ในทางคณิตศาสตร์รูปแบบกำลังสองที่แน่นอนคือรูปแบบกำลังสองบนปริภูมิเวกเตอร์จริงV ที่มี เครื่องหมายเดียวกัน(บวกหรือลบเสมอ) สำหรับทุกเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ในV โดยรูปแบบกำลังสองนั้นจะเรียกว่า รูปแบบกำลังสอง ที่แน่นอนบวกหรือรูป แบบกำลังสองที่แน่นอนลบ ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายนั้น

รูป แบบกำลังสอง กึ่งกำหนด (หรือ semi-definite) ถูกนิยามในลักษณะเดียวกัน เพียงแต่ว่า "เป็นบวกเสมอ" และ "เป็นลบเสมอ" ถูกแทนที่ด้วย "ไม่เป็นลบเลย" และ "ไม่เป็นบวกเลย" ตามลำดับ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ อาจมีค่าเป็นศูนย์สำหรับเวกเตอร์ V บางตัวที่ไม่เป็น ศูนย์

รูป แบบกำลังสอง ที่ไม่แน่นอนจะมีค่าได้ทั้งบวกและลบ และเรียกว่ารูปแบบกำลังสองแบบไอโซโทรปิก

โดยทั่วไป คำจำกัดความเหล่านี้ใช้ได้กับปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ เหนือฟิลด์เรียงลำดับ^{[ 1 ]}

รูปแบบกำลังสองสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรบนพื้นที่เดียวกัน^{[ 2 ]}รูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรยังถูกอธิบายว่าเป็นแบบแน่นอนแบบกึ่งแน่นอนฯลฯ ตามรูปแบบกำลังสองที่เกี่ยวข้อง รูปแบบกำลังสองQและรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรB ที่เกี่ยวข้อง มีความสัมพันธ์กันโดยสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&=B(x,x)\\B(x,y)&=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}[Q(x+y)-Q(x)-Q(y)]~.\end{aligned}}}$

สูตรหลังนี้ได้มาจากการขยาย${\displaystyle \;Q(x+y)=B(x+y,x+y)~.}$

ยกตัวอย่างเช่น ให้และพิจารณารูปแบบกำลังสอง ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}}$

โดยที่c ₁และc ₂เป็นค่าคงที่ ถ้าc ₁ > 0และc ₂ > 0รูปแบบกำลังสองQจะเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด (positive-definite) ดังนั้นQจะมีค่าเป็นจำนวนบวกเสมอถ้าค่าคงที่ตัวหนึ่งเป็นบวกและอีกตัวเป็น 0 แล้วQจะเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด (positive semidefinite) และจะมีค่าเป็น 0 หรือจำนวนบวกเสมอ ถ้าc ₁ > 0และc ₂ < 0หรือในทางกลับกันQจะเป็นเมทริกซ์ไม่กำหนด (indefinite) และบางครั้งจะมีค่าเป็นจำนวนบวกและบางครั้งเป็นจำนวนลบ ถ้าc ₁ < 0และc ₂ < 0รูปแบบกำลังสองจะเป็นเมทริกซ์ลบกำหนด (negative-definite) และจะมีค่าเป็นจำนวนลบเสมอและถ้าค่าคงที่ตัวหนึ่งเป็นลบและอีกตัวเป็น 0 แล้วQจะเป็นเมทริกซ์ลบกึ่งกำหนด (negative semidefinite) และจะมีค่าเป็น 0 หรือจำนวนลบเสมอ ${\displaystyle ~x=[x_{1},x_{2}]\in V}$${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$

โดยทั่วไป รูปแบบกำลังสองของตัวแปรสองตัวจะประกอบด้วยพจน์ผลคูณไขว้ในx ₁ · x ₂ ด้วย :

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}+2c_{3}x_{1}x_{2}~.}$

รูปแบบกำลังสองนี้เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนถ้าและเป็นเมทริกซ์ลบแน่นอนถ้าและเป็นเมทริกซ์ไม่แน่นอนถ้าเป็นเมทริกซ์บวกหรือลบกึ่งแน่นอนถ้าโดยที่เครื่องหมายของความเป็นกึ่งแน่นอนตรงกับเครื่องหมายของ${\displaystyle \;c_{1}>0\;}$${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$${\displaystyle \;c_{1}<0\;}$${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}<0~.}$${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0\;,}$${\displaystyle \;c_{1}~.}$

