ฟังก์ชันความสูงเป็นฟังก์ชันที่วัดปริมาณความซับซ้อนของวัตถุทางคณิตศาสตร์ ในเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ฟังก์ชันความสูงจะวัดขนาดของคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์และโดยทั่วไปจะเป็นฟังก์ชันจากเซตของจุดบนวาไรตี้พีชคณิต (หรือเซตของวาไรตี้พีชคณิต) ไปยังจำนวนจริง^{[ 1 ]}

ตัวอย่างเช่น ความสูง แบบคลาสสิกหรือแบบง่ายๆเหนือจำนวนตรรกยะ โดยทั่วไปจะ ถูก กำหนดให้เป็นค่าสูงสุดของตัวเศษและตัวส่วนของพิกัด (เช่น7สำหรับพิกัด(3/7, 1/2) ) แต่ในมาตราส่วนลอการิทึม

ฟังก์ชันความสูงช่วยให้นักคณิตศาสตร์สามารถนับวัตถุ เช่นจุดตรรกยะซึ่งโดยปกติแล้วมีปริมาณอนันต์ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนตรรกยะที่มีความสูงแบบง่าย (ค่าสูงสุดของตัวเศษและตัวส่วนเมื่อแสดงในรูปอย่างง่ายที่สุด ) ที่อยู่ต่ำกว่าค่าคงที่ที่กำหนดใดๆ จะมีจำนวนจำกัด แม้ว่าเซตของจำนวนตรรกยะจะมีจำนวนอนันต์ก็ตาม^{[ 2 ]}ในแง่นี้ ฟังก์ชันความสูงสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์เชิงอะซิมโทติกเช่นทฤษฎีบทของเบเกอร์ในทฤษฎีจำนวนอดิศัยซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยอลัน เบเกอร์  ( 1966 , 1967a , 1967b )

ในกรณีอื่นๆ ฟังก์ชันความสูงสามารถจำแนกวัตถุบางอย่างตามความซับซ้อนได้ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทพื้นที่ย่อยที่พิสูจน์โดยWolfgang M. Schmidt  ( 1972 ) แสดงให้เห็นว่าจุดที่มีความสูงน้อย (เช่น ความซับซ้อนน้อย) ในพื้นที่เชิงโปรเจกทีฟ อยู่ใน ระนาบไฮเปอร์จำนวนจำกัดและขยายทฤษฎีบทของ Siegel เกี่ยวกับจุดอินทิกรัลและคำตอบของสมการหน่วย S ^{[ 3 ]}

ฟังก์ชันความสูงมีความสำคัญต่อการพิสูจน์ทฤษฎีบท Mordell–Weilและทฤษฎีบท FaltingsโดยWeil  ( 1929 ) และFaltings  ( 1983 ) ตามลำดับ ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขที่โดดเด่นหลายประการเกี่ยวกับความสูงของจุดตรรกยะบนวาไรตี้พีชคณิต เช่นข้อสันนิษฐานของ Maninและข้อสันนิษฐานของ Vojtaมีนัยสำคัญอย่างกว้างขวางสำหรับปัญหาในการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์ สมการไดโอแฟนไทน์เรขาคณิตเชิงพีชคณิตและตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์^{[ 4 ] [ 5 ]}

รูปแบบแรกเริ่มของฟังก์ชันความสูงได้รับการเสนอโดยGiambattista Benedetti (ประมาณปี 1563) ซึ่งโต้แย้งว่าความกลมกลืนของช่วงเสียงดนตรีสามารถวัดได้จากผลคูณของตัวเศษและตัวส่วน (ในรูปแบบย่อ) ดูที่Giambattista Benedetti § Music

ความสูงในเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ได้รับการพัฒนาครั้งแรกโดยAndré WeilและDouglas Northcottตั้งแต่ช่วงทศวรรษ 1920 ^{[ 6 ]}นวัตกรรมในช่วงทศวรรษ 1960 คือความสูงของ Néron–Tateและการตระหนักว่าความสูงเชื่อมโยงกับการแสดงแทนเชิงโปรเจคทีฟในลักษณะเดียวกับที่มัดเส้นแอมเพิลในส่วนอื่นๆ ของเรขาคณิตพีชคณิตในช่วงทศวรรษ 1970 Suren Arakelovได้พัฒนาความสูงของ Arakelov ในทฤษฎีArakelov ^{[ 7 ]}ในปี 1983 Faltings ได้พัฒนาทฤษฎีความสูงของ Faltings ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Faltings ^{[ 8 ]}

