ในทางเรขาคณิตรูปหลายเหลี่ยม ( / ˈ p ɒ l ɪ ɡ ɒ n / ) คือรูปทรงบนระนาบ ที่ประกอบขึ้นจากส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อกันเป็น โซ่รูป หลายเหลี่ยมปิด

ส่วนต่างๆ ของรูปหลายเหลี่ยมปิดเรียกว่าขอบหรือด้าน จุดที่ขอบสองด้านมาบรรจบกันเรียกว่าจุดยอดหรือมุม รูปหลายเหลี่ยม nด้านคือ รูปหลายเหลี่ยมที่มีn ด้านตัวอย่างเช่นสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยม 3 ด้าน

รูปหลายเหลี่ยมเชิงเดี่ยวคือรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ตัดกับตัวเอง กล่าวคือ จุดตัดที่อนุญาตได้เพียงจุดเดียวระหว่างส่วนของเส้นตรงที่ประกอบกันเป็นรูปหลายเหลี่ยม คือจุดปลายร่วมของส่วนของเส้นตรงที่อยู่ติดกันในลำดับของรูปหลายเหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยมเชิงเดี่ยวเป็นขอบเขตของบริเวณบนระนาบที่เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมทึบส่วนภายในของรูปหลายเหลี่ยมทึบ เรียกว่า ตัวรูปหรือที่รู้จักกันในชื่อบริเวณรูปหลายเหลี่ยมหรือพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมในบริบทที่สนใจเฉพาะรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดี่ยวและรูปหลายเหลี่ยมทึบ คำว่ารูปหลายเหลี่ยมอาจหมายถึงรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดี่ยวหรือรูปหลายเหลี่ยมทึบเท่านั้น

กลุ่มรูปหลายเหลี่ยมอาจตัดกันเอง ทำให้เกิดรูปหลายเหลี่ยมดาวและรูปหลายเหลี่ยมตัดกันเอง อื่นๆ บางแหล่งข้อมูลยังถือว่ากลุ่มรูปหลายเหลี่ยมปิดในปริภูมิยูคลิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมชนิดหนึ่ง ( รูปหลายเหลี่ยมเฉียง ) แม้ว่ากลุ่มรูปหลายเหลี่ยมนั้นจะไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกันก็ตาม

รูปหลายเหลี่ยมเป็นตัวอย่างสองมิติของ รูปทรงหลายเหลี่ยมทั่วไปในจำนวนมิติใดๆ ก็ตาม นอกจากนี้ยังมีรูปทรงหลายเหลี่ยมในรูปแบบ อื่นๆ อีกมากมาย ที่กำหนดขึ้นเพื่อวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกัน

คำว่าpolygonมาจาก คำคุณศัพท์ภาษา กรีก πολύς ( polús ) 'มาก' / 'หลาย' และ γωνία ( gōnía ) 'มุม' หรือ 'เหลี่ยม' ดังนั้นจึงหมายถึง 'มีหลายมุม' มีการเสนอแนะว่า γόνυ ( gónu ) 'เข่า' อาจเป็นที่มาของคำว่าgon ^{[ 1 ]}

เรขาคณิตแบบยุคลิดถูกนำมาใช้เป็นพื้นฐานตลอดทั้งบทความ

พื้นที่

ในส่วนนี้ จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมที่กำลังพิจารณาจะถูกกำหนดให้เป็น${\displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$ตามลำดับ เพื่อความสะดวกในบางสูตร จะใช้สัญลักษณ์( x , y ) = ( x , y ) ด้วยเช่นกัน

รูปหลายเหลี่ยมอย่างง่าย

ถ้ารูปหลายเหลี่ยมนั้นไม่ตัดกันเอง (กล่าวคือ เป็นรูปหลายเหลี่ยมแบบง่าย ) พื้นที่ ที่มีเครื่องหมาย จะเป็น

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{where }}x_{n}=x_{0}{\text{ and }}y_{n}=y_{0},}$

หรือโดยใช้ตัวกำหนด

${\displaystyle 16A^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},}$

ที่ไหน${\displaystyle Q_{i,j}}$คือระยะทางยกกำลังสองระหว่าง${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$และ${\displaystyle (x_{j},y_{j}).}$^{[ 4 ] [ 5 ]}

