ในทางคณิตศาสตร์พื้นที่จำแนกสำหรับกลุ่มเอกภาพ U( n ) คือพื้นที่ BU( n ) พร้อมกับบันเดิลสากล EU( n ) ซึ่งบันเดิลเฮอร์มิเชียนใดๆ บนพื้นที่พาราคอมแพ็กต์Xคือการดึงกลับของ EU( n ) โดยแผนที่X → BU( n ) ที่ไม่ซ้ำกันจนถึงโฮโมโทปี การประยุกต์ใช้เฉพาะอย่างหนึ่งคือบันเดิล U(1)หลัก

พื้นที่นี้ซึ่งมีการจัดเรียงเส้นใยแบบสากล สามารถสร้างขึ้นได้ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งก็ได้

1. กราสส์มันเนียนของ ระนาบ n มิติในปริภูมิ ฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนมิติอนันต์ หรือ
2. ขีดจำกัดโดยตรง พร้อมด้วยโทโพโลยีที่เหนี่ยวนำของกราสส์มันเนียนของ ระนาบ nระนาบ

รายละเอียดของโครงสร้างทั้งสองแบบมีอธิบายไว้ที่นี่แล้ว

พื้นที่ทั้งหมด EU( n ) ของกลุ่มสากลกำหนดโดย

${\displaystyle EU(n)=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\ :\ (e_{i},e_{j})=\delta _{ij},e_{i}\in H\right\}.}$

ในที่นี้Hแทนปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนมิติอนันต์e _iคือเวกเตอร์ในHและคือเดลตาโครเนกเกอร์สัญลักษณ์คือผลคูณภายในบนHดังนั้น เราจึงได้ว่า EU( n )คือปริภูมิของ เฟรม n มิติ เชิงตั้ง ฉาก ในH${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$

การกระทำของกลุ่ม U( n ) บนปริภูมินี้คือการกระทำตามธรรมชาติปริภูมิฐานจึงเป็นดังนี้

${\displaystyle BU(n)=EU(n)/U(n)}$

และเป็นเซตของ ปริภูมิย่อย nมิติ (หรือ ระนาบ nมิติ) ของกราสส์มันน์ ใน Hนั่นคือ

${\displaystyle BU(n)=\{V\subset H\ :\ \dim V=n\}}$

ดังนั้นV จึง เป็น ปริภูมิเวกเตอร์ nมิติ

สำหรับn = 1 จะได้ EU(1) = S ^∞ซึ่งทราบกันว่าเป็นปริภูมิที่หดตัวได้ปริภูมิฐานจึงเป็น BU(1) = CP ^{∞ ซึ่ง} เป็นปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟมิติอนันต์ดังนั้น เซตของคลาสไอโซมอร์ ฟิซึม ของบันเดิลวงกลมเหนือแมนิโฟลด์Mจึงมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับคลาสโฮโมโทปีของแผนที่จากMไปยัง CP ^∞

นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์อีกอย่างหนึ่งว่า

${\displaystyle BU(1)=PU(H),}$

นั่นคือ BU(1) เป็นกลุ่มเอกภาพเชิงโปรเจก ทีฟมิติ อนันต์ ดูบทความนั้นสำหรับการอภิปรายและคุณสมบัติเพิ่มเติม

สำหรับทอรัสTซึ่งสมมาตรเชิงนามธรรมกับ U(1) × ... × U(1) แต่ไม่จำเป็นต้องมีการระบุที่เลือกไว้ เราเขียนB T

ทฤษฎีK ทางทอพอโลยีK ₀ (B T ) กำหนดโดยพหุนามเชิงตัวเลขรายละเอียดเพิ่มเติมอยู่ด้านล่าง

ให้F _n ( C ^k ) เป็นปริภูมิของกลุ่มเวกเตอร์ตั้งฉากปกติจำนวนn ตัวในC ^kและให้G _n ( C ^k ) เป็นกราสส์มันน์ของ ปริภูมิย่อยเวกเตอร์มิติ nของC ^kปริภูมิทั้งหมดของบันเดิลสากลสามารถถือได้ว่าเป็นลิมิตโดยตรงของF _n ( C ^k ) เมื่อk → ∞ ในขณะที่ปริภูมิฐานเป็นลิมิตโดยตรงของG _n ( C ^k ) เมื่อk → ∞