ความสูงแบบคลาสสิกหรือ แบบง่าย ถูกกำหนดในแง่ของค่าสัมบูรณ์ธรรมดาบนพิกัดเอกพันธุ์โดยทั่วไปจะเป็นมาตราส่วนลอการิทึม ดังนั้นจึงสามารถมองได้ว่าเป็นสัดส่วนกับ "ความซับซ้อนทางพีชคณิต" หรือจำนวนบิตที่จำเป็นในการจัดเก็บจุด^{[ 2 ]}โดยทั่วไปจะถูกกำหนดให้เป็นลอการิทึมของค่าสัมบูรณ์สูงสุดของเวกเตอร์ของจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วม ซึ่งได้มาจากการคูณด้วยตัวหารร่วมที่น้อยที่สุดสิ่งนี้อาจใช้เพื่อกำหนดความสูงบนจุดในปริภูมิเชิงฉายเหนือQหรือของพหุนาม ซึ่งถือว่าเป็นเวกเตอร์ของสัมประสิทธิ์ หรือของจำนวนพีชคณิต จากความสูงของพหุนามขั้นต่ำ^{[ 9 ]}

ความสูงอย่างง่ายของจำนวนตรรกยะx = p / q (ในรูปอย่างง่ายที่สุด) คือ

• ความสูงแบบทวีคูณ${\displaystyle H(p/q)=\max\{|p|,|q|\}}$
• ความสูงแบบลอการิทึม: ^{[ 10 ]}${\displaystyle h(p/q)=\log H(p/q)}$

ดังนั้น ความสูงเชิงคูณและเชิงลอการิทึมแบบง่ายของ4/10คือ5และlog(5)เป็นต้น

ความสูงแบบง่ายH ของเส้นโค้งวงรีEที่กำหนดโดยy ² = x ³ + Ax + Bถูกกำหนดให้เป็นH(E) = log max(4| A | ³ , 27| B | ² )

ความสูง Néron –Tateหรือความสูงมาตรฐานเป็นรูปแบบกำลังสองบนกลุ่ม Mordell–Weilของจุดตรรกะของวาไรตี้อาเบลที่กำหนดเหนือฟิลด์ทั่วโลกชื่อนี้ตั้งตามAndré Néronผู้ซึ่งนิยามมันเป็นผลรวมของความสูงเฉพาะที่เป็นครั้งแรก^{[ 11 ]}และJohn Tateผู้ซึ่งนิยามมันในระดับโลกในงานที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์^{[ 12 ]}

ให้Xเป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์จำนวนKให้Lเป็นบันเดิลเส้นบนXเรากำหนดความสูงของเวลล์บนXเทียบกับLดังต่อไปนี้

ก่อนอื่น สมมติว่าLมีขนาดใหญ่มากการเลือกฐานของพื้นที่ส่วนตัดทั่วโลกจะกำหนดมอร์ฟิซึมϕจากXไปยังพื้นที่เชิงโปรเจกทีฟ และสำหรับจุดp ทั้งหมด บนXจะกำหนด โดยที่hคือความสูงแบบง่ายบนพื้นที่เชิงโปรเจกทีฟ^{[ ​​13 ] [ 14 ]} สำหรับXและL ที่กำหนดไว้ การเลือกฐานของส่วนตัดทั่วโลกที่แตกต่างกันจะเปลี่ยนแต่เปลี่ยนเฉพาะฟังก์ชันที่มีขอบเขตของp เท่านั้น ดังนั้น จึงถูกกำหนดไว้อย่างดีจนถึงการเพิ่มฟังก์ชันที่เป็นO(1 ) ${\displaystyle \Gamma (X,L)}$${\displaystyle h_{L}(p):=h(\phi (p))}$${\displaystyle h_{L}}$${\displaystyle h_{L}}$

โดยทั่วไป เราสามารถเขียนLเป็นผลต่างของกลุ่มเส้นL ₁และL ₂ ที่กว้างขวางมาก บนXและกำหนด ซึ่งกำหนดไว้อย่างดีจนถึงO(1 ) ^{[ 13 ] [ 14 ]}${\displaystyle h_{L}:=h_{L_{1}}-h_{L_{2}},}$