พื้นที่ที่มีเครื่องหมายขึ้นอยู่กับการเรียงลำดับของจุดยอดและการวางแนวของระนาบ โดยทั่วไป การวางแนวที่เป็นบวกจะถูกกำหนดโดยการหมุน (ทวนเข็มนาฬิกา) ที่แมปแกนxบวกไปยังแกนyบวก หากจุดยอดเรียงลำดับทวนเข็มนาฬิกา (นั่นคือ ตามการวางแนวที่เป็นบวก) พื้นที่ที่มีเครื่องหมายจะเป็นบวก มิฉะนั้นจะเป็นลบ ไม่ว่าในกรณีใด สูตรพื้นที่ก็ถูกต้องในค่าสัมบูรณ์โดยทั่วไปเรียกว่าสูตรเชือกรองเท้าหรือสูตรของนักสำรวจ^{[ 6 ]}

พื้นที่A ของรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายสามารถคำนวณได้เช่น กัน หาก ทราบความยาวของด้านa , a , ..., a และมุมภายนอก θ 1 θ , ..., θ

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}}$

สูตรดังกล่าวได้รับการอธิบายโดย Lopshits ในปี พ.ศ. 2506 ^{[ 7 ]}

ถ้าสามารถวาดรูปหลายเหลี่ยมลงบนตารางที่มีระยะห่างเท่ากัน โดยที่จุดยอดทั้งหมดเป็นจุดบนตารางทฤษฎีบทของพิกจะให้สูตรอย่างง่ายสำหรับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมโดยอิงจากจำนวนจุดภายในและจุดขอบของตาราง นั่นคือ จำนวนจุดภายในบวกครึ่งหนึ่งของจำนวนจุดขอบ ลบด้วย 1

ในรูปหลายเหลี่ยมทุกรูปที่มีเส้นรอบรูปpและพื้นที่Aอสมการไอโซเพอริเมตริก${\displaystyle p^{2}>4\pi A}$ถือ^{[ 8 ]}

ทฤษฎีบทของโบลายี-เกอร์เวียน กล่าวว่า สำหรับรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายสองรูปใดๆ ที่มีพื้นที่เท่ากัน รูปแรกสามารถถูกตัดออกเป็นชิ้นส่วนรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งสามารถนำมาประกอบใหม่เพื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมที่สองได้

โดยทั่วไปแล้ว ความยาวของด้านของรูปหลายเหลี่ยมไม่ได้เป็นตัวกำหนดพื้นที่^{[ 9 ]}อย่างไรก็ตาม หากรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายและเป็นรูปวงกลม ความยาวของด้านจะเป็นตัวกำหนดพื้นที่^{[ 10 ]}ในบรรดา รูปหลายเหลี่ยม n ด้านทั้งหมดที่มีความยาวด้านที่กำหนด รูปหลายเหลี่ยมที่มีพื้นที่มากที่สุดจะเป็นรูปวงกลม ในบรรดารูปหลายเหลี่ยม n ด้าน ทั้งหมดที่มีเส้นรอบรูปที่กำหนด รูปหลายเหลี่ยมที่มีพื้นที่มากที่สุดจะเป็นรูปปกติ (และดังนั้นจึงเป็นรูปวงกลม) ^{[ 11 ]}

รูปหลายเหลี่ยมปกติ

มีสูตรเฉพาะหลายสูตรที่ ใช้กับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติสามารถหาได้จากรัศมีrของวงกลมที่แนบในและเส้นรอบรูปpโดย

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.}$

รัศมีนี้เรียกอีกอย่างว่าระยะอะโพเทมและมักแสดงด้วยสัญลักษณ์ .

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าn ด้าน สามารถแสดงได้ในรูปของรัศมีRของวงกลมล้อมรอบ (วงกลมเดียวที่ผ่านจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าn ด้าน ) ดังนี้: ^{[ 12 ] [ 13 ]}

${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}}$

การตัดกันเอง

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่ตัดกันเองสามารถกำหนดได้สองวิธี ซึ่งให้คำตอบที่แตกต่างกัน:

