ในทางคณิตศาสตร์การแยกตัวประกอบแบบเบิร์คฮอฟฟ์หรือการแยกส่วนแบบเบิร์คฮอฟฟ์ซึ่งริเริ่มโดยจอร์จ เดวิด เบิร์คฮอฟฟ์  ( 1909 ) เป็นการขยายผลของการแยกส่วนแบบ LU (เช่น การกำจัดแบบเกาส์) ไปสู่กลุ่มลูป

การแยกตัวประกอบของเมทริกซ์ผกผันได้ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นพหุนามลอเรน ต์ ใน นั้นกำหนดโดยผลคูณโดยที่มีสมาชิกที่เป็นพหุนาม ใน เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมที่มีสำหรับและและมีสมาชิกที่เป็นพหุนามในสำหรับเมทริกซ์ทั่วไป เราจะได้ ${\displaystyle M\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} [z,z^{-1}])}$${\displaystyle z}$${\displaystyle M=M^{+}M^{0}M^{-}}$${\displaystyle M^{+}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle M^{0}=\mathrm {diag} (z^{k_{1}},z^{k_{2}},...,z^{k_{n}})}$${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle k_{1}\geq k_{2}\geq ...\geq k_{n}}$${\displaystyle M^{-}}$${\displaystyle z^{-1}}$${\displaystyle M^{0}=\คณิตศาสตร์ {id} }$

การแยกตัวประกอบของ Birkhoff บ่งชี้ถึงทฤษฎีบท Birkhoff–GrothendieckของGrothendieck (1957) ที่ระบุ ว่ากลุ่มเวกเตอร์บนเส้นตรงเชิงโปรเจก ทีฟ เป็นผลรวมของกลุ่มเส้นตรง

มีรูปแบบต่างๆ หลายแบบที่กลุ่มเชิงเส้น ทั่วไป ถูกแทนที่ด้วยกลุ่มพีชคณิตลดรูปอื่นๆ ซึ่งเป็นผลมาจากAlexander Grothendieck  ( 1957 ) การแยกตัวประกอบ Birkhoff เป็นผลมาจากการแยกตัวประกอบ Bruhatสำหรับกลุ่ม Kac–Moody เชิงเส้นตรง (หรือกลุ่มวงวน ) และในทางกลับกัน การแยกตัวประกอบ Bruhat สำหรับกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเชิง เส้นตรง เป็นผลมาจากการแยกตัวประกอบ Birkhoff ร่วมกับการแยกตัวประกอบ Bruhat สำหรับกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปแบบธรรมดา

มีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณการแยกตัวประกอบ Birkhoff ต่อไปนี้จะอ้างอิงจากหนังสือของ Clancey-Gohberg ^{[ 1 ]}ซึ่งสามารถพบกรณีทั่วไปเพิ่มเติมได้เช่นกัน

โปรดทราบว่า ตาม สูตร เมทริกซ์โคแฟกเตอร์เมทริกซ์ที่ผกผันได้นั้นเทียบเท่ากับการที่ตัวกำหนดเป็นหน่วยในริงฐาน ในกรณีของเรา หมายความว่าสำหรับบางค่าเนื่องจากค่าเหล่านี้เป็นองค์ประกอบที่ผกผันได้เพียงอย่างเดียวในริงของพหุนามลอเรนต์และและเป็นเพียงค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ในเนื่องจากค่าเหล่านี้เป็นหน่วยเพียงอย่างเดียวในหรือ ซึ่งหมายความว่าและ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งนี้จะช่วยให้เรากำหนดได้ว่าอัลกอริทึมเสร็จสิ้นเมื่อใด ${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {det} M}$${\displaystyle \operatorname {det} M=c\cdot z^{d}}$${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,d\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} [z,z^{-1}]}$${\displaystyle \operatorname {det} M^{+}}$${\displaystyle \operatorname {det} M^{-}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} [z]}$${\displaystyle \mathbb {C} [z^{-1}]}$${\displaystyle \operatorname {det} M^{0}=z^{d}}$${\displaystyle d=k_{1}+\cdots k_{n}}$

ขั้นตอนแรก:แทนที่ด้วยเพื่อตัดตัวส่วนออก กล่าวคือ เพื่อให้ถูกกำหนดไว้เหนือให้เป็นเลขชี้กำลังที่สังเกตว่าตอนนี้ค่านี้ไม่เป็นลบแล้ว ${\displaystyle M}$${\displaystyle z^{m}M}$${\displaystyle z^{m}M}$${\displaystyle \mathbb {C} [z]}$${\displaystyle d=\operatorname {ord} _{z}\operatorname {det} z^{m}M}$${\displaystyle z}$

ขั้นตอนที่สอง:สลับแถวและแยกตัวประกอบกำลังสูงสุดที่เป็นไปได้ของในแต่ละแถว โดยต้องคงค่า เอา ไว้ การสลับแถวต้องทำให้กำลังสูงสุดของลดลงเรื่อยๆ ให้ เป็นเมทริกซ์การสลับแถวและ เป็นเมทริกซ์แนวทแยงของกำลัง ตามลำดับ ${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbb {C} [z]}$${\displaystyle z}$${\displaystyle P,D}$

