ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในโทโพโลยีไฟเบอร์ บัน เดิ ล ( fiber bundle ) คือปริภูมิที่ในระดับท้องถิ่นเป็นปริภูมิผลคูณแต่ในระดับสากลอาจมีโครงสร้างทางโทโพโลยี ที่แตกต่างออกไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความคล้ายคลึงกันระหว่างปริภูมิและปริภูมิผลคูณ นั้น ถูกกำหนดโดยใช้แผนที่ แบบ ต่อเนื่องที่ส่ง ทั่วถึง ซึ่งในบริเวณเล็กๆ ของจะมีพฤติกรรมเหมือนกับการฉายภาพจากบริเวณที่สอดคล้องกันของไปยัง แผนที่นี้เรียกว่าการฉายภาพหรือการจมของบันเดิล และถือเป็นส่วนหนึ่งของโครงสร้างของบันเดิล ปริภูมิเรียกว่าปริภูมิทั้งหมดของไฟเบอร์บันเดิลเรียกว่าปริภูมิฐานและเรียก ว่าไฟเบอร์${\displaystyle E}$${\displaystyle B\times F}$${\displaystyle \pi :E\to B,}$${\displaystyle E}$${\displaystyle B\times F}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle \pi ,}$${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F}$

ในกรณีที่ง่ายที่สุดแผนที่ก็คือการฉายภาพจากปริภูมิผลคูณไปยังตัวประกอบแรก นี่เรียกว่าบันเดิลแบบง่ายตัวอย่างของบันเดิลไฟเบอร์ที่ไม่ใช่แบบง่าย ได้แก่แถบโมเบียสและขวดไคลน์รวมถึงปริภูมิปกคลุม ที่ไม่ใช่แบบง่าย บันเดิลไฟเบอร์ เช่นบันเดิลสัมผัสของแมนิโฟลด์ และ บันเดิลเวกเตอร์ทั่วไปอื่นๆมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์เช่นเดียวกับ บัน เดิ ลหลัก${\displaystyle E}$${\displaystyle B\times F,}$${\displaystyle \pi }$

การแมปปิ้งระหว่างปริภูมิทั้งหมดของกลุ่มเส้นใยที่ "สลับที่กันได้" กับแผนที่การฉายภาพ เรียกว่าแผนที่กลุ่มเส้นใยและกลุ่มเส้นใยจะก่อตัวเป็นหมวดหมู่โดยสัมพันธ์กับการแมปปิ้งดังกล่าว แผนที่กลุ่มเส้นใยจากปริภูมิฐานเอง (โดยใช้แผนที่เอกลักษณ์เป็นการฉายภาพ) ไปยังเรียกว่าส่วนของ กลุ่มเส้นใย กลุ่มเส้นใยสามารถกำหนดลักษณะเฉพาะได้หลายวิธี วิธีที่พบได้บ่อยที่สุดคือการกำหนดให้แผนที่การเปลี่ยนผ่าน ระหว่างส่วนย่อยที่ไม่สำคัญในท้องถิ่นอยู่ใน กลุ่มทางทอพอโลยีบางกลุ่มซึ่งเรียกว่ากลุ่มโครงสร้าง ที่กระทำ ต่อ เส้นใย${\displaystyle E}$${\displaystyle E.}$${\displaystyle F}$

ในวิชาโทโพโลยีคำว่าไฟเบอร์ (ภาษาเยอรมัน: Faser ) และปริภูมิไฟเบอร์ ( gefaserter Raum ) ปรากฏขึ้นครั้งแรกในบทความของHerbert Seifertในปี 1933 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}แต่คำจำกัดความของเขามีข้อจำกัดเฉพาะกรณีพิเศษเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างหลักจากแนวคิดของปริภูมิไฟเบอร์ในปัจจุบันก็คือ สำหรับ Seifert สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าปริภูมิฐาน (ปริภูมิโทโพโลยี) ของปริภูมิไฟเบอร์ (โทโพโลยี) E นั้นไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของโครงสร้าง แต่ได้มาจากโครงสร้างนั้นในฐานะปริภูมิผลหารของEคำจำกัดความแรกของปริภูมิไฟเบอร์นั้นได้รับจากHassler Whitneyในปี 1935 ^{[ 4 ]}ภายใต้ชื่อปริภูมิทรงกลมแต่ในปี 1940 Whitney ได้เปลี่ยนชื่อเป็นบันเดิลทรงกลม^{[ 5 ]}