ในส่วนนี้ เราจะกำหนดโทโพโลยีบน EU( n ) และพิสูจน์ว่า EU( n ) สามารถหดตัวได้จริง

กลุ่ม U( n ) กระทำการอย่างอิสระบนF _n ( C ^k ) และผลหารคือ Grassmannian G _n ( C ^k ) แผนที่

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(\mathbf {C} ^{k})&\longrightarrow \mathbf {S} ^{2k-1}\\(e_{1},\ldots ,e_{n})&\longmapsto e_{n}\end{aligned}}}$

เป็นกลุ่มเส้นใยของเส้นใยF _{n −1} ( C ^{k −1} ) ดังนั้นเนื่องจากเป็นเรื่องง่ายและเนื่องจากลำดับที่แน่นอนยาวของการสร้างเส้นใยเราจึงมี ${\displaystyle \pi _{p}(\mathbf {S} ^{2k-1})}$

${\displaystyle \pi _{p}(F_{n}(\mathbf {C} ^{k}))=\pi _{p}(F_{n-1}(\mathbf {C} ^{k-1}))}$

เมื่อใดก็ตามที่โดยการเลือกค่า kให้มากพอ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับเราสามารถทำซ้ำกระบวนการและได้ ${\displaystyle p\leq 2k-2}$${\displaystyle k>{\tfrac {1}{2}}p+n-1}$

${\displaystyle \pi _{p}(F_{n}(\mathbf {C} ^{k}))=\pi _{p}(F_{n-1}(\mathbf {C} ^{k-1}))=\cdots =\pi _{p}(F_{1}(\mathbf {C} ^{k+1-n}))=\pi _{p}(\คณิตศาสตร์ {S} ^{kn}).}$

กลุ่มสุดท้ายนี้เป็นเรื่องง่ายสำหรับk  >  n  +  pให้

${\displaystyle EU(n)={\lim _{\to }}\;_{k\to \infty }F_{n}(\mathbf {C} ^{k})}$

เป็นลิมิตโดยตรง ของ F _n ( C ^k ) ทั้งหมด(ด้วยโทโพโลยีที่เหนี่ยวนำ) ให้

${\displaystyle G_{n}(\mathbf {C} ^{\infty })={\lim _{\to }}\;_{k\to \infty }G_{n}(\mathbf {C} ^{k})}$

เป็นลิมิตโดยตรง ของ G _n ( C ^k ) ทั้งหมด(ด้วยโทโพโลยีที่เหนี่ยวนำ)

บทตั้ง:กลุ่มนี้เป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญสำหรับทุกp ≥ 1${\displaystyle \pi _{p}(สหภาพยุโรป(n))}$

บทพิสูจน์:ให้ γ : S ^p → EU( n ) เนื่องจากS ^pเป็นเซตกระชับจึงมีk อยู่จริง ที่ทำให้ γ( S ^p ) รวมอยู่ในF _n ( C ^k ) โดยการเลือกkให้มีค่ามากพอ เราจะเห็นว่า γ เป็นโฮโมโทปิก เมื่อเทียบกับจุดฐาน กับแผนที่คงที่${\displaystyle \Box }$

นอกจากนี้ U( n ) ยังกระทำการอย่างอิสระบน EU( n ) ด้วย ปริภูมิFn ₍ Ck ⁾และGn ₍ Ck ⁾เป็นCW-complexes เราสามารถหาการแยกส่วนของปริภูมิเหล่านี้ออกเป็น CW-complexes ได้ โดยที่การแยกส่วนของ Fn( Ck ) และ_Gn ( ^Ck ₎ตามลำดับเกิด^จากการจำกัดการแยกส่วนของFn ( Ck ^{+ 1 ) และ} Gn ( Ck ^{+ 1} ) ตามลำดับดังนั้น EU( n ) (และGn ( _{C∞ )) จึง เป็น} CW-complex ตามทฤษฎีบทของไวท์เฮด^{และ เล} _มมาข้างต้น EU( n ) จึงสามารถหด ตัวได้

