ในทางเรขาคณิตจุด และเส้นขั้ว คือ จุดและเส้นตรง ตามลำดับ ซึ่งมีความสัมพันธ์ผกผันเฉพาะตัวกับภาคตัดกรวย ที่กำหนด ให้

การแปลงแบบผกผันเชิงขั้วในภาคตัดกรวยที่กำหนด คือการแปลงแต่ละจุดในระนาบให้เป็นเส้นเชิงขั้ว และแต่ละเส้นในระนาบให้เป็นขั้วของเส้นนั้น

ขั้วและขั้วโลกมีคุณสมบัติที่เป็นประโยชน์หลายประการ:

• ถ้าจุดหนึ่ง${\displaystyle P}$โกหกบนเส้น${\displaystyle l}$จากนั้นก็เป็นเสา${\displaystyle L}$ของเส้น${\displaystyle l}$ ตั้งอยู่บริเวณขั้วโลก${\displaystyle p}$ของจุด${\displaystyle P}$(ทฤษฎีบทของลาฮีร์)
• ถ้าจุดหนึ่ง${\displaystyle P}$เคลื่อนที่ไปตามเส้นตรง${\displaystyle l}$ขั้วของมัน${\displaystyle p}$หมุนรอบขั้ว${\displaystyle L}$ของเส้น${\displaystyle l}$.
• ถ้าสามารถลากเส้นสัมผัสสองเส้นจากจุดขั้วไปยังภาคตัดกรวยได้ จุดขั้วของภาคตัดกรวยนั้นจะผ่านจุดสัมผัสทั้งสองจุด
• ถ้าจุดใดอยู่บนภาคตัดกรวย จุดขั้วของจุดนั้นคือเส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุดนั้นไปยังภาคตัดกรวย
• ถ้าจุดหนึ่ง${\displaystyle P}$ตั้งอยู่บนเส้นขั้วโลกของตัวเอง จากนั้น${\displaystyle P}$อยู่บนภาคตัดกรวย
• เส้นแต่ละเส้นจะมีขั้วเพียงหนึ่งเดียวเมื่อเทียบกับภาคตัดกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพ
• ถ้าเป็นเส้นตรง${\displaystyle l}$ตัดกับรูปกรวย${\displaystyle C}$ในบางจุด${\displaystyle A}$และ${\displaystyle B}$, และ${\displaystyle P}$เป็นจุดหนึ่งบน${\displaystyle l}$จากนั้นจุดตัดของ${\displaystyle l}$และขั้วของ${\displaystyle P}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle C}$คือคู่ฮาร์มอนิกของ${\displaystyle P}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle A}$และ${\displaystyle B}$.

จุดขั้วของเส้นตรงLในวงกลมCคือจุดQซึ่งเป็นจุดผกผันใน วงกลม CของจุดPบน เส้นตรง Lที่อยู่ใกล้จุดศูนย์กลางของวงกลมมากที่สุด ในทางกลับกันเส้นขั้ว (หรือเส้นขั้ว ) ของจุดQในวงกลมCคือเส้นตรงLที่จุดP ที่อยู่ ใกล้จุดศูนย์กลางของวงกลมมากที่สุดเป็นจุดผกผันของQในวงกลมC

ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นขั้วและเส้นขั้วเป็นแบบผกผัน ดังนั้น ถ้าจุดAอยู่บนเส้นขั้วqของจุดQแล้ว จุดQจะต้องอยู่บนเส้นขั้วaของจุดAเส้นขั้วaและqไม่จำเป็นต้องขนานกัน

มีคำอธิบายอีกแบบหนึ่งเกี่ยวกับเส้นขั้วของจุดPในกรณีที่จุด P อยู่นอกวงกลมCในกรณีนี้ มีเส้นตรงสองเส้นที่ ลากผ่านจุด P และ สัมผัสกับวงกลมและเส้นขั้วของจุดPคือเส้นที่เชื่อมจุดสัมผัสทั้งสองจุด (ไม่ได้แสดงในภาพ) สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าขั้วและเส้นขั้วเป็นแนวคิดในเรขาคณิตเชิงฉายของระนาบและสามารถขยายความได้กับภาคตัดกรวยที่ไม่เอกฐาน ใดๆ แทนที่วงกลมC

แนวคิดเรื่องจุดขั้วและเส้นขั้วได้รับการพัฒนาขึ้นในเรขาคณิตเชิงฉายตัวอย่างเช่น เส้นขั้วสามารถมองได้ว่าเป็นเซตของจุดฮาร์มอนิกเชิงฉายที่ผันแปรกับจุดที่กำหนด ซึ่งก็คือจุดขั้ว โดยสัมพันธ์กับภาคตัดกรวย การดำเนินการแทนที่ทุกจุดด้วยจุดขั้วและในทางกลับกัน เรียกว่า ขั้วสัมพันธ์

