เรขาคณิตวงรีเป็นตัวอย่างของเรขาคณิตที่สัจพจน์เส้นขนาน ของยูคลิด ไม่เป็นจริง ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับเรขาคณิตทรงกลมไม่มีเส้นขนานใด ๆ เนื่องจากเส้นตรงสองเส้นใด ๆ จะต้องตัดกัน อย่างไรก็ตาม ต่างจากเรขาคณิตทรงกลม ตรงที่โดยทั่วไปแล้วเส้นตรงสองเส้นจะตัดกันที่จุดเดียว (แทนที่จะเป็นสองจุด) ด้วยเหตุนี้ เรขาคณิตวงรีที่กล่าวถึงในบทความนี้จึงบางครั้งเรียกว่าเรขาคณิตวงรีเดี่ยวในขณะที่เรขาคณิตทรงกลมบางครั้งเรียกว่าเรขาคณิตวงรีคู่

การปรากฏตัวของงานวิจัยเกี่ยวกับเรขาคณิตประเภทนี้ในศตวรรษที่สิบเก้าได้กระตุ้นการพัฒนาเรขาคณิตนอกยุคลิดโดยทั่วไป รวมถึงเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกด้วย

เรขาคณิตวงรีมีคุณสมบัติหลายอย่างที่แตกต่างจากเรขาคณิตระนาบแบบยุคลิดคลาสสิก ตัวอย่างเช่น ผลรวมของมุม ภายใน ของสามเหลี่ยม ใดๆ จะมากกว่า 180 องศาเสมอ

เรขาคณิตวงรีสามารถได้มาจากเรขาคณิตทรงกลมโดยการระบุจุดตรงข้ามของทรงกลมให้เป็นจุดวงรีจุดเดียว เส้นวงรีจะสอดคล้องกับวงกลมใหญ่ที่ลดขนาดลงโดยการระบุจุดตรงข้าม เนื่องจากวงกลมใหญ่สองวงใดๆ ตัดกัน จึงไม่มีเส้นขนานในเรขาคณิตวงรี

ในเรขาคณิตเชิงวงรี เส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนดจะต้องตัดกัน ที่จริงแล้ว เส้นตั้งฉากทุกเส้นกับเส้นตรงที่กำหนดจะตัดกันที่จุดเดียว ซึ่งเรียกว่าจุดขั้วสัมบูรณ์ของเส้นตรงนั้น

ทุกจุดจะสอดคล้องกับเส้นขั้วสัมบูรณ์ซึ่งจุดนั้นเป็นขั้วสัมบูรณ์ จุดใดๆ บนเส้นขั้วนี้จะสร้างคู่สังยุคสัมบูรณ์กับขั้ว คู่ของจุดดังกล่าวตั้งฉากกันและระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองคือ ควอดแร นต์^{[ 1 ] : 89}

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดเป็นสัดส่วนกับมุมระหว่างขั้วสัมบูรณ์ของจุดทั้งสอง^{[ 1 ] : 101}

ตามที่ HSM Coxeterอธิบายไว้:

ชื่อ "วงรี" อาจทำให้เข้าใจผิดได้ มันไม่ได้หมายความถึงความเชื่อมโยงโดยตรงกับเส้นโค้งที่เรียกว่าวงรี แต่เป็นเพียงการเปรียบเทียบที่ค่อนข้างไกลตัวเท่านั้น กรวยศูนย์กลางเรียกว่าวงรีหรือไฮเปอร์โบลา ขึ้นอยู่กับว่ามันไม่มีเส้นกำกับหรือมีเส้นกำกับ สองเส้น ในทำนอง เดียวกัน ระนาบที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเรียกว่าวงรีหรือไฮเปอร์โบลา ขึ้นอยู่กับว่าเส้น แต่ละเส้นของระนาบนั้น ไม่มีจุดที่อนันต์หรือมีจุดที่อนันต์สองจุด^{[ 2 ]}