ความสูงของ Arakelovบนพื้นที่เชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์ของจำนวนพีชคณิตคือฟังก์ชันความสูงทั่วโลกที่มีส่วนประกอบเฉพาะที่มาจากเมตริก Fubini–Studyบนฟิลด์อาร์คิมีเดียนและเมตริกปกติบนฟิลด์ที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียน [ ^{15 ] [ 16 ] มัน}คือความสูงของ Weil ปกติที่มาพร้อมกับเมตริกที่แตกต่างกัน^{[ 17 ]}

ความสูงของฟัลติงส์ของวาไรตี้อาเบเลียนที่กำหนดบนฟิลด์จำนวนเป็นการวัดความซับซ้อนทางเลขคณิต โดยนิยามในแง่ของความสูงของมัดเส้นตรงแบบเมตริกฟัลติงส์  ( 1983 ) เป็นผู้นำเสนอแนวคิดนี้ในการพิสูจน์สมมติฐานมอร์เดลล์ของ เขา

สำหรับพหุนามPดีกรีnที่กำหนดโดย

${\displaystyle P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

ความสูงH ( P ) ถูกกำหนดให้เป็นค่าสูงสุดของขนาดของสัมประสิทธิ์: ^{[ 18 ]}

${\displaystyle H(P)={\underset {i}{\max }}\,|a_{i}|.}$

เราสามารถกำหนดความยาวL ( P ) ในลักษณะเดียวกันได้ว่าเป็นผลรวมของขนาดของสัมประสิทธิ์:

${\displaystyle L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.}$

การวัด Mahler M ( P ) ของPยังเป็นการวัดความซับซ้อนของP อีก ด้วย^{[ 19 ]}ฟังก์ชันทั้งสามH ( P ), L ( P ) และM ( P ) มีความสัมพันธ์กันโดยความไม่เท่าเทียมกัน

${\displaystyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1}};}$

${\displaystyle L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);}$

${\displaystyle H(p)\leq L(p)\leq (n+1)H(p)}$

สัมประสิทธิ์ ทวินามอยู่ที่ไหน${\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}}$

เงื่อนไขประการหนึ่งในคำจำกัดความของรูปแบบอัตโนมัติบนกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของกลุ่มพีชคณิตอะเดลิกคือการเติบโตปานกลาง ซึ่งเป็นเงื่อนไขเชิงอะซิมโทติกเกี่ยวกับการเติบโตของฟังก์ชันความสูงบนกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปที่มอง ว่าเป็นวาไรตี้แอฟฟิน^{[ 20 ]}

ความสูงของจำนวนตรรกยะที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบ ได้ x = p / q , q > 0 คือ(ฟังก์ชันนี้ใช้สำหรับการสร้างการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างและ) ^{[ 21 ]}${\displaystyle |p|+q}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• การคาดการณ์ของ ABC
• ข้อสันนิษฐานของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์
• สมมติฐานเลห์เมอร์แบบวงรี
• ค่าคงที่ของฮีธ-บราวน์-โมรอซ
• ความสูงของกฎหมายกลุ่มที่เป็นทางการ
• ฟังก์ชันซีตาความสูง
• ทฤษฎีบทไอโซจีนีของเรย์โนด์

