ในเรขาคณิตเชิงโปรเจคทีฟจุดคู่ควบฮาร์มอนิกของจุดบนเส้นโปรเจคทีฟจริงเทียบกับจุดอีกสองจุดนั้น ถูกกำหนดโดยการสร้างดังต่อไปนี้:

กำหนดให้จุดสามจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันคือA, B, Cให้Lเป็นจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเชื่อมของจุดทั้งสาม และให้เส้นตรงใดๆ ที่ผ่านCตัดกับLA, LBที่M, Nตามลำดับ ถ้าANและBMตัดกันที่KและLKตัดกับABที่Dแล้วDเรียกว่าจุดคู่ควบฮาร์มอนิกของC เทียบกับAและB ^{[ 1 ]}

จุดDไม่ขึ้นอยู่กับว่าจุด เริ่มต้น Lคือจุดใด หรือใช้ เส้นตรงใดลากผ่านจุด C เพื่อหา จุด MและNข้อเท็จจริงนี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบทของเดซาร์กส์

ในเรขาคณิตเชิงฉายจริง การสมมูลฮาร์มอนิกยังสามารถกำหนดได้ในรูปของอัตราส่วนไขว้เป็น( A , B ; C , D ) = −1 

จุดทั้งสี่นี้บางครั้งเรียกว่าช่วงฮาร์มอนิก (บนเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟจริง) เนื่องจากพบว่าจุด Dแบ่งส่วนของเส้นตรงABภายในด้วยสัดส่วนเดียวกับที่จุด Cแบ่งส่วนของ เส้นตรง ABภายนอกเสมอนั่นคือ:

$${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AD}}:{\overline {DB}}\,.}$$

หากส่วนเหล่านี้ได้รับการตีความตามระบบเมตริกแบบปกติของจำนวนจริงแล้วพวกมันจะมีเครื่องหมายและก่อให้เกิดสัดส่วนสองเท่าที่เรียกว่าอัตราส่วนไขว้ (บางครั้ง เรียกว่า อัตราส่วนสองเท่า )

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\left/{\frac {\overline {BC}}{-{\overline {DB}}}}\right.,}$

ซึ่งช่วงฮาร์มอนิกมีลักษณะเฉพาะด้วยค่า− 1 ดังนั้นเราจึงเขียนได้ว่า:

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {BC}}}=-1.}$

โดยทั่วไปแล้ว ค่าของอัตราส่วนไขว้จะไม่เป็นเอกลักษณ์เนื่องจากขึ้นอยู่กับลำดับการเลือกส่วนต่างๆ (และมีหกวิธีที่เป็นไปได้) แต่สำหรับช่วงฮาร์มอนิกโดยเฉพาะ จะมีค่าอัตราส่วนไขว้เพียงสามค่า ได้แก่{ − 1, 1/2, 2}เนื่องจาก− 1 เป็นตัวผกผันในตัวเอง ดังนั้นการสลับจุดสองจุดสุดท้ายจะทำให้ค่าแต่ละค่ากลับกัน แต่ไม่สร้างค่าใหม่ และในทางคลาสสิกเรียกว่าอัตราส่วนไขว้ฮาร์มอนิก

ในแง่ของอัตราส่วนสองเท่า เมื่อกำหนดจุดa, bบนเส้นตรงเชิงเส้นอัตราส่วนการหาร^{[ 2 ]}ของจุดxคือ $${\displaystyle t(x)={\frac {xa}{xb}}.}$$ โปรดทราบว่าเมื่อa < x < bแล้วt ( x )จะเป็นค่าลบ และจะเป็นค่าบวกนอกช่วงดังกล่าว อัตราส่วนไขว้${\displaystyle (c,d;a,b)={\tfrac {t(c)}{t(d)}}}$เป็นอัตราส่วนของอัตราส่วนการหาร หรืออัตราส่วนสองเท่า การกำหนดอัตราส่วนสองเท่าเป็นลบหนึ่งหมายความว่า เมื่อt ( c ) + t ( d ) = 0แล้วcและdจะเป็นคู่สังยุคฮาร์มอนิกเมื่อเทียบกับaและbดังนั้นเกณฑ์ของอัตราส่วนการหารคือพวกมันต้องเป็นตัวผกผันการบวก

การแบ่งส่วนของเส้นตรง แบบฮาร์มอนิก เป็นกรณีพิเศษของนิยามวงกลมของอพอลโลเนียส

ในบางหลักสูตรการเรียนการสอน การจัดเรียงช่วงเสียงฮาร์มอนิกเรียกว่าการหารฮาร์มอนิก

เมื่อxเป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงจากaไปbแล้ว $${\displaystyle t(x)={\frac {xa}{xb}}=-1.}$$ ตามเกณฑ์อัตราส่วนไขว้ ค่าสังยุคฮาร์มอนิกของxจะเป็นyเมื่อt ( y ) = 1แต่ไม่มีคำตอบจำกัดสำหรับyบนเส้นตรงที่ผ่านaและbอย่างไรก็ตาม $${\displaystyle \lim _{y\to \infty }t(y)=1,}$$ ด้วยเหตุนี้จึงกระตุ้นให้มีการรวมจุดที่ระยะอนันต์ไว้ในเส้นโปรเจกทีฟ จุดที่ระยะอนันต์นี้ทำหน้าที่เป็นจุดสังยุคฮาร์มอนิกของจุดกึ่งกลางx