ระนาบวงรีเป็น ระนาบเชิงโปรเจกที ฟจริงที่มีเมตริกเคปเลอร์และเดซาร์กส์ใช้การฉายภาพแบบโนมอนิกเพื่อเชื่อมโยงระนาบ σ กับจุดบนซีกโลกที่สัมผัสกับระนาบนั้น โดยให้Oเป็นศูนย์กลางของซีกโลก จุดPใน σ กำหนดเส้นตรงOPที่ตัดกับซีกโลก และเส้นตรงใดๆL ⊂ σ กำหนดระนาบOLซึ่งตัดกับซีกโลกเป็นครึ่งหนึ่งของวงกลมใหญ่ซีกโลกถูกล้อมรอบด้วยระนาบที่ผ่าน O และขนานกับ σ ไม่มีเส้นตรงธรรมดาใดๆ ในσที่สอดคล้องกับระนาบนี้ แต่ จะมี เส้นตรงที่อนันต์ต่อท้ายσ แทน เนื่องจากเส้นตรงใดๆ ในส่วนขยายของ σ นี้สอดคล้องกับระนาบที่ผ่านOและเนื่องจากระนาบดังกล่าวสองระนาบใดๆ ตัดกันเป็นเส้นตรงที่ผ่านOเราจึงสรุปได้ว่าเส้นตรงสองเส้นใดๆ ในส่วนขยายจะตัดกัน จุดตัดจะอยู่ตรงที่ระนาบที่ตัดกันพบกับ σ หรือเส้นตรงที่อนันต์ ดังนั้นสัจพจน์ของเรขาคณิตเชิงฉายที่กำหนดให้เส้นตรงทุกคู่ในระนาบต้องตัดกันจึงได้รับการยืนยัน^{[ 3 ]}

เมื่อกำหนดPและQในσระยะทางวงรีระหว่างทั้งสองคือการวัดมุมPOQซึ่งโดยปกติจะวัดเป็นเรเดียนอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ได้ริเริ่มการศึกษาเรขาคณิตวงรีเมื่อเขาเขียน "เกี่ยวกับนิยามของระยะทาง" ^{[ 4 ] : 82} การริเริ่มสู่นามธรรมในเรขาคณิตนี้ได้รับการสานต่อโดยเฟลิกซ์ ไคลน์และเบอร์นาร์ด รีมันน์ซึ่งนำไปสู่เรขาคณิตนอกยุคลิดและเรขาคณิตแบบรีมันน์

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด รูปทรงสามารถขยายหรือย่อขนาดได้เรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด และรูปทรงที่ได้จะคล้ายคลึงกัน กล่าวคือ มีมุมและสัดส่วนภายในเท่ากัน แต่ในเรขาคณิตแบบวงรีนั้นไม่เป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่น ในแบบจำลองทรงกลม เราจะเห็นว่าระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ จะต้องน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของทรงกลมอย่างเคร่งครัด (เพราะจุดตรงข้ามจะถูกระบุ) ดังนั้น ส่วนของเส้นตรงจึงไม่สามารถขยายขนาดได้เรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด

เรขาคณิตแบบยุคลิดส่วนใหญ่สามารถนำไปใช้กับเรขาคณิตแบบวงรีได้โดยตรง ตัวอย่างเช่น สัจพจน์ข้อที่หนึ่งและข้อที่สี่ของยุคลิด ที่ว่ามีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่เชื่อมระหว่างจุดสองจุดใดๆ และมุมฉากทุกมุมมีค่าเท่ากันนั้น เป็นจริงในเรขาคณิตแบบวงรี สัจพจน์ข้อที่ 3 ที่ว่าเราสามารถสร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางและรัศมีที่กำหนดให้ใดๆ ก็ได้ จะไม่ถูกต้องหากตีความ "รัศมีใดๆ" ว่าหมายถึง "จำนวนจริงใดๆ" แต่จะถูกต้องหากตีความว่าหมายถึง "ความยาวของส่วนของเส้นตรงที่กำหนดให้ใดๆ" ดังนั้น ผลลัพธ์ใดๆ ในเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ได้จากสัจพจน์ทั้งสามข้อนี้จะเป็นจริงในเรขาคณิตแบบวงรี เช่น ข้อเสนอที่ 1 จากหนังสือเล่มที่ 1 ของElementsซึ่งระบุว่า เมื่อกำหนดส่วนของเส้นตรงใดๆ แล้ว เราสามารถสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าได้โดยใช้ส่วนของเส้นตรงนั้นเป็นฐาน

เรขาคณิตวงรีก็คล้ายกับเรขาคณิตยุคลิดตรงที่ปริภูมิมีความต่อเนื่อง เป็นเนื้อเดียวกัน สมมาตรทุกทิศทาง และไม่มีขอบเขต สมมาตรทุกทิศทางได้รับการรับประกันโดยสัจพจน์ข้อที่สี่ที่ว่า มุมฉากทุกมุมเท่ากัน สำหรับตัวอย่างของความเป็นเนื้อเดียวกัน โปรดสังเกตว่าทฤษฎีบท I.1 ของยุคลิดบ่งชี้ว่าสามารถสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าเดียวกันได้ในทุกตำแหน่ง ไม่ใช่เฉพาะในตำแหน่งที่พิเศษบางอย่างเท่านั้น การไม่มีขอบเขตเป็นผลมาจากสัจพจน์ข้อที่สองที่ว่า ส่วนของเส้นตรงสามารถยืดได้