• โดยใช้สูตรสำหรับรูปหลายเหลี่ยมแบบง่าย เราอนุญาตให้พื้นที่เฉพาะภายในรูปหลายเหลี่ยมสามารถคูณด้วยปัจจัยที่เราเรียกว่าความหนาแน่นของพื้นที่นั้นได้ ตัวอย่างเช่น รูปห้าเหลี่ยมนูนตรงกลางของรูปดาวห้าแฉกมีความหนาแน่นเท่ากับ 2 พื้นที่รูปสามเหลี่ยมสองส่วนของรูปสี่เหลี่ยมไขว้ (เช่น รูปเลข 8) มีความหนาแน่นที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน และการรวมพื้นที่ของทั้งสองส่วนเข้าด้วยกันอาจทำให้พื้นที่ทั้งหมดของรูปนั้นเท่ากับศูนย์ได้^{[ 14 ]}
• เมื่อพิจารณาพื้นที่ที่ล้อมรอบเป็นเซตของจุด เราสามารถหาพื้นที่ของเซตจุดที่ล้อมรอบได้ ซึ่งสอดคล้องกับพื้นที่ของระนาบที่รูปหลายเหลี่ยมนั้นครอบคลุม หรือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายหนึ่งรูปหรือมากกว่านั้นที่มีรูปทรงเดียวกันกับรูปหลายเหลี่ยมที่ตัดกันเอง ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมตัดกัน จะถือว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมอย่างง่ายสองรูป

แนวคิดเรื่องรูปหลายเหลี่ยมได้รับการขยายความในหลายรูปแบบ รูปแบบที่สำคัญบางส่วนได้แก่:

• รูปหลายเหลี่ยมทรงกลมคือ เส้นโค้งของวงกลมใหญ่ (ด้าน) และจุดยอดบนพื้นผิวของทรงกลม มันทำให้เกิดรูปหลายเหลี่ยมสองมุม (digon) ซึ่งเป็นไปไม่ได้ในระนาบแบน รูปหลายเหลี่ยมทรงกลมมีบทบาทสำคัญในด้านการทำแผนที่ และในการสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมเอกรูปของ ไวทอฟฟ์ (Wythoff )
• รูปหลายเหลี่ยมเฉียงไม่วางตัวอยู่บนระนาบแบน แต่จะคดเคี้ยวไปมาในสามมิติ (หรือมากกว่านั้น) รูปหลายเหลี่ยมเพทรีของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นตัวอย่างที่รู้จักกันดี
• รูปหลายเหลี่ยมด้านไม่เท่า (apeirogon)คือลำดับของด้านและมุมที่ไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งไม่ใช่รูปปิดแต่ไม่มีจุดสิ้นสุด เพราะมันขยายออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในทั้งสองทิศทาง
• รูปหลายเหลี่ยมเฉียงคือลำดับอนันต์ของด้านและมุมที่ไม่วางตัวอยู่ในระนาบเดียวกัน
• รูปหลายเหลี่ยมที่มีรูคือ รูปหลายเหลี่ยมระนาบที่เชื่อมต่อกันด้วยพื้นที่หรือเชื่อมต่อกันหลายจุด โดยมีขอบภายนอกหนึ่งขอบและขอบภายใน (รู) หนึ่งขอบขึ้นไป
• รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนคือรูปทรงที่คล้ายคลึงกับรูปหลายเหลี่ยมธรรมดา ซึ่งมีอยู่ในระนาบเชิงซ้อน ที่มี มิติจริง 2 มิติ และมิติจินตนาการ 2 มิติ
• รูปหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมคือเซตเชิงพีชคณิตที่มีลำดับบางส่วนซึ่งแสดงถึงองค์ประกอบต่างๆ (ด้าน จุดยอด ฯลฯ) และการเชื่อมต่อขององค์ประกอบเหล่านั้น รูปหลายเหลี่ยมทางเรขาคณิตจริงกล่าวได้ว่าเป็นผลที่เกิดขึ้นจริงจากรูปหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมที่เกี่ยวข้อง ขึ้นอยู่กับการแมป การสรุปทั่วไปทั้งหมดที่อธิบายไว้ในที่นี้สามารถเกิดขึ้นได้จริง
• โพลีเฮดรอนคือทรงสามมิติที่มีขอบเขตเป็นหน้าหลายเหลี่ยมแบน คล้ายกับรูปหลายเหลี่ยมในสองมิติ รูปทรงที่สอดคล้องกันในสี่มิติหรือสูงกว่าเรียกว่าโพลีโทป [ ^{15 ] (}ในธรรมเนียมอื่น คำว่าโพลีเฮดรอนและโพลีโทปถูกใช้ในมิติใดก็ได้ โดยมีความแตกต่างระหว่างสองคำนี้คือโพลีโทปจะต้องมีขอบเขต^{[ 16 ]} )