ขั้วตรงข้ามคือความสัมพันธ์ที่เป็นการผกผัน ด้วยเช่น กัน

สำหรับจุดP บางจุด และขั้วp ของมัน จุด Qอื่นใดบนpจะเป็นขั้วของเส้นตรงqที่ผ่านPซึ่งประกอบด้วยความสัมพันธ์แบบผกผัน และเป็นความสัมพันธ์ที่รักษาการตกกระทบไว้^{[ 1 ]}

แนวคิดเรื่องขั้ว จุดขั้ว และการผกผัน สามารถขยายความจากวงกลมไปยังภาคตัดกรวย อื่นๆ ได้แก่วงรี ไฮเปอร์โบลาและพาราโบลาการขยายความนี้เป็นไปได้เพราะภาคตัดกรวยเกิดจากการผกผันของวงกลมหนึ่งกับอีกวงกลมหนึ่ง และคุณสมบัติที่เกี่ยวข้อง เช่นมุมตกกระทบและอัตราส่วนไขว้ จะยังคงอยู่ภายใต้ การแปลงเชิงโปรเจคทีฟทั้งหมด

ตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่างขั้ว

• ความสัมพันธ์ระหว่างขั้วของวงรี
• ความสัมพันธ์ระหว่างขั้วสำหรับไฮเปอร์โบลา
• ความสัมพันธ์ระหว่างขั้วสำหรับพาราโบลา

ทรงกรวย	สมการ	ขั้วของจุด${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$
วงกลม	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y=r^{2}}$
วงรี	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$
ไฮเปอร์โบลา	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$
พาราโบลา	${\displaystyle y=ax^{2}}$	${\displaystyle y+y_{0}=2ax_{0}x}$

ทรงกรวย	สมการ	จุดขั้วของเส้นตรงux + vy = w
วงกลม	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {r^{2}u}{w}},\;{\frac {r^{2}v}{w}}\right)}$
วงรี	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle \left({\frac {a^{2}u}{w}},\;{\frac {b^{2}v}{w}}\right)}$
ไฮเปอร์โบลา	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle \left({\frac {a^{2}u}{w}},\;-{\frac {b^{2}v}{w}}\right)}$
พาราโบลา	${\displaystyle y=ax^{2}}$	${\displaystyle \left(-{\frac {u}{2av}},\;-{\frac {w}{v}}\right)}$

ขั้วโลกและขั้วโลกได้รับการกำหนดโดยJoseph Diaz Gergonneและมีบทบาทสำคัญในการแก้ปัญหาของ Apollonius ^{[ 3 ]}

ในพลศาสตร์ระนาบ ขั้วคือศูนย์กลางการหมุน ขั้วคือเส้นแรงกระทำ และกรวยคือเมทริกซ์มวล-ความเฉื่อย^{[ 4 ​​]}ความสัมพันธ์ระหว่างขั้วและขั้วใช้เพื่อกำหนดศูนย์กลางการกระทบของวัตถุแข็งระนาบ หากขั้วเป็นจุดบานพับ ขั้วจะเป็นเส้นการกระทบตามที่อธิบายไว้ในทฤษฎีสกรูระนาบ

• รูปหลายเหลี่ยมคู่
• โพลีเฮดรอนคู่
• เส้นโค้งเชิงขั้ว
• ทฤษฎีบทของบร็อกการ์ด

• Johnson RA (1960). เรขาคณิตยุคลิดขั้นสูง: ตำราเบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตของสามเหลี่ยมและวงกลมนิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์หน้า100–105 
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967). Geometry Revisited . วอชิงตัน : ​​MAA . หน้า132–136 , 150. ISBN  978-0-88385-619-2.
• Gray JJ (2007). โลกที่เกิดจากความว่างเปล่า: หลักสูตรประวัติศาสตร์เรขาคณิตในศตวรรษที่ 19.ลอนดอน: Springer Verlag. หน้า21. ISBN  978-1-84628-632-2.
• Korn GA, Korn TM (1961). คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร . นิวยอร์ก: McGraw-Hill. หน้า43–45 . LCCN 59014456 .   หนังสือปกอ่อนที่จัดพิมพ์โดยสำนักพิมพ์ Dover Publications มีหมายเลข ISBN 978-0-486-41147-7.
• Wells D (1991). พจนานุกรมเรขาคณิตที่น่าสนใจและแปลกใหม่ของเพนกวิน . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์เพนกวิน. หน้า190–191 . ISBN  0-14-011813-6.

• แอนิเมชันแอนิเมชั่นที่มีเสาและขั้วหลายแบบที่Cut-the-Knot
• แอนิเมชันแบบโต้ตอบที่มีเสาหนึ่งต้นและขั้วของมัน
• สื่อสามมิติแบบโต้ตอบได้ พร้อมขั้ว/โพลาหลายแบบหลากสี - โอเพนซอร์ส
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ขั้วโลก" . แมธเวิลด์ .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การตอบแทนซึ่งกันและกัน" . MathWorld .
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "เสาผกผัน" . แมทเวิลด์ .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เส้นโค้งผกผัน" . MathWorld .
• บทเรียนที่ Math-abundance