ทฤษฎีของปริภูมิไฟเบอร์ ซึ่งเวกเตอร์บันเดิลบันเดิลหลักไฟเบอร์เชิงทอพอโลยีและแมนิโฟลด์ไฟเบอร์เป็นกรณีพิเศษ ได้รับการกล่าวถึงโดยHerbert Seifert , Heinz Hopf , Jacques Feldbau [ ^{6 ] Whitney} , Norman Steenrod , Charles Ehresmann [ ^{7 ] [ 8 ] [ 9 ] Jean} -Pierre Serre [ ^{10 ] และ}คนอื่นๆ

กลุ่มเส้นใยกลายเป็นวัตถุของการศึกษาในช่วงปี พ.ศ. 2478–2483 คำจำกัดความทั่วไปแรกปรากฏในผลงานของ Whitney ^{[ 11 ]}

Whitney ได้กำหนดนิยามทั่วไปของมัดเส้นใยจากการศึกษาแนวคิดที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นของ^มัดทรงกลม [ ^{12 ]}ซึ่งก็คือมัดเส้นใยที่มีเส้นใยเป็นทรงกลมที่มีมิติ ตามอำเภอใจ ^{[ 13 ]}

ไฟเบอร์บันเดิลคือ 4-tuple โดยที่และเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีและเป็นการส่งแบบต่อเนื่องทั่วถึงซึ่งสอดคล้องกับ เงื่อนไข ความไม่สำคัญเฉพาะที่ที่อธิบายไว้ด้านล่าง ปริภูมิเรียกว่า${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F),}$${\displaystyle E,B,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle B}$พื้นที่ฐานของกลุ่ม${\displaystyle E}$พื้นที่ทั้งหมดและ${\displaystyle F}$ไฟเบอร์แผนที่นี้เรียกว่า${\displaystyle \pi }$แผนที่ฉายภาพ (หรือ(การฉายภาพแบบบันเดิล ) ต่อไปนี้เราจะถือว่าปริภูมิฐานเป็นปริภูมิเชื่อมต่อกัน ${\displaystyle B}$

เราต้องการให้สำหรับทุกๆจะต้องมีย่าน เปิด ของ(ซึ่งจะเรียกว่าย่านที่ทำให้เป็นเรื่องเล็กน้อย) เช่นนั้นจะมีโฮมีโอเมอร์ฟิซึม (โดยที่กำหนดโทโพโลยีของปริภูมิย่อยและคือปริภูมิผลคูณ) ในลักษณะที่สอดคล้องกับการฉายภาพลงบนตัวประกอบแรก นั่นคือ แผนภาพต่อไปนี้ควรสลับที่ได้ : ${\displaystyle x\in B}$${\displaystyle U\subseteq B}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle U\times F}$${\displaystyle \pi }$

การฉายภาพตามธรรมชาติอยู่ที่ไหนเซตของทั้งหมดเรียกว่า a${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}:U\times F\to U}$${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}}$การทำให้บัน เดิ ลเป็นเรื่องเล็กน้อยในระดับท้องถิ่น

ดังนั้น สำหรับทุกๆภาพผกผันจะเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับ(เนื่องจากเป็นจริงสำหรับ) และเรียกว่าไฟเบอร์เหนือ ไฟเบอร์บันเดิลทุกอันเป็นแผนที่เปิดเนื่องจากภาพฉายของผลคูณเป็นแผนที่เปิด ดังนั้น จึงมีโทโพโลยีผลหารที่กำหนดโดยแผนที่${\displaystyle p\in B}$${\displaystyle \pi ^{-1}(\{p\})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \ตัวดำเนินการ {proj} _{1}^{-1}(\{p\})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \pi .}$

โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มไฟเบอร์จะถูกกำหนด ในลักษณะที่คล้ายกับลำดับที่แน่นอนสั้นๆซึ่งบ่งชี้ว่าพื้นที่ใดเป็นไฟเบอร์ พื้นที่ทั้งหมด และพื้นที่ฐาน รวมถึงแผนที่จากพื้นที่ทั้งหมดไปยังพื้นที่ฐานด้วย ${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F)}$$${\displaystyle {\begin{matrix}{}\\F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B\\{}\end{matrix}}}$$