${\displaystyle M'=D^{-1}\cdot P\cdot M}$

ขั้นตอนที่สาม:ถ้าผลรวมของเลขยกกำลังจากขั้นตอนที่ 2 เท่ากับเราก็เสร็จสิ้นแล้ว มิฉะนั้น ให้ทำการดำเนินการกับแถวโดยไม่ต้องสลับแถว เพื่อให้ได้อย่างน้อยหนึ่งแถวที่เป็นศูนย์เมื่อหารด้วย 0 นำเลขยกกำลังที่แยกตัวประกอบแล้วกลับเข้าไปในเมทริกซ์ของเรา และกลับไปที่ขั้นตอนที่ 2 ${\displaystyle d}$${\displaystyle z}$

การไม่อนุญาตให้ใช้การสลับแกนหมายความว่าเรากำลังขอให้เมทริกซ์ที่เข้ารหัสการดำเนินการแถวเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง ${\displaystyle E\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

เมทริกซ์ที่จะส่งกลับไปยังขั้นตอนที่ 2 คือ:

${\displaystyle M''=D\cdot E\cdot M'}$

โปรดทราบว่าตราบใดที่ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ไม่คงที่ ดีเทอร์มิแนนต์จะเป็นศูนย์มอดูลดังนั้นแถวต่างๆ จึงเป็นอิสระเชิงเส้นมอดูลด้วยเหตุนี้ ขั้นตอนนี้จึงสามารถดำเนินการได้ ${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

สรุป:เมื่อเมทริกซ์จากขั้นตอนที่ 2 มีกำลังสูงพอ เราสามารถกำหนดให้ ได้เนื่องจากเมทริกซ์นี้จะมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 โดยคุณสมบัติการคูณ ในแต่ละรอบการทำงาน ผลของอัลกอริทึมของเราคือการคูณด้วยเนื่องจากกำลังในเรียงลำดับจากมากไปน้อย และเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง เราจึงพบว่าประกอบด้วยกำลังลบของ เท่านั้นยิ่งไปกว่านั้น โดยคุณสมบัติการคูณของดีเทอร์มิแนนต์อีกครั้ง เราพบว่าดังนั้น เราจึงสามารถนำผลคูณของเมทริกซ์เหล่านี้ที่ได้จากทุกรอบการทำงานมากำหนดให้ เป็นเมทริกซ์ผกผันของมันได้ ${\displaystyle D}$${\displaystyle M^{+}=M'}$${\displaystyle D\cdot E\cdot D^{-1}\cdot P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle D\cdot E\cdot D^{-1}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \operatorname {det} (D\cdot E\cdot D^{-1}\cdot P)=\pm \operatorname {det} E\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle M^{-}}$

สุดท้ายนี้ เมื่อย้อนกลับไปดูขั้นตอนที่ 1 เราได้แยกส่วนแล้วการหารด้วยและการกำหนดค่าจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle z^{m}M=M^{-}\cdot D\cdot M^{+}}$${\displaystyle z^{m}}$${\displaystyle M^{0}=D\cdot z^{-m}}$

ตัวอย่าง:พิจารณา. ดีเทอร์มิแนนต์คือ 1 ขั้นตอนแรกทำโดยการแทนที่ด้วยซึ่งมีดีเทอร์มิแนนต์และดังนั้น. ${\displaystyle M=\left({\begin{smallmatrix}1+z&z^{-1}+2\\z&2\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle zM}$${\displaystyle z^{2}}$${\displaystyle d=2}$

ขั้นตอนที่สองคือขั้นตอนที่สามให้ผลลัพธ์คือ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}z+z^{2}&1+2z\\z^{2}&2z\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&2\\z+z^{2}&1+2z\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}z&2\\z+z^{2}&1+2z\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\1/2&1\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&2\\z/2+z^{2}&2z\end{smallmatrix}}\right)}$

เมื่อส่งคืนกำลังที่แยกตัวประกอบแล้ว เราต้องการทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 กับเมทริกซ์ ในที่นี้ เราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น ซึ่งตรงกับเป้าหมายของเราเมื่อรวบรวมการดำเนินการทั้งหมดเหล่านี้: ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}z^{2}&2z\\z/2+z^{2}&2z\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}z&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&2\\z/2+z^{2}&2z\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}z&0\\0&z\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&2\\1/2+z&2\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle d=2}$

${\displaystyle zM={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\1/2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z^{-1}&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z&0\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z&2\\1/2+z&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z^{-1}/2&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z&0\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z&2\\1/2+z&2\end{pmatrix}}.}$

ดังนั้น เมื่อหารด้วย, . ${\displaystyle z}$${\displaystyle M=\left({\begin{smallmatrix}z^{-1}/2&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&2\\1/2+z&2\end{smallmatrix}}\right)}$

• การสลายตัวของ Birkhoff (การแยกความหมาย)
• ปัญหารีมันน์-ฮิลเบิร์ต