ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มเอกภาพเชิงโปรเจกทีฟ PU( n )คือผลหารของกลุ่มเอกภาพU( n )โดยการคูณทางขวาของศูนย์กลาง U (1)ซึ่งฝังตัวเป็นสเกลาร์ ในเชิงนามธรรม มันคือกลุ่มไอ โซ เมตรีเชิงโฮ โลมอร์ฟิก ของปริภูมิเชิง โปรเจกทีฟเชิงซ้อน เช่นเดียวกับที่กลุ่มออร์โธโกนอลเชิงโปรเจก ทีฟ เป็นกลุ่มไอโซเมตรีของ ปริภูมิเชิงโปรเจกที ฟ จริง

ในแง่ของเมทริกซ์องค์ประกอบของU( n )คือเมทริกซ์เอกลักษณ์เชิงซ้อนขนาดn × nและองค์ประกอบของศูนย์กลางคือเมทริกซ์แนวทแยงที่เท่ากับe ^{i θ} Iโดยที่Iคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้น องค์ประกอบของPU( n )จึงสอดคล้องกับชั้นสมมูลของเมทริกซ์เอกลักษณ์ภายใต้การคูณด้วยเฟสคงที่θปริภูมินี้ไม่ใช่SU( n ) (ซึ่งต้องการเพียงแค่ดีเทอร์มิแนนต์เป็นหนึ่ง) เพราะSU( n )ยังคงมีองค์ประกอบe ^{i θ} Iโดยที่e ^{i θ}คือรากที่nของเอกภาพ (เนื่องจากในกรณีนั้นdet(e ^{i θ} I ) = e ^{i θn} = 1 )

โดยสรุปแล้ว เมื่อกำหนดปริภูมิเฮอร์มิเชียน V กลุ่ม PU ( V )คือภาพของกลุ่มเอกภาพU( V )ในกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟP ( V )

กลุ่มเอกภาพเชิงโปร เจกที ฟ PSU( n ) เท่ากับกลุ่มเอกภาพเชิงโปรเจกทีฟ ซึ่งแตกต่างจากกรณีเชิงตั้งฉาก

รูปทางด้านขวาแสดงความเชื่อมโยงระหว่าง U( n ), SU( n ), ศูนย์กลางของพวกมัน และกลุ่มเอกภาพเชิงโปรเจกทีฟ (โปรดสังเกตว่าในรูป ตัวเลขจำนวนเต็มถูก แทนด้วย) ${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

จุดศูนย์กลางของกลุ่มเอกภาพพิเศษคือเมทริกซ์สเกลาร์ของรากที่n ของเอกภาพ: ${\displaystyle \mathrm {Z} (\mathrm {SU} (n))}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$

${\displaystyle \mathrm {Z} (\mathrm {SU} (n))=\mathrm {SU} (n)\cap \mathrm {Z} (\mathrm {U} (n))\cong \mathbb {Z} /n}$

แผนที่ธรรมชาติ

${\displaystyle \mathrm {PSU} (n)=\mathrm {SU} (n)/\mathrm {Z} (\mathrm {SU} (n))\to \mathrm {PU} (n)=\mathrm {U} (n)/\mathrm {Z} (\mathrm {U} (n))}$

เป็นการสมสัณฐานตามทฤษฎีบทสมสัณฐานข้อที่สองดังนั้น

${\displaystyle \mathrm {PU} (n)=\mathrm {PSU} (n)=\mathrm {SU} (n)/(\mathbb {Z} /n).}$

และกลุ่มเอกภาพพิเศษ SU( n ) เป็นการ ปกคลุมแบบ nเท่าของกลุ่มเอกภาพเชิงโปรเจกทีฟ

ที่n = 1, U(1) เป็นกลุ่มอาเบเลียนและเท่ากับศูนย์กลางของมัน ดังนั้น PU(1) = U(1)/U(1) จึงเป็นกลุ่ม ที่ไม่สำคัญ

ที่n = 2, , ทั้งหมดสามารถแทนได้ด้วยควอเทอร์เนียนหน่วยบรรทัดฐาน และผ่านทาง: ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong \mathrm {หมุน} (3)\cong \mathrm {Sp} (1)}$${\displaystyle \mathrm {PU} (2)\cong \mathrm {SO} (3)}$

${\displaystyle \mathrm {PU} (2)=\mathrm {PSU} (2)=\mathrm {SU} (2)/(\mathbb {Z} /2)\cong \mathrm {Spin} (3)/(\mathbb {Z} /2)=\mathrm {SO} (3)}$