ความแตกต่างอย่างหนึ่งระหว่างเรขาคณิตวงรีกับเรขาคณิตยุคลิดคือ ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่า 180 องศา ตัวอย่างเช่น ในแบบจำลองทรงกลม เราสามารถสร้างสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่ตำแหน่งที่แกนพิกัดคาร์ทีเซียนบวกทั้งสามตัดกับทรงกลม และมุมภายในทั้งสามของสามเหลี่ยมจะมีค่า 90 องศา รวมกันได้ 270 องศา สำหรับสามเหลี่ยมที่มีขนาดเล็กพอ ค่าส่วนเกินจาก 180 องศา สามารถทำให้มีค่าน้อยลงได้ตามต้องการ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ไม่ได้ในเรขาคณิตวงรี ในสามเหลี่ยมมุมฉาก 90°–90°–90° ที่กล่าวถึงข้างต้น ด้านทั้งสามมีความยาวเท่ากัน ดังนั้นจึงไม่เป็นไปตามเงื่อนไข ผลลัพธ์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะกลับมาใช้ได้อีกครั้งเมื่อสามเหลี่ยมมีขนาดเล็ก ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

อัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อพื้นที่ของวงกลมนั้นน้อยกว่าในเรขาคณิตแบบยุคลิด โดยทั่วไปแล้ว พื้นที่และปริมาตรจะไม่แปรผันตามกำลังสองและกำลังสามของมิติเชิงเส้น

หมายเหตุ: ในส่วนนี้ คำว่า "ปริภูมิวงรี" หมายถึงเรขาคณิตวงรีสามมิติโดยเฉพาะ ซึ่งแตกต่างจากส่วนก่อนหน้าที่กล่าวถึงเรขาคณิตวงรีสองมิติ ควอเทอร์เนียนถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายปริภูมินี้

สามารถสร้างปริภูมิวงรีได้ในลักษณะที่คล้ายกับการสร้างปริภูมิเวกเตอร์สามมิติ โดยใช้ชั้นสมมูล โดยใช้ส่วนโค้งที่มีทิศทางบนวงกลมใหญ่ของทรงกลม เช่นเดียวกับที่ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางจะมีความเท่าเทียมกันเมื่อขนานกัน มีความยาวเท่ากัน และมีทิศทางคล้ายกัน ส่วนโค้งที่มีทิศทางบนวงกลมใหญ่ก็จะมีความเท่าเทียมกันเมื่อมีความยาว ทิศทาง และอยู่บนวงกลมใหญ่เดียวกัน ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันนี้ทำให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์สามมิติและปริภูมิวงรีตามลำดับ

การเข้าถึงโครงสร้างพื้นที่วงรีทำได้ผ่านพีชคณิตเวกเตอร์ของWilliam Rowan Hamiltonโดยเขาจินตนาการถึงทรงกลมว่าเป็นโดเมนของรากที่สองของลบหนึ่ง จากนั้นสูตรของออยเลอร์ (โดยที่rอยู่บนทรงกลม) แสดงถึงวงกลมใหญ่ในระนาบที่ประกอบด้วย 1 และrจุดตรงข้ามrและ −r สอดคล้องกับวงกลมที่มีทิศทางตรงข้ามกัน ส่วนโค้งระหว่าง θ และ φ เท่ากับส่วนโค้งระหว่าง 0 และ φ − θ ในพื้นที่วงรี ความยาวส่วนโค้งน้อยกว่า π ดังนั้นส่วนโค้งจึงสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ด้วย θ ใน [0, π) หรือ (−π/2, π/2] ^{[ 5 ]}${\displaystyle \exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta }$

กล่าวกันว่าค่าสัมบูรณ์หรือค่ามาตรฐานของzมีค่าเท่ากับหนึ่ง (แฮมิลตันเรียกว่าเทนเซอร์ของ z) แต่เนื่องจากrครอบคลุมทรงกลมในปริภูมิ 3 มิติ exp(θ r) จึงครอบคลุมทรงกลมในปริภูมิ 4 มิติ ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าทรงกลม 3 มิติเนื่องจากพื้นผิวของมันมีสามมิติ แฮมิลตันเรียกพีชคณิตของเขาว่าควอเทอร์เนียนและมันก็กลายเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์และได้รับการยกย่องอย่างรวดเร็ว ปริภูมิสี่มิติของมันพัฒนาขึ้นในพิกัดเชิงขั้วโดยที่tเป็นจำนวนจริงบวก ${\displaystyle z=\exp(\theta r),\ z^{*}=\exp(-\theta r)\implies zz^{*}=1.}$${\displaystyle t\exp(\theta r),}$