คำว่า รูป หลายเหลี่ยม ( polygon ) มาจากภาษาละตินตอนปลายpolygōnum (คำนาม) ซึ่งมาจากภาษากรีก πολύγωνον ( polygōnon/polugōnon ) ซึ่งเป็นการใช้คำนามเพศกลางของ πολύγωνος ( polygōnos/polugōnosซึ่งเป็นคำคุณศัพท์เพศชาย) หมายถึง "มีหลายมุม" รูปหลายเหลี่ยมแต่ละรูปจะถูกตั้งชื่อ (และบางครั้งก็จัดประเภท) ตามจำนวนด้าน โดยใช้คำนำหน้าตัวเลขที่มาจากภาษากรีก ร่วม กับคำต่อท้าย-gonเช่น รูปห้าเหลี่ยม (pentagon) รูปสิบสองเหลี่ยม ( dodecagon ) ยกเว้นรูปสามเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมและรูปเก้าเหลี่ยม

นอกเหนือจากรูปสิบเหลี่ยม (10 ด้าน) และรูปสิบสองเหลี่ยม (12 ด้าน) นักคณิตศาสตร์โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ตัวเลข เช่น รูป 17 ด้าน และรูป 257 ด้าน^{[ 17 ]}

มีข้อยกเว้นสำหรับจำนวนด้านที่สามารถแสดงออกมาเป็นคำพูดได้ง่าย (เช่น 20 และ 30) หรือที่ใช้โดยผู้ที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญด้านคณิตศาสตร์ รูปหลายเหลี่ยมพิเศษบางรูปก็มีชื่อเรียกเฉพาะของตนเอง ตัวอย่างเช่นรูปห้าเหลี่ยมดาวปกติ ก็รู้จักกันในชื่อเพนทาแกรมด้วย เช่นกัน

ในการสร้างชื่อของรูปหลายเหลี่ยมที่มีขอบมากกว่า 20 และน้อยกว่า 100 ให้รวมคำนำหน้าดังต่อไปนี้^{[ 21 ]}คำว่า "kai" ใช้กับรูปหลายเหลี่ยม 13 ด้านขึ้นไป และถูกใช้โดยเคปเลอร์และได้รับการสนับสนุนโดยจอห์น เอช. คอนเวย์เพื่อความชัดเจนของตัวเลขคำนำหน้าที่ต่อกันในการตั้งชื่อรูปหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ [ ^{25 ]}แม้ว่าแหล่งข้อมูลทั้งหมดจะไม่ใช้^{ก็ตาม}

รูปหลายเหลี่ยมเป็นที่รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยโบราณ ชาวกรีกโบราณรู้จักรูปหลายเหลี่ยมปกติ โดย รูปดาวห้าแฉก ซึ่งเป็นรูป หลายเหลี่ยมปกติที่ไม่นูน ( รูปหลายเหลี่ยมดาว ) ปรากฏตั้งแต่ศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสต์ศักราชบนภาชนะดินเผาของอริสโตฟาเนสซึ่งพบที่เมืองกาเอเรและปัจจุบันอยู่ในพิพิธภัณฑ์คาปิโตลีน^{[ 40 ] [ 41 ]}

การศึกษาเชิงระบบครั้งแรกที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนโดยทั่วไปนั้น กระทำโดยโทมัส แบรดวาร์ดีนในศตวรรษที่ 14 ^{[ 42 ]}

ในปี พ.ศ. 2495 Geoffrey Colin Shephardได้ขยายแนวคิดของรูปหลายเหลี่ยมไปยังระนาบเชิงซ้อน โดยที่ มิติ จริง แต่ละ มิติจะมี มิติ จินตนาการ ควบคู่ไปด้วย เพื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน^{[ 43 ]}

รูปทรงหลายเหลี่ยมปรากฏในหิน โดยส่วนใหญ่มักเป็นด้านแบนของผลึกซึ่งมุมระหว่างด้านต่างๆ จะขึ้นอยู่กับชนิดของแร่ที่ประกอบเป็นผลึกนั้น

รูปทรงหกเหลี่ยมปกติสามารถเกิดขึ้นได้เมื่อลาวา เย็นตัวลง ทำให้เกิดบริเวณที่มีเสาหินบะซอลต์ เรียงตัวกันอย่างหนาแน่น ซึ่งอาจพบเห็นได้ที่Giant's Causewayในไอร์แลนด์เหนือหรือที่Devil's Postpileในแคลิฟอร์เนีย