รูปแบบกำลังสองสองตัวแปรนี้ปรากฏในบริบทของภาคตัดกรวยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด หากรูปแบบกำลังสองทั่วไปข้างต้นเท่ากับ 0 สมการที่ได้จะเป็นสมการของวงรีหากรูปแบบกำลังสองนั้นเป็นบวกหรือลบแน่นอน จะเป็นไฮเปอร์โบลาหากเป็นไม่แน่นอน และจะเป็นพาราโบลาหาก${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0~.}$

กำลังสองของค่ามาตรฐานยุคลิดใน ปริภูมิ nมิติ ซึ่งเป็นมาตรวัดระยะทางที่ใช้กันทั่วไป คือ

${\displaystyle {x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}~.}$

ในสองมิติ หมายความว่าระยะห่างระหว่างสองจุดคือรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของระยะทางตามแกน x และแกน y ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

รูปแบบกำลังสองสามารถเขียนได้ในรูปของเมทริกซ์ดังนี้

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x}$

โดยที่xคือเวกเตอร์คาร์ทีเซียนขนาดn × 1 ใดๆ ที่มีอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบที่ไม่ใช่ 0; Aคือเมทริกซ์สมมาตรขนาดn × n ; และสัญลักษณ์^Tเหนือ ตัวอักษรหมายถึง การสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ถ้าAเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม รูปแบบนี้จะเทียบเท่ากับรูปแบบที่ไม่ใช่เมทริกซ์ซึ่งประกอบด้วยเฉพาะพจน์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรยกกำลังสองเท่านั้น แต่ถ้าAมีองค์ประกอบนอกแนวทแยงมุมที่ไม่เป็นศูนย์ รูปแบบที่ไม่ใช่เมทริกซ์นี้จะประกอบด้วยพจน์บางส่วนที่เกี่ยวข้องกับผลคูณของตัวแปรสองตัวที่แตกต่างกันด้วย ${\displaystyle \;[x_{1},\cdots ,x_{n}]^{\mathsf {T}}\;}$

คุณสมบัติความเป็นบวกหรือลบแน่นอน หรือกึ่งแน่นอน หรือไม่แน่นอน ของรูปแบบกำลังสองนี้ เทียบเท่ากับคุณสมบัติเดียวกันของ เมทริกซ์ Aซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยการพิจารณาค่าลักษณะ เฉพาะทั้งหมด ของAหรือโดยการตรวจสอบเครื่องหมายของไมเนอร์หลัก ทั้งหมดของ A

รูปแบบกำลังสองที่แน่นอนนั้นเหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับ ปัญหา การหาค่าเหมาะสมที่สุด สมมติว่ารูปแบบกำลังสองของเมทริกซ์นั้นถูกเสริมด้วยพจน์เชิงเส้น ดังนี้

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x+b^{\mathsf {T}}x\;,}$

โดยที่bคือ เวกเตอร์ค่าคงที่ขนาด n × 1 เงื่อนไขอันดับแรกสำหรับค่าสูงสุดหรือต่ำสุดจะพบได้โดยการกำหนดให้ค่าอนุพันธ์ของเมทริกซ์เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์:

${\displaystyle 2A\,x+b={\vec {0}}\;,}$

การให้

${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{2}}\,A^{-1}b\;,}$

โดยสมมติว่าเมท ริกซ์ A ไม่เป็น เมทริกซ์เอกฐาน ถ้าหากรูปแบบกำลังสอง และด้วยเหตุนี้Aเป็น เมทริกซ์บวกกำหนด เงื่อนไขอันดับสองสำหรับค่าต่ำสุดจะตรงตามเกณฑ์ ณ จุดนี้ ถ้าหากรูปแบบกำลังสองเป็นเมทริกซ์ลบกำหนด เงื่อนไขอันดับสองสำหรับค่าสูงสุดจะตรงตามเกณฑ์

ตัวอย่างสำคัญของการปรับให้เหมาะสมในลักษณะนี้เกิดขึ้นในการวิเคราะห์การถดถอยหลายตัวแปรซึ่งเป้าหมายคือการค้นหาเวกเตอร์ของพารามิเตอร์ที่ประมาณค่าได้ ซึ่งจะทำให้ผลรวมของกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนจากความเหมาะสมที่สมบูรณ์แบบภายในชุดข้อมูลมีค่าน้อยที่สุด

• รูปแบบกำลังสองไอโซโทรปิก
• ฟังก์ชันบวกแน่นอน
• เมทริกซ์บวกกำหนด
• เอกลักษณ์ของการแบ่งขั้ว