เอบันเดิลไฟเบอร์เรียบคือบันเดิลไฟเบอร์ในหมวดหมู่ของแมนิโฟลด์เรียบกล่าวคือ ,,และต้องเป็นแมนิโฟลด์เรียบ และฟังก์ชันข้างต้นต้องเป็นแผนที่เรียบ ${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F}$

ให้และให้เป็นการฉายภาพลงบนปัจจัยแรก จากนั้นเป็นกลุ่มใยแก้ว (ของ) บน ในที่นี้ไม่เพียงแต่เป็นผลคูณในระดับท้องถิ่นเท่านั้น แต่ยัง เป็นผลคูณ ในระดับสากลด้วย กลุ่มใยแก้วดังกล่าวเรียกว่า${\displaystyle E=B\times F}$${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle E}$กลุ่มใยแก้วนำแสงที่ไม่สำคัญกลุ่มใยแก้วนำแสงใดๆ ที่ผ่านCWที่หดตัวได้ นั้นถือเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญ

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของบันเดิลที่ไม่ธรรมดาอาจเป็นแถบโมเบียสมันมีวงกลมที่วิ่งตามแนวยาวไปตามจุดศูนย์กลางของแถบเป็นฐานและมีส่วนของเส้นตรงเป็นไฟเบอร์ดังนั้นแถบโมเบียสจึงเป็นบันเดิลของส่วนของเส้นตรงเหนือวงกลมบริเวณใกล้เคียงของ(โดยที่) คือส่วนโค้งในภาพ ส่วนโค้งนี้คือความยาวของช่องสี่เหลี่ยมช่องหนึ่งภาพต้นแบบในภาพคือส่วนของแถบ (ที่บิดเล็กน้อย) กว้างสี่ช่องและยาวหนึ่งช่อง (นั่นคือจุดทั้งหมดที่ฉายไปยัง) ${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \pi (x)\in B}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$

มี โฮมีโอเมอร์ฟิซึม ( ใน§ นิยามเชิงรูปธรรม ) ที่แมปภาพก่อนหน้าของ(บริเวณใกล้เคียงที่ทำให้เป็นแบบไม่สำคัญ) ไปยังส่วนตัดของทรงกระบอก: โค้ง แต่ไม่บิด การจับคู่นี้ทำให้แถบเป็นแบบไม่สำคัญในระดับท้องถิ่น บันเดิลแบบไม่สำคัญที่สอดคล้องกันจะเป็นทรงกระบอกแต่แถบโมเบียสมีการ "บิด" โดยรวม การบิดนี้มองเห็นได้เฉพาะในระดับทั่วโลกเท่านั้น ในระดับท้องถิ่น แถบโมเบียสและทรงกระบอกจะเหมือนกัน (การตัดแนวตั้งเพียงครั้งเดียวในทั้งสองจะให้พื้นที่เดียวกัน) ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle U}$${\displaystyle B\times F}$

บันเดิลที่ไม่ธรรมดาที่คล้ายกันคือขวดไคลน์ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นบันเดิลวงกลมที่ "บิดเบี้ยว" บนวงกลมอีกวงหนึ่ง บันเดิลที่ไม่บิดเบี้ยว (ธรรมดา) ที่สอดคล้องกันคือทอรัส 2 ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$

ปริภูมิปกคลุม (covering space)คือกลุ่มเส้นใย (fiber bundle) ที่การฉายภาพของกลุ่มเส้นใยนั้นเป็น โฮมีโอเมอร์ฟิ ซึมเฉพาะที่ (local homeomorphism ) ดังนั้น กลุ่มเส้นใยจึงเป็นปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่อง (discrete space )

กลุ่มของไฟเบอร์บันเดิลชนิดพิเศษที่เรียกว่า เวกเตอร์บันเดิลคือ ไฟเบอร์ที่มีปริภูมิเวกเตอร์ (เพื่อให้มีคุณสมบัติเป็นเวกเตอร์บันเดิล กลุ่มโครงสร้างของบันเดิล—ดูด้านล่าง—ต้องเป็นกลุ่มเชิงเส้น ) ตัวอย่างที่สำคัญของเวกเตอร์บันเดิล ได้แก่แทนเจนต์บันเดิลและโคแทนเจนต์บันเดิลของแมนิโฟลด์เรียบ จากเวกเตอร์บันเดิลใดๆ เราสามารถสร้างเฟรมบันเดิลของฐานซึ่งเป็นบันเดิลหลักได้ (ดูด้านล่าง)