ข้อเสนอ : วงแหวนโคฮอโมโลยีที่มีสัมประสิทธิ์ในวงแหวนของจำนวนเต็มถูกสร้างขึ้นโดยชั้นเชิร์น : ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {BU} (n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{1},\ldots ,c_{n}].}$

บทพิสูจน์:ให้เราพิจารณากรณีn = 1 ก่อน ในกรณีนี้ U(1) คือวงกลมS ¹และบันเดิลสากลคือS ^∞ → CP ^∞เป็นที่ทราบกันดี^{[ 3 ]}ว่าโคฮอโมโลยีของCP ^k นั้น เป็นไอโซมอร์ฟิกกับโดยที่c ₁คือชั้นออยเลอร์ของบันเดิล U(1) S ^{2 k +1} → CP ^kและว่าการฉีดCP ^k → CP ^{k +1}สำหรับk ∈ N * นั้นเข้ากันได้กับการนำเสนอโคฮอโมโลยีของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเหล่านี้ ซึ่งพิสูจน์ข้อเสนอสำหรับn = 1 ${\displaystyle \mathbb {Z} \lbrack c_{1}\rbrack /c_{1}^{k+1}}$

มีลำดับไฟเบอร์โฮโมโทปี

${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}\to BU(n-1)\to BU(n)}$

กล่าว โดยละเอียด จุดหนึ่งในปริภูมิทั้งหมดจะถูกกำหนดโดยจุดหนึ่งในปริภูมิฐานที่จำแนกปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนพร้อมกับเวกเตอร์หน่วยในนั้นร่วมกันจำแนกในขณะที่การแยกส่วนซึ่งทำให้เป็นเรื่องง่ายโดยทำให้เกิดแผนที่ที่แสดงถึงผลรวมโดยตรงกับ${\displaystyle BU(n-1)}$${\displaystyle BU(n)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u^{\perp }<V}$${\displaystyle V=(\mathbb {C} u)\oplus u^{\perp }}$${\displaystyle u}$${\displaystyle BU(n-1)\ถึง BU(n)}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

เมื่อใช้ลำดับของ Gysinจะได้ลำดับที่ยาวและแม่นยำ

${\displaystyle H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1)){\overset {\บางส่วน }{\longrightarrow }}H^{p+1}(BU(n))\ลูกศรขวา \cdots }$

โดย ที่คลาสพื้นฐานของไฟเบอร์คือตามคุณสมบัติของลำดับ Gysin เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบคูณ โดยการอุปมานถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบที่มีโดยที่ต้องเป็นศูนย์ และดังนั้น โดยที่ต้องเป็นฟังก์ชันทั่วถึง จึงสรุปได้ว่าต้อง เป็นฟังก์ชัน ทั่วถึงเสมอตามคุณสมบัติสากลของวงแหวนพหุนามการเลือกภาพผกผันสำหรับตัวสร้างแต่ละตัวจะเหนี่ยวนำให้เกิดการแยกแบบคูณ ดังนั้นโดยความแม่นยำต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่ง ต่อหนึ่งเสมอ ดังนั้นเราจึงมีลำดับที่แม่นยำสั้นๆที่ถูกแยกโดยโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}}$${\displaystyle j^{*}}$${\displaystyle H^{*}BU(n-1)}$${\displaystyle p<-1}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle j^{*}}$${\displaystyle j^{*}}$${\displaystyle \smile d_{2n}\eta }$

${\displaystyle 0\to H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1))\to 0}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าซึ่งเป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์แบบอุปนัย ${\displaystyle H^{*}(BU(n))=H^{*}(BU(n-1))[c_{2n}]}$${\displaystyle c_{2n}=d_{2n}\เอตา }$

