำหนดวงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกัน

ไม้บรรทัดเดี่ยวมีความอ่อนแอกว่าไม้บรรทัดเดี่ยวและวงเวียนอย่างเห็นได้ชัด เนื่องจากไม้บรรทัดเดี่ยวสามารถสร้างค่าคงที่เชิงโปรเจคทีฟของรูปทรงเริ่มต้นได้เท่านั้น เพราะความยาวไม่คงที่ภายใต้การแปลงเชิงโปรเจคทีฟดังนั้นการสร้างรูปทรงเรขาคณิตใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับความยาวจึงไม่สามารถทำได้โดยใช้ไม้บรรทัดเดี่ยวเพียงอย่างเดียว

ตัวอย่างเช่น หากไม่มีข้อมูลเพิ่มเติม การสร้างจุดกึ่งกลางนั้นเป็นไปไม่ได้ เพราะมีการแปลงเชิงโปรเจคทีฟที่ทำให้จุดกึ่งกลางไปอยู่ที่อื่น ในทำนองเดียวกัน การสร้างเส้นขนานโดยใช้เพียงไม้บรรทัดนั้นเป็นไปไม่ได้

อีกตัวอย่างหนึ่งคือ เมื่อกำหนดวงกลมบนระนาบแล้ว เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างจุดศูนย์กลางของวงกลมโดยใช้ไม้บรรทัดเพียงอย่างเดียว สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยเดวิด ฮิลเบิร์ตโดยการสร้างการแปลงเชิงโปรเจกทีฟของระนาบไปยังตัวมันเองเพื่อให้วงกลมที่กำหนดคงที่ แต่จุดศูนย์กลางของวงกลมไม่คงที่^{[ 5 ]}สิ่งนี้ยังแสดงให้เห็นถึงความสำคัญของจุดศูนย์กลางของวงกลมในทฤษฎีบทของปองเซเลต์-สไตเนอร์ด้วย

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าไม้บรรทัดสามารถสร้างผลลัพธ์ได้เฉพาะในสิ่งที่เรขาคณิตเชิงฉายอนุญาตเท่านั้น ซึ่งมีจำนวนน้อยกว่าชุดการสร้างด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนทั้งหมดที่อธิบายไว้ในหนังสือ Elements ของยูคลิดมาก

• Smogorzhevskii, AS (1961). ไม้บรรทัดในการสร้างทางเรขาคณิต (การบรรยายยอดนิยมทางคณิตศาสตร์ เล่ม 5 )
• Coxeter, HSM (2003). เรขาคณิตเชิงโปรเจกที ฟ (  ฉบับที่ 2). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-40623-7.