บันเดิลไฟเบอร์ชนิดพิเศษอีกประเภทหนึ่ง เรียกว่าบันเดิลหลัก (principal bundles ) คือบันเดิลที่มีการกระทำแบบอิสระและถ่ายทอดได้ โดยกลุ่มหนึ่งๆ บนไฟเบอร์แต่ละเส้น ทำให้แต่ละไฟเบอร์เป็นปริภูมิเอกพันธุ์หลัก (principal homogeneous space ) บันเดิลมักจะระบุพร้อมกับกลุ่มโดยเรียกว่าบันเดิลหลัก (principal bundle) กลุ่มนี้ยังเป็นกลุ่มโครงสร้างของบันเดิลด้วย เมื่อกำหนดการแสดงแทนของบนปริภูมิเวกเตอร์บันเดิลเวกเตอร์ที่มีเป็นกลุ่มโครงสร้าง สามารถสร้างขึ้นได้ ซึ่งเรียกว่าบันเดิลที่เกี่ยวข้อง (associated bundle ) ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho (G)\subseteq {\text{Aut}}(V)}$

บันเดิลทรงกลมคือบันเดิลไฟเบอร์ที่มีไฟเบอร์เป็นทรงกลมn มิติ เมื่อกำหนดบันเดิลเวกเตอร์ที่มีเมตริก (เช่น บันเดิลสัมผัสของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ ) เราสามารถสร้างบันเดิลทรงกลมหน่วย ที่เกี่ยวข้อง ได้ โดยที่ไฟเบอร์เหนือจุดหนึ่งคือเซตของเวกเตอร์หน่วย ทั้งหมด ในนั้นเมื่อบันเดิลเวกเตอร์ที่กล่าวถึงคือบันเดิลสัมผัสบันเดิลทรงกลมหน่วยจะเรียกว่าบันเดิลสัมผัสหน่วย${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle TM}$

บันเดิลทรงกลมนั้นสามารถระบุลักษณะได้บางส่วนด้วยชั้นออยเลอร์ซึ่งเป็น ชั้น โคฮอโมโลยี ระดับ ในปริภูมิทั้งหมดของบันเดิล ในกรณีที่บันเดิลทรงกลมเรียกว่าบันเดิลวงกลมและชั้นออยเลอร์เท่ากับชั้นเชิร์น แรก ซึ่งระบุลักษณะโทโพโลยีของบันเดิลได้อย่างสมบูรณ์ สำหรับค่าใดๆ ก็ตามเมื่อกำหนดชั้นออยเลอร์ของบันเดิลแล้ว เราสามารถคำนวณโคฮอโมโลยีของมันได้โดยใช้ลำดับที่แน่นอนยาวที่เรียกว่าลำดับไกซิน ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n}$

ถ้าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีและเป็นการโฮมีโอเมอร์ฟิซึมแล้วทอรัสการแมปปิ้งจะมีโครงสร้างตามธรรมชาติของบันเดิลไฟเบอร์เหนือวงกลมที่มีไฟเบอร์ทอรัสการแมปปิ้งของการโฮมีโอเมอร์ฟิซึมของพื้นผิวมีความสำคัญเป็นพิเศษใน ทอพอโลยีของแมนิโฟล ด์ 3 มิติ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to X}$${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle X.}$

ถ้าเป็นกลุ่มทางทอพอโลยีและเป็นกลุ่มย่อยปิดแล้วภายใต้สถานการณ์บางอย่างปริภูมิผลหารพร้อมกับแผนที่ผลหารจะเป็นมัดไฟเบอร์ ซึ่งไฟเบอร์ของมัดไฟเบอร์นี้คือปริภูมิทางทอพอโล ยี เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับ ( ) ที่จะก่อตัวเป็นมัดไฟเบอร์คือ การแมปยอมรับภาคตัดขวางเฉพาะที่ ( Steenrod 1951 , §7) ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G/H}$${\displaystyle \pi :G\to G/H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G,\,G/H,\,\pi ,\,H}$${\displaystyle \pi }$