พิจารณาทฤษฎี K เชิงซ้อนทางทอพอโลยีเป็นทฤษฎีโคฮอโมโลยีที่แสดงโดยสเปกตรัมในกรณีนี้ , [ ^{4 ] และ}เป็น โมดูล อิสระบนและสำหรับและ^{[ 5} ] ในคำอธิบายนี้ โครงสร้างผลคูณบนมาจากโครงสร้าง H-space ของ ที่กำหนดโดย ^ผลรวม Whitney ของเวกเตอร์บันเดิล ผลคูณนี้เรียกว่า ผล คูณ Pontryagin${\displaystyle KU}$${\displaystyle KU^{*}(BU(n))\cong \mathbb {Z} [t,t^{-1}][[c_{1},...,c_{n}]]}$${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$${\displaystyle \beta _{0}}$${\displaystyle \beta _{i_{1}}\ldots \beta _{i_{r}}}$${\displaystyle n\geq i_{j}>0}$${\displaystyle r\leq n}$${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$${\displaystyle BU}$

ทฤษฎีK ทางทอพอโลยีเป็นที่รู้จักกันอย่างชัดเจนในรูปของ พหุ นาม สมมาตรเชิงตัวเลข

ทฤษฎี K ลดลงเหลือเพียงการคำนวณK ₀เนื่องจากทฤษฎี K เป็นคาบ 2 ตามทฤษฎีคาบของบอตต์และ BU( n ) เป็นลิมิตของแมนิโฟลด์เชิงซ้อน ดังนั้นจึงมีโครงสร้าง CWที่มีเฉพาะเซลล์ในมิติคู่เท่านั้น ดังนั้นทฤษฎี K คี่จึงหายไป

ดังนั้นโดยที่tคือตัวสร้าง Bott ${\displaystyle K_{*}(X)=\pi _{*}(K)\otimes K_{0}(X)}$${\displaystyle \pi _{*}(K)=\mathbf {Z} [t,t^{-1}]}$

K ₀ (BU(1)) คือวงแหวนของพหุนามเชิงตัวเลขในwซึ่งถือว่าเป็นวงแหวนย่อยของH _∗ (BU(1); Q ) = Q [ w ] โดยที่wเป็นองค์ประกอบคู่ขนานกับบันเดิลสัจนิรันดร์

สำหรับทอรัสn ตัว K ₀ (B T ⁿ ) คือพหุนามเชิงตัวเลขใน ตัวแปร nตัว แผนที่K ₀ (B T ⁿ ) → K ₀ (BU( n )) เป็นแผนที่ทั่วถึง ผ่านหลักการแบ่งแยกเนื่องจากT ⁿคือทอรัสสูงสุดของ U( n ) แผนที่นี้คือแผนที่สมมาตร

${\displaystyle f(w_{1},\dots ,w_{n})\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})}$

และภาพนั้นสามารถระบุได้ว่าเป็นพหุนามสมมาตรที่สอดคล้องกับเงื่อนไขความเป็นจำนวนเต็มที่ว่า

${\displaystyle {n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}}f(k_{1},\dots ,k_{n})\in \mathbf {Z} }$

ที่ไหน

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

คือสัมประสิทธิ์พหุนามและประกอบด้วยจำนวนเต็มที่แตกต่างกันr ตัว ซึ่งปรากฏซ้ำกัน ตามจำนวนครั้ง ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r}}$

การรวมแบบแคนอนิกก่อให้เกิดการรวมแบบแคนอนิกในปริภูมิจำแนกประเภทที่เกี่ยวข้อง ลิมิตร่วมที่เกี่ยวข้องจะถูกกำหนดดังนี้: ${\displaystyle \operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)}$${\displaystyle \operatorname {BU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BU} (n+1)}$

${\displaystyle \operatorname {U} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {U} (n);}$

${\displaystyle \operatorname {BU} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BU} (n).}$

${\displaystyle \operatorname {BU} }$เป็นพื้นที่จำแนกประเภทของ อย่างแท้จริง ${\displaystyle \operatorname {U} }$

• พื้นที่จำแนกประเภทสำหรับ O( n )
• การจำแนกพื้นที่สำหรับ SO(n)
• พื้นที่จำแนกประเภทสำหรับ SU(n)
• ทฤษฎี K เชิงทอพอโลยี
• ทฤษฎีบทอาติยาห์-แยนิช

• การจำแนกพื้นที่บนnLab
• BU(n)บน nLab