เราสามารถกำหนดกลุ่มเอกภาพบนฟิลด์จำกัดได้เช่นกัน: เมื่อกำหนดฟิลด์ที่มีอันดับqแล้ว จะมีโครงสร้างเฮอร์มิเชียนที่ไม่เสื่อมสภาพบนปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ที่ไม่ซ้ำกันจนถึงความสอดคล้องเอกภาพ และในทำนองเดียวกันจะมีกลุ่มเมทริกซ์ที่ใช้สัญลักษณ์หรือและกลุ่มเอกภาพพิเศษและกลุ่มเอกภาพเชิงโปรเจกทีฟ เพื่อความสะดวก บทความนี้ใช้สัญลักษณ์ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}},}$${\displaystyle \mathrm {U} (n,q)}$${\displaystyle \mathrm {U} (n,q^{2})}$${\displaystyle \mathrm {U} (n,q^{2})}$

โปรดจำไว้ว่ากลุ่มของหน่วยของฟิลด์จำกัดเป็นกลุ่มวัฏจักรดังนั้นกลุ่มของหน่วยของและด้วยเหตุนี้กลุ่มของเมทริกซ์สเกลาร์ที่ผกผันได้ใน จึงเป็นกลุ่มวัฏจักรอันดับศูนย์กลางของ กลุ่ม มีอันดับq + 1 และประกอบด้วยเมทริกซ์สเกลาร์ที่เป็นกลุ่มเอกภาพ นั่นคือเมทริกซ์ที่มีศูนย์กลางของกลุ่มเอกภาพพิเศษ มีอันดับ gcd( n , q + 1) และประกอบด้วยสเกลาร์เอกภาพเหล่านั้นซึ่งมีอันดับหารnลงตัว ด้วย${\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}},}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,q^{2})}$${\displaystyle q^{2}-1.}$${\displaystyle \mathrm {U} (n,q^{2})}$${\displaystyle cI_{V}}$${\displaystyle c^{q+1}=1.}$

ผลหารของกลุ่มเอกภาพโดยศูนย์กลางของมันคือกลุ่มเอกภาพเชิงโปรเจกทีฟและผลหารของกลุ่มเอกภาพพิเศษโดยศูนย์กลางของมันคือกลุ่มเอกภาพพิเศษเชิงโปรเจกทีฟในกรณีส่วนใหญ่ ( n ≥ 2 และ) เป็นกลุ่มสมบูรณ์และเป็นกลุ่มง่าย จำกัด ( Grove 2002 , ทฤษฎีบท 11.22 และ 11.26) ${\displaystyle \mathrm {PU} (n,q^{2}),}$${\displaystyle \mathrm {PSU} (n,q^{2}).}$${\displaystyle (n,q^{2})\notin \{(2,2^{2}),(2,3^{2}),(3,2^{2})\}}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n,q^{2})}$${\displaystyle \mathrm {PU} (n,q^{2})}$

โครงสร้างเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับเมทริกซ์ที่กระทำบน ปริภูมิฮิลเบิร์ต ที่มีมิติอนันต์ได้เช่นกัน ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

ให้ U( H ) แทนปริภูมิของตัวดำเนินการเอกภาพบนปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติอนันต์ เมื่อf : X → U( H ) เป็นการแมปต่อเนื่องจากปริภูมิกระชับXไปยังกลุ่มเอกภาพ เราสามารถใช้การประมาณภาพในมิติจำกัดและเทคนิค K-theoretic อย่างง่ายได้

${\displaystyle u\oplus 1_{\ell ^{2}}\sim u\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots \sim u\oplus u^{-1}\oplus u\oplus u^{-1}\oplus \cdots \sim 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots ,\qquad u\in {\rm {U}}(H),}$

เพื่อแสดงให้เห็นว่ามันเป็นโฮโมโทปิกกับแผนที่แบบไม่สำคัญไปยังจุดเดียว ซึ่งหมายความว่า U( H ) สามารถหดตัวได้แบบอ่อน และข้อโต้แย้งเพิ่มเติมแสดงให้เห็นว่ามันสามารถหดตัวได้จริง โปรดทราบว่านี่เป็นปรากฏการณ์มิติอนันต์โดยแท้ ตรงกันข้ามกับญาติที่มีมิติจำกัด U( n ) และลิมิต U(∞) ภายใต้แผนที่การรวมซึ่งไม่สามารถหดตัวได้ โดยยอมรับการแมปต่อเนื่องที่ไม่ไม่สำคัญทางโฮโมโทปิกไปยัง U(1) ที่กำหนดโดยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