เงื่อนไขทั่วไปที่สุดที่แผนที่ผลหารจะยอมรับภาคตัดขวางเฉพาะที่ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด แม้ว่าถ้าเป็นกลุ่มลีและเป็นกลุ่มย่อยปิด (และดังนั้นจึงเป็นกลุ่มย่อยลีตามทฤษฎีบทของคาร์ตัน ) แผนที่ผลหารจะเป็นมัดไฟเบอร์ ตัวอย่างหนึ่งของเรื่องนี้คือไฟเบอร์เรชันของฮอปฟ์ซึ่งเป็นมัดไฟเบอร์เหนือทรงกลมที่มีปริภูมิทั้งหมดเป็นจากมุมมองของกลุ่มลีสามารถระบุได้ว่าเป็นกลุ่มเอกภาพพิเศษกลุ่มย่อยอาเบเลียนของเมทริกซ์แนวทแยงเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มวงกลมและผลหารเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิกกับทรงกลม ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle SU(2)/U(1)}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นกลุ่มทางทอพอโลยีใดๆ และเป็นกลุ่มย่อยปิดที่บังเอิญเป็นกลุ่มลีด้วยแล้ว ก็จะเป็นไฟเบอร์บันเดิล ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\to G/H}$

เอส่วนตัด (หรือภาคตัดขวาง) ของไฟเบอร์บันเดิลคือแผนที่ต่อเนื่องซึ่งสำหรับทุกxในBเนื่องจากโดยทั่วไปแล้วบันเดิลไม่มีส่วนตัดที่กำหนดได้ทั่วโลก วัตถุประสงค์หนึ่งของทฤษฎีนี้คือการอธิบายส่วนตัด อุปสรรคต่อการมีอยู่ของส่วนตัดมักวัดได้ด้วยชั้นโคฮอโมโลยี ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีของชั้นลักษณะเฉพาะในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle f:B\to E}$${\displaystyle \pi (f(x))=x}$

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดคือทฤษฎีลูกบอลขนปุย (hairy ball theorem ) ซึ่งชั้นออยเลอร์ (Euler class)คือสิ่งกีดขวางมัดสัมผัสของทรงกลม2 มิติที่ไม่มีส่วนใดเป็นศูนย์

บ่อยครั้งที่เราต้องการกำหนดส่วนต่างๆ เฉพาะในระดับท้องถิ่น (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อไม่มีส่วนในระดับสากล) ส่วนท้องถิ่นของไฟเบอร์บันเดิลคือแผนที่ต่อเนื่องโดยที่Uเป็นเซตเปิดในBและสำหรับทุกxในUถ้า เป็น แผนภูมิการทำให้ไม่สำคัญในระดับท้องถิ่น ส่วนท้องถิ่นจะมีอยู่เสมอเหนือUส่วนดังกล่าวมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับแผนที่ต่อเนื่องส่วนต่างๆ ก่อตัวเป็น ชีฟ${\displaystyle f:U\to E}$${\displaystyle \pi (f(x))=x}$${\displaystyle (U,\,\varphi )}$${\displaystyle U\to F}$

บันเดิลไฟเบอร์มักมาพร้อมกับกลุ่มสมมาตรที่อธิบายเงื่อนไขการจับคู่ระหว่างแผนภูมิการทำให้เป็นธรรมดาเฉพาะที่ที่ทับซ้อนกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้Gเป็นกลุ่มทางทอพอโลยีที่กระทำอย่างต่อเนื่องบนปริภูมิไฟเบอร์Fทางด้านซ้าย เราจะไม่สูญเสียอะไรเลยหากเรากำหนดให้Gกระทำอย่างซื่อสัตย์บนFเพื่อให้สามารถคิดได้ว่าเป็นกลุ่มโฮมีโอเมอร์ฟิซึมของFแผนที่Gสำหรับบันเดิลคือเซตของแผนภูมิการทำให้เป็นธรรมดาเฉพาะที่ โดยที่ สำหรับแผนภูมิที่ทับซ้อนกันใดๆและฟังก์ชัน จะกำหนดโดย โดย ที่เป็นแผนที่ต่อเนื่องที่เรียกว่า${\displaystyle (E,B,\pi ,F)}$${\displaystyle \{(U_{k},\,\varphi _{k})\}}$${\displaystyle \varphi _{i},\varphi _{j}}$${\displaystyle (U_{i},\,\varphi _{i})}$${\displaystyle (U_{j},\,\varphi _{j})}$$${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F\to \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F}$$$${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\xi )=\left(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)}$$${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G}$ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่าน G-สองชุดจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อผลรวมของทั้งสองชุดเป็นG-แอตลาส เช่นกัน G-บันเดิลคือไฟเบอร์บันเดิลที่มีชั้นสมมูลของG-แอตลาส กลุ่มGเรียกว่ากลุ่มโครงสร้างของบันเดิล กลุ่มนี้เกี่ยวข้องกับกลุ่มเกจในทางฟิสิกส์ซึ่งเป็นกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมของGที่ทำให้ปริภูมิฐานไม่เปลี่ยนแปลง