อีกแนวทางหนึ่งในการหาค่าฮาร์มอนิกคอนจูเกตคือการใช้แนวคิดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์เช่นKLMNในแผนภาพด้านบน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์นี้สร้างขึ้นจากจุดสี่จุด โดยมีด้านตรงข้ามและเส้นทแยงมุมเป็นคู่ๆ ในการแสดงค่าฮาร์มอนิกคอนจูเกตโดยHSM Coxeterเส้นทแยงมุมถือเป็นด้านตรงข้ามเป็นคู่ๆ

Dเป็นคอนจูเกตฮาร์มอนิกของCเมื่อเทียบกับAและBซึ่งหมายความว่ามีรูปสี่เหลี่ยมIJKLที่ด้านตรงข้ามคู่หนึ่งตัดกันที่Aและคู่ที่สองตัดกันที่^Bในขณะที่คู่ที่สามตัด กับ ABที่CและD ^{[ 3} ]

คาร์ล ฟอน สเตาด์ทเป็นคนแรกที่ใช้ฮาร์มอนิกคอนจูเกตเป็นพื้นฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงฉายโดยไม่คำนึงถึงเมตริก:

...Staudt ประสบความสำเร็จในการปลดปล่อยเรขาคณิตเชิงฉายจากเรขาคณิตพื้นฐาน ในGeometrie der Lage ของเขา Staudt ได้แนะนำองค์ประกอบสี่ตัวแบบฮาร์มอนิกโดยอิสระจากแนวคิดของอัตราส่วนไขว้ตามเส้นทางเชิงฉายล้วนๆ โดยใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่สมบูรณ์^{[ 4 ]}

เพื่อดูการประยุกต์ใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสอย่างสมบูรณ์ในการหาจุดกึ่งกลาง โปรดพิจารณาข้อความต่อไปนี้จาก เจ.ดับบลิว. ยัง:

ถ้าลากเส้นตรงAQ และ AS สองเส้น ผ่านจุดAและลากเส้น ตรง BS และ BQผ่าน จุด BขนานกับAQ และ ASตามลำดับ เส้นตรงAQ และ SBจะตัดกันตามนิยาม ณ จุดRที่อนันต์ ในขณะที่AS และ QBจะตัดกันตามนิยาม ณ จุดPที่อนันต์ รูปสี่เหลี่ยมPQRS ที่สมบูรณ์ จะมีจุดทแยงมุมสองจุดที่AและBในขณะที่ด้านตรงข้ามอีกคู่หนึ่งผ่านจุดMและจุดที่อนันต์บนABจุดMจึงเป็นจุดสังยุคฮาร์มอนิกของจุดที่อนันต์บนABเมื่อเทียบกับAและBในทางกลับกัน การที่Mเป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงABเป็นผลมาจากข้อเสนอที่คุ้นเคยที่ว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ( PQRS ) ตัดกันที่จุดกึ่งกลาง^{[ 5 ]}

ภาคตัดกรวยในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ คือเส้นโค้งCที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ถ้าPเป็นจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นโค้งCและถ้าเส้นตรงแปรผันที่ลากผ่านPตัดกับ เส้นโค้ง Cที่จุดAและBแล้ว เส้นตรงแปรผันฮาร์มอนิกคอนจูเกตของPเทียบกับAและBจะลากเป็นเส้นตรง จุดPเรียกว่าขั้วของเส้นตรงฮาร์มอนิกคอนจูเกตนั้น และเส้นตรงนี้เรียกว่าเส้นขั้วของPเทียบกับภาคตัดกรวย ดูบทความเรื่อง ขั้วและเส้นขั้วสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

ในเรขาคณิตกาโลอิสเหนือฟิลด์กาโลอิสGF( q )เส้นตรงหนึ่งมี จุด q + 1จุด โดยที่∞ = (1,0)บนเส้นตรงนี้ จุดสี่จุดก่อตัวเป็นกลุ่มสี่จุดแบบฮาร์มอนิก เมื่อสองจุดแยกออกจากกันแบบฮาร์มอนิก เงื่อนไข

${\displaystyle (c,d;a,b)=-1,\ {\text{ equivalently }}\ \ 2(cd+ab)=(c+d)(a+b),}$

ลักษณะเฉพาะของเททราดฮาร์มอนิก ความสนใจในเททราดเหล่านี้ทำให้Jean Dieudonnéอธิบายไอโซมอร์ฟิซึมโดยบังเอิญ บางอย่าง ของกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟPGL(2, q )สำหรับq = 5, 7, 9 ^{[ 9 ]}

ถ้าq = ²ⁿและกำหนดAและBแล้ว คอนจูเกตฮาร์มอนิกของCก็คือตัวมันเอง^{[ 10 ]}

ให้P , P , P เป็นจุดสามจุดที่แตกต่างกันบนเส้นโปรเจกทีฟจริง พิจารณาลำดับอนันต์ของจุดP โดยที่P เป็นค่าสังยุคฮาร์มอนิกของP เทียบกับP , P สำหรับn > 2ลำดับนี้ลู่เข้า^{[ 11 ]}

สำหรับค่าจำกัดPเรามี

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+1}P}{P_{n}P}}=\Phi -2=-\Phi ^{-2}=-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},}$

ที่ไหน${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}$คืออัตราส่วนทองคำนั่นคือ${\displaystyle P_{n+1}P\approx -\Phi ^{-2}P_{n}P}$สำหรับค่า n ที่มาก สำหรับค่าลิมิตอนันต์ เราจะได้ว่า

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+2}P_{n+1}}{P_{n+1}P_{n}}}=-1-\Phi =-\Phi ^{2}.}$

สำหรับการพิสูจน์ ให้พิจารณาไอโซมอร์ฟิซึมเชิงโปรเจกทีฟ

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

กับ

${\displaystyle f\left((-1)^{n}\Phi ^{2n}\right)=P_{n}.}$

• สูตรส่วน