ศูนย์กลางของกลุ่มเอกภาพมิติอนันต์นั้น เช่นเดียวกับในกรณีมิติจำกัด คือ U(1) ซึ่งกระทำต่อกลุ่มเอกภาพอีกครั้งผ่านการคูณด้วยเฟส เนื่องจากกลุ่มเอกภาพไม่มีเมทริกซ์ศูนย์การกระทำนี้จึงเป็นอิสระ ดังนั้น จึงเป็นปริภูมิที่หดตัวได้ซึ่งมีการกระทำ U(1) ซึ่งระบุว่าเป็นEU(1)และปริภูมิของวงโคจร U(1) เป็นBU(1)ซึ่งเป็นปริภูมิจำแนกสำหรับ U(1) ${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ถูกกำหนดอย่างแม่นยำให้เป็นพื้นที่ของวงโคจรของการกระทำ U(1) บนดังนั้นจึงเป็นการตระหนักรู้ของพื้นที่จำแนก BU(1) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การใช้ไอโซมอร์ฟิซึม ${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle \pi _{n}(X)=\pi _{n+1}(BX)}$

ระหว่างกลุ่มโฮโมโทปีของพื้นที่ X และกลุ่มโฮโมโทปีของพื้นที่จำแนก BX รวมกับประเภทโฮโมโทปีของวงกลม U(1)

${\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {U} (1))={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\0&k\neq 1\end{cases}}}$

เราพบกลุ่มโฮโมโทปีของ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=2\\0&k\neq 2\end{cases}}}$

จึงระบุตนเองว่าเป็นตัวแทนของพื้นที่ Eilenberg– MacLane ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}$

ด้วยเหตุนี้ จึงต้องเป็นประเภทโฮโมโทปีเดียวกันกับ ปริภูมิเชิงซ้อนแบบอนันต์มิติซึ่งแสดงถึง เช่นกัน ซึ่งหมายความว่าโดยเฉพาะอย่างยิ่ง พวกมันมีกลุ่ม โฮโมโลยีและโคโฮโมโลยี ที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน:${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} ^{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathrm {Z} \\\mathrm {H} ^{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=0\end{aligned}}}$

โดยทั่วไป PU( n ) ไม่มี การแสดงผลแบบ nมิติ เช่นเดียวกับที่ SO(3) ไม่มีการแสดงผลแบบสองมิติ

PU( n ) มีการกระทำแบบแอดจอยต์บน SU( n ) ดังนั้นจึงมีการแสดงแทนแบบมิติ n เมื่อn = 2 สิ่งนี้จะสอดคล้องกับการแสดงแทนแบบสามมิติของ SO(3) การกระทำแบบแอดจอยต์ถูกกำหนดโดยการคิดว่าองค์ประกอบของ PU( n ) เป็นชั้นสมมูลขององค์ประกอบของ U( n ) ที่แตกต่างกันตามเฟส จากนั้นเราสามารถใช้การกระทำแบบแอดจอยต์กับตัวแทน U( n ) ใดๆ เหล่านี้ได้และเฟสจะสลับกันได้กับทุกสิ่งและหักล้างกัน ดังนั้นการกระทำจึงไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกตัวแทนและจึงถูกกำหนดไว้อย่างดี ${\displaystyle (n^{2}-1)}$

ในการใช้งานหลายอย่าง PU( n ) ไม่ได้กระทำในรูปแบบเชิงเส้นใดๆ แต่กระทำในรูปแบบเชิงโปรเจกทีฟซึ่งเป็นรูปแบบที่ขึ้นอยู่กับเฟสซึ่งเป็นอิสระจากเวกเตอร์ที่กระทำ รูปแบบเหล่านี้มีประโยชน์ในกลศาสตร์ควอนตัม เนื่องจากสถานะทางกายภาพถูกกำหนดไว้เพียงแค่เฟสเท่านั้น ตัวอย่างเช่น สถานะเฟอร์มิออนที่มีมวลจะแปลงสภาพภายใต้รูปแบบเชิงโปรเจกทีฟ แต่จะไม่แปลงสภาพภายใต้รูปแบบของกลุ่มเล็ก PU(2) = SO(3)

การแทนเชิงโปรเจกทีฟของกลุ่มจะถูกจำแนกตามโคฮอโมโลยีเชิง อินทิกรัลลำดับที่สอง ซึ่งในกรณีนี้คือ

${\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} (n))=\mathbb {Z} /n}$

หรือ

${\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbb {Z} .}$

กลุ่มโคฮอโมโลยีในกรณีจำกัดสามารถอนุมานได้จากลำดับที่แน่นอนยาวสำหรับบันเดิลและข้อเท็จจริงข้างต้นที่ว่า SU( n ) เป็นบันเดิลเหนือ PU( n ) ส่วนโคฮอโมโลยีในกรณีอนันต์นั้นได้มีการโต้แย้งไว้ข้างต้นแล้วจากไอโซมอร์ฟิซึมกับโคฮอโมโลยีของปริภูมิเชิงซ้อนโปรเจกทีฟอนันต์ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