ในทางชีววิทยาพื้นผิวของรังผึ้งที่ผึ้งสร้างขึ้นนั้นมีลักษณะเป็นรูปทรงหกเหลี่ยม เรียงกัน และด้านข้างและฐานของแต่ละช่องก็เป็นรูปหลายเหลี่ยมเช่นกัน

ในกราฟิกคอมพิวเตอร์รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปทรงพื้นฐานที่ใช้ในการสร้างแบบจำลองและการเรนเดอร์ โดยจะกำหนดไว้ในฐานข้อมูล ซึ่งประกอบด้วยอาร์เรย์ของจุดยอด (พิกัดของจุดยอดทางเรขาคณิตรวมถึงคุณลักษณะอื่นๆ ของรูปหลายเหลี่ยม เช่น สี การแรเงา และพื้นผิว) ข้อมูลการเชื่อมต่อและวัสดุ^{[ 44 ] [ 45 ]}

พื้นผิวใดๆ จะถูกจำลองเป็นแบบเทสเซลเลชันที่เรียกว่าตาข่ายรูปหลายเหลี่ยมถ้าตาข่ายรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมี จุด (จุดยอด) n + 1จุดต่อด้าน จะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสn ช่องในตาข่าย หรือสามเหลี่ยม 2nช่อง เนื่องจากมีสามเหลี่ยมสองรูปในสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะมี จุดยอด ( n + 1) ^² / 2( ^n² )จุดต่อสามเหลี่ยม เมื่อnมีค่ามาก จำนวนจุดยอดจะเข้าใกล้ครึ่งหนึ่ง หรือแต่ละจุดยอดภายในตาข่ายรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเชื่อมต่อกับขอบ (เส้น) สี่เส้น

ระบบประมวลผลภาพจะเรียกโครงสร้างของรูปหลายเหลี่ยมที่จำเป็นสำหรับการสร้างฉากจากฐานข้อมูล จากนั้นจะถ่ายโอนไปยังหน่วยความจำหลักและสุดท้ายไปยังระบบแสดงผล (จอภาพ โทรทัศน์ ฯลฯ) เพื่อให้สามารถแสดงฉากได้ ในระหว่างกระบวนการนี้ ระบบประมวลผลภาพจะเรนเดอร์รูปหลายเหลี่ยมในมุมมองที่ถูกต้อง พร้อมสำหรับการส่งข้อมูลที่ประมวลผลแล้วไปยังระบบแสดงผล แม้ว่ารูปหลายเหลี่ยมจะเป็นสองมิติ แต่ผ่านทางคอมพิวเตอร์ของระบบ รูปหลายเหลี่ยมเหล่านั้นจะถูกจัดวางในฉากภาพในทิศทางสามมิติที่ถูกต้อง

ในสาขากราฟิกคอมพิวเตอร์และเรขาคณิตเชิงคำนวณมักมีความจำเป็นต้องตรวจสอบว่าจุดที่กำหนดนั้นเป็นอย่างไร${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$อยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายที่กำหนดโดยลำดับของส่วนของเส้นตรง นี่เรียกว่าการทดสอบจุดภายในรูปหลายเหลี่ยม^{[ 46 ]}

ลองค้นหาคำว่า "polygon"ใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับ รูป หลายเหลี่ยม

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "รูปหลายเหลี่ยม" . แมธเวิลด์ .
• รูปทรงหลายเหลี่ยมคืออะไร?พร้อมด้วยคำนำหน้าตัวเลขภาษากรีก
• รูปหลายเหลี่ยม ประเภทของรูปหลายเหลี่ยม และคุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมพร้อมแอนิเมชันแอนิเมชั่น
• วิธีวาดรูปหลายเหลี่ยมเชิงมุมขาวดำบนหน้าจอโดย เฮอร์เบิร์ต กลาร์เนอร์
• comp.graphics.algorithms คำถามที่พบบ่อย , วิธีแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการคำนวณรูปหลายเหลี่ยม 2 มิติและ 3 มิติ
• การเปรียบเทียบอัลกอริธึมต่างๆ สำหรับการดำเนินการทางตรรกะแบบบูลีนของรูปหลายเหลี่ยมเปรียบเทียบความสามารถ ความเร็ว และความเสถียรเชิงตัวเลข
• ผลรวมมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม: สูตรทั่วไป บทความนี้เสนอการสำรวจแบบโต้ตอบด้วยภาษา Java ที่ขยายสูตรผลรวมมุมภายในสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปิดแบบง่ายไปสู่รูปหลายเหลี่ยมตัดกัน (เชิงซ้อน)