ในหมวดหมู่เรียบ กลุ่ม Gคือกลุ่มไฟเบอร์เรียบ โดยที่Gเป็นกลุ่มลีและการกระทำที่สอดคล้องกันบนFเป็นแบบเรียบ และฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านทั้งหมดเป็นการแมปแบบเรียบ

ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\displaystyle t_{ij}}$

1. ${\displaystyle t_{ii}(x)=1\,}$
2. ${\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,}$
3. ${\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,}$

เงื่อนไขที่สามใช้กับการทับซ้อนสามชั้นU _i ∩ U _j ∩ U _kและเรียกว่าเงื่อนไขโคไซเคิล (Čech) (ดูเพิ่มเติมที่โคฮอโมโลยี Čech ) ความสำคัญของเรื่องนี้คือ ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านจะกำหนดไฟเบอร์บันเดิล (หากถือว่าเงื่อนไขโคไซเคิลเป็นจริง)

บันเดิลหลักGคือ บันเดิล Gที่ไฟเบอร์Fเป็นปริภูมิเอกพันธุ์หลักสำหรับการกระทำด้านซ้ายของGเอง (หรืออีกนัยหนึ่ง สามารถระบุได้ว่าการกระทำของGบนไฟเบอร์Fเป็นอิสระและถ่ายทอดได้ กล่าวคือ เป็น แบบปกติ ) ในกรณีนี้ มักเป็นเรื่องสะดวกที่จะระบุFให้เป็นGเพื่อให้ได้การกระทำ (ด้านขวา) ของGบนบันเดิลหลัก

การมีแนวคิดเกี่ยวกับการแมปปิ้งระหว่างไฟเบอร์บันเดิลสองชุดนั้นมีประโยชน์ สมมติว่าและเป็นปริภูมิฐาน และและเป็นไฟเบอร์บันเดิลเหนือและตามลำดับ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}:F\to N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$แผนที่กลุ่มหรือการแปลงกลุ่มประกอบด้วยฟังก์ชัน ^{ต่อเนื่อง [ 14 ]} คู่หนึ่ง โดยที่นั่นคือ แผนภาพต่อไปนี้เป็นแบบสลับที่ได้: $${\displaystyle \varphi :E\to F,\quad f:M\to N}$$${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}}$

สำหรับกลุ่มไฟเบอร์ที่มีโครงสร้างกลุ่มและปริภูมิทั้งหมดเป็นปริภูมิ -ขวา(เช่น กลุ่มหลัก) จำเป็นต้องมีการแปลง กลุ่มไฟเบอร์เป็น - สมมาตรบนไฟเบอร์ด้วย ซึ่งหมายความว่าเป็นการ แปลง - จากปริภูมิ -หนึ่งไปยังอีกปริภูมิ -หนึ่ง นั่นคือสำหรับทุก และ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi :E\ถึง F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi (xs)=\varphi (x)s}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle s\in G}$

ในกรณีที่ปริภูมิฐานและตรงกัน การแปลงแบบบันเดิลจากบันเดิลไฟเบอร์ไปยังคือแผนที่ที่ทำให้ซึ่งหมายความว่าแผนที่บันเดิลครอบคลุมเอกลักษณ์ของนั่นคือและแผนภาพต่อไปนี้สลับกันได้: ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$${\displaystyle \varphi :E\ถึง F}$${\displaystyle \pi _{E}=\pi _{F}\circ \varphi }$${\displaystyle \varphi :E\ถึง F}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$

สมมติว่าทั้งและถูกกำหนดไว้เหนือพื้นที่ฐานเดียวกัน ไอ โซมอร์ฟิซึมของบันเดิลคือแผนที่บันเดิลระหว่างและโดยที่ และ โดยที่ ก็เป็นโฮมีโอมอร์ฟิซึมเช่นกัน^{[ 15 ]}${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (\varphi ,\,f)}$${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$${\displaystyle \varphi }$