เมื่อทำตรีโกณมิติบนโลกหรือทรงกลมท้องฟ้าด้านของสามเหลี่ยมจะเป็นส่วนโค้งวงกลมใหญ่ ความสำเร็จครั้งแรกของควอเทอร์เนียนคือการแปลงตรีโกณมิติทรงกลมเป็นพีชคณิต^{[ 6 ]}แฮมิลตันเรียกควอเทอร์เนียนที่มีบรรทัดฐานหนึ่งว่าเวอร์เซอร์และสิ่งเหล่านี้คือจุดของปริภูมิวงรี

เมื่อ กำหนดค่า r แล้ว เวอร์เซอร์

${\displaystyle e^{ar},\quad 0\leq a<\pi }$

ก่อให้เกิดเส้นตรงวงรีระยะห่างจากถึง 1 คือaสำหรับเวกเตอร์  u ใดๆ ระยะห่างจะเป็น θ ซึ่งcos θ = ( u + u ^∗ )/2เนื่องจากนี่คือสูตรสำหรับส่วนสเกลาร์ของควอเทอร์เนียนใดๆ ${\displaystyle e^{ar}}$

การเคลื่อนที่แบบวงรีอธิบายได้ด้วยการแมปควอเทอร์เนียน

${\displaystyle q\mapsto uqv,}$โดยที่uและvเป็นเวกเตอร์คงที่

ระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ จะเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดภาพของการเคลื่อนที่แบบวงรี ในกรณีที่uและvเป็นควอเทอร์เนียนคู่ควบซึ่งกันและกัน การเคลื่อนที่นั้นจะเป็นการหมุนในอวกาศและส่วนที่เป็นเวกเตอร์ของพวกมันคือแกนการหมุน ในกรณีที่u = 1การเคลื่อนที่แบบวงรีนี้เรียกว่าการแปลแบบคลิฟฟอร์ดขวา หรือพาราแท็กซีส่วนกรณีv = 1จะสอดคล้องกับการแปลแบบคลิฟฟอร์ดซ้าย

เส้นวงรีที่ลากผ่านจุด  uอาจมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \lbrace ue^{ar}:0\leq a<\pi \rbrace }$หรือสำหรับค่า  rที่ กำหนดไว้${\displaystyle \lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace }$

เป็นการเลื่อนคลิฟฟอร์ดทางขวาและซ้ายของ  uตามเส้นวงรีที่ผ่าน 1 พื้นที่วงรีถูกสร้างขึ้นจากS ³โดยการระบุจุดตรงข้าม^{[ 7 ]}

ปริภูมิรูปวงรีมีโครงสร้างพิเศษที่เรียกว่าเส้นขนานคลิฟฟอร์ดและพื้นผิวคลิฟฟอร์ด

จุดเวอร์เซอร์ของปริภูมิวงรีจะถูกแมปโดยการแปลงเคย์ลีย์ไปยังการแสดงปริภูมิในรูปแบบอื่น ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

แบบจำลองไฮเปอร์สเฟียร์เป็นการขยายแบบจำลองทรงกลมไปยังมิติที่สูงกว่า จุดในปริภูมิวงรีnมิติ คือคู่ของเวกเตอร์หน่วย( x , −x )ใน Rn + ^{1ซึ่ง}ก็คือคู่ของจุดตรงข้ามบนพื้นผิวของลูกบอลหน่วยในปริภูมิ n+1 มิติ ( ไฮ เปอร์ สเฟี ย ร์ nมิติ) เส้นในแบบจำลองนี้คือวงกลมใหญ่กล่าวคือ จุดตัดของไฮเปอร์สเฟียร์กับพื้นผิวเรียบมิติnที่ผ่านจุดกำเนิด

ในแบบจำลองเชิงฉายของเรขาคณิตวงรี จุดต่างๆ ในปริภูมิเชิงฉายจริงnมิติถูกใช้เป็นจุดของแบบจำลอง แบบจำลองนี้สร้างเรขาคณิตวงรีนามธรรม หรือที่รู้จักกันในชื่อเรขาคณิตเชิงฉาย

จุดต่างๆ ใน ปริภูมิเชิงฉาย nมิติ สามารถระบุได้ด้วยเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดใน ปริภูมิ n + 1มิติ และสามารถแทนด้วยเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใน R n + 1 ได้อย่างไม่ซ้ำกันโดยเข้าใจ^{ว่า u}และλ u สำหรับส เกลาร์ λใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์  แทนจุดเดียวกัน ระยะทางถูกกำหนดโดยใช้เมตริก

