ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มเมทริกซ์คือกลุ่มGที่ประกอบด้วยเมทริกซ์ผกผันได้ บนฟิลด์K ที่กำหนดไว้ โดยมีตัวดำเนินการคือการคูณเมทริกซ์กลุ่มเชิงเส้นคือกลุ่มที่สม isomorphicกับกลุ่มเมทริกซ์ (กล่าวคือ ยอมรับการแสดงแทนแบบซื่อสัตย์และมีมิติจำกัดบนK )

กลุ่มจำกัดใดๆ ก็เป็นกลุ่มเชิงเส้นได้ เพราะสามารถสร้างขึ้นได้ด้วยเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนโดยใช้ทฤษฎีบทของเคย์ลีย์ในบรรดากลุ่มอนันต์กลุ่มเชิงเส้นเป็นกลุ่มที่น่าสนใจและจัดการได้ง่าย ตัวอย่างของกลุ่มที่ไม่ใช่เชิงเส้น ได้แก่ กลุ่มที่มีขนาด "ใหญ่เกินไป" (เช่น กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนของเซตอนันต์) หรือกลุ่มที่มีพฤติกรรมผิดปกติ (เช่นกลุ่มทอร์ชั่นอนันต์ที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด)

กล่าวได้ว่า กลุ่มGเป็นกลุ่มเชิงเส้นถ้ามีฟิลด์Kจำนวนเต็มdและโฮโมมอร์ฟิซึม แบบ หนึ่ง ต่อ หนึ่งจากGไปยังกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป GL _d ( K ) ( การแสดงเชิงเส้นที่เที่ยงตรงของมิติdเหนือK ) หากจำเป็น เราสามารถกล่าวถึงฟิลด์และมิติได้โดยกล่าวว่าGเป็น กลุ่ม เชิงเส้นที่มีดีกรี d เหนือ Kตัวอย่างพื้นฐานคือกลุ่มที่ถูกกำหนดเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงเส้น เช่น:

1. กลุ่ม GL _n ( K ) เอง;
2. กลุ่มเชิงเส้นพิเศษ SL _n ( K ) (กลุ่มย่อยของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ เท่ากับ 1);
3. กลุ่มของเมทริกซ์สามเหลี่ยม บน (หรือล่าง) ที่ผกผันได้
4. ถ้าg _iคือกลุ่มขององค์ประกอบใน GL _n ( K ) ที่มีดัชนีเป็นเซตIแล้ว กลุ่มย่อยที่สร้างโดยg _iจะเป็นกลุ่มเชิงเส้น

ในการศึกษากลุ่ม Lieบางครั้งการจำกัดความสนใจเฉพาะกลุ่ม Lie ที่สามารถแสดงได้อย่างถูกต้องบนฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ก็เป็นเรื่องสะดวกในเชิงการสอน (ผู้เขียนบางคนกำหนดให้กลุ่มต้องแสดงเป็น กลุ่มย่อย ปิดของ GL _n ( C )) หนังสือที่ใช้แนวทางนี้ ได้แก่ Hall (2015) ^{[ 1 ]}และ Rossmann (2002) ^{[ 2 ]}

กลุ่มคลาสสิกที่เรียกกันนั้นเป็นการขยายความจากตัวอย่างที่ 1 และ 2 ข้างต้น กลุ่มเหล่านี้เกิดขึ้นจากกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นกล่าวคือ เป็นกลุ่มย่อยของ GL _nที่กำหนดโดยสมการจำนวนจำกัด ตัวอย่างพื้นฐานคือ กลุ่ม ออร์โธโกนอล กลุ่มยูนิแทรีและ กลุ่ม ซิมเพล็กติกแต่ก็สามารถสร้างกลุ่มอื่นๆ เพิ่มเติมได้โดยใช้พีชคณิตการหาร (ตัวอย่างเช่นกลุ่มยูนิแทรีของพีชคณิตควอเทอร์เนียนเป็นกลุ่มคลาสสิก) โปรดทราบว่ากลุ่มโปรเจกทีฟที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มเหล่านี้ก็เป็นกลุ่มเชิงเส้นเช่นกัน แม้ว่าจะไม่ชัดเจนนัก ตัวอย่างเช่น กลุ่ม PSL ₂ ( R ) ไม่ใช่กลุ่มของเมทริกซ์ 2 × 2 แต่มีการแสดงแทนที่ถูกต้องในรูปเมทริกซ์ 3 × 3 ( การแสดงแทนแบบแอดจอยต์ ) ซึ่งสามารถนำมาใช้ในกรณีทั่วไปได้