ในหมวดหมู่ของแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้นั้นไฟเบอร์บันเดิลเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติจากการจุ่มลง ของแมนิโฟลด์หนึ่งไป ยังอีกแมนิโฟ ลด์หนึ่ง อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกการจุ่มลง (ที่หาอนุพันธ์ได้) จากแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้M ไปยังแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ Nจะก่อให้เกิดไฟเบอร์บันเดิลที่หาอนุพันธ์ได้ ประการหนึ่ง แผนที่นั้นต้องเป็นการส่งแบบทั่วถึง และเรียกว่าแมนิโฟลด์ที่มีไฟเบอร์แต่เงื่อนไขที่จำเป็นนี้ยังไม่เพียงพอเสียทีเดียว และยังมีเงื่อนไขที่เพียงพออีกหลายอย่างที่ใช้กันทั่วไป ${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle (M,N,f)}$

ถ้าMและNเป็นเซตกระชับและเชื่อมต่อกันการแทรกใดๆจะก่อให้เกิดไฟเบอร์บันเดิลในแง่ที่ว่ามีปริภูมิไฟเบอร์Fที่สมมาตรกับไฟเบอร์แต่ละเส้น โดยที่เป็นไฟเบอร์บันเดิล (ความเป็นฟังก์ชันทั่วถึงของ เป็นไปตามสมมติฐานที่ได้ให้ไว้แล้วในกรณีนี้) โดยทั่วไปแล้ว สมมติฐานเรื่องความกระชับสามารถผ่อนคลายได้หากถือว่าการแทรกเป็นแผนที่แบบทั่วถึงที่เหมาะสมหมายความว่าเป็นเซตกระชับสำหรับทุกเซตย่อย กระชับ KของNเงื่อนไขที่เพียงพออีกประการหนึ่ง ซึ่งมาจากEhresmann (1951)คือ ถ้าเป็นการแทรก แบบทั่วถึงที่ มีMและN เป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้โดยที่ภาพผกผันเป็นเซตกระชับและเชื่อมต่อกันสำหรับทุกแล้วจะมี โครงสร้างไฟเบอร์บันเดิล ที่เข้ากันได้ ( Michor 2008 , §17) ${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle (E,B,\pi ,F)=(M,N,f,F)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle f^{-1}(K)}$${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle f^{-1}\{x\}}$${\displaystyle x\in N,}$${\displaystyle f}$

• แนวคิดเรื่องบันเดิลสามารถนำไปใช้กับหมวดหมู่ทางคณิตศาสตร์ได้อีกมากมาย โดยแลกกับการปรับเปลี่ยนเงื่อนไขความไม่สำคัญในระดับท้องถิ่นให้เหมาะสม ตัวอย่างเช่นปริภูมิเอกพันธุ์หลักและทอร์เซอร์ (เรขาคณิตเชิงพีชคณิต )
• ในทางโทโพโลยีไฟเบอร์เรชัน (fibration)คือการแมปที่มี คุณสมบัติ ทางทฤษฎีโฮโมโทปี บางประการ ร่วมกับไฟเบอร์บันเดิล (fiber bundle) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ภายใต้สมมติฐานทางเทคนิคที่ไม่ซับซ้อน ไฟเบอร์บันเดิลจะมีคุณสมบัติการยกโฮโมโทปี (homotopy lifting property)หรือคุณสมบัติการครอบคลุมโฮโมโทปี (homotopy covering property) เสมอ (ดู รายละเอียดได้ ใน Steenrod (1951 , 11.7)) นี่คือคุณสมบัติที่กำหนดของไฟเบอร์เรชัน${\displaystyle \pi :E\to B}$
• ส่วนหนึ่งของมัดใยแก้วคือ "ฟังก์ชันที่มีช่วง ผลลัพธ์ ขึ้นอยู่กับอินพุตอย่างต่อเนื่อง" คุณสมบัตินี้ถูกอธิบายอย่างเป็นทางการในแนวคิดของประเภทที่ขึ้นอยู่กัน

• ชุดไฟเบอร์ , PlanetMath
• โรว์แลนด์, ท็อดด์. "กลุ่มเส้นใย" . MathWorld .
• การสร้างประติมากรรมเชิงสัญลักษณ์ "นิรันดร์" ของจอห์น โรบินสัน
• Sardanashvily, Gennadi , Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians, arXiv : 0908.1886