ดังนั้น PU( n ) จึงมี ตัวแทนเชิงโปรเจกทีฟ n ตัวโดยที่ตัวแรกคือตัวแทนพื้นฐานของการปกคลุม SU( n ) ของมัน ในขณะที่มีจำนวนอนันต์ที่นับได้ ตามปกติ ตัวแทนเชิงโปรเจกทีฟของกลุ่มคือตัวแทนธรรมดาของส่วนขยายส่วนกลางของกลุ่ม ในกรณีนี้ กลุ่มส่วนขยายส่วนกลางที่สอดคล้องกับตัวแทนเชิงโปรเจกทีฟตัวแรกของแต่ละกลุ่มเอกภาพเชิงโปรเจกทีฟก็คือกลุ่มเอกภาพ ดั้งเดิม ที่เราใช้ผลหารโดย U(1) ในนิยามของ PU ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

การกระทำผกผันของกลุ่มเอกภาพเชิงโปรเจกทีฟอนันต์มีประโยชน์ในนิยามทางเรขาคณิตของทฤษฎี K แบบบิดเบี้ยว ในที่นี้ จะใช้ การกระทำผกผันของมิติอนันต์บนตัวดำเนินการเฟรดโฮล์มหรือกลุ่มเอกภาพ อนันต์${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

ในการสร้างเชิงเรขาคณิตของทฤษฎี K แบบบิดที่มีการบิดHนั้นคือไฟเบอร์ของบันเดิล และการบิดH ที่แตกต่างกัน จะสอดคล้องกับการสร้างไฟเบอร์ที่แตกต่างกัน ดังที่เห็นด้านล่างแสดงถึงปริภูมิ Eilenberg–Maclane ในเชิงโทโพโลยี ดังนั้นปริภูมิจำแนกของบันเดิลคือปริภูมิ Eilenberg–Maclane ยังเป็นปริภูมิจำแนกสำหรับ กลุ่ม โคฮอโมโลยี เชิงปริพันธ์ที่สาม ดังนั้นบันเดิลจึงถูกจำแนกโดยโคฮอโมโลยีเชิงปริพันธ์ที่สาม ผลที่ได้คือ การบิดH ที่เป็นไปได้ ของทฤษฎี K แบบบิดคือองค์ประกอบของโคฮอโมโลยีเชิงปริพันธ์ที่สามอย่างแม่นยำ ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}$${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,3)}$${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,3)}$${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

ในทฤษฎีเกจ Yang–Mills SU( n ) บริสุทธิ์ ซึ่งเป็นทฤษฎีเกจที่มีเฉพาะกลูออนและไม่มีสสารพื้นฐาน ฟิลด์ทั้งหมดจะแปลงรูปในกลุ่มเกจ SU( n ) ที่ผกผัน ศูนย์กลางของ SU( n ) สลับตำแหน่งได้ เนื่องจากอยู่ในศูนย์กลาง กับฟิลด์ที่มีค่าเป็น SU( n ) ดังนั้นการกระทำที่ผกผันของศูนย์กลางจึงเป็นศูนย์ ดังนั้นสมมาตรเกจจึงเป็นผลหารของ SU( n ) ด้วยซึ่งก็คือ PU( n ) และมันจะกระทำกับฟิลด์โดยใช้การกระทำที่ผกผันที่อธิบายไว้ข้างต้น ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

ในบริบทนี้ ความแตกต่างระหว่าง SU( n ) และ PU( n ) มีผลทางกายภาพที่สำคัญ SU( n ) เป็นกลุ่มที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย แต่กลุ่มพื้นฐานของ PU( n ) คือซึ่งเป็นกลุ่มวัฏจักรอันดับnดังนั้น ทฤษฎีเกจ PU( n ) ที่มีสเกลาร์คู่ควบจะมี กระแสน้ำวนที่มีมิติร่วม 2 ที่ไม่ธรรมดาซึ่งค่าคาดหวังของสเกลาร์จะพันรอบวัฏจักรที่ไม่ธรรมดาของ PU( n ) เมื่อวนรอบกระแสน้ำวน กระแสน้ำวนเหล่านี้จึงมีประจุในซึ่งหมายความว่าพวกมันดึงดูดซึ่งกันและกัน และเมื่อnมาสัมผัสกัน พวกมันจะทำลายล้างกัน ตัวอย่างของกระแสน้ำวนดังกล่าวคือสตริง Douglas–Shenker ในทฤษฎีเกจ Seiberg–Witten SU ( n )${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

• กลุ่มยูนิแทรี
• กลุ่มเอกภาพพิเศษ
• ตัวดำเนินการเอกภาพ
• กลุ่มออร์โธโกนอลเชิงฉาย