กลุ่ม Lieหลาย กลุ่ม เป็นเชิงเส้น แต่ไม่ใช่ทั้งหมดการปกคลุมสากลของ SL ₂ ( R )ไม่ใช่เชิงเส้น เช่นเดียวกับกลุ่มแก้ได้ หลายกลุ่ม ตัวอย่างเช่นผลหารของกลุ่มไฮเซนเบิร์กโดยกลุ่มย่อยวัฏจักร กลาง

กลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่ม Lie แบบคลาสสิก (เช่นแลตทิซหรือกลุ่มบาง ) ก็เป็นตัวอย่างของกลุ่มเชิงเส้นที่น่าสนใจเช่นกัน

กลุ่มจำกัดGที่มีอันดับnเป็นกลุ่มเชิงเส้นที่มีดีกรีไม่เกินnเหนือฟิลด์K ใดๆ ข้อความนี้บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทของเคย์ลีย์ และเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าการกระทำของGบนวงแหวนกลุ่มK [ G ] โดยการคูณทางซ้าย (หรือทางขวา) นั้นเป็นเชิงเส้นและซื่อสัตย์กลุ่มจำกัดประเภทลี (กลุ่มคลาสสิกเหนือฟิลด์จำกัด) เป็นตระกูลที่สำคัญของกลุ่มง่าย จำกัด เนื่องจากพวกมันครอบครองช่องส่วนใหญ่ในการ จำแนกประเภทของ กลุ่ม ง่ายจำกัด

แม้ว่าตัวอย่างที่ 4 ข้างต้นจะกว้างเกินไปที่จะกำหนดคลาสที่เฉพาะเจาะจง (เพราะมันรวมกลุ่มเชิงเส้นทั้งหมด) แต่การจำกัดให้อยู่ในเซตดัชนีI ที่จำกัด นั่นคือกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดจะช่วยให้สามารถสร้างตัวอย่างที่น่าสนใจได้มากมาย ตัวอย่างเช่น:

• ทฤษฎีบทปิงปองสามารถใช้สร้างตัวอย่างมากมายของกลุ่มเชิงเส้นที่เป็นกลุ่มอิสระ (เช่น กลุ่มที่สร้างโดยเป็นกลุ่มอิสระ)${\displaystyle {\bigl (}{}_{2}^{1}\,_{1}^{0}{\bigr )},\,{\bigl (}{}_{0}^{1}\,_{1}^{2}{\bigr )}}$
• เป็นที่ทราบกันดีว่า กลุ่มเลขคณิตเป็นกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด ในทางกลับกัน การหาชุดตัวสร้างที่ชัดเจนสำหรับกลุ่มเลขคณิตที่กำหนดให้นั้นเป็นปัญหาที่ยาก
• กลุ่มถักเปีย (ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นกลุ่มที่นำเสนอแบบจำกัด ) มีการแสดงเชิงเส้นที่ซื่อสัตย์บน ปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน มิติจำกัดโดยที่ตัวสร้างทำงานโดยเมทริกซ์ที่ชัดเจน^{[ 3 ]}กลุ่มคลาสการแมปของพื้นผิวจีนัส 2 ก็เป็นที่ทราบกันว่าเป็นเชิงเส้นเช่นกัน^{[ 4 ]}