• Baker, Alan (1966). "รูปแบบเชิงเส้นในลอการิทึมของจำนวนพีชคณิต I". Mathematika . 13 (2): 204– 216. doi : 10.1112/S0025579300003971 . ISSN  0025-5793 . MR  0220680 .
• Baker, Alan (1967a). "รูปแบบเชิงเส้นในลอการิทึมของจำนวนพีชคณิต. II". Mathematika . 14 : 102– 107. doi : 10.1112/S0025579300008068 . ISSN  0025-5793 . MR  0220680 .
• Baker, Alan (1967b). "รูปแบบเชิงเส้นในลอการิทึมของจำนวนพีชคณิต III". Mathematika . 14 (2): 220– 228. doi : 10.1112/S0025579300003843 . ISSN  0025-5793 . MR  0220680 .
• Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). รูปแบบลอการิทึมและเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ . เอกสารทางคณิตศาสตร์ใหม่. เล่มที่ 9. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . หน้า 3. ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl  1145.11004 .
• Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). ความสูงในเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ . เอกสารทางคณิตศาสตร์ใหม่ เล่มที่ 4. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl  1130.11034 .
• บอร์ไวน์, ปีเตอร์ (2002). การสำรวจเชิงคำนวณในการวิเคราะห์และทฤษฎีจำนวน . CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag . หน้า  2 , 3, 14148. ISBN 0-387-95444-9. Zbl  1020.12001 .
• บัมพ์, แดเนียล (1998). รูปแบบอัตโนมัติและการแทนค่า . การศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูงของเคมบริดจ์ เล่มที่ 55 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า 300 ISBN 9780521658188.
• คอร์เนลล์, แกรี่; ซิลเวอร์แมน, โจเซฟ เอช. (1986). เรขาคณิตเชิงเลขคณิต . นิวยอร์ก: สปริงเกอร์. ISBN 0387963111.→ มีคำแปลภาษาอังกฤษของFaltings (1983)
• ฟอลติงส์, เกิร์ด (1983) "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [ทฤษฎีบทความจำกัดสำหรับพันธุ์อะบีเลียนเหนือฟิลด์ตัวเลข] Inventiones Mathematicae (ภาษาเยอรมัน) 73 (3): 349– 366. Bibcode : 1983InMat..73..349F . ดอย : 10.1007/BF01388432 . คุณ 0718935 . S2CID  121049418 .
• Faltings, Gerd (1991). "การประมาณค่าไดโอแฟนไทน์บนวาไรตี้อาเบเลียน". Annals of Mathematics . 123 (3): 549– 576. doi : 10.2307/2944319 . JSTOR  2944319 . MR  1109353 .
• Fili, Paul; Petsche, Clayton; Pritsker, Igor (2017). "ปริพันธ์พลังงานและจุดเล็ก ๆ สำหรับความสูงของ Arakelov" Archiv der Mathematik . 109 (5): 441– 454. arXiv : 1507.01900 . doi : 10.1007/s00013-017-1080-x . S2CID  119161942 .
• Mahler, K. (1963). "เกี่ยวกับคุณสมบัติสุดขั้วสองประการของพหุนาม" . วารสารคณิตศาสตร์แห่งรัฐอิลลินอยส์ . 7 (4): 681– 701. doi : 10.1215/ijm/1255645104 . Zbl  0117.04003 .
• เนรอง, อังเดร (1965) "เสมือนฟอนต์และโอต์ ซูร์ เลส์ วาริเอเตส อาเบเลียน" พงศาวดารของคณิตศาสตร์ (ในภาษาฝรั่งเศส) 82 (2): 249– 331. ดอย : 10.2307/1970644 . จสตอร์ 1970644 . คุณ 0179173 .
• Schinzel, Andrzej (2000). พหุนามโดยคำนึงถึงความสามารถในการลดรูปเป็นพิเศษสารานุกรมคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ เล่มที่ 77 เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์หน้า  212 ISBN 0-521-66225-7. Zbl  0956.12001 .
• Schmidt, Wolfgang M. (1972). "สมการรูปแบบบรรทัดฐาน". Annals of Mathematics . ชุดที่สอง. 96 (3): 526– 551. doi : 10.2307/1970824 . JSTOR  1970824. MR  0314761 .
• แลง, เซิร์จ (1988) ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีอาราเกลอฟ นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แลก . ไอเอสบีเอ็น 0-387-96793-1. คุณ 0969124 . สบีแอล 0667.14001 .
• Lang, Serge (1997). การสำรวจเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl  0869.11051 .
• ไวล์, อังเดร (1929) "เลขคณิตเมติค ซูร์ เล กูร์บ อัลเกบริก " แอกต้า แมทเธมาติกา . 52 (1): 281– 315. ดอย : 10.1007/BF02592688 . คุณ 1555278 .
• ซิลเวอร์แมน, โจเซฟ เอช. (1994). หัวข้อขั้นสูงในพีชคณิตของเส้นโค้งวงรี . นิวยอร์ก: สปริงเกอร์. ISBN 978-1-4612-0851-8.
• โวจตา, พอล (1987). การประมาณค่าไดโอแฟนไทน์และทฤษฎีการกระจายค่า . บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์. เล่มที่ 1239. เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลก . doi : 10.1007/BFb0072989 . ISBN 978-3-540-17551-3. คุณ 0883451 . สบีแอล 0609.14011 .
• Kolmogorov, Andrey ; Fomin, Sergei (1957). องค์ประกอบของทฤษฎีฟังก์ชันและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . นิวยอร์ก: Graylock Press.

• ความสูงของพหุนามที่ Mathworld