${\displaystyle d(u,v)=\arccos \left({\frac {|u\cdot v|}{\|u\|\ \|v\|}}\right);}$

กล่าวคือ ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือมุมระหว่างเส้นตรงที่สอดคล้องกันในR ^{n +1}สูตรระยะห่างเป็นสูตรเอกพันธุ์ในแต่ละตัวแปร โดยที่d (λ u , μ v ) = d ( u , v )ถ้าλและμเป็นสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงกำหนดระยะห่างบนจุดต่างๆ ในปริภูมิเชิงฉายได้

คุณสมบัติที่โดดเด่นอย่างหนึ่งของเรขาคณิตเชิงวงรีแบบโปรเจคทีฟคือ สำหรับมิติคู่ เช่น ระนาบ เรขาคณิตนี้จะไม่สามารถกำหนดทิศทางได้มันลบล้างความแตกต่างระหว่างการหมุนตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกาโดยการรวมเข้าด้วยกัน

แบบจำลองที่แสดงถึงปริภูมิเดียวกันกับแบบจำลองไฮเปอร์สเฟริคัลสามารถหาได้โดยใช้การฉายภาพสเตอริโอ กราฟิก ให้E ⁿแทนR ⁿ ∪ {∞}นั่นคือ ปริภูมิจริง nมิติที่ขยายโดยจุดเดียวที่อนันต์ เราอาจกำหนดเมตริกเมตริกคอร์ดัลบน E ⁿโดย

${\displaystyle \delta (u,v)={\frac {2\|u-v\|}{\sqrt {(1+\|u\|^{2})(1+\|v\|^{2})}}}}$

โดยที่uและvเป็นเวกเตอร์สองตัวใดๆ ในR ⁿและคือค่ามาตรฐานแบบยุคลิดปกติ เรายังกำหนดเพิ่มเติมอีกด้วย ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \delta (u,\infty )=\delta (\infty ,u)={\frac {2}{\sqrt {1+\|u\|^{2}}}}.}$

ผลลัพธ์ที่ได้คือปริภูมิเมตริกบนE ⁿซึ่งแสดงถึงระยะทางตามคอร์ดของจุดที่สอดคล้องกันบนแบบจำลองไฮเปอร์สเฟริคัล ซึ่งมีการแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งโดยการฉายภาพสเตอริโอกราฟิก เราจะได้แบบจำลองเรขาคณิตทรงกลมหากเราใช้เมตริกนี้

${\displaystyle d(u,v)=2\arcsin \left({\frac {\delta (u,v)}{2}}\right).}$

เรขาคณิตวงรีได้มาจากการระบุจุดตรงข้ามuและ− u / ‖ u ‖ ²และกำหนดให้ระยะห่างจากvไปยังจุดทั้งสองนี้เป็นค่าต่ำสุดของระยะห่างจากvไปยังจุดทั้งสองนี้

เนื่องจากเรขาคณิตวงรีทรงกลมสามารถจำลองได้ เช่น เป็นปริภูมิย่อยทรงกลมของปริภูมิยุคลิด ดังนั้น หากเรขาคณิตยุคลิดมีความสอดคล้องในตัวเอง เรขาคณิตวงรีทรงกลมก็จะมีความสอดคล้องในตัวเองเช่นกัน ด้วยเหตุนี้ จึงไม่สามารถพิสูจน์สัจพจน์เส้นขนานโดยอาศัยสัจพจน์อีกสี่ข้อของเรขาคณิตยุคลิดได้

Tarskiพิสูจน์ว่าเรขาคณิตยุคลิดขั้นพื้นฐานนั้นสมบูรณ์ : มีอัลกอริทึมที่สามารถแสดงให้เห็นว่าข้อเสนอทุกข้อเป็นจริงหรือเท็จได้^{[ 8 ]} (สิ่งนี้ไม่ขัดกับทฤษฎีบทของ Gödel เพราะเรขาคณิตยุคลิดไม่สามารถอธิบาย เลขคณิตในปริมาณที่เพียงพอสำหรับทฤษฎีบทนี้^{[ 9 ]} ) ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าเรขาคณิตวงรีขั้นพื้นฐานก็มีความสอดคล้องในตัวเองและสมบูรณ์เช่นกัน

• การปูกระเบื้องรูปวงรี
• การปูกระเบื้องทรงกลม

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตวงรีในวิกิมีเดียคอมมอนส์