ในบางกรณีกลุ่มพื้นฐานของแมนิโฟลด์สามารถแสดงให้เห็นว่าเป็นเชิงเส้นได้โดยใช้การแสดงแทนที่ได้มาจากโครงสร้างทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่นพื้นผิวปิด ทั้งหมด ที่มีจีนัสอย่างน้อย 2 เป็นพื้นผิวรีมันน์ ไฮเปอร์โบลิก ผ่านทฤษฎีบทการ ทำให้เป็นเอกรูป สิ่งนี้ทำให้เกิดการแสดงแทนของกลุ่มพื้นฐานในกลุ่มไอโซเมตรีของระนาบไฮเปอร์โบลิกซึ่งสมมาตรกับ PSL ₂ ( R ) และสิ่งนี้ทำให้กลุ่มพื้นฐานกลายเป็นกลุ่มฟุคเซียนการวางนัยทั่วไปของการสร้างนี้แสดงโดยแนวคิดของ โครงสร้าง ( G , X )บนแมนิโฟลด์

อีกตัวอย่างหนึ่งคือกลุ่มพื้นฐานของแมนิโฟลด์ Seifertในทางกลับกัน ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่ากลุ่มพื้นฐานทั้งหมดของแมนิโฟลด์ 3 ตัวเป็นเชิงเส้นหรือไม่^{[ 5 ]}

แม้ว่ากลุ่มเชิงเส้นจะเป็นตัวอย่างกลุ่มอนันต์จำนวนมาก แต่ในบรรดากลุ่มอนันต์ทั้งหมด กลุ่มเชิงเส้นก็มีคุณสมบัติที่โดดเด่นหลายประการ กลุ่มเชิงเส้นที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• พวกมันมีขีดจำกัดที่เหลืออยู่
• ทฤษฎีบทของ Burnside : กลุ่ม ทอร์ชั่น ที่ มีเลขชี้กำลังจำกัดซึ่งเป็นเชิงเส้นเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ 0 จะต้องจำกัด^{[ 6 ]}
• ทฤษฎีบทของ Schur: กลุ่มเชิงเส้น ทอร์ชั่นเป็นกลุ่มจำกัดเฉพาะที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากสร้างขึ้นอย่างจำกัดก็จะเป็นกลุ่มจำกัด^{[ 7 ]}
• ทฤษฎีบทของเซลเบิร์ก: กลุ่มเชิงเส้นที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดใดๆ จะมี กลุ่มย่อย ที่ปราศจากแรงบิดที่ มี ดัชนีจำกัด^{[ 8 ]}

ทฤษฎี ทางเลือกของทิตส์ระบุว่า กลุ่มเชิงเส้นจะต้องมีกลุ่มอิสระที่ไม่เป็นอาเบเลียนอยู่ภายใน หรือไม่ก็เป็นกลุ่ม ที่แก้ได้ เสมือนจริง (กล่าวคือ จะต้องมีกลุ่มที่แก้ได้ซึ่งมีดัชนีจำกัดอยู่ภายใน) ซึ่งนำไปสู่ผลลัพธ์อื่นๆ อีกมากมาย ตัวอย่างเช่น:

• ฟังก์ชันDehnของกลุ่มเชิงเส้นที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดนั้น สามารถเป็นได้เพียงฟังก์ชันพหุนามหรือฟังก์ชันเลขชี้กำลังเท่านั้น
• กลุ่ม เชิงเส้นที่สามารถแก้ไขได้ในทาง ปฏิบัติโดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มเชิงเส้นพื้นฐานที่สามารถแก้ไข ได้
• ข้อสันนิษฐานของ ฟอน นอยมันน์ เป็นจริงสำหรับกลุ่มเชิงเส้น

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะยกตัวอย่างกลุ่มที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่สร้างขึ้นอย่างไม่จำกัด เช่น กลุ่มอาเบเลียนอนันต์ ( Z /2 Z ) ^N x ( Z /3 Z ) ^Nไม่สามารถเป็นเชิงเส้นได้^{[ 9 ]}เนื่องจากกลุ่มสมมาตรบนเซตอนันต์ประกอบด้วยกลุ่มนี้ จึงไม่เป็นเชิงเส้นเช่นกัน การค้นหาตัวอย่างที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดนั้นซับซ้อนกว่า และโดยปกติแล้วต้องใช้คุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่งที่ระบุไว้ข้างต้น

• เนื่องจากกลุ่มเชิงเส้นจำกัดใดๆ ก็เป็นกลุ่มจำกัดที่เหลืออยู่ ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นทั้งกลุ่มง่ายและกลุ่มอนันต์ได้ ดังนั้น กลุ่มง่ายอนันต์ที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด เช่นกลุ่มของทอมป์สันFและผลหารของกลุ่มของฮิกแมนโดยกลุ่มย่อยปกติแท้สูงสุด จึงไม่ใช่กลุ่มเชิงเส้น
• จากข้อสรุปของทางเลือกของ Tits ที่กล่าวถึงข้างต้น กลุ่มที่มีการเติบโตระดับกลาง เช่นกลุ่มของ Grigorchukจึงไม่ใช่กลุ่มที่มีการเติบโตเชิงเส้น
• อีกครั้งตามทางเลือกของ Tits ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ตัวอย่างค้านทั้งหมดของสมมติฐานของ von Neumannไม่ใช่เชิงเส้น ซึ่งรวมถึง กลุ่ม F ของ Thompson และกลุ่มมอนสเตอร์ของ Tarskiด้วย
• ตามทฤษฎีบทของเบิร์นไซด์ กลุ่มทอร์ชั่นอนันต์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด เช่นกลุ่มมอนสเตอร์ทาร์สกีไม่สามารถเป็นกลุ่มเชิงเส้นได้
• มีตัวอย่างของกลุ่มไฮเปอร์โบลิกที่ไม่เป็นเชิงเส้น ซึ่งได้มาจากการหารแลตทิซในกลุ่ม Lie Sp( n , 1) ^{[ 10 ]}
• กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกOut(F _n )ของกลุ่มอิสระเป็นที่ทราบกันว่าไม่เป็นเชิงเส้นสำหรับnอย่างน้อย 4 ^{[ 11 ]}
• ตรงกันข้ามกับกรณีของกลุ่มถักเปีย ยังเป็นคำถามที่เปิดกว้างว่ากลุ่มการแมปของพื้นผิวที่มีจีนัส > 2 นั้นเป็นเชิงเส้นหรือไม่

เมื่อกลุ่มหนึ่งได้รับการกำหนดให้เป็นเชิงเส้นแล้ว สิ่งที่น่าสนใจคือการพยายามค้นหาการแสดงแทนเชิงเส้นที่ "เหมาะสมที่สุด" และเที่ยงตรงที่สุดสำหรับกลุ่มนั้น ตัวอย่างเช่น การแสดงแทนที่มีมิติน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ หรือแม้กระทั่งการพยายามจำแนกประเภทของการแสดงแทนเชิงเส้นทั้งหมด (รวมถึงการแสดงแทนที่ไม่ถูกต้อง) คำถามเหล่านี้เป็นเป้าหมายของทฤษฎีการแสดงแทน ส่วนสำคัญของทฤษฎีนี้ได้แก่:

• ทฤษฎีการแทนกลุ่มจำกัด ;
• ทฤษฎีการแทนกลุ่มลีและโดยทั่วไปแล้วกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้น

ทฤษฎีการแทนของกลุ่มที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดจำนวนอนันต์นั้นโดยทั่วไปแล้วเป็นเรื่องลึกลับ สิ่งที่น่าสนใจในกรณีนี้คือวาไรตี้ลักษณะเฉพาะของกลุ่ม ซึ่งเข้าใจได้ดีเฉพาะในกรณีเพียงไม่กี่กรณีเท่านั้น เช่น กลุ่มอิสระ กลุ่มพื้นผิว และโดยทั่วไปแล้วแลตทิซในกลุ่มลี (ตัวอย่างเช่น ผ่าน ทฤษฎีบทความ แข็งแกร่งขั้นสุดยอด ของมาร์กูลิส และผลลัพธ์ความแข็งแกร